2020届高三理数一轮讲义：11.8-二项分布及正态分布(含答案)

与F，E与
－－
F，E与F都相互
3
3
5
5
独立.
－ －－
(1)记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝E F，
于是 P(H－ )＝P(E－)P(F－)＝1×2＝ 2 ， 3 5 15
故所求的概率为
－
P(H)＝1－P(H)＝1－
2
＝13.
15 15
(2)设企业可获利润为 X(万元)，则 X 的可能取值为 0，100，120，220，因为 P(X
4 15
2 5
规律方法 求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立 事件入手计算. 【训练 2】 (2018·濮阳二模)如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是1，且是
2 相互独立的，则灯亮的概率为( )
殖的概率为 0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则
其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )
A.0.05
B.0.007 5
C.1
D.1
3
6
解析 (1)法一 P(A)＝C23＋C25C22＝140＝25，P(AB)＝P(B)＝CC2225＝110.由条件概率计算公
1 式，得 P(B|A)＝P（AB）＝10＝1.
(4)从装有 3 个红球，3 个白球的盒中有放回地任取一球，连取 3 次，则取到红球 的个数 X 服从超几何分布.( ) 解析 对于(1)，相互独立事件的发生互不影响，而互斥事件是不能同时发生，故 (1)错；对于(2)，只有当 A，B 为相互独立事件时，公式 P(AB)＝P(A)P(B)才成立； 对于(4)，取到红球的个数 X 服从二项分布. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(选修 2－3P54 练习 2 改编)已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5 个黑球，它们
大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件
下，第二次拿到红球的概率为( )
A. 3
B.1
C.3
D.2
10
3
8
9
解析 设“第一次拿到白球”为事件 A，“第二次拿到红球”为事件 B，依题意
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件.( ) (2)对于任意两个事件，公式 P(AB)＝P(A)P(B)都成立.( ) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1， 2，…，n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的 概率分布.( )
第 8 节 二项分布及正态分布
最新考纲 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解 n 次独立重复试验 的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲 线所表示的意义，并进行简单应用.
知识梳理
1.条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
设 A，B 为两个事件，且 P(A)＞0，称 P(B|A) ＝P（AB）为在事件 A 发生的条件下，事件 B
苗的概率为 0.72.
答案 (1)C (2)0.72
考点二 相互独立事件同时发生的概率
【例 2】 (2018·哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功 的概率分别为2和3.现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的
35 研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
荣获一等奖的概率分别为2和3，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个 34
人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A.3
B.2
C.5
D. 5
4
3
7
12
解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获
得，则所求概率是2×
1－3 4
百度文库
＋3×
1－2 3
＝
5
.
3
4
12
答案 D
6.(2019·合肥联考)已知随机变量 X～N(1，σ2)，若 P(X>0)＝0.8，则 P(X≥2)＝
以 D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以 p＝0.6 或 p＝0.4.由 P(X＝4)<P(X＝6)，得 C410p4(1 －p)6<C610p6(1－p)4，即(1－p)2<p2，所以 p>0.5，所以 p＝0.6.
答案 B
5.(2018·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能
件 B 的交事件中包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝n（AB）. n（A）
【训练 1】(1)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)某个电路开关闭合后会出现红
灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为1，两次闭合后都出现红 2
灯的概率为1，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率 5
P（A） 发生的条件概率
(1)0≤P(B|A)≤1； (2)如果 B 和 C 是两个互斥事件， 则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
2.事件的相互独立性
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相
互独立.
－－
－－
(2)性质：若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与B，A与 B，A与B也都相互独立，P(B|A)
∴P(B|A)＝P（AB）＝0.05＝1. P（A） 0.15 3
答案 (1)B (2)C
规律方法 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝P（AB），这是求条 P（A）
件概率的通法. (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 A 与事
4.正态分布
(1)正态分布的定义 如果对于任何实数 a，b(a＜b)，随机变量 X 满足 P(a＜X≤b)＝错误!φμ，σ(x)dx，则
称随机变量 X 服从正态分布，记为 X～N(μ，σ2).其中φμ，σ(x)＝ 21πσe(x2－σμ2)2(σ>0). (2)正态曲线的性质 ①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交，与 x 轴之间的面积为 1； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称； ③曲线在 x＝μ处达到峰值 1 ；
＝P(B)，P(A|B)＝P(A).
3.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，其中 Ai(i＝1，2，…，n) 是第 i 次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An). (2)二项分布
在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生 的概率为 p，则 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率.
A. 3
B.3
16
4
C.13
D.1
16
4
解析 灯泡不亮包括两种情况：①四个开关都开，②下边的 2 个都开，上边的 2
个中有一个开， ∴灯泡不亮的概率是1×1×1×1＋1×1×1×1＋1×1×1×1＝ 3 ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 ∵灯亮和灯不亮是两个对立事件， ∴灯亮的概率是 1－ 3 ＝13.
3 答案 4
3
4.(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付
方式相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X
＝4)<P(X＝6)，则 p＝( )
A.0.7
B.0.6
C.0.4
D.0.3
解析 由题意知，该群体的 10 位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所
2
5
1 条件下第二次闭合出现红灯的概率是 P(B|A)＝P（AB）＝5＝2.
P（A） 1 5
2
(2)设种子发芽为事件 A，种子成长为幼苗为事件 B(发芽又成活为幼苗).
依题意 P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根据条件概率公式 P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼
σ 2π ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布 越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682__6； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__4； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__4. [微点提醒] 1.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝P(A)P(B)， 互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(A∪B)＝P(A) ＋P(B). 2.若 X 服从正态分布，即 X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线 X＝μ对 称和曲线与 x 轴之间的面积为 1.
________.
解析 随机变量 X 服从正态分布 N(1，σ2)，∴正态曲线关于 x＝1 对称，∴P(X≥2)
＝P(X≤0)＝1－P(X>0)＝0.2.
答案 0.2
考点一 条件概率
【例 1】 (1)(一题多解)从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到
的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
(2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预
计企业可获利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列.
解 记 E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知 P(E)
＝2，P(E－ )＝1，P(F)＝3，P(F－ )＝2，且事件
E
与
F，E
－－
－－
＝0)＝P(EF)＝
1
×2＝
2
，P(X＝100)＝P(E－F)＝1×3＝
3
＝1，
3 5 15
3 5 15 5
P(X＝120)＝P(EF－)＝2×2＝ 4 ， 3 5 15
P(X＝220)＝P(EF)＝2×3＝ 6 ＝2. 3 5 15 5
故所求的分布列为
X
0
100 120 220
P
2 15
1 5
P（A） 2 4 5
法二 事件 A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共 4 个.
事件 AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即 n(AB)＝1.
故由古典概型概率 P(B|A)＝n（AB）＝1. n（A） 4
(2)设事件 A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件 B 为该雌性 个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知 P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，
P(A)＝ 2 ＝1，P(AB)＝ 2×3 ＝ 1 ，
10 5
10×9 15
故 P(B|A)＝P（AB）＝1. P（A） 3
答案 B 3.(选修 2－3P75B2 改编)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3，1)，且 P(X>2c－1) ＝P(X<c＋3)，则 c＝______. 解析 ∵X～N(3，1)，∴正态曲线关于 x＝3 对称， 且 P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)， ∴2c－1＋c＋3＝2×3，∴c＝4.
(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 X 为质量超过 505 克的产品数量，求
A.1
B.1
C.2
D.1
8
4
5
2
(2)(2019·珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经
三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到 15 厘米左
右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批
鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为 0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁
为( )
A. 1
B.1
C.2
D.1
10
5
5
2
(2)有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机
抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.
解析 (1)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A，“第二次闭合后出现红
灯”为事件 B，则由题意可得 P(A)＝1，P(AB)＝1，则在第一次闭合后出现红灯的
16 16 答案 C
考点三 独立重复试验与二项分布
【例 3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线
上的 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，
(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).
(1)根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量；