数学分析课件

证明 : 令f 1, 则由 1的Fourier级数是1
1 sin( n )t 1 2 dt S n ( x0 ) ( f ( x0 t ) f ( x0 t )) t 0 2 sin 2 1 2 sin( n 2 )t 得 dt＝1 ， 0 2 sin t 2
在相应区间[t i 1 , t i ]上可微(端点单侧), 则称
f在[a , b]上是分段可微的.
定理12.8 :
若 f 以 2为周期, 在[ , ]上分段可微, 那么f的
Fourier 级数在每点x0 处收敛于
f ( x 0 0) f ( x 0 0) . 2
特别的 : 在 f 的连续点处, 它收敛于f ( x0 ).

b '
b
f ( x )dx , 令 ' 0 2

推论：设 {a n }, {bn }是某个可积或绝对可积函数 的Fourier 系数, 那么 lim an lim bn 0. n n 定理12.2 :
设 f 在[ , ]上可导, f ' 可积或绝对可积, 如果 f ( ) f ( ), 那么
(k )
( ) f
(k )
( )
那么 a n o(
1 n
k 1
), bn o(
1 n
k 1
), n .
二、收敛定理
1 sin( n )t 1 2 dt S n ( x0 ) ( f ( x0 t ) f ( x0 t )) t 0 2 sin 2 1 ( ) (0, ), 0

1
0





1 sin( n )t 2 dt f ( t x0 ) t 2 sin 2

1 sin( n ) t 1 2 dt ( f ( x0 t ) f ( x0 t )) t 0 2 sin 2


1
0

1Fra Baidu bibliotek



0
Dirichlet积分 收敛问题
1 又因为 : an ' o(1), bn ' o(1), 所以 bn an ' , n 1 1 a n o( ), bn o( ), n . n n
定理12.3 : 设 f 在[ , ]上有直到k 1导数,
f
( k 1 )
可积或绝对可积, 且 f ( ) f ( ), ... , f
的部分和为：

a0 n S n ( x0 ) (a k cos kx0 bk sin kx0 ) 2 k 1
1 2
n k 1
f ( x )dx


f ( x )(cos kx cos kx

1

0
sin kx sin kx0 )dx

1



则称 f 在U ( x0 )内满足阶Lipschitz 条件.
o
定理12.6 :
若 f 是以 2为周期, 且在[ , ]上可积或绝对
o 可积的函数， 如f 在U ( x0 )内满足阶Lip条件,
那么f的Fourier 级数在x0 处收敛于
f ( x 0 0) f ( x 0 0) . 2 1 证明 : 令s ( f ( x0 0) f ( x0 0)) 2
i x i
2n

0
当f反常绝对可积时，不妨设b为瑕点

b
a
f ( x ) cos xdx

b
a b
f ( x ) cos xdx f ( x ) cos xdx
b
b

b
b
f ( x ) cos xdx
b
f ( x )dx
定理12.5 : Dini 判别法
若 f 是以 2为周期, 且在[ , ]上可积或绝对
对s R, 令 可积的函数，
( t ) f ( x0 t ) f ( x0 t ) 2 s , (t ) 如果存在 0, 使得函数 在[0, ]上可积或
t 绝对可积, 那么f的Fourier 级数在x0 处收敛于s.
§12.2 Fourier级数的收敛原理
若 f 是以 2为周期的可积或绝对可积函数，
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
问题:
a0 f ( x ) ? (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1

a0 (a k cos kx bk sin kx ) 固定x0 , 记级数 2 k 1
综上知f在[ , ]有一阶导数，就能展开为Fourier级数。
由Dini定理知条件成立。
定理12.7 :
若 f 是以 2为周期, 且在[ , ]上可积或绝对
如f 在x0 处存在导数, 或者有两个 可积的函数，
有限的单侧导数,
收敛于f ( x0 ),
那么f的Fourier 级数在x0 处
如f 在x0 处仅有两个 有限的广义单侧导数:
f ( x 0 t ) f ( x 0 0) f ( x 0 t ) f ( x 0 0) lim , lim , t 0 t 0 t t f ( x 0 0) f ( x 0 0) 那么f的F级数在x0 处收敛于 . 2
(t )
f ( x0 t ) f ( x0 0) f ( x0 t ) f ( x0 0) t t t
(t )
t
2L 1 , 0 t t
当 1时，
(t )
t
有界函数 t 在［ 0，］绝对可积
当0 1时，
(t )
1


n i 1
b
a xi
f ( x ) cos xdx
i 1
n
xi
x i 1
f ( x ) cos xdx
n xi x i 1
( f ( x ) f ( xi 1 )) cos xdx
x i 1 i 1
f ( xi 1 ) cos xdx


1 n f ( x )( cos k ( x x0 ))dx 2 k 1
1 sin( n ) x n 1 2 , x 2m , cos kx 利用 x 2 k 1 2 sin 2 1 sin( n )( x x ) 0 1 2 知：S n ( x0 ) f ( x ) dx ( x x0 ) 2 sin 2 x 1 0 ...dx 令 x x0 t x
1 1 a n o( ), bn o( ), n . n n
证明 :
用 an ' , bn ' 表示f '的Fourier 系数, 用分部积分, 得
an

1

' 1 bn f ( x ) cos nxdx f ' ( x ) sin nxdx n n
S n ( x0 ) s
0
1

1 sin( n )tdt t 2 2 sin 2
(t )
( t ) f ( x0 t ) f ( x0 t ) 2 s
1 S n ( x0 ) s sin( n )tdt （＊） 0 2 sin t 2 2 (t ) t 由已知 在［ 0，］可积 且 2 sin ~ t ( t 0) t 2 (t ) 由已知 在［ 0，］可积, 在［ 0，］亦可积 t 2 sin 2
a
lim

b
证明： 设f(x)可积，则f(x) M ,
令n [ ], 则 时，n
i 把 [a , b]，n等分xi a (b a ),由f可积有 n
lim i xi 0, i 为振幅
n i 1 n

xi
x i 1
cos xdx
定义12.3 :
设 f 定义在[a , b]上, 如果存在[a , b]的一个分割
a t 0 t 1 t n b,
使得
f ( t i 1 0), x t i 1 g i ( x ) f ( x ), x ( t i 1 , t i ) , i 1,2,, n f ( t 0), x ti i
Dirichlet积分核
当n 时上面的积分是否有极限？
一、Riemann - Lebesgue引理
定理12.1 : ( R L引理)
若 f 在[a , b]上可积或绝对可积, 那么
a
lim

b
f ( x ) cos xdx 0, f ( x ) sin xdx 0.

1
(t )
由R L引理
n
n 时（＊）式右端趋于0
lim Sn ( x0 ) s
定义12.2 :
设 f 在U ( x0 )内有定义, 如果存在 0,
o
L 0和 0, 使得当t (0, ]时有
| f ( x0 t ) f ( x0 0) | Lt , | f ( x0 t ) f ( x0 0) | Lt ,

f ( x0 t ) f ( x0 t ) 由于 在[ , ]中可积或绝对可积, t 2 sin 2
由R L引理,

1

0, n . 所以......
定理12.4 : Fourier 级数的局部化定理
若 f 是以 2为周期的可积或绝对可积函数，
那么 f 的Fourier 级数在点x0 是否收敛, 以及收敛 到什么数值, 仅与f在x0点附近的取值有关.