圆锥曲线中的定点和定值问题(毛玉峰)

圆锥曲线中的定点和定值问题

泰兴市第二高级中学 毛玉峰

圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,是高考的重点考查内容.这部分知识综合性较强,对学生逻辑思维能力、计算能力等要求很高,特别是圆锥曲线中的定点与定值问题,此类问题主要涉及到直线、圆、圆锥曲线等方面的知识，渗透了函数、化归、数形结合等思想，是高考的热点题型之一. 【要点梳理】

1.解析几何中，定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定点、定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。

2.椭圆中常见的定值结论：

结论1：经过原点的直线l 与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于,M N 两点，P 是椭圆上的动

点，直线,PM PN 的斜率都存在，则PM PN k k 为定值2

2b a

-.

结论2：已知,M N 是椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>两点，P 是,M N 的中点，直线,MN OP 的

斜率都存在，则MN OP k k 为定值2

2b a

-.

结论3：设,,A B C 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上的三个不同点，,B C 关于x 轴对称，直线

,AB AC 分别与x 轴交于,M N 两点，则OM ON 为定值2a .

结论4：过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点00(,)P x y 上任意作两条斜率互为相反数的直线

交椭圆于,M N 两点，则直线MN 的斜率为定值20

20b x a y .

结论5：分别过椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>上两点00(,)P x y ，''

00(,)Q x y 作两条斜率互为相反

数的直线交椭圆于,M N 两点，则直线MN 的斜率为定值2'

002'

00()

()

b x x a y y ++. 3. 定点问题：对圆锥曲线中定点的确定，通常设出适当的参数，求出相应曲线系（直线系）方程，利用定点对参变量方程恒成立的特点，列出方程（组），从而确定出定点或者也可以对参变量取特殊值确定出定点，再进行一般性证明

.

4. 定值问题：求证或判断某几何量是否为定值时，可引进适当的参变量，直接求出相应几何量的值，说明或证明其为定值（与参变量无关）. 下面结合具体例子加以说明.

例1.已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=．

（1）过圆心1C 作倾斜角为θ的直线l 交圆2C 于,A B 两点，且A 为1C B 的中点，求sin θ； （2）过点(,1)P m 引圆2C 的两条割线1l 和2l ，直线1l 和2l 被圆2C 截得的弦的中点分别为,M N .试

问过点2,,,P M N C 的圆是否过定点（异于点2C ）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由； 【解析】（1）（解略）

（2）依题意，过点2,,,P M N C 的圆即为以2PC 为直径的圆，

所以(4)()(1)(0)0x x m y y --+--=，即22(4)40x m x m y y -+++-= 整理成关于实数m 的等式22(4)40x m x x y y -+-+-=恒成立 则22

4040

x x x y y -=⎧⎨-+-=⎩，所以40x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩ 即存在定点(4,1). 小结：本题列出了圆系方程，再整理成关于参变量的方程，列出方程组，得出定点。 例2.（2016年南京三模18）已知点P 是椭圆C 上的任一点，P 到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1，0)的距离为d 2，且

2122

d d =． （1）求椭圆C 的方程； （2）如图，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B (A ，B 都在x 轴上方)，且∠OF A ＋∠OFB ＝180º．

（ⅰ）当A 为椭圆C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；

（ⅱ）是否存在一个定点，无论∠OF A 如何变化，直线l 总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 【解析】（1）（2）ⅰ（解略）

（2）（ⅱ）由于∠OF A ＋∠OFB ＝180º，所以k AF ＋k BF ＝0

（第18题）

设直线AB 方程为：y ＝kx ＋b ，代入2

2x ＋y 2＝1得：(k 2＋12)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－2212

kb

k +

，x 1x 2＝22

112b k -+

所以，k AF ＋k BF ＝

12121212121212+b +b 2()()2+1+1+1+1(+1)(+1)

y y kx kx kx x k b x x b

x x x x x x +++++=+=

＝0 所以，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b

＝2k ×22112b k -+－(k ＋b )×2212

kb

k +

＋2b ＝0 ∴b －2k ＝0，

所以直线AB 方程为：y ＝k (x ＋2)， 所以直线l 总经过定点M (－2，0) .

小结：本题中列出了直线系方程，有两个参数，根据题意，求出两个参数之间的关系，再整理成关于一个参数的方程，得出定点。

例题3.已知椭圆方程22

184

x y +=，过点(0,2)P 分别作直线,PA PB 交椭圆于,A B 两点,设直线,PA PB 斜率分别是12,k k ，且124k k +=,求证：直线AB 过定点.

证明一：显然直线,PA PB 的斜率不为零，设PA 的直线方程是

12y k x =+由方程122

228

y k x x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得22

1(12)80k x k x ++=121812P A k x x k -∴+=+，则121812A k x k -=+，2

12

1

2412A k y k -=+ 而直线PB 的斜率为2k ，以2k 代替1k ，得2

22812B k x k -=

+

1212

4

12A B A B AB A B A B y y k x k x k x x x x k k --∴=

==---，所以直线AB 的方程为

21122

11212484

()121212k k y x k k k k ---=-+-+

(*)由124k k += 取12=13

k k =，，

得直线AB 的方程:5414

y x =-- ①

取12=-15k k =，，得直线AB 的方程:11418

y x =-

②