零件台架寿命结果-Weibull Distribution 威布尔分布计算表格
Weibull分布寿命数据的参数估计
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华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
1 绪 论
1.1 选题背景及意义
1.1.1 寿命数据的特点 在医学、生物学和保险学中人们早就在研究各种各样的寿命数据及其统计分析 方法。到上世纪五十年代，急需提高工业产品的可靠性，吸引了许多统计学家和实 际工作者们研究各种类型的寿命数据。 通常，从总体中抽取容量为 n 的一个简单随机样本 X 1 , X 2 , 这 n 个样本的观测值 x1 , x2 , , X n 是指可以获得
,n
其中 Li 为截尾时间（常数） ，上式表明若 X i > Li ，则第 i 个元件在 Li 后失去观察。 除了上述基本类型外，还可以有种种推广。例如定数和定时相结合的截尾方式， 即试验做到 min{xr , t0 } 终止，其中 r 与 t0 是事先规定的失效数与定时截尾时间。对试 验中途失去观察的情形，可以推广到 L1 , L2 ,
n 个独立元件从 t = 0 开始进行寿命试验，试验在第 r 个元件失效时刻终止（ r
为事先规定的正整数） 。此时我们获得的只是前 r 个元件的寿命数据
x(1) ≤ x(2) ≤
（2）定时截尾（Ⅰ型截尾）
≤ x( r )
与上相仿，试验在固定时刻 t0 终止，此时观察到的失效数是一个随机变量，若 在试验终止时观察到 r 个失效，则得数据
, Ln 独立，且 {Li } 与 { X i } 独立的情形。
上面讲的都是有失效数的情形。在对产品的可靠性进行检验和分析时，常使用 定时截尾试验方法，在定时截尾试验中，有时出现所有试样无一失效的情况，这是 我们得到的是“无失效数据” （zero－failure data） 。随着科学技术得进步，产品质 量在不断提高，产品得寿命越来越长，加上样本容量小、试验时间不允许很长等原 因，无失效数据越来越频繁的出现。因此，寻找在无失效数据条件下进行科学、有 效的可靠性分析方法，现以成为可靠性分析的一个新的十分重要的领域。在无失效 情况下如何对产品进行可靠性分析，对于建立在失效数据分析基础上的现有可靠性 理论来说，是一个有一定难度的问题。 第四届全国可靠性数学学术会议纪要中指出： “可靠性的研究领域在不断扩 大，特别是以往比较薄弱和空白的领域有了新的进展，如软件可靠性， ・ ・ ・ ，贮存可 靠性和无失效数据的分析等等，都有一些论文出现” 。因此对无失效数据问题的研 究的需要也日益迫切起来了，这项工作具有理论和实际应用价值。 对于无失效数据，在国外研究的最早的是 Martz 和 Waller（1979） ，在国内则是 茆诗松、罗朝斌（1989） ，张忠占、杨振海（1989） 。
基于威布尔分布的工件疲劳剩余寿命可靠度预测方法探析
基于威布尔分布的工件疲劳剩余寿命可靠度预测方法探析发表时间：2017-08-18T16:24:06.830Z 来源：《电力设备管理》2017年第8期作者：黄郁健[导读] 针对某船工件在使用后剩余寿命的不确定导致的设备损坏，通过使用威布尔分布对该类工件进行寿命预测。
中国卫星海上测控部江苏江阴 214431摘要：针对某船工件在使用后剩余寿命的不确定导致的设备损坏，通过使用威布尔分布对该类工件进行寿命预测，可在一定程度上求解出工件更换周期，在保证设备正常运行的基础上，也不影响工件的使用度，为进一步做好设备保障具有很现实的参考意义。
关键词：威布尔分布；工件疲劳剩余寿命1 引言疲劳失效是机械零件在变应力作用下的主要失效形式，在零件局部高应力区出现初始裂纹，并在循环应力下扩展，导致最终断裂。
为了防止机械零件未达到一定的使用寿命而过早地发生疲劳破坏，需要对机械零件进行疲劳分析，收集有关零件的几何形状、材料和载荷的信息，通过计算和工程判断，获得零件工作寿命的一个估算值，疲劳寿命的评估与预测是研究疲劳强度问题的一个重要分支。
在船舶上，针对零件进行估算寿命，对于估算值对零件进行提前的更换，以避免零件损坏后，对设备造成更大的损坏。
文中用威布尔分布来描述零件的疲劳寿命，建立考虑可靠度的剩余疲劳寿命分布模型，讨论同一应力水平下不同疲劳剩余寿命的可靠度。
2 威布尔分布模型若某零件的疲劳寿命服从威布尔分布，则其概率密度函数为:对式(2.8)两端取对数得：根据疲劳寿命样本的分布函数参数，可以获取其剩余寿命的分布规律。
具有年龄的产品其剩余疲劳寿命能达到的概率为：(4.1)表给出了疲劳寿命可靠度的中位秩估结果及分别根据图解法和解析的参数估计值计算出的疲劳寿命可靠度值。
通过比较我们发现，三参数威布尔分布被证明是可以用来描述疲劳寿命分布，而且在对于零件疲劳寿命预测的问题中，由于其位置参数可以作为研究对象的最小疲劳寿命，再加上形状参数和尺度参数，使威布尔分布对疲劳寿命数据的拟合能力优于其他方法，由于利用计算软件，减轻了三参数威布尔分布参数估计的繁琐程度。
三参数Weibull分布竞争失效场合变应力加速寿命试验统计分析_张详坡_尚建忠_
Statistical Inference of Varying-stress Accelerated Life Test with Competing Failures Based on Three-parameter Weibull Distribution
ZHANG Xiangpo1, 2 SHANG Jianzhong 1 CHEN Xun 1 ZHANG Chunhua 1
(1. Laboratory of Science and Technology on Integrated Logistics Support, National University of Defense Technology, Changsha, 410073; 2. College of Field Engineering, PLA University of Science and Technology, Nanjing 210007)
失效和当前应力，而与累积方式无关[1]。 (2) 寿命分布模型。产品 p 个失效模式下的潜 在失效时间在各应力水平下均服从 TPWD，加速应 力只改变各失效模式的分布参数，而不改变其分布 类型。 在时间 t，应力水平 S (t ) 下第 m 个失效模式的 失效概率、失效概率密度、可靠度和故障率函数分 别记为 Fm (t ) 、f m (t ) 、 Rm (t ) 和 hm (t ) ( m 1,2, , p )。月 2014 年 7 月
张详坡等：三参数 Weibull 分布竞争失效场合变应力加速寿命试验统计分析
43
相间失效和槽间失效之一产生，绝缘系统的寿命是 这三种失效模式的最小失效时间[1]。轴承的失效有 可能由轴承内圈失效、外圈失效、滚动体失效和保 持架失效中的一个导致。竞争失效是产品的一种重 要失效形式，竞争失效产品加速寿命试验的统计分 析方法与单一失效分析有很大的差别，研究竞争失 效场合加速寿命试验统计分析具有重要意义，受到 很多学者的关注[1-7]。 但这些研究都是针对常用的分 布如对数正态分布、指数分布和两参数 Weibull 分 布，而系统针对各失效模式分布为三参数 Weibull 分布(Three-parameter Weibull distribution，TPWD) 的竞争失效加速寿命统计分析的研究还鲜见报道。 由于 TPWD 中位置参数 γ 的引入，使得其分 布形式具有最小寿命特征，因此描述对于具有渐变 性失效特征的失效模式如机械产品的磨损、疲劳、 腐蚀、老化等的寿命分布具有更加明确的物理意 义[8-10]，同时因为威布尔分布含有三个参数，所以 与其他较常用寿命分布如正态分布、 对数正态分布、 指数分布(只有一个参数)等相比，对于各种类型的 试验数据拟合能力更强。 正是由于 TPWD 的这些特 点，航空产品的疲劳寿命和强度分布都可以用 TPWD 很好地描述。 目前 TPWD 已经广泛应用在诸 [11-12] 如导弹部件 、发动机部件[13]、数控机床[14]等机 械零部件的可靠性分析与评价中。因此研究 TPWD 竞争失效加速寿命统计分析方法具有重要意义。 本文针对 TPWD 的特点， 研究产品各失效模式 寿命分布为 TPWD 时的竞争失效变应力加速寿命 统计分析方法，建立求解其分布参数的极大似然估 计模型。
Weibull分布恒定应力加速寿命试验的Bayes估计
Weibull分布恒定应力加速寿命试验的Bayes估计毕然;武东【摘要】In this paper, we propose Bayesian statistical analysis of Weibull distribution with Type-I and Type-II censored sample of constant stress accelerated life testing under CE model. Bayesian estimation of this model is obtained using Laplace method. Finally, we demonstrate through simulation example that the Bayesian estimation is efficient method.%对定时和定数截尾样本情形 CE 模型下 Weibull 分布场合恒定应力加速寿命试验进行了 Bayes 统计分析，利用 Laplace 方法给出了该模型的近似 Bayes 估计。
最后通过模拟实例表明该Bayes估计是有效的。
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】7页(P93-99)【关键词】CE模型;Weibull分布;恒定应力加速寿命试验;Bayes估计;Laplace方法【作者】毕然;武东【作者单位】爱荷华州立大学统计系，爱荷华州艾姆斯 50011;安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036【正文语种】中文【中图分类】O213.2在评定高可靠性、长寿命产品的可靠性时,常采用加速寿命试验[1-2].加速寿命试验按照施加应力方式的不同主要分为三种类型:恒定应力加速寿命试验,步进应力加速寿命试验和序进应力加速寿命试验(简称恒加试验、步加试验和序加试验).恒加试验是先选一组加速应力水平,然后将一定数量的样品分为若干组,每组在一个加速应力水平下进行寿命试验,直到各组均有一定数量的产品发生失效为止.为了缩短寿命试验时间,通常对各应力水平下寿命试验采用定数截尾和定时截尾.恒加试验相对于其它两种加速寿命试验具有以下优点[3]:试验方法简单,试验设备要求不高;试验理论较为成熟,试验容易取得成功;试验中得到的信息最多,试验结果较为准确.在Weibull分布恒定应力加速寿命试验的统计分析方面.文献[4]给出了Weibull分布基于恒加寿命试验的近似无偏估计和近似区间估计.文献[5]利用逆矩估计方法给出了Weibull分布场合具有非常数形状参数恒加试验的点估计和区间估计.文献[6]对Weibull分布场合恒加寿命试验的参数估计进行了讨论,在文献[4]的基础上得到了更优的参数估计方法.但以上方法均没有考虑到未知参数的先验信息,文献[7]对Weibull分布场合恒定应力加速寿命试验进行了Bayes分析,但仅考虑了形状参数的先验取离散均匀分布.文献[8]对Weibull分布的形状参数考虑了均匀分布给出了Weibull分布恒加试验的Bayes估计.文献[9-10]采用最小二乘估计和最大似然估计对Weibull分布恒加试验进行了参数估计,并对真空荧光显示器(vacuum fl uorescent display,VFD)的寿命进行了预测和可靠性寿命评估.但上述方法均没考虑到产品在正常应力水平下的先验信息.本文讨论了CE模型下定时和定数截尾两种情形Weibull分布场合恒定应力加速寿命试验的Bayes分析.使用加速系数将产品寿命换算为正常应力水平下的寿命,从而能有效使用正常应力下产品的先验信息.在Bayes分析中,对后验分布参数进行了重参数化,并利用Laplace 方法进行了Bayes估计的近似.最后,利用蒙特卡罗方法对定数截尾情形Weibull分布恒加试验阿仑尼斯模型进行了仿真,通过仿真得到该Bayes估计是有效而实用的.假设1在正常应力水平S0和加速应力水平S1<S2<···<Sk下产品寿命服从Weibull分布,在应力水平Si下的密度函数分别为:其中mi>0和ηi分别称为应力水平Si下的形状参数和特征寿命,i=1,···,k.假设2[2]在各种应力水平下产品的失效机理相同,由于Weibull分布的形状参数反映了失效机理,因此,此假定等价于:假设3产品的特征寿命ηi与加速应力水平Si满足下列加速模型,即其中a,b为参数,ϕ(Si)是应力Si的已知减函数.当应力Si是温度时,此时模型为阿伦尼斯模型;当应力Si是电压时,ϕ(Si)=lnSi;此时模型为逆幂律模型. 上述三个基本假设都是在一定的物理背景下建立起来的,在实际应用中一般可以用专业知识,工程经验和统计检验等方法来判断是否成立.定时和定数截尾情形Weibull分布恒加试验的具体安排如下:(1)确定正常应力水平S0和k个加速应力水平S1,S2,···,Sk,这些应力水平一般应满足如下关系:(2)取n个产品分为k组,在加速应力水平Si下有ni个产品进行定数或定时截尾恒加试验,设在加速应力水平Si下产品的失效时间为:在定时截尾试验场合,τi为加速应力水平Si下预先给定的试验中止时间,ri为在加速应力水平Si下时间τi之前产品的失效数;在定数截尾试验场合,ri为预先给定的中止试验的样本数.由假设3,知其中为产品在应力S1和S0之间的加速系数[2].为了方便,现在记为了获得参数的Bayes估计,先研究一下Weibull分布恒加试验参数的先验分布.根据工程经验得到加速系数c的取值范围为1≤c1<c<c2,由此选取c的先验分布为:m为Weibull分布的形状参数,根据专家经验,可以设定m为区间[m1,m2]上的均匀分布,即产品在应力水平S0下,m已知时,取ηm的自然共轭分布为逆Gamma分布,其概率密度为:其中η>0,α>0,β>0,α和β为超参数.当α=β=0时,为无信息先验.定理3.1现对n个寿命服从Weibull分布的产品按上述试验安排进行试验得到数据(3),参数η,m,c的先验取上述分布,并对参数按(7)式进行重参数化,即记θ=(λ,µ,m),θ的参数空间为:若g(θ)为待估参数,则在平方损失下,g(θ)的基于Laplace公式[11]的近似Bayes估计为:其中的后验密度,ˆθ为L的极大值点,的Hessian矩阵的逆矩阵在θ∗处的取值,Σ为L的Hessian矩阵的逆矩阵在ˆθ处的取值,该估计的近似误差为O(n−2).证明对于(3)式的数据,可以得到似然函数为:至此,得到m,η,c的联合后验密度为:对参数η,c,m按(7)式进行重参数化,该变换的Jacobi行列式为:从而得到θ的联合密度为在平方损失下,g(θ)的Bayes估计(后验均值)为:由于上式两个积分之比无显示表达,可以利用Laplace公式得到g(θ)的近似Bayes 估计,即分别取g(θ)为λ,µ,m,利用定理3.1可分别得到三个参数的Bayes估计.下面仅给出λ的Bayes估计,其它可类似讨论.取g(θ)=λ,则得到L的Hessian矩阵为:式中L∗的Hessian矩阵为:式中对于L和L∗的极大值可采用带约束条件的非线性规划算法进行求解.以上已经得到Weibull分布恒加试验的λ,µ,m的Bayes估计,现用Monte Carlo 方法进行模拟.步骤如下:(1)正常应力水平S0=313K(表示绝对温度),选取应力为S1=358K,S2=398K,S3=448K,加速方程为形状参数m=1.5.此时正常应力水平S0下的特征寿命η=2422.24,而加速系数c=1.8265.(2)产生ni个服从U(0,1)分布的相互独立的随机变量Ui1,···,Uini,令(3)利用本文方法可得到λ,µ,m的Bayes估计,η的取无信息先验,c的先验取U(1,5),m的先验取U(1,3).利用(10)式的变换可得到η,c,m的Bayes估计ˆη,ˆc,ˆm.(4)重复上述模拟100次,然后计算Bayes估计的均值和相对均方误差.表1给出了Weibull分布恒加试验的基于Laplace方法的近似Bayes估计的均值和相对均方误差(简写为均方误差).模拟结果表明:其一,在各种情形下,相对均方误差均较小,说明该Bayes估计的效果均较好;其二,随着试验产品数量和失效数的增加,相对均方误差有下降趋势,说明Bayes估计随着产品数据和失效数的增加效果更好,因为在Bayes估计中获得的产品信息也随之增加.其三,该方法的最大优点是避免了大量的数值积分,从而获得高效的Bayes估计. 【相关文献】[1]Nelson W.Accelerated life testing-step-stress models and data analysis[J].IEEE Trans,Reliability,1980, 29(2):103-108.[2]茆诗松,汤银才,王玲玲.可靠性统计[M].北京:高等教育出版社,2008.[3]Watkins A J,John A M.On constant stress accelerated life tests terminated by type II censoring at one of the stress levels[J].Journal of Statistical Planning andInference,2008,138:768-786.[4]王炳兴.Weibull分布基于恒加寿命试验数据的统计分析[J].应用概率统计,2002,18(4):413-418.[5]王炳兴.Weibull分布场合具有非常数形状参数恒加试验的参数估计[J].应用数学学报,2004,27(1):44-51.[6]林昌盛.Weibull分布基于恒加试验尺度参数估计[J].纯粹数学与应用数学,2007,23(2):226-230.[7]仲崇新.威布尔分布场合下恒定应力加速寿命试验的Bayes方法[J].应用数学学报,1992,15(3):373-379.[8]程皖民,冯静,周经伦.Weibul1分布产品恒加应力缺失数据下的Bayes可靠性评估[J].电光与控制,2008, 15(1):47-50.[9]张建平,王睿韬.威布尔分布下VFD恒定应力加速寿命试验与统计分析[J].液晶与显示,2010,25(2):205-209.[10]Zhang Jianping,Wang Ruitao.Life prediction for vacuum fl uorescent display using maximum likelihood estimation[J].Journal of Southeast University(EnglishEdition),2009,25(2):189-192.[11]Tierney L,Kadane J B.Accurate approximations for posterior moments and marginal densities[J].Journal of the American Statistical Association,1986,81:82-86.。
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法
该函数反映了威布尔分布的形状和规模参数对随机变量取值概率的影响。
累积分布函数
累积分布函数
描述威布尔分布的随机变量小于或等于某个值的概率，公式为$F(x;alpha,beta) = 1 - e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x geq 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
意义
该函数用于评估随机变量在某个值以下或以上的概率。
参数估计
参数估计方法
常见的威布尔分布参数估计方法包括最大似然估计、最小二乘估 计和矩估计等。
参数估计步骤
首先收集寿命试验数据，然后选择适当的参数估计方法，根据数据 计算出参数的估计值，最后进行统计检验和误差分析。
意义
准确的参数估计是威布尔分布应用的必要前提，有助于更好地理解 和预测产品的寿命特性。
特性
03
威布尔分布具有非负性、可加性和无记忆性等特性，适用于描
述各种寿命和可靠性现象。
02
威布尔分布的特性
概率密度函数
概率密度函数
描述威布尔分布的随机变量取某个值的概率，公式为$f(x;alpha,beta) = frac{alpha}{beta} left( frac{x}{beta} right)^{alpha - 1} e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x > 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
定时/定数寿命试验的缺点是需要耗费较长的时间和 资源，同时对于某些产品来说，可能会在试验结束前 就已经出现大量的失效。
数据分析方法
01
在寿命试验结束后，需要对试验数据进行统计分析，以评估产品 的寿命和可靠性。常用的数据分析方法包括威布尔分布、对数正 态分布、指数分布等概率模型，以及回归分析、方差分析、假设 检验等统计方法。
基于Weibull分布的IGBT可靠性分析
基于Weibull分布的IGBT可靠性分析摘要：本文基于功率半导体器件服从Weibull 分布规律的特点，对机车应用现场收集到的IGBT可靠性数据采用中位秩法进行分析和处理，借助最小二乘法获取Weibull 分布模型参数，并通过拟合优度检验，验证了选择 Weibull 分布为数据分析基础的合理性，最终通过建立的Weibull分布函数模型，获得了IGBT可靠性特征量，为IGBT的可靠性定量分析提供了一种可行的方法。
关键词：IGBT；Weibull分布；中位秩法；可靠性一、引言IGBT作为变流装置的主功率器件，近年来已被广泛应用于诸多关键领域，如机车牵引、高压输电、新能源发电等。
随着IGBT的大批量投入使用，其可靠性问题也日益引起关注[1]。
可靠性是产品在规定的时间内和规定的条件下，完成规定功能的能力，而这种能力的表示通常归结于一个概率值[2]。
如果对产品的可靠性只进行一般意义上的定性分析，则远不能满足工程需求，必须进行可靠性的定量分析，只有给出可靠性的各种定量表示后，才有可能对产品的可靠性提出明确而统一的要求。
可靠性数据分析就是从这个角度进行研究。
在可靠性数据分析方面，Weibull分布成为近年来研究最为广泛的模型之一，最初是用于材料疲劳分析，后来扩展到许多工程应用领域。
本文基于Weibull分布，对IGBT在应用于机车变流装置中的可靠性数据展开研究，实现对IGBT的可靠性分析。
二、浴盆曲线失效率是可靠性工程中一个及其重要的概念，它是描述产品可靠性规律的最主要数量指标之一[2]。
通常产品的失效率是随时间变化的函数，它大致分为早期失效、偶然失效、耗损失效三个阶段。
图1反映了产品在全寿命周期内的失效分布，因其整体形状酷似浴盆，简称为浴盆曲线。
功率半导体器件的失效率通常也服从浴盆曲线。
图1 产品的失效率曲线三、Weibull分布1.Weibull分布定义1939年瑞典物理学家威布尔首先提出Weibull分布并将其应用于疲劳试验，1956年利布林、泽林等人在滚珠轴承的疲劳试验中及在电子管的寿命试验中使用Weibull分布[1]。
303——基于Weibull分布计算造船设备故障发生概率
基于Weibull分布计算造船设备故障发生概率沈建平(上海科技开发交流中心，上海200235)Distributed Computing Shipbuilding EquipmentFailure Probability based on WeibullSHEN Jian-ping(Shanghai Science and Technology Development Exchange Center，Shanghai 200235，China) Abstract:Equipment fault development process has its objective law. Research of fault rules for maintenance e- ven more scientific maintenance system is very important. In this paper，using Weibull method of statistical a- nalysis of equipment malfunction rule，and calculates the equipment reliability and failure. Statistical analysis is an important means of fault management and the main basis for management goals.Key words:equipment management equipment failure analysis Weibull method equipment maintenance0 前言设备维修基本可分为事后(被动)维修和预防(主动)维修两种方式. 在故障发生后才进行的维修方式称为事后(被动)维修，这是一种传统的维修方式方法简单但不知何时发生设备故障，仅适用于生产中非重要的作用或可代用的设备而对于生产中的关键设备，因突如其来设备停机往往会严重影响生产，所以应采用预防(主动)维修方式，即设备运行一.段时间后停机维修故分析设备故障发生的规律，有计划地进行设备维修保养，对保障生产有着重大的意义1设备故障的发生发展规律分析一个由许多零部件构成的复杂设备或系统，如果它的组成部分发生故障(失效)将导致整台设备收稿日期:2010-05-07 或整个系统发生故障，那么，其故障率的变化多数呈现一个类似浴盆状的曲线，所以常被叫做“浴盆曲线”.设备的典型故障率曲线(浴盆曲线)，见图1作者简介:沈建平(1955-)，男，硕士，研究方向为企业运作管理这个曲线分三段，对应着故障的三个时期:1)早期故障时期.这是使用初期故障率比较高的时期，它是由于设备内在的设计问题、原材料、工艺产生的缺陷造成的.这种故障必须尽早发现、尽早解决.这种故障不仅发生在使用的初期，而且在维修或改造后再使用时也会出现这种故障.2)偶发故障时期.这是使用的中间过程中故障率较低，且状态较稳定的时期，在这一时期，设备一般很少发生故障，只是由于无法排除的缺陷，不能控制不能预测的缺陷或突发性的过载及其他特殊原因造成的故障，故障的发生是随机的故称为偶发故障期.3)耗损故障时期.这是设备使用后期，故障率再次升高的时期，由于经过长期的使用，设备磨损严重，化学变化、老化等原因，使故障增多，这时期已接近寿命的完结.1.1威布尔分布(Weibull)威布尔分布能全面地描述浴盆失效概率曲线的各个阶段.大量实践说明，凡是因为某一局部失效或故障所引起的全局机能停止运行的元件、器件、设备、系统等的寿命服从威布尔分布，特别在研究金属材料的疲劳寿命都服从威布尔分布.威布尔分布的概率密度1:式中:β为形状参数(shape)，η为尺度参数(scale).且有:β<1，属早期故障型.β>1，属耗损故障型.β=1，属偶发故障型.1.2可靠度可靠度表示在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率.式中:t为规定的时间，T为系统的寿命，R(t)为系统在规定的时间内完好的概率.1.3故障率故障率表示系统在时间t及t之前发生的概率：有:R(t)+F(t)=1 2分析2.1 实验数据准备观察设备运行并记录设备维修台帐，统计数据分布示意如图2:图中t1,t2, …, tn为设备正常运行时间,t01,t02,…, tn为设备维修时间.以某重机公司重点设备1.8*6M龙门铣2005年(1～12)月停台统计表作为实验分析数据，列出设备正常运行时间t(天)序列如下:3,2,9,12,10,1,8,8,8,23,6,4,2,31,91,5,5,21, 3,1,19,30,5,8,4,3,5,3,6,5,5.2.2威布尔(Weibull)概率图用Minitab2作概率图，如图3，注意观察图中点与直线的拟合，起更大作用的是中部的点而不是极值点.经验方法是大致在第25个到第75个百分点之间1.概率图中给出了β(Shape)与η(Scale)值图3 1.8*6M龙门铣β=1.279 71η=9.871 49从图3中可以看到，拟合优度较好，因此可以得出结论威布尔分布是合适的模型.此外，注意到参数β大于1，属耗损故障型，即浴盆曲线的后期阶段.此时设备已经老化，故障不断发生.2.3计算可靠度R(t)与故障率F(t)由积分式可得出下列公式:3结论浴盆曲线的早期故障区,表现为产品在开始使用.的初级阶段呈现很高的失效率.但这个高失效率随时间的延续很快下降,而后达到一个稳定值，主要原因是由于制造工艺,材料缺陷,包装,运输及安装不妥,等引起的.浴盆曲线的偶发故障区,表现为产品效率处于一个稳定的水平，失效率为一个常数，这段时间区间是产品的最佳使用期 浴盆曲线的耗损故障区，表现为产品使用的后期阶段，失效率将迅速上升由于产品在长期工作之后，构成设备的某些零部件已经老化耗损，导致寿命终止避免的方法是或者进行预防性维修或者更新设备上述分析中,表1显示设备故障率F （t ）在运行8天后，概率值已大于0.5，如不制定有效的预防性维.修计划，将会严重地影响生产 当然，企业应从整体权.衡维修与更新两者之间的成本，以便做出最佳选择参考文献:［1］道格拉斯·C ·蒙哥马利，乔治· C ·朗格尔，诺尔马·法里斯· 于贝尔著;代金等译 工程统计学［M ］北京:中国人民大学出版社，2005［2］张驰. MINTAB:六西玛解决方案［M ］. 广州:广州经济出版社，2003。
常见寿命分布
r
(t
)
d dt
ln
R(t
)
R(t
)
C
exp(
t
0
r
(u)du
),
t
R(0) 1 R(t) exp( r(u)du)
0
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时间t
各个函数之间的关系
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离散型寿命分布
• 二项分布与超几何分布
P(
X
x)
n
x
px
(1
p)nx
M N M
P( X
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连续型寿命分布
• 指数分布
f (t) et
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F (t) 1 et
• 无记忆性
P(X t s X t) P(X s)
• 失效率为常数
• 泊松过程
• 相邻事件发生的时间间隔为指数分布
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连续型寿命分布
• Gamma分布
f (x) a xa1ex
(a)
y1(i)=exp(-(0.7*x(i))^0.6); y2(i)=exp(-(0.7*x(i))^1); y3(i)=exp(-(0.7*x(i))^2); end plot(x,y1,'r',x,y2,'b',x,y3,'g'); title('Reliability of Weibull Distribution');
t
0
R( x) dx)
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失效率函数
• 失效率函数：设产品的寿命(非负连续随机变量)分布函数为F(t), 其密度函数为f(t), 则定义 变量(产品)的失效率函数, 简称失效率(故障率)
常见寿命分布
可靠度函数
• 通常用一个非负随即变量Ｘ来描述产品的 寿命，Ｘ的相应分布函数 F (t ) P{X t}, t 0 为产品的寿命分布． • 产品可靠性函数（可靠度）为：
R(t ) 1 F (t ) P{ X t}
• 性质 ：
• R(0)=1 R ( ) 0 • R(t) 是t的递减函数
平均寿命
• 产品平均寿命： E ( X ) tdF(t ) R(t )dt
0 0
E ( X ) tdF (t )
0 t
dudF (t ) dF (t ) du
00 0u 0 0
(1 F (u )) du R(t ) dt
• 无记忆性
F (t ) 1 et
P( X t s X t ) P( X s)
• 失效率为常数
• 泊松过程
• 相邻事件发生的时间间隔为指数分布
连续型寿命分布
• Gamma分布
f ( x)
a
( a )
x a 1e x
连续型寿命分布
• Weibull分布
• 例如: 产品寿命为威布尔(Weibull)分布的 可靠度为 R(t ) exp((t ) ), (, 0)
可靠度函数
function main x=0:0.1:8; y1=zeros(1,size(x,2)); y2=zeros(1,size(x,2)); y3=zeros(1,size(x,2)); for i=1:size(x,2) y1(i)=exp(-(0.7*x(i))^0.6); y2(i)=exp(-(0.7*x(i))^1); y3(i)=exp(-(0.7*x(i))^2); end plot(x,y1,'r',x,y2,'b',x,y3,'g'); title('Reliability of Weibull Distribution');
威布尔分布介绍培训
b
1 X ln F(x ) − 1 = θ
b
1 ln ln F ( x ) − 1 = b • ln X − b • ln θ
数学运算（续）：
由： Y = bZ + C
1 令： Y = ln ln F (x ) − 1 , Z = ln X , C = −b ln θ
θ
及 B10寿命。
威布尔斜率 b = 1.5 特性值 = 5.7 × 10 5 图形@ 63.2%
θ
× 10 5 @ 57.5% 平均寿命 （mean life) 5.1
B10 寿命 1.26 × 10 5
威布尔分布介绍（Introduction ofWeibull distri Nhomakorabeaution）
Weibull分布被广泛的应用到工程 的实践， 因为他的多功能性。 最初被用在疲劳资料的分析上， 后来扩展到许多工程技术问题上。
在log，log表格纸上划出是一条直 线， 要解释这个图标也是比较简单明 了的。 他主要是应用在有关室外试验寿 命的分析。
威布尔累积的分布函数
X−X 0 ∴ F (x ) = 1 − exp − θ −X 0
b
两个参数的威布尔累积分布函数
X F (x ) = 1 - exp - θ
b
数学运算：
1 X = exp F (x ) - 1 θ
b是直线的斜率
在汽车行业中一般应用 B10 寿命。 我们说 B10 寿命4小时，在给定的 条件下试验到4小时，有90%样 品通过，只有10%的样品通不过。
例子：六个轴承试验寿命为 × 10 5 （4.0，1.3，9.8，2.7，6.6和5.2） 求：威布尔斜率 (b ) ，
汽车零部件耐久性试验样本数确定及合格判定
汽车零部件耐久性试验样本数确定及合格判定摘要：本文阐述了汽车零部件耐久性试验样本数的确定方法，同时通过实例简要介绍了威布尔分布在耐久性试验合格性判定上的应用。
关键词：汽车零部件；耐久性试验；样本数；合格判定Determination of component durabilitytest samples and acceptanceZHOU Wei（Liuzhou WulingAutomobile IndustryCo.，Ltd.，LiuzhouGuangxi 545007，China）Abstract：This paper describes the method of determining automobile parts durability test sample number，and alsobriefly introduces the application of Weibull distribution on test acceptance determinationby an example.Key words：automobilecomponent ；durabilitytest；test sample ；acceptance在一些整车企业（特别是合资品牌）给其供应商的零部件试验技术要求中，一般在可靠性部分的要求中都会提出该子系统或零部件应满足在某一置信度条件下可靠度要求是多少。
通常，对于子系统的可靠度要求为90%或95%甚至更高，而对零部件的可靠性要求为95%或99%。
这种可靠性要求方式通常以RxxCyy 表示，如R95C50表示在置信度为50%的条件下可靠度要求为95%。
与此同时，还将给出试验样本数的要求，这些要求均来源于整车企业的内控标准。
1 成功型试验的样本数所谓成功型试验，就是根据规范要求的试验方法进行试验，当试验次数或寿命通过或达到技术规范中规定的要求及停止试验。
部件寿命服从威布尔分布时典型系统的寿命与剩余寿命估计
部件寿命服从威布尔分布时典型系统的寿命与剩余寿命估计Z HAO Qian;JIA Xiang;CHENG Zhijun;G U O Bo【摘要】在实际工程中,对系统寿命以及剩余寿命的估计非常重要.在已知系统中部件寿命与可靠度的前提下,关于如何快速得到系统级寿命与剩余寿命的相关研究比较缺乏.针对这一问题,首先研究了可靠度、寿命以及剩余寿命的关系,进一步假设部件寿命服从同一威布尔分布,根据部件的寿命与可靠度函数,推导得到串联、并联和表决系统寿命与剩余寿命期望的封闭表达式,并给出了相应的计算方法.对于冷备系统,当部件寿命服从同一指数分布时,推得了系统寿命及剩余寿命期望的封闭表达式,而当部件寿命服从同一威布尔分布时,给出了系统寿命与剩余寿命的数值计算方法.仿真试验证明本文所提出的方法是准确高效的.最后,以卫星中的动量轮r／n(G)表决系统为例开展了实例研究,证明了该方法在工程实践中的有效性.%In practical engineering ,it is significant to estimate the lifetime and residual life of a system .The research is limited for how to obtain the lifetime and residual life of a system efficiently by using the lifetime and reliability of components .M otivated by this problem ,relationship betw een reliability ,lifetime and residual life is analyzed in this paper .Further ,on the assumption that the components are identically and independently Weibull distributed ,the closed‐forms for lifetime and residual life of series ,parallel and r／n(G ) systems are derived based on lifetime and reliability function of components ,respectively .And the calculation method is presented accordingly .N ex t ,for the lifetime and residual life of the cold standby system ,the closed‐form is obtained w hen the components lifetime are identically exponentially distributed andnumerical method is proposed w hen components follow Weibull distributions .The numerical examples prove the proposed method is accurate and efficient .Finally ,a r／n(G) system composed by momentum w heels is taken as an example and the results show s that this method is worth learning in engineering practice .【期刊名称】《系统工程与电子技术》【年(卷),期】2019(041)007【总页数】7页(P1665-1671)【关键词】典型系统;系统寿命;系统剩余寿命;威布尔分布;封闭表达式【作者】Z HAO Qian;JIA Xiang;CHENG Zhijun;G U O Bo【作者单位】College o f Systems Engineering , N ational University o f De f ense Technology ,Changsha 410073 ,China;College o f Systems Engineering , N ational University o f De f ense Technology ,Changsha 410073 ,China;College o f Systems Engineering , N ational University o f De f ense Technology ,Changsha 410073 ,China;College o f Systems Engineering , N ational University o f De f ense Technology ,Changsha 410073 ,China【正文语种】中文【中图分类】T P 200 引言随着工程系统的大型化、复杂化变化趋势,系统寿命以及剩余寿命预测的问题亟待解决。
威布尔分布专题
2
4 5
6
Minitab中的威布尔分析
1 1. 点击“Estimate”（估计）按钮 2. 选择“Least Squares”（最小平方）估计 法 3. 在“Estimate survival probabilities for these times”（估计幸存概率时间）输入 “365” 4. 设置置信度 = “70.0” 5. 点击“OK” 6. 点击“OK” 2
平均 取消 时间=764天 在样本数据中： 14份被取消 15份有效
B10 = 260.5 260 5天
100 1000
Life of CSA (Days)
Minitab对话框输出
分布： 威布尔 参数估计 标准 参数 形状 比例 估计 1.88270 860.981 误差 0.343250 113.015 70.0% 低 1.55854 751.468 高 2.27429 986.455 正态 CI
1 3 1. “Variables”（变量）选择“Life of CSA” （客户服务合同寿命） 2. 假设分布选择“Weibull”（威布尔） 3. 点击 点击“Censor Censor”（检查）按钮 4. 选择“CSA Status”（客户服务合同状态） 为检查栏 5. 检查值输入“A” 6. 点击“OK”
Table of Statistics Shape Scale Corr F C 1.31199 8279.35 0.975 10 10 1.72135 1102.39 0.980 15 4
Percent
后
前
10
100
1000
10000
100000
Life (hrs)
技术性定义
• 可靠性是指设备在某一特定的工作条件下、在某一特定的 时期内圆满完成其规定功能（没出现故障）的概率
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法[知识研究]
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专业知识
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专业知识
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专业知识
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起始時間(h) 結束時間(h) 失效樣本數(個)
0
500
1
500
600
2
600
600
1
600
7006700ຫໍສະໝຸດ *4专业知识
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分別輸入 “起始時間(h)” “結束時間(h)”“失效樣
本數(個)”
選擇“Weibull”
专业知识
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結果分析
专业知识得出形狀參數m=8.55
9
➢3. 如果某种產品的Weibull形狀參數m已經 确定, 則可做為經驗值供今後進行同類產 品試驗時參考.
➢4. 當Weibull形狀參數已知時, 可利用 MINITAB程序确定壽命試驗樣本的數量.
专业知识
10
案例二:利用MINITAB程序确定壽命試驗 樣本數量實例
专业知识
11
➢ 某新產品開發過程中,客戶要求90%的產品 壽命需達到500小時,QA根据以往經驗,認 為該類型產品的壽命服從Weibull分布(形 狀是8.55),每個測試樣辦的測試時間為 600小時.若不允許有樣本失效,請用 minitab确定需要多少樣本進行測試,才能 确保90%的產品壽命能達到500小時.
❖b. 進行完全壽命試驗, 并分別記錄每個樣本的
失效時間(或cycle).
❖c. 設定可靠度及置信度.
❖d. 利用MINITAB程序計算出形狀參數m.
专业知识
4
案例一:利用MINITAB程序确定Weibull 分布的形狀參數實例
专业知识
5
➢ 某新產品開發過程中,QA為了判斷該產品的 确實壽命時間,隨機選取14個樣本做700小 時的壽命測試,測試人員在500小時後才開 始檢查樣本,此後每隔100小時會檢查一次, 請用MINITAB的參數分布分析判斷該產品的 壽命情況(其中:壽命數据見後表).
利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数
威布尔分布是瑞典物理学家Weibull W.分析材料强度时在实际经验的基础上推导出来 的分布形式[1]，国内外大量研究表明，用三参数威布尔分布比用对数正态分布往往能更准确 地描述结构疲劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理；在以损耗为特征的机械 零件寿命评估中，采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精度更高。
因此，三 参数威布尔分布在强度与环境研究领域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的应用。
在农业机械的强度设计中也经常要用到威布尔分布。
威布尔分布参数估计方法有很多， 国内外一直有人在进行相关研究[3-8]，现有几十种参 数估计方法，但多数只能用于形状参数和尺度参数的估计。
在众多的估计方法中，能用于三 参数估计的并不多，见诸文献的有极大似然估计法、最大相关系数优化法、概率权重矩法、 灰色估计法、图估计法等，除图估计法外，其他方法大都计算复杂，应用不便，即便是计算 机水平发达的今天，也只能通过Matlab 或其他计算机语言编程计算。
EXCEL 提供了超强的 数学运算、统计分析等实用程序 ，利用它的规划求解功能可以快速、高效地求解三参数威 布尔分布的参数估计问题。
2. 三参数威布尔分布模型 威布尔分布的寿命分布函数由下式给出 式中：m 称为形状参数，m>0；η 称为尺度参数，η>0；γ 称为位置参数，也称最小寿 命，表示产品在γ 以前不会失效，对于产品寿命有γ ≥ 0 ,γ =0 时退化为二参数威布尔分布； t 是产品的工作时间， t ≥ γ 。
当m<1 时， 由式( 3 ) 给出的失效率是递减型的，适合于建模早期失效；当m=1 时， 失效率为常数，即退化为指数分布，适合于建模随机失效；当m>1 时，失效率是递增的， 适合于建模磨耗或老化失效。
威布尔分布
威布尔分布：在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。
由于它可以利用概率纸很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿命试验的数据处理。
瑞典工程师威布尔从30年代开始研究轴承寿命，以的又研究结构强度和疲劳等问题。
他采用了“链式”模型来解释结构强度和寿命问题。
这个模型假设一个结构是由若干小元件(设为n个)串联而成，于是可以形象地将结构看成是由n个环构成的一条链条，其强度(或寿命)取决于最薄弱环的强度(或寿命)。
单个链的强度(或寿命)为一随机变量，设各环强度(或寿命)相互独立，分布相同，则求链强度(或寿命)的概率分布就变成求极小值分布问题，由此给出威布尔分布函数。
由于零件或结构的疲劳强度(或寿命)也应取决于其最弱环的强度(或寿命)，也应能用威布尔分布描述。
根据1943年苏联格涅坚科的研究结果，不管随机变量的原始分布如何，它的极小值的渐近分布只能有三种，而威布尔分布就是第Ⅲ种极小值分布。
由于威布尔分布是根据最弱环节模型或串联模型得到的，能充分反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命的影响，而且具有递增的失效率，所以，将它作为材料或零件的寿命分布模型或给定寿命下的疲劳强度模型是合适的。
目前，二参数的威布尔分布主要用于滚动轴承的寿命试验以及高应力水平下的材料疲劳试验，三参数的威布尔分布用于低应力水平的材料及某些零件的寿命试验，一般而言，它具有比对数正态分布更大的适用性。
但是，威布尔分布参数的分析法估计较复杂，区间估计值过长，实践中常采用概率纸估计法，从而降低了参数的估计精度．这是威布尔分布目前存在的主要缺点，也限制了它的应用。
威布尔寿命的推算
40
＜故障呈现的方式＞
＜考虑方法＞
ｉ ti ri Ki 故障ﾓｰﾄﾞ
1 283 1 9
Ｒ
2 364 1 8
Ｒ
3 426 1 7
Ｗ
4 480 1 6
Ｒ
5 531 1 5
Ｗ
6 583 1 4
Ｗ
7 638 1 3
Ｒ
8 703 1 2
Ｗ
9 792 1 1
Ｒ
存在2种以上的故障 模式
2个威布尔分布作为串联 模式竞争的情况。
た だ し 、p 1p21
35
复合威布尔模式
＜图表的形状＞
＜考虑方法＞
Ｆ
δ
ｔ
图表中，有些时候会在 δ处弯曲(故障模式变 化）。
◆ 累积分布函数；
FtF1t 0≦t≦
F2t ≦t
た だ し 、 F 1 F 2
仅从图表形状中 判定混合模式和复合 模式是不可能的。
划分时间分析
需要有特有技术上的考察
36
竞争威布尔模式
老化曲线
0
t（时间）
11
磨损故障型(IFR型)的特征和对应对策
＜特 征＞
◆ 就如磨损那样， 慢慢的老化， 导致容易发生故障。
◆ 随着时间推移， 容易发生故障 的东西增多。
使用角度上的对应对策。 特别是保全相关的人员， 要注意这方面
＜对应对策＞
◆ 把握经历长时间的 老化状况。