二轮复习 数列求通项公式 学案(全国通用)
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培优点十一 数列求通项公式
1.累加、累乘法
例1：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a ． 【答案】22n n a n =+-．
【解析】121n n n a a +-=+，1121n n n a a ---=+，L ，12121a a -=+，
累加可得：()()12
1
1221222
112321
n n n n a a n n n ----=++++-=
+-=+--L ，
22n n a n ∴=+-．
2．n S 与n a 的关系的应用
例2：在数列{}n a 中，11a =，2221
n
n n S a S =-，则{}n a 的通项公式为_________．
【答案】11,221231,
1n n a n n n ⎧-≥⎪
=--⎨⎪=⎩．
【解析】∵当2,n n *≥∈N 时，1n n n a S S -=-，
2
22111222221
n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ---∴-=⇒--+=-，
整理可得：112n n n n S S S S ---=，1
112n n S S -∴
-=， 1n S ⎧⎫
∴⎨⎬⎩⎭
为公差为2的等差数列，()1
111221n n n S S ∴=+-⋅=-，
121n S n ∴=-，11,221231,
1n n a n n n ⎧-≥⎪
=--⎨⎪=⎩．
3．构造法
例3：数列{}n a 中，11a =，132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】1231n n a -=⋅-．
【解析】设()13n n a a λλ-+=+即132n n a a λ-=+，对比132n n a a -=+，可得1λ=， ()1131n n a a -∴+=+，{}1n a ∴+是公比为3的等比数列，
()11113n n a a -∴+=+⋅，1231n n a -∴=⋅-．
一、单选题 1．由11a =，131
n
n n a a a +=+给出的数列{}n a 的第34项是（ ） A ．
1100
B ．100
C ．
34
103
D ．
14
【答案】A
【解析】由11a =，131
n
n n a a a +=
+， 则211314a =
=+，31
1417314a ==⨯+，4117110317a ==⨯+， 511101133110a ==⨯+，61
1131163113
a ==⨯+，L ，
由此可知各项分子为1，分母构成等差数列{}n b ，首项11b =，公差为3d =， ∴()3413411333100b b d =+-=+⨯=，∴51
100
a =，故选A ． 2．数列{}n a 满足112
a =，111n n a a +=-，则2018a 等于（ ）
A ．
12
B ．1-
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】1n =时，2121a =-=-，()3112a =--=，411
122
a =-=，5121a =-=-， ∴数列的周期是3，∴()20182337221a a a ⨯+===-．故选B ．
对点增分集训
3．在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m 、k ，总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和为n S =（ ） A ．()31n n - B ．
()32
n n +
C ．()1n n +
D ．
()312
n n +
【答案】C
【解析】递推关系m k m k a a a +=+中，令1k =可得：112m m m a a a a +=+=+， 即12m m a a +-=恒成立，
据此可知，该数列是一个首项12a =，公差2d =的等差数列， 其前n 项和为：()()()1112212
2
n n n n n S na d n n n --=+
=+
⨯=+．故选C ．
4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()
21n S n n *
=-∈N ，则2017a 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2017
D ．3033
【答案】A
【解析】2017201720162a S S =-=，故选A ．
5．已知数列{}n a 是递增数列，且对n *∈N ，都有2n a n n λ=+，则实数λ的取值范围是（ ） A ．72⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
,
B ．()1-+∞,
C ．()2-+∞,
D ．()3-+∞,
【答案】D
【解析】∵{}n a 是递增数列，∴1n n a a +>，
∵2n a n n λ=+恒成立，即()()2
211n n n n λλ+++>+，
∴21n λ>--对于n *∈N 恒成立，而21n --在1n =时取得最大值3-， ∴3λ>-，故选D ．
6．在数列{}n a 中，已知12a =，1
122
n n n a a a --=+，()2n ≥，则n a 等于（ ）
A ．
2
1
n + B ．
2n
C ．
3n
D ．
31
n + 【答案】B 【解析】将等式1122n n n a a a --=
+两边取倒数得到11112n n a a -=
+，1111
2
n n a a --=， 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是公差为1
2的等差数列，1112a =，