经济数学2.2.1经济模型与应用

2.2.1经济模型与应用 1．财贸与金融方面的应用

（1）资本现值与投资问题

若现有a 元货币，按年利率为r 作连续复利计算，则t 年后的价值为rt

ae 元；反过来，若t 年后有货币a 元，则按连续复利计算，现

应有rt

ae -元，这就称为资本现值。

设在时间区间[]0,T 内t 时刻的单位时间的收入为()R t ,称此为

收入率，若按年利率为 r 的连续复利计算，则在[]0,T 内的总收入为

dt e t R R T O rt

⎰

-=)(

若收入率()R t A = （A 为常数），称此为均匀收入率，如果年利

率r 也为常数，则总收入的现值为 )1(100rT

T rt T rt e r

A e r A dt Ae R ----=-==⎰

若在0=t 时，一次投入的资金为a ，则在[]0,T 内的纯收入的贴

现值（也称投资效益）为 *

R =R a -=dt Ae T rt ⎰

-0a - 即 纯收入的贴现值=总收入现值-总投资 例1若连续3年内保持收入率每年7500元不变，且利率为7.5%,

问其现值是多少？ 解 因均匀收入率7500A =元，7.5%r =, 所以现值为

3

()rt

R R t e dt -==⎰

30.07507500t e dt -=⎰

0.07537500(1)100000(1-0.7985)=201500.075

e -⨯-= (元)

即现值为20150元。

例2现对某企业给予一笔投资a , 经测算，该企业在T 年中可以

按每年A 的均匀收入率获得收入，若年利率为r ，试求：

（1）该投资的纯收入贴现值：

（2）收回该笔投资的时间。

解（1）投资后T 年中获总收入的现值为

)1(10

rT T rt

T

rt e r

A

e r

A

dt Ae R ----=

-==⎰ 从而投资获得的纯收入的贴现值为 *

(1)rT A

R R a e r

-=-=

-a -； （2）收回投资，即总收入的现值等于投资，故有

(1)rT A

e a r

--= 由此解得收回投资的时间 ar

A A

r T -=

ln

1 如果回收期为无限时期，则纯收入的贴现值为 *

R =R a -=

a dt Ae rt -⎰

+∞

-0

显然，*

R 的值越大，投资效益越好，除国家允许外，都应避免0

*

≤R 的情况出现。

例3若某企业投资800a =万元, 年利率为5%r =，设在20年内的均匀收入率200万元/年，试求： （1）该投资的纯收入贴现值： （2）收回该笔投资的时间为多少？ 解 总收入的现值为

)1(rT e r A R --=

0.0520200(1)0.05

e -⨯=-14000(1)2528.4e -=-≈（万元），

从而投资所得纯收入为

*

2528.4-800=1728.4R R a =-=(万元)， 收回投资的时间为

ar

A A r T -=ln

11200ln 0.052008000.05

=

=-⨯46

.425.1ln 20≈（年）。

例4 有一个大型投资项目，投资成本为a =10000（万元），投资年利率为5%r =，每年的均匀收入率2000A =（万元），求该投资为无限时期的纯收入的贴现值。

解 由已知条件收入率2000A =（万元），年利率为5%r =，故无限期的投资的总收入的贴现值为

⎰

⎰⎰

-+∞

+∞→-+∞

-===b

t b rt rt dt e dt e dt Ae R 0

05.00

2000lim

2000

0.0520001

lim

[1]2000400000.050.05

b b e -→+∞=-=⨯=（万元）

从而投资为无限时期的纯收入的贴现值为

*4000010000R R a =-=-=30000（万元）。

例5某工厂生产某种产品的购置设备成本费用为50万元，在10

年中每年可收回20万元，如果年利率为9%r =，并且假定购置的设备在10年中完全失去价值，求其投资效益。

解 由题意知，收入率20A =（万元），年利率为9%r =，投资

50=a （万元）

， 故投资效益为 *R =R a -=dt Ae T

rt ⎰

-0

a -

10

0.090

2050t

e

dt -=

-=⎰

0.0910

20500.09

t

e --

-

0.920

(1)5081.870.09

e -=

--≈（万元）. 如果购置的设备不失去价值，每年的收入率仍为20万元，则投资效益为

*

R =R a -=

dt Ae rt

⎰

+∞

-0

a -0.090

2050t e dt +∞

-=-⎰

0.090

20

lim 500.09t

b b e -→+∞

=-

-=

22.1725009

.020

=-（万元）.

（2）资本形成

资本形成就是增加一定资本总量的过程，若此过程视为时间的连续过程，资本总量函数为时间t 的连续可导函数：()Z Z t =，则资本

形成率（资本形成的速度）为资本Z 对时间t 的导数dt

dz

，此时，资本形成率也称为在时间t 处的净投资，记为()I t , 即 dt

dz

t I =)(

由导数与不定积分的关系，有 ⎰

=dt t I t Z )()(。

设初始时刻0t 时的资本0Z ，由积分上限函数的性质知，资本函数可表为

⎰

+

=t

t dt t I t Z t Z 0

)()()(0

上式表明，在任意时刻t ，资本总量()Z t 等于初始资本0z （或

)(0t z ）加上从0t 时刻起到t 时刻止所增加的资本数量。根据上式求出