2015年湖南省高考文科数学试卷答案解析

2015年湖南省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）

A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i

分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．

解答：

解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===

﹣1﹣i，

故选：D．

点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．

2．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系数抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）

A．3B．4C．5D．6

分析：

对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．

解答：解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，

所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；

故选B．

点评：本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．

3．（5分）（2015•湖南）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

分析：利用充要条件的判断方法判断选项即可．

解答：解：因为x∈R，“x＞1“⇔“x3＞1”，

所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．

故选：C．

点评：本题考查充要条件的判断，基本知识的考查．

4．（5分）（2015•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0C．1D．2

分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．

解答：

解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，最优解为A，

联立，解得A（0，1）．

∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．

故选：A．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

5．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）

A．B．C．D．

解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，

第1次循环，S=，i=2，

第2次循环，S=，i=3，

第3次循环，S=，i=4，

此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：

S===

故选：B

点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力

6．（5分）（2015•湖南）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线

的离心率为（）

A．B．C．D．

分析：利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．

解答：

解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，

解得=．

故选：D．

点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．

7．（5分）（2015•湖南）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）

A．B．2C．2D．4

考点：基本不等式．

专题：计算题；不等式的解法及应用．

分析：

由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab 的最小值

解答：

解：∵+=，

∴a＞0，b＞0，

∵（当且仅当b=2a时取等号），

∴，

解可得，ab，即ab的最小值为2，

故选：C．

点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题

8．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数

C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题：导数的综合应用．

分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．

解答：解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．

排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f （0）=0；

x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．

故选：A．

点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．

9．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）

A．6B．7C．8D．9

考点：圆的切线方程．

专题：计算题；直线与圆．

分析：

由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．B为（﹣1，0）时，|4+|≤7，即可得出结论．

解答：

解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．

所以B为（﹣1，0）时，|4+|≤7．

所以||的最大值为7．

故选：B．

点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）

A．B．C．D．

考点：简单空间图形的三视图．

专题：开放型；空间位置关系与距离．

分析：由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．

解答：解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，