第二节单正态总体的假设检验

578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570
由上述样本数据算得: x 575.2, s2 75.74.
为此, 厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了,
如确实增大了, 表明生产精度不如以前, 就需对生产 流程作一番检验, 以发现生产环节存在的问题. 解 为确认上述疑虑是否为真, 假定多金属丝折断力 服从正态分布, 并作下述假设检验:
对于给定的显著性水平 , 查分布表得
k t / 2(n 1), 使 P{T t / 2(n 1)} ,
由此即得拒绝域为
t

x 0
s/ n
t / 2(n 1),
即 W (,t /2(n 1)) (t /2(n 1),).
根据一次抽样后得到和样本观察值 x1, x2 ,, xn 计
即认为总体均值与0 有显著差异；
若 u u / 2 , 则接受原假设 H0 , 即认为总体均值与
0 无显著差异.
类似地， 对单侧检验有：
(2) 右侧检验：检验假设：H0 : 0 , H1 : 0 .
可得拒绝域为
u

x

/
0
n
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u
.
(3) 左侧检验：检验假设：H0 : 0 , H1 : 0 ,
(4) 由于 x 49.9, s2 0.29, 所以
| t | x 50 0.56 2.036,| t | 0.56 2.036, s/ n
故应接受 H0 , 即认为包装机工作正常.
二、总体方差的假设检验
设总体 X ~ N ( , 2 ), X1, X 2 , X n 是取自 X 的一
取显著水平为 0.05, 查附表得 u 1.645,
因已测出 x 1575, 从而
u

x

/
u0 n

1575 1500 200

25 1.875.
由于 u 1.875u 1.645, 从而否定原假设 H0 , 接
受备择假设 H1, 即认为新工艺事实上提高了灯管的
第二节 单正态总体的假设检验
一、总体均值的假设检验
1. 方差 2已知情形—— u检验法 设总体 X ~ N ( , 2 ), X1, X 2 ,, Xn 是取自 X 的一
个样本，X 为样本均值.
（1） 检验假设 H0 : 0 , H1 : 0 , 其中 0 为
已知常数. 由第五章第三节知，当 H0 为真时，
样本的平均值大于1500小时, 试问: 可否由此判定这 恰是新工艺的效应, 而非偶然的原因使得抽出的这25 只灯管的平均寿命较长呢?
解 把上述问题归纳为下述假设检验问题:
H0 : 1500, H1 : 1500.
从而可利用右侧检验法来检验, 相应于
0 1500, 200, n 25.
解 (1) (2)
建立假设 H0 :
选择统计量 T
X
50,

H1 : 0 ~ t(

n
50. 1).
S/ n
(3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使
P{|T |k }
查 t 分布表得 kt / 2t0.025 (8) 2.306,从而拒绝域
为 | t | 2.306.
计算出

2的观察值， 若

2

2 1
/2(n

1)
或

2


2 1
/
2
(
n
1),
则拒绝原假设 H0 , 若
2 1
/2(n

1)


2


2
/
2
(n

1),
则接受原假设 H0 .
类似地，对单侧检验有：
（2） 右侧检验：检验假设：
H0
:
2


2 0
,
H1
:
2


2 0
,
可得拒绝域为
算出 T 的观察值 t, 若 t t / 2(n 1), 则拒绝原假设
H0 , 否则接受假设H0 .
类似地，对单侧检验有：
(2) 右侧检验：检验假设：H0 : 0 , H1 : 0 ,
可得拒绝域 为
t

x s/
0
n

t (n 1).
（3）左侧检验：检验假设：H0 : 0 , H1 : 0 ,

2

n1

2 0
s
2

2 1
(n
1).
（3） 左侧检验：检验假设
H0
:
2


2 0
,
H1
:
2


2 0
,
可得拒绝域为

2

n1

2 0
s
2

2 (n
1).
例4 一公司声称某种类型的电池的平均寿命至少为 21.5小时, 有一实验室检验了该公司制造的6套电池, 得到如下的寿命小时数:
可得拒绝域为
t

x s/
0
n

t
(n
1).
例3 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量
是50kg, 某日开工后随机抽查了9袋, 称得重量如下:
49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2
设每袋重量服从正态公布, 问包装机工作是否正常
( 0.05)?
命的波动性较以往的有显著的变化 (取 0.02)? 解 本题要求在水平 0.02下检验假设
现在
H0 : 5000, H1 : 2 5000.
n

26,

2 0

5000,

2
/
2
(n

1)


2 0.01
(25)

44.314,
2 1
/2(n

1)


2 0.99
U X 0 ~ N (0,1), / n
故选取 U 作为检验统计量，记其观察值为 u. 由于X 是 的无偏估计量， 当H0 成立时， u 不应太大，
当 H1 成立时，u 有偏大的趋势, 故拒绝域形式为
u x 0 k (k 待定). / n
对于给定的显著性水平 , 查标准正态分布表得
原假设H0 , 从而认为这种类型电池的寿命并不比公
司宣称的寿命短.
完
例5 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命(以小时计)
长期以来服从方差 2 5000的正态分布, 现有一批
这种电池, 从它的生产情况来看, 寿命的波动性有所 改变. 现随机取26只电池, 测出其寿命的样本方差
s2 9200, 问根据这一数据能否推断这批电池的寿
578 572 570 568 572 570 570 572 596 584
取 0.05, 试检验折断力均值有无变化? 解 (1) 建立假设 H0 : 0 570, H1 : 570. (2) 选择统计量 U X 0 ~ N (0,1).
/ n (3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使
T X 0 ~ t(n 1),
S/ n 故选取 T 作为检验统计量，记其观察值 t. 由于 X
是 的无偏估计量，S 2是 2 的无偏估计量, 当 H0
成立时，t 不应太大，当 H1 成立时，t 有偏大的趋
势, 故拒绝域形式为
t x 0 k
s/ n
（ k 待定）.
(
25)

11.524,
解 现在
n

26,

2 0

5000,

2
/
2
(n

1)


2 0.01
(25)

44.314,
2 1
/2(n

1)


2 0.99
(
25)

11.524,
根据 2检验法, 拒绝域为
W [0,11.524) (44.314,)
代入观察值 s2 9200, 得
P{| U | k}
查正态分布表得 k u / 2 u0.025 1.96, 从而拒绝域 为 | u | 1.96.
(4)
由于
x

1 10
10 i j
xi

575.20,

2

64,
所以
| u | x 0 2.06 1.96, / n
故应拒绝 H0 , 即认为折断力的均值发生了变化.
t (n 1) t0.05(5) 2.015. 再据测得的6个寿命小时数算得: x 20, s2 10.
解 可把上述问题归纳为下述假设检验问题:
H0 : 21.5
H1 : 21.5.
这可利用 t 检验法的左侧检验法来解.本例中021.5,
n 6, 对于给定的显著性水平 0.05, 查附表得
可得拒绝域为
u

x

/
0
n

u
.
完
例1 某车间生产钢丝, 用 X 表示钢丝的折断力, 由经
验判断 X ~ N ( , 2 ), 其中 570, 2 82. 今换
了一批材料, 从性能上看估计折断力的方差 2 不会 有会什么变化 (即仍有 282),但不知折断力的均值 和原先有无差别. 现抽得样本, 测得其折断力为:
2 1
/
2
(n

1)
或
2

2 / 2(n 1)} ,
由此即得拒绝域为
2

n1

2 0
s
2

2 1
/
2
(n
1)
或

2

n1

2 0
s
2

2 1
/
2
(n

1),
即
W

[0,

2 1
/
2
(
n

1))

(

2
/
2
(n

1),).
根据一次抽样后得到的样本观察值 x1, x2 ,, xn
k u / 2 , 使 P{U u / 2 } ,
由此即得拒绝域为
u

x

0
/n

u / 2 ,
即
W (,u / 2 ) (u / 2 ,).
根据一次抽样后得到的样本观察值 x1, x2 ,, xn 计 算出 U的观察值 u, 若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H0 ,
时,
S
2
应在

2 0
附近,
当 H1 成立时,
2有偏小或偏
大的趋势，故拒绝域形式为
2

n1

2 0
S
2
k1
或
2

n1

2 0
S
(
2 k2 k1, k2
待定)
对于给定的显著性水平 , 查分布表得
k1

2 1
/2(n
1), k2


2
/
2
(n
1),
使
P{ 2

19 18 22 20 16 25
试问: 这些结果是否表明, 这种类型的电池低于该公
司所声称的寿命? (显著性水平 0.05 ).
解 可把上述问题归纳为下述假设检验问题:
H0 : 21.5
H1 : 21.5.
这可利用 t 检验法的左侧检验法来解.本例中021.5,
n 6, 对于给定的显著性水平 0.05, 查附表得
个样本，X 与 S 2 分别为样本均值与样本方差.
(1)
检验假设
H0
:
2


2 0
,
H1
:
2


2 0
,
其中
0
为已知常数. 由第五章第三节知，当 H0为真时,

2

n1

2 0
S
2
~

2(n
1),
故选取 2作为检验统计量. 相应的检验法称为 2
检验法. 由于 S 2是 2 的无偏估计量，当 H0 成立
H0 : 2 64, H1 2 64. 上述假设检验问题可利用 2检验法的右侧检验法来
t (n 1) t0.05(5) 2.015. 再据测得的6个寿命小时数算得: x 20, s2 10.
由此计算 t x 0 20 21.5 6 1.162.
s/ n
10
因为 t 1.162 2.015 t0.05(5), 所以不能否定
2
(n 1)s2

2 0

46

44.314,
故拒绝 H0 , 认为这批电池寿命的波动性较以往有显
著的变化.
完
例6 某工厂生产金属丝, 产品指标为折断力. 折断力 的方差被用作工厂生产精度的表征, 方差越小, 表明
精度越高, 以往工厂一直把方差保持在64(kg2 ) 与 64
以下. 最近从一批产品抽取10根作折断力试验, 测得 的结果(单位为千克)如下:
平均寿命. 完
2. 方差 2 未知情形—— t 检验法 设总体 X ~ N ( , 2 ), X1, X 2 ,, Xn 是取自X 的一
个样本，X 与 S 2分别为样本均值与样本方差.
(1) 检验假设 H0 : 0 , H1 : 0 , 其中 0 为
已知常数. 由第5章第三节知， 当 H0 为真时,
完
例2 有一工厂生产一种灯管, 已知灯管的寿命X 服从
正态分布 N ( ,40000), 根据经往的生验, 知道灯管的
平均寿命不会超过1500小时. 为了提高灯管的平均寿
命, 工厂采用了新的工艺, 为了弄清楚新工艺是否真
的能提高灯管的的平均寿命, 他们测试了采用新工艺
生产的25只灯管的寿命, 其平均值是1575 小时. 尽管