贝努利不等式在高考中的应用

贝努利不等式在高考中的应用

贝努利不等式：对任意正整数n≥0，和任意实数x≥-1，有 成立； 如果n≥0且为偶数，则不等式

对任意实数x 成立。可以看到在n = 0,1，或x= 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x ≥-1且x ≠0，有

严格不等式： ＞1+nx 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：

若m ≤0或m ≥ 1，有m

x )1(+≥ 1 + mx ；若0 ≤ m ≤ 1，有m

x )1(+≤ 1 + mx 证明方法如下：

如果m=0，1，则结论是显然的

如果m ≠0，1，作辅助函数m

x x f )1()(+=-)1(mx + , 那么m x m x f m -+=-1

'

)

1()(, 则0)('=x f ⇔ x=0;

下面分情况讨论： 1. 0 < m< 1，则对于x > 0，)('

x f < 0；对于 − 1 < x < 0，)('

x f > 0。因此)(x f 在x = 0

处取最大值0，故得 ≤ 1 + mx 。

2. m < 0或m > 1，则对于x > 0，)('

x f > 0；对于 − 1 < x < 0，)('

x f < 0。因此)(x f 在x = 0处取最小值0，故得m

x )1(+≥ 1 + mx

《标准》所指的贝努利不等式是： (x>-1，n 为正整数)． ① 注不等式①中的条件“n 为正整数”可推广为“n 为大于l 的实数”，

推论1设n ∈N+，，n>l ，t>0，则有 ≥1+n(t 一1)， ②当且仅当t=l 时，②取等号．

②的证明可由恒等式[

]

1)2(.....32)1(1432

2

-+-++-=-+----n t n t t t t n nt t n n n n

③ 直接推出．

易见，当且仅当t=1时，②取等号，因此当且仅当x=0时，①取等号．

在①中令x+l=t ，则①可变为②或③,因此不等式①与②是等价的．因此不等式①与②都可以称为贝努利不等式． 推论2设λ,a >0，n ∈N+，n>1，则n n n

n a n a λλ)1(1

--≥-, ④当且仅当λ=a 时，④取等号．

证明由②得，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-+≥=)1(

1)(λλλ

λa

n a

a n

n n

n

n n n a n λλ)1(1--=- 例题精讲

1.（2007，湖北理5）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则 （ C ） A ．0 B ．1 C ． D ．

解答：由于)

1(1)1(1)1(.....)1()1()1(11

32x x x x x x m

m +-+-=+++++++++-

所以[

]1

3

2)

1(....)1()1()1(1)1(1-+++++++++=+-m m

x x x x x x 令1x n

=，m 分别取p 和q ，则原式化为

2

1

2

1

11111111111lim lim 11111111111p p

q q n n n n n n n n n n n n --∞

∞

⎡⎤

⎛⎫⎛⎫

⎛

⎫⎛⎫++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪

+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎢⎥⎝⎭

⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫+-++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝

⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎢

⎥⎣⎦

→→ n x )1

(+ nx x n

+≥+1)1( m

x )1(+111

lim 111p

q n n n ∞

⎛

⎫+- ⎪⎝

⎭=⎛

⎫+- ⎪⎝⎭→p q

11

p q --nx x n +≥+1)1( n

t

2

1

111lim 11,lim 11,,lim 11,p n n n n n n -→∞→∞

→∞

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

所以原式=

111111p

q

+++=+++（分子、分母1的个数分别为p 个、q 个） 法二：根据贝努利不等式可知当0→x 时，m

x )1(+ = 1 + mx ，故对于此题有当∞→n 有n

p n

p

+

=+1)11( n q n q +=+1)11(，所以q p n

q n p

n

q n p n n n n q p n ==-+-+=-+-+∞→∞→∞→lim

1

11

1lim 1)11(1)11(lim

2.（2007，湖北理21）已知m n ，为正整数，

（1）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1m

x mx ++≥；

（2）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132m m m ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132m m

m n ⎛

⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

，1

2m n =，，，； （3）求出满足等式n

n

n

n

n n )3()2(43+=++++ 的所有正整数n ． 解法1：（1）证：用数学归纳法证明：

（ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边2

12x x =++，右边12x =+， 因为2

0x

≥，所以左边≥右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)

1k

x kx ++≥，则当1m k =+时，

1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得

2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，

所以1

(1)

1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．

（2）证：当6n m n ，≥≤时，由（Ⅰ）得111033m

m n n ⎛

⎫+-> ⎪

++⎝⎭≥， 于是11133n

nm

m n n ⎛⎫⎛

⎫--= ⎪ ⎪

++⎝⎭⎝⎭

≤11132m

n

m

n ⎡⎤⎛⎫

⎛⎫

-<⎢⎥ ⎪

⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣

⎦

，1

2m n =，，，． （3）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，

2

121111111113332222n n

n

n

n n n n n ⎛

⎫⎛⎫⎛

⎫⎛⎫⎛⎫

-+-++-<++

+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

，