分数步长法

这是(4.6.3)的一个等价形式。
ADI（交替方向隐式法）
n v e 以 un jk i ( x j yk )
代到(4.6.5),消去公因子，则知增长因子
2 2 2 h 2 h (1 2r sin )(1 2r sin ) 2 2 显然对任何 r 0, G 1 成立，故ADI格式绝对稳定。 G ( h, h)
2 r / h 令 ，将它改写成
2 1 n ( I r x2 r y )u n u jk jk . 2 2 2 n 1 r 两端各加一项 x y u jk ，得 2 2 1 2 2 2 n1 n (I r x2 r y r 2 x2 y )un jk r x y u jk u jk .
再略去右端高阶无穷小项：
2 2 y n 1 2 2 2 n 1 4 2 x r x y u jk h r 2 2 u jk h h
预-校法
并将左端分解，则得
2 1 n (4.6.11)(I r x2 )(I r y )un u jk jk .
r 2 r 2 n 1 ( I x )( I y )u jk 2 u n jk . 2 2
预-校法
再用上式消去(4.6.14)中的 u jk
n 1 2
又得
r 2 1 r 2 1 n 1 n 2 2 un u r ( )( I ) ( I y ) u jk . jk jk x y x 2 2
分数步长法
ADI（交替方向隐式法）
二维问题
考虑二维热传导方程的边值问题：
ut u xx u yy , 0 x, y l , t 0, u ( x, y, 0) ( x, y ), u (0, y, t ) u (l , y, t ) u ( x, 0, t ) u ( x, l , t ) 0
n 1 n r 2 r 2 r 2 u jkm u jkm 1 2 2 (4.6.10) I x I y I z 2 x y z2 u n jkm 2 2 2 h
按(4.6.9)2 ,(4.6.9)3引进过渡值得出的。容易验证,(4.6.9) 绝对稳定，
n jk
(4.6.14)
1 n un jk u jk

1 n 1 2 2 2 ( x y )u jk 2 h
由此得到第(n+1)层上的 u jk
n 1
n 1 4
预-校格式(4.6.13)~(4.6.14)是由Yanenko建立的。由(4.6.13)消去 u jk ，得
1 2
(4.6.15) 2
u jk
n

2
1 2 n +1 n 1 2 y (u jk +u jk 2 ). 2h
ADI（交替方向隐式法） 例如，对三维热传导方程：
ut uxx uyy uzz
我们有如下ADI格式：
r 2 u (4.6.9)1 I x 2 (4.6.9)2 u
n 2 3 jkm
n
1 3 jkm
un jkm


1 2 2 2 n u x y z jkm h2
n 1 jk
u O( 2 h2 ) 2
n jk
2 2 与(4.6.3)比较，可见截断误差的阶为O( h ) 。
为了检验格式(4.6.2)的稳定性，我们将它改写成
r 2 n 1 r 2 n 2 I u I y u jk , x jk 2 2 (4.6.2) ' (r 2 ). 1 h I r 2 u n 1 I r 2 u n 2 y jk x jk 2 2
2 这是绝对稳定的格式，它逼近(4.6.1)的截断误差的阶为 O( h )
将(4.6.11)用于区间 tn , tn1/2 ，得
r 2 r 2 nห้องสมุดไป่ตู้1 ( I 2 x )( I 2 y )u jk 2 u n jk . 2h 2h
引进 u jk
n 1 4
n r 2 n 1 2 ( I 2 y )u jk ，则得计算 u jk 2 的预算格式： 2h
1 (k 1, 2,,N 1) 解一些具三角 组；再由(4.6.2)2求出 u n jk ，这只需按列
n 1 2
形系数矩阵的方程组，所以计算是容易实现的。
ADI（交替方向隐式法） 估计截断误差的阶: 将(4.6.2)1 ,(4.6.2)2相加、减，依次得
u jk u n jk
n
1 2
/2
n 1 2
2 2 n 1 1 n 1 2 x u jk 2 2 y2 (u n jk u jk ) h h
n 1 jk
4u jk 2(u
u )
n jk

h
2 n 1 n ( u u y jk jk ) 2
消去过渡值 u jk
n
1 2
，则有
n 1 n n 1 n u u 1 2 2 2 u jk u jk 1 2 jk jk 2 (4.6.3) I ( ) x y x y 4 h4 h2 2
层到第n+1层计算分成两步：先由第n层到第n+1/2层，对uxx用向后差分逼
近，对uyy用向前差分逼近，然后由第n+1/2层到第n+1层，对uxx用向前差 分逼近，对uyy用向后差分逼近，于是得到如下ADI格式：
ADI（交替方向隐式法）
(4.6.2)1
u jk u n jk
2 2 截断误差为 O( h ) 。由第n层到第n+1层分三步计算，每步都是沿一
个坐标方向解一些具三对角系数矩阵的方程组。
预-校法
考虑逼近(4.6.1)的向后差分格式：
1 n un u jk jk


1 2 n1 2 n 1 ( u x jk y u jk ). 2 h
2 2 稳定，截断误差的阶为 O( h ) 。
LOD（局部一唯法）
如果用Crank-Nicolson格式直接代替“向后差分格式”(4.6.13)，则得到 更简单的所谓LOD格式：
(4.6.15)1
u jk u n jk
n
1 2

u
n +1 jk
1 2 n 1 n 2 2 （ u + u x jk jk） 2h
取空间步长 h l / N ，时间步长 0 ，作两族平行于坐标轴的网
y yk kh ， j, k 0,1,,N ，将区域 0 x, y l 分割成N2个小矩 线 x x j jh ，
形。第一个ADI法式Peaceman和Rachford（1955）提出的，他们把由第n
2 x2 和 y 都是正定矩阵，故以上二式左端的差分算子有逆。消去 注意，
过渡值，即得
r r r 2 r 2 n 1 (4.6.5) I x2 I y2 u n I I y u jk . jk x 2 2 2 2
以u
n jk
表示真解在节点 ( x j , yk , tn )的值 u( x j , yk , tn )，利用Taylor展开式，
易见
ADI（交替方向隐式法）
(4.6.4) I
1 2 2 u u 4 x y 4h
2
n 1 jk
n jk

1 2 2 u ( x y) 2 h
n
1 2
/2
u
n 1 jk
1 2 n 1 2 ( x u jk 2 y2u n jk ) h
1 2
(4.6.2) 2
u jk
n
/2
1 2 n 1 2 n 1 2 ( x u jk 2 y u jk ) h
其中 x2u jk u j 1,k 2u jk u j 1,k ， y2u jk u j ,k 1 2u jk u j ,k 1 是沿x方向和y
ADI（交替方向隐式法） 引进过渡值 u jk ，使
n 1 2
(4.6.7)
u jk u n jk
n
1 2

n 1 n r 2 u jk u jk I y . 2
将它代到(4.6.6)，得
n r 2 u jk u jk 1 2 2 (4.6.8)1 I x 2 x y u n jk . 2 h n 1 2
1 j , k 1, 2, , N 1, n 0,1, 2, ( n ) 表示 方向的二阶中心差分， ,上标 2 1 t t ( n ) 取值。假定第n层的u n 已求得，则由(4.6.2) 求 1 在 1 jk n 2 2
出 u jk ，这只需按行 ( j 1, 2,,N 1) 解一些具三角形系数矩阵的方程
又(4.6.7)可写成形式：
(4.6.8)2
u
n 1 jk
u jk
n
1 2
/2

1 2 n1 n y (u jk u jk ). 2 h
2 2 可以证明，差分格式(4.6.8)绝对稳定，截断误差的阶为 O( h ) ，但
它是三层格式，计算时要多用一套存储单元。将(4.6.1)写成(4.6.8)的 好处是便于推广到高维。
u
n
1 3 jkm
/2
u
n 1 jkm
1 2 n 2 2 y (u jkm3 u n jkm ) h
2 n 1 2 n 1 2 z (u jkm u jkm3 ) h
(4.6.9)3
u
n
2 3 jkm
/2
ADI（交替方向隐式法） 它是由格式
注意 x 和 y 的矩阵形式相同，故上式右端的差分算子可换序，因此可化为
2
2
r r 1 n 2 2 n ( I x2 )( I y2 )(u n jk u jk ) r ( x y )u jk . 2 2
这就是(4.6.5)的等价形式(4.6.6)。由此可知，预-校格式绝对
总之，在计算量、截断误差的阶和稳定性方面，ADI格式都是令人满意的， 因此受到人们的关注。 高维问题
(1 2r sin 2
h
)(1 2r sin 2
h
)
格式(4.6.2)只能用于二维问题，若将它直接推广到三维，则导出的格式 绝对不稳定。为克服这一困难，我们先将(4.6.5)改写成
n 1 n r 2 r 2 u jk u jk 1 2 2 (4.6.6) I x I y 2 x y u n jk . 2 2 h
1
r 2 n 1 (4.6.12)1( I 2 x )u jk 4 u n jk 2h
1 n r 2 n 1 (4.6.12)2 ( I 2 y )u jk 2 u jk 4 . 2h
预-校法
可将(4.6.12)写成更直观的形式：
(4.6.13)1
u jk u n jk
n
1 4
/2
u jk u jk
n 1 2 n
1 2 n 1 2 x u jk 4 h
1 4
(4.6.13) 2
/2
n 1 2
1 2 n 1 2 y u jk 2 . h
其次，利用 u ， u jk 构造一更精确的校正格式：