线性规划中的整点最优解

线性规划中的整点最优解

在组织社会化生产、经营管理活动中，我

们经常会碰到最优决策的实际问题。而解决这

类问题的现代管理科学以线性规划为其重要

的理论基础，其本质都是寻求整个问题的某项

整体指标的最优解。但在实际问题中，最优解

(x,y) 通常要满足x,y∈N ，这种最优解称为

整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整

点最优解 .

1．平移找解法

作出可行域后，先打网格，描出整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是整点最优解.

例 1 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯按数量

比不小于配套，怎样截最合理？

分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再通过平移直线，使它经过整点的方法来求整点最优解．

解：设截500mm的钢管x根，600mm的y根，总数为z根。根据题意，得，

目标函数为，作出可行域如图示阴影部分内的整点，要打出网格，描出整点，网格上的交叉点为整点．

作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知（8，0）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．

答：略．

例 2 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送

180t支援物资的任务。该公司有8辆载重为6t的A型

卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每

辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；

每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为

504元。请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，

才能使公司所花的成本费最低？

解：设每天调出A型卡车x辆、B型卡车y辆，公司所花的成本为z元，则

，目标函数z=320x+504y，

作出可行域如图示阴影部分内的整点，打出网格，描出整点，网格上的交叉点为整点．

作L

0：320x+504y=0，往上平移直线L

，当直线经过可行域内的点A（7.5，0）时可使Z 最小，

但 A不是整点，继续往上平移，最先经过的整点是（8，0）．

即只调配A 型卡车，所花最低成本费z=320×8=2560（元）．

答：略．这种方法首先要充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当其可行域是有限区域且整点个数又较少，通常可行域是封闭的多边形，这时可以通过平移直线找到最优解．

2．调整优值法先求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．

例3 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需z张则

作出可行域如图示阴影部分内的整点，目标函数为z =x+y．作出一组平行直线x+y=t, 其中

经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 x +3y=27 和直线 2x+y=15 的交点A

（），直线方程为x+y= . 由于都不是整数，所以（）不是最优解 .

当时， z=11 ，可知当时，，令 x+y=12,y=12-x代入约束条件，

可得，所以 x=3 或 4 ，即经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12, 经过的整点是 B(3,9) 和C(4,8), 它们都是最优解.

答: 要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是

截第一种钢板3张.第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张．

例4 某人承揽一项业务：需做文字标牌2个，绘画标牌3个。现有两种规格的原料，甲种规格每张3 , 可做文字标牌1个、绘画标牌2个；乙种规格每张2 ,可做文字标牌2个、绘画标牌1个。求这两种规格的原料用多少张才能使总的用料面积最小？解：设用甲种规格

原料x张，乙种规格原料y张，则可做文字标牌x+2y个，绘画标牌2x+y个．由题意可得

，所用原材料的总面积，作出可行域如图示阴影部分内的整点，作直

线，作一组与直线平行的直线

。当直线通过2x+y=3与直线x+2y=2

的交点时，t取得最小值

因为不是整点，所以它不是最优解。当

时，，可知当时，

代入约束条件，可得

，即经过可行域内的整点，点B（1，1）满足3x+2y=5，使t最小，所以最优解为B（1，1）．

答：用甲种规格的原料1张，乙种规格的原料1张，能使总的用料面积最小，为5。求整点最优解时，可先放松可行解必须为整点的要求，转化为普通线性规划求解。若所求得的最优解不是整点时，再借助不定方程的知识调整最优值，最后求出整点最优解，特别适用于可行域是一侧为开放的无限大的平面区域这类问题。3.逐一校验法由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓．

例5 某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为 15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？最大收益是多少？

解：设隔出大、小房间分别为 x 间、 y 间，收益为 z 元，则目标函数 z=200x+150y. 其中

x 、 y 满足约束条件作出可行域如图示阴影部分内的整点，由图解