平行线的性质定理
几何学平行线与角公式整理
几何学平行线与角公式整理几何学是研究空间、图形和形体之间的关系和性质的学科。
平行线与角是几何学中重要的概念，它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。
在本文中，我们将整理并介绍一些与平行线和角相关的重要公式。
一、平行线的性质与公式1. 平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
2. 平行线的判定定理● 对偶定理：若两条直线与第三条直线交叉形成的两组对应角（内角和外角）互为等角，则这两条直线平行。
● 同位角定理：若两条平行线被一条横截线相交，则所形成的同位角（即相互对应的内角或外角）相等。
● 内外角定理：若两直线被一条横截线相交，则所形成的内角与该角对应的外角互补。
3. 平行线的性质● 平行线之间的距离相等。
● 平行线与横截线所形成的同位角相等。
● 平行线与横截线所形成的内外角互补。
二、角的性质与公式1. 角的定义角是由两条线段或两条射线共享一个端点形成的图形。
2. 角的分类● 钝角：大于90度小于180度的角。
● 直角：等于90度的角。
● 锐角：小于90度的角。
3. 角的性质● 垂直角性质：互为补角的两个角称为垂直角，它们的度数之和为180度。
● 对顶角性质：由两条交叉直线形成的对顶角（相邻且不重叠的内角）互为相等角。
● 余角公式：给定一个角，其对角度数与90度的差称为余角。
若角A的度数为x，则其余角的度数为90度-x。
● 和角公式：若两个角的度数之和为180度，则它们互为补角。
● 差角公式：若两角的度数之差为180度，则它们互为补角。
三、平行线与角公式的应用1. 平行线与全等三角形当两条平行线被一条横截线相交时，所形成的对应角相等。
利用这个公式，我们可以证明两个三角形全等。
2. 平行线与相似三角形若两条平行线被两条或多条横截线分别切割，所形成的相应角相等，我们可以利用这个性质证明两个三角形相似。
3. 平行线的应用● 平行线的平分线定理：若一条直线与两条平行线相交，则它所形成的两个内角互为相等角。
平行线的性质定理和判定定理课件
简单说成：同旁内角互补，两直线平行. ∵ ∠1+ ∠2=180°， ∴ a∥b.
证明一个命题的一般步骤： (1)弄清题设和结论；
a1 b2
c
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知,求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
【议一议】 据说,人类知识的75%是在操作中学到的.
小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为 什么？ 通过这个操作活动,得 到了什么结论?
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．
但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命 题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”， 此命题就是假命题．
【跟踪训练】
1.举例说明下列命题的逆命题是假命题. （1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被 5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位 数字是5. 例如，10能被5整除，但它的个位数字是0. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 例如，60°= 60°，但这两个角不是直角.
4.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
条件：到一个角的两边距离相等的点. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上的点到角两边的距离相等. 5.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 条件：线段垂直平分线上的点. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等. 逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上.
a
∵∠1+∠2=180°, ∴ a∥b.
b
c
1
2
c
平行线的性质知识点
平行线的性质知识点平行线是几何学中常见的概念，其性质和特点对于理解和解决几何问题非常重要。
本文将介绍平行线的定义、性质以及与平行线相关的定理。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
简单来说，如果两条直线在同一个平面内，并且它们永远不会相交，那么它们就是平行线。
二、平行线的判定方法1. 同位角判定法：当一条直线与另外两条直线相交时，如果同位角对应相等（即两条直线被切分的同位角互相相等），则这两条直线是平行线。
2. 内错角判定法：当一条直线与另一条直线相交时，如果内错角互相补角相等（即两条直线被切分的内错角互为补角），则这两条直线是平行线。
3. 平行线判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行线。
三、平行线的性质1. 平行线具有等倾斜角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的同位角，它们的角度相等。
2. 平行线具有同旁内错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的内错角，它们是互补角。
3. 平行线具有同旁外错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的外错角，它们是对应角或互补角。
4. 平行线具有同旁错角成比例性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的错角，它们成比例关系。
5. 平行线之间的距离始终相等：如果从两条平行线上任意取一对相对应的点，连接这两条点所在直线上的线段，得到的线段与两条平行线之间的距离是相等的。
四、平行线的相关定理1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的同位角对应相等。
2. 平行线外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的外错角互补。
3. 平行线内角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角互补。
4. 平行线内外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角与外错角是对应角或互补角。
总结：平行线是几何学中的重要概念，具有许多重要性质和特点。
通过掌握平行线的定义、判定方法、性质以及相关定理，可以在解决几何问题时更加灵活运用平行线的知识，加深对几何学的理解和掌握。
平行线的重要定理与推论
平行线的重要定理与推论在几何学中，平行线是一种非常重要的概念，对于平行线的性质、定理以及推论的研究，可以帮助我们更好地理解空间几何关系，解决实际问题。
本文将围绕平行线的重要定理与推论展开讨论。
1. 平行线的重要定理首先，我们来看平行线的重要定理之一：同位角定理。
同位角定理是指：如果两条平行线被一条横穿线相交，那么同位角相等。
这一定理在证明平行线性质时起到至关重要的作用，可以帮助我们快速推导出各种结论。
接下来，我们再来了解一下平行线与转角定理。
转角定理是说：如果两直线被同一条横穿线相交，而两个内角相等，则这两条直线平行。
这个定理可以帮助我们判断两条直线是否平行，并且在实际问题中有着广泛的应用。
2. 平行线的推论除了以上提到的两个定理，平行线还有许多有趣的推论。
例如，平行线的性质决定了内错角、内外饶性、同旁内角等角的关系，这些推论在几何证明中经常被用到。
另外，平行线还与平行四边形的性质息息相关。
平行四边形是指有对边平行的四边形，它的性质包括对角线相等、同旁内角相等等规律，这些规律都是利用平行线的性质得出的。
3. 平行线的应用最后，我们来看一些平行线在实际问题中的应用。
比如，车道之间的标线就是平行线，通过研究平行线与车道的关系，可以更好地规划道路交通，确保交通安全。
另外，建筑中的墙角、地砖等结构也常常涉及到平行线的运用，通过合理设计平行线的结构，可以美化建筑环境，提升生活品质。
总结：平行线作为几何学中重要的基本概念，其性质、定理与推论对于我们理解空间关系、解决实际问题具有重要意义。
通过深入研究平行线的相关知识，我们可以更好地应用于生活工作中，提高解决问题的效率和准确性。
希望本文对您加深对平行线的理解有所帮助。
平行线与垂直线的性质及判定方法
平行线与垂直线的性质及判定方法平行线和垂直线是几何学中常见的重要概念。
对于这两种线相互之间的性质以及如何准确判定它们的方法，本文将进行详细介绍。
一、平行线的性质及判定方法平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
关于平行线的性质和判定方法，我们可以从以下几个方面进行说明。
1. 平行线的性质1.1 不同于同一直线上的两点，同一平面上不同直线上的两点无法连线。
1.2 平行线之间的距离始终相等。
1.3 平行线对应的内角、外角相等。
1.4 平行线的斜率相等或者不存在。
2. 平行线的判定方法2.1 通过观察法判定平行线：如果两条直线的方向相同或者相互平行，它们就是平行线。
可以通过观察直线的倾斜角度或者倾斜方向来判断。
2.2 通过斜率判定平行线：计算两条直线的斜率，如果它们的斜率相等或者不存在，那么这两条直线即为平行线。
2.3 通过平行线定理判定平行线：平行线定理是指如果有一直线与两条平行线相交，那么这两条直线也是平行线。
二、垂直线的性质及判定方法垂直线是指在同一个平面上与另一条直线相交时，两条直线之间的角度为90度。
下面我们来介绍垂直线的性质和判定方法。
1. 垂直线的性质1.1 垂直线之间相交的角度为90度。
1.2 垂直线上的两条线段的长度相等。
1.3 垂直线的斜率的乘积为-1，其中一个垂直线的斜率不存在。
2. 垂直线的判定方法2.1 通过观察法判定垂直线：如果两条直线的交角为90度，它们就是垂直线。
可以通过观察直线之间的交角来判断。
2.2 通过斜率判定垂直线：计算两条直线的斜率，如果斜率的乘积为-1，其中一个直线的斜率不存在，那么这两条直线即为垂直线。
2.3 通过垂直线定理判定垂直线：垂直线定理是指如果两条直线相互垂直，则它们的斜率乘积为-1。
综上所述，平行线与垂直线在几何学中有着重要的性质和判定方法。
对于平行线来说，我们可以通过观察法、斜率以及平行线定理来判定。
而对于垂直线来说，我们可以通过观察法、斜率以及垂直线定理来判定。
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
平行线性质定理和判定定理的综合应用
6、如图，木工师傅用角尺画出
长方形工件边缘的两条垂线，这两
条垂线是否平行（ 是 ）。口述理
由。（3分）
理由：
同一平面内，垂
图12
直于同一条直线的
两条直线互相平行。
（二）选择题（每题1分）
7、如图7：当AC//BD时，可以
判断∠A等于哪个角。（ c ）
A.∠D
B.∠C
C.∠B
D.∠AOC
图7
（二）选择题（每题1分）
C
同位角有
_____∠__1_和__∠__5___
4
A
1
____________，
3
2
B
内错角有
_____∠__3_和__∠__5___
F
D
5
____________ ，
图2
同旁内角有
______∠_2__和_∠__5_
_____________ 。
二、抢答题，分组竞赛（答对加分，答错不扣分）。
2、如图4，如果∠1＝∠2，那么 ___A_D__//___B_C__，根据 内__错_角__相__等_，__两_直__线__平_行_______。
求证：AB//DF。
1
C
2
证明：
A E3
B
∵AEB为一直线（已知）
D
F
∴∠1+∠2=180°（邻补角定义）
∵∠1+∠D=180°（已知）
∴∠2=∠D（同角的补角相等）
∴AB//DF（同位角相等，两直线平行）
三、综合应用题
16．已知：如右图，BE平分∠ABC， ∠1=∠2，求证：①∠2=∠3；
②∠4=∠C
8、如图8，已知∠1=∠2 ，且
平行线的性质知识点
平行线的性质知识点平行线是几何学中非常重要的概念，它在解决几何问题和证明几何定理时经常被使用。
理解平行线的性质和特点对于学好几何学是至关重要的。
本文将介绍平行线的定义和性质，以及相关的定理和应用。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条直线。
换句话说，平行线的方向相同，但是距离可以不同。
二、平行线的性质1. 平行线是同一个平面内的直线。
2. 平行线的任意两条线上的任意两点到另一条平行线的距离相等。
3. 平行线的两个内角和、外角和和180度的关系：- 两个相交的平行线与一条横切线所形成的内角和等于180度；- 平行线与一条横切线所形成的外角和等于180度。
4. 平行线的任意两条线上的对应角、同位角和内错角的关系：- 同位角对应相等，即对应角相等；- 对应角互补，即对应角的和等于180度；- 同位角互补，即同位角和等于180度；- 内错角互补，即内错角的和等于180度。
5. 平行线的等分线性质：- 平行线切割的两个平行线段互相等分；- 平行线切割的两个平行线段互相成比例。
三、平行线的定理和应用1. 平行线的唯一性定理：通过一点可以作一条且仅一条平行于给定线的线。
2. 平行线的判定定理：- 两直线被第三条直线切割，且所得的同位角互补，则所切割的两直线平行。
- 两直线被第三条直线切割，且所得的内错角互补，则所切割的两直线平行。
3. 平行线的延长线性质：- 平行线的延长线仍然平行；- 平行线的延长线与平行线之间的夹角相等。
4. 平行线与垂直线的关系：- 平行线和垂直线之间没有公共点；- 平行线和垂直线之间的夹角为直角。
5. 平行线的应用：- 证明几何定理时，可以利用平行线的性质进行推理；- 解决实际问题时，根据平行线的特点进行模型建立和推导。
以上是关于平行线的性质知识点的介绍。
理解和掌握平行线的定义和性质，可以帮助我们解决几何问题，证明几何定理，以及应用到日常生活中的实际问题中。
通过学习和应用平行线的知识，我们可以培养几何思维能力，并提高解决问题的能力和创造力。
-平行线等分线段定理
要求：用尺规在图中作出
各家菜地的分界线
A
张
王 E
李 F
B
.
16
小结
1、平行线等分线段定理和两个推论
2、定理和推论的应用
(1)把线段n等分
(2)证明在同一直线上的线段相等
A AD
？
EF
E ？F
B .B
？ CB
？ C
17
作业
课本第5页习题1.1 题2,3
.
18
2
作DE//BC
E与E重合
A
作DF//AC
BF=FC =DE D
B
.
E
E′
F
C
15
如图：有块直角三角形菜地,分配给张,王,李三
家农民耕种,已知张,王,李三家人口分别为2人,4
人,6人,菜地分配方法按人口比例,并要求每户土
地均有一部分紧靠水渠AB,P处是三家合用的肥
料仓库,所以点P必须是三家地的交界地 P
.
10
A
判断题
1、如图△ABC中点D、E三等分AB，
D
DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC于点F、E
G，则点F、G三等分AC ( ) B
2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、
CD上若AM=BM、DN=CN 则
A
AD∥MN∥BC ( )
M
F G C D
N
3、一组平行线，任意相邻的两平行线间 B
的距离都相等，则这组平行线能等分线
段。 ( )
A
4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么
B
AB=BC=DE=EF ( )
C
.
C
D l1
E l2 F l3
两条平行线相交定理
两条平行线相交定理1. 引言在几何学中，平行线是指在同一个平面中永远不会相交的直线。
而当两条平行线与第三条直线相交时，我们可以运用两条平行线相交定理来推导出一些有趣的性质和结论。
本文将详细介绍两条平行线相交定理及其相关概念。
2. 平行线的定义和性质2.1 平行线的定义在欧氏几何中，我们将两条直线称为平行线，如果它们在同一个平面内且永不相交。
记作 l || m（其中 l 和 m 分别表示两条直线），读作“l 平行于m”。
2.2 平行线的性质•平行关系是自反、对称和传递的，即若 l || m，则 m || l；若 l || m，m || n，则 l || n。
•平行关系具有唯一性，即通过一点外一直线只能有且仅有一条与该直线平行的直线。
3. 直角与垂直关系回顾在讨论两条平行线相交定理之前，我们需要先回顾一下垂直和直角的概念。
3.1 垂直关系在平面几何中，两条直线相交且互相垂直时，我们称这两条直线为垂直线。
记作 l ⊥ m（其中 l 和 m 分别表示两条直线），读作“l 垂直于m”。
3.2 直角关系当两条直线相交时，如果它们的交角为90度，则称这两条直线相互成直角关系。
具体来说，如果l ⊥ m，则我们可以说 l 和 m 形成一个直角。
4. 两条平行线相交定理4.1 定理表述定理：如果一条直线与另外两条平行线相交，那么这两条平行线之间的对应角（即位于两平行线之间且对应于同一边的角）相等。
4.2 定理证明证明思路：设有两条平行线 l 和 m，并假设有一条与这两条平行线相交的第三条直线 n。
我们需要证明的是，l 和 m 之间的对应角 A1 和 A2 相等。
步骤：1.假设A1 ≠ A2。
由于 n 与 l 相交，根据垂直关系的性质可得n ⊥ l。
2.根据垂直关系的传递性，我们可以推出n ⊥ m。
3.根据垂直关系的唯一性，通过 n 上的一点只能有且仅有一条与 m 垂直的线。
4.由于 l 和 m 平行，所以我们可以得出结论：n 上的一点只能有且仅有一条与 l 平行的线。
平行线判定定理与性质
平行线判定定理与性质一、引言平行线是几何学中常见的概念之一。
在平面几何中，平行线是指在同一平面上永远不会相交的直线。
平行线的判定和性质是几何学中的重要内容之一，对于理解和解决几何问题具有重要意义。
本文将介绍平行线的判定定理和其相关的一些性质。
二、平行线判定定理2.1 垂线判定定理垂线是与给定直线相交，且与该直线的两个点之间的线段垂直的直线。
我们有如下垂线判定定理：定理 1：如果两条直线同时与第三条直线垂直，那么这两条直线是平行的。
2.2 反证法判定定理反证法是一种常用的证明方法，可以用来证明平行线的存在性。
对于两条直线平行的问题，我们有如下反证法判定定理：定理 2：如果一条直线与一组既离开它又不相交的直线相交（点 O），但却不是这组直线上所有直线的交点，则这条直线与这组直线平行。
三、平行线的性质3.1 平行线的对应角性质当一条直线与两条平行线相交时，所形成的相应角是相等的。
这是平行线的一个重要性质，我们有如下定理：定理 3：在一对平行线所切割出的两组对应角中，任一组对应角都是相等的。
3.2 平行线的转角性质当两条平行线被一条横截线切割时，所形成的转角之和为180度。
这是平行线的另一个重要性质，我们有如下定理：定理 4：当两条平行线分别与一条横截线相交时，相交角之和为180度。
3.3 平行线的平行截线性质平行线上的平行截线与被平行线所截的线段成等比例关系。
我们有如下定理：定理 5：如果一条直线平行于一个已知直线，那么它与这个已知直线所截取的那些其他直线段与已知直线所截取的那些线段之间有着相同的比例关系。
3.4 平行线的倾斜性质如果两条直线都平行于同一直线，那么它们互相平行。
我们有如下定理：定理 6：如果直线 l // 直线 m，并且直线 n // 直线 m，那么直线 l // 直线 n。
四、总结平行线在几何学中有着重要的地位，平行线的判定定理和性质也为解决几何问题提供了有力的工具。
通过垂线判定定理和反证法判定定理，我们可以判定两条直线是否平行。
平行线的判定、性质公理及定理
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
考点一平行线的判定：1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。
例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD．（1） （2） 3．如图，如果AB∥CD，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。
达标训练： 一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( ) A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CD C ．∠3=∠4 D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 二．填空题αγβED C BAAB D E12FOCABDE5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空． （1）∵∠A =_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （ ） 三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ． 求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.11．如图，是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识． 根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等. 定理：两直线平行，内错角相等.CFDEBAOHG321ED C BA定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。
证明平行线的判定定理
证明平行线的判定定理引言平行线是几何学中重要的概念之一。
本文将通过证明平行线的判定定理，深入探讨平行线的性质和判定方法。
目录1.定义和性质2.平等角定理3.平行线的判定定理4.证明1.情形一2.情形二5.结论1. 定义和性质在几何学中，我们把在同一个平面上没有交点的两条直线称为平行线。
平行线具有一些重要的性质： - 平行线永不相交，无论延长多远也不会相遇。
- 平行线与同一直线的截线之间的对应角相等。
- 平行线与同一直线的交线之间的内角互补，即互为补角。
2. 平等角定理在证明平行线的判定定理之前，需要先了解平等角定理。
平等角定理可以简单描述为：如果两条直线被切割形成的内角相等，则这两条直线平行。
3. 平行线的判定定理平行线的判定定理给出了几种方法来判断两条直线是否平行。
根据不同的情况，可以使用不同的方法来进行判定。
4. 证明本节将提供两种情况下平行线的判定定理的证明。
4.1. 情形一假设有两条直线AB和CD，我们想要证明这两条直线平行。
首先，我们需要证明其中一组内角相等，然后可以根据平等角定理得出结论。
证明过程： 1. 假设直线AB与CD相交于E点。
2. 延长直线AB至F点，使得AE=EF。
3. 连接CF。
4. 观察△ACF和△CED。
5. 根据三角形内角和定理，△ACF内角和为180°，而△CED内角和也为180°。
6. 由于∠ACF = ∠CED（原因见步骤4），且所对的边等长（AE=EF），根据三角形相似性质可知∆ACF与∆CED全等。
7. 由于已经证明了∆ACF与∆CED全等，根据全等三角形的性质，对应的角相等。
8. 因此，∠CAF = ∠CED。
9. 由于∠CAF与∠CED为内角，根据平等角定理，可以得出AB与CD平行。
4.2. 情形二假设有两条平行线AB和CD，我们需要证明这两条直线上的一组内角相等。
证明过程： 1. 假设直线AB和CD平行，并且相交于点E。
7.2.1 探索平行线的性质-平行线的3个性质定理(课件)七年级数学下册(苏科版)
∵AE∥BF，∴∠1=∠FBM=51°，
∵AB∥EF，∴∠4=∠FBM=51°。
C
D
E
F
B
M
03
典例精析
例4、如图，∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°。
(1)求证：EF∥BH；
(2)若BH平分∠EBO，EF⊥AO于点F，∠HCO=56°，求∠CHO的度数。
教学目标
01
掌握平行线的三个性质定理，同时区分判定与性质
02
能运用平行线的性质定理进行证明与计算
平行线的性质定理
01
复习引入
平行线的判定方法有哪些？
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行。
【思考】反过来，若两直线平行，则同位角、内错角、同旁内角
各有怎样的数量关系呢？
(1)证明：∵∠HCO=∠EBC（已知），
∴EB∥HC（同位角相等，两直线平行），
∴∠EBH=∠BHC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BHC+∠BEF=180°（已知），
∴∠EBH+∠BEF=180°（等量代换），
∴EF∥BH（同旁内角互补，两直线平行）；
03
典例精析
例4、如图，∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°。
(1)求证：EF∥BH；
(2)若BH平分∠EBO，EF⊥AO于点F，∠HCO=56°，求∠CHO的度数。
(2)解：∵∠HCO=56°，∴∠EBC=56°，∠BCH=180°-56°=124°，
∵BH平分∠EBO，∴∠CBH= ∠EBC=28°，
直线与直线平行性质
直线与直线平行性质直线与直线平行性质是几何学中非常重要的一个概念，它涉及到平行线、垂直线以及与之相关的角度等内容。
在本文中，我们将从几何学的角度来探讨直线与直线平行性质以及相关的定理和推论。
一、平行线的定义和性质1. 平行线的定义：在平面上，如果两条直线没有任何交点，则它们被称为平行线。
2. 平行线的判定：根据几何学的基本原理，有以下几种判定平行线的方法：（1）同一直线外一点与直线的夹角相等；（2）同一直线上两点到另一直线的距离相等；（3）如果两条直线的斜率相等，则它们平行。
3. 平行线的性质：平行线具有以下重要性质：（1）平行线之间的距离是相等的；（2）平行线与另一直线的交点与两条平行线的夹角相等；（3）平行线存在于同一个平面上。
二、垂直线、同位角和内错角1. 垂直线的定义：在平面上，如果两条直线的夹角为90度，则它们被称为垂直线。
2. 垂直线的判定：根据几何学的基本原理，有以下几种判定垂直线的方法：（1）两条直线的斜率相乘为-1；（2）两条直线的角度之和为180度。
3. 同位角和内错角：当两条平行线被一条横切线切割时，同位角是位于两条平行线之间相同位置的对应角，内错角是位于两条平行线之间非对应位置的角。
同位角和内错角具有以下性质：（1）同位角相等；（2）内错角互补。
三、平行线的定理和推论1. 平行线定理一：同位角定理同位角定理指出，当两条平行线被一条横切线切割时，同位角是相等的。
推论1：同位角对应角定理同位角对应角定理指出，当两条平行线被一条横切线切割时，同位角的对应角是相等的。
推论2：内错角定理内错角定理指出，当两条平行线被一条横切线切割时，内错角互补。
2. 平行线定理二：垂直与平行线定理垂直与平行线定理指出，如果一条直线垂直于一条平行线，则它垂直于其他与之平行的直线。
推论1：平行线之间互相垂直平行线之间互相垂直的推论指出，如果一条直线垂直于一条平行线，则它垂直于与之平行的其他直线。
推论2：平行线的垂线互相平行平行线的垂线互相平行的推论指出，如果两条平行线的斜率之积为-1，则它们垂直于同一直线。
平行线的性质定理和判定定理
∴ ∠2=∠3(等量代换).
1 3
2
c
合作交流
两直线平行， 同旁内角互补。
如图,已知a//b,
那么2与4有
什么关系呢？ a
1
为什么?
4
b
2
c
基本事实：同位角相等，两直线平行
例2
如图：已知2=3
a
求证： a//b
b
证明：
∵ ∠2=∠3 (已知)
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
基本事实
a
1
平行线的性质1
b
2
两条平行线被第三条直线所截，
同位角相等.
c
简写为：两直线平行，同位角相等.
符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
例1
两直线平行， 内错角相等。
如图：已知a//b,那么2与3相等吗？ 为什么?
证明∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,
a
同位角相等). b
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
1 3
2
c
合作交流
同旁内角互补， 两直线平行。
如图,已知
a
2+4=180 那么a//b吗？为什么?
b
1 4 2
c
性质：两直线平行，同位角相等. 判定：同位角相等，两直线平行.
两个命题的条件 和结论正好相反
互逆命题
原命题 逆命题
平行线的性质
平行线的性质平行线是在同一个平面上，永远不会相交的直线。
在几何学中，平行线有一些独特的性质和规律。
本文将介绍平行线的性质，包括平行线的定义、判定方法以及与平行线相关的定理。
1. 平行线的定义平行线的定义是指在同一个平面上，两条直线不相交，且它们的距离始终相等。
如果两条线段的任意两点之间的距离相等，则可以称这两条线段是平行的。
符号“||”可以用来表示平行线。
2. 平行线的判定方法有多种方法可以判定两条直线是否平行。
2.1. 通过斜率判定两条直线的斜率相等时，可以判定它们是平行线。
假设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2。
如果k1 = k2，则l1与l2是平行线。
2.2. 通过角度判定两条直线如果被一条横截线所截，且所截得的内角互补，则这两条直线是平行线。
例如，直线l1与l2被横截线m所截，其中直角1和直角2是互补的，则l1与l2是平行线。
2.3. 通过平行线定理判定平行线定理是指如果一条直线与两条平行线相交，那么它与另一条平行线也相交，并且两条交分线分割的邻补角相等。
通过这一定理，可以判断一条直线与已知平行线是否平行。
3. 3.1. 平行线的距离性质平行线之间的距离在任意两点之间始终相等。
这意味着，如果从一条平行线上的一点到另一条平行线的垂直距离是d，那么这两条平行线上任意两点之间的距离也都是d。
这一性质对于解决平面几何中的问题非常有用。
3.2. 平行线的夹角性质当一条直线与两条平行线相交时，所得到的对应角、内角、外角等具有一定的关系性质。
3.2.1. 对应角性质对应角是指两条平行线被一条横截线所截得到的相应角。
如果两条平行线被同一横截线截得的对应角相等，则这两条平行线是相等的。
即如果∠A = ∠C，那么∠B = ∠D，其中直线l1与l2被横截线m截得的直角1和直角2是对应角。
3.2.2. 内角与外角性质当一条直线与两条平行线相交时，所得到的内角与外角具有一定的关系。
内角互补，即当一条直线与两条平行线相交时，所得到的内角的补角相等。
《平行线的性质定理和判定定理》PPT课件2
2.判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例.
(1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；( )
(2)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α,b ∥ α,那么a ∥ b ;( )
(3)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥ α,b α, 那么 b ∥ α;( )
平行线的性质定理和判定定理
- .
复习：线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
思考：如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这平面内的所有直线都平行？
怎样作平行线？
试用文字语言将上述原理表述成一个命题.
符号语言:
关键：
寻找平面与平面的交线。
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′．（1）要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线和面AC有什么关系？
例2:已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面.
线//线
线//面
转化是立体几何的一种重要的思想方法
说明：
2. 线线平行
线面平行
1.直线与平面平行的性质定理
小结：
小结
证明平行的转化思想：
线//线
线//面
面//面
练习
课堂练习：
1.以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则a∥b③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，b，则a∥b其中正确命题的个数是 （ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个