cox模型及其应用
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若是未知分布或有缺失值数据，存在一定的问题和难度
（3）预后因素对生存时间的影响
即x对s（t）、h（t）的影响，也就是 x与s（t）、h（t）之 间可建立回归模型。
2、模型构造的两大部分：基本部分和修改部分
假定x1，x2，…，xp为协变量或影响因素；h（t）为具有协变 量x1—xp的个体在t时刻的风险函数或死亡率，表示生存时间已达 t的人在t时刻的瞬时死亡率；h0（t）为t的未知函数，即x=0时t时 刻的风险函数，称为基准风险函数。h（t）是h0（t）受所有协变 量修改的结果。
3.生存时间与截尾时间
生存时间（survial、failure、waiting time） 从某个起始事件开始到某个终点事件的发生所
经历的时间。 截尾时间（censored）：研究对象某一时间进入随 访到出现失访。 真实的生存时间未知，只知道比观察到的截尾生存 时间要长。
二、生存数据特点
1.数据的分布为独特分布，不规则，未知分布。 通常不服从正态分布。有时近似服从指数分布、 weibull分布、gompertz分布、对数logistic。
③当x为连续性变量时， RRt=e（x-x*）
2、RRt=eb=
h（t，1） h（t，0）
称为比例风险模型 （proportional hazards model）
第三节 cox模型的参数估计与统计推断
一、极大似然法估计 二、cox模型的似然函数（部分似然法）
partial likelihood function 1、无截尾数据的资料 例i=1—4，tj=t1—t4，（无截尾，无重合ties） ①危险集 rist set
2.不可避免地包含有截尾数据。
三、生存时间分布
1.生存函数--任意时刻生存率
s（t）=p（T≥t） 0≤t≤∞ ①中位生存期：又称半数生存期，表示恰好有50％的个 体尚存活的时间。 ②特定的生存函数都有特定的生存分布。
2.危险率函数（harzard fuction）
危险率：患者已活到t时刻，到t+ t这段时间内死
cox模型及其应用
主要用于生存分析
宁波大学医学院 沈其君
第一节 基本概念
一、随访研究与生存时间
1.随访研究 在队列研究中，对一批研究对象进行追踪观察
所获得的有关结局以及出现这种结局所经历的时 间等方面的研究。 目的：
a 估计生存率和生存时间长短，进行疗效 考核和预后评价。
b 对生存状况进行简单客观的统计描述 （生存概率、生存率、中位生存期等）。
手术切除
死亡
染毒
死亡
化疗
缓解
缓解
复发
终点事件和起始事件是相对而言的，它们都由研究目的决 定，须在设计时明确规定，并在研究期间严格遵守，不能 随意改变。
2.可能出现的随访结局（仅以死亡为终点为 例）
1.出现规定的结局（失效failure） 2.死于其他疾病 3.失访（只要未能观察到事先规定的终点事件） 4.随访结束时病人尚存活等 生存时间的类型 1. 完全数据（complete data）
第二节 COX模型结构及流行病学意义
一、问题提出
1、组间比较 2、多因素（协变量）：回归
y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn
例如，恶性黑色素瘤的预后影响因素有部位、病程、治疗、 恶性程度、形态大小、是否转移等。
3、生存分析如何构建回归模型？
二、生存分析回归模型的一般构造
1、构造思想
（1）自变量x----影响因素 因变量y----生存时间 （2）x与y之间的表现形式
当b>0，则eb>1，h（t，1）>h（t，0） 当b<0，则eb<1，h（t，1）<h（t，0）
两组病人的危险性比值为
h（t，1） RRt= h（t，0） = eb
在某一时刻新疗法对于常规 疗法的危险性有多大
②当n=2时，x1=
1 0
x2=
1 0
h（t，11）=h0（t）eb1+b2 h（t，10）=h0（t）eb1 h（t，01）=h0（t）eb2 h（t，00）=h0（t）e0
3、生存分析的回归模型
Cox模型的基本形式为
h（t）=h0（t）exp（ b1x1+b2x2+…+bnxn ）
称此模型为比例风险模型。自变量x可以是各种预后影响因 素，也可以是这些因素的交互作用项；b1—bn为各协变量 所对应的回归系数。
4、参数估计方法
（1）全参数法 （2）半参数法 （3）非参数法
﹛ ﹜ R（t1）= 1，2，3，4 R（t2）=﹛2，3，4﹜ R（t3）=﹛3，4﹜ R（t4）=﹛4﹜
②似然函数的构造思想
t 4
L（ ）= i R
i 1
j
条件危险概率
各死亡 时点上各死亡之概率的乘积
1 Rt1 =
h0（t）分布要明确，极大似然法 cox模型的贡献在于可对h0（t）不作要求 h0和自变量的估计形式都未知
三、流行病学意义
假设cox模型为
h（t）=h0（t）exp（ b1x1+b2x2+…+bnxn ）
1、b1—bn为回归系数①当n=1时，x1=1 新疗法 0 常规疗法
exp（bx）=
eb h（t，1）=h0（t）eb e0 h（t，0）=h0（t）e0
从起点至死亡（死于所研究疾病）所经历的时间。 2. 截尾数据（删失数据，censored data）
从起点至截尾点所经历的时间。 【尚未观察到研究对象出现反应（终点事件）时，即由于 某种原因停止了随访，这时记录到的时间信息是不完整的， 这种生存时间数据称为不完全数据或截尾值。】截尾原因： 失访、死于其它疾病、观察结束时病人尚存活等。
c 探讨影响疗效和预后的“危险因素”及 “保护因素”。
随访研究的三个因素（两点一线）
起点事件：反映研究对象生存过程的起始特征的事件。
终点事件：研究者所关心的特定结局。
生存时间：从某个起始事件开始到某个终点事件的发生所 经历的时间。也称失效时间。
生存时间举例（小孩智齿除外？）
起始事件
终点事件
服药
痊愈
亡的（广义的死亡）可能性。（条件概率 ） 生存概率：单位时段开始存活的个体到该时段结束
时仍存活的可能性。
3.生存函数s（t）与危险率函数h（t）的关系
lim h（t）=
P（t T t t） t为任意时刻的危险率
t 0
t
t
e S（t）=
h（u）du
0
h（t）= t h（u）du 0
累积危险概率
（3）预后因素对生存时间的影响
即x对s（t）、h（t）的影响，也就是 x与s（t）、h（t）之 间可建立回归模型。
2、模型构造的两大部分：基本部分和修改部分
假定x1，x2，…，xp为协变量或影响因素；h（t）为具有协变 量x1—xp的个体在t时刻的风险函数或死亡率，表示生存时间已达 t的人在t时刻的瞬时死亡率；h0（t）为t的未知函数，即x=0时t时 刻的风险函数，称为基准风险函数。h（t）是h0（t）受所有协变 量修改的结果。
3.生存时间与截尾时间
生存时间（survial、failure、waiting time） 从某个起始事件开始到某个终点事件的发生所
经历的时间。 截尾时间（censored）：研究对象某一时间进入随 访到出现失访。 真实的生存时间未知，只知道比观察到的截尾生存 时间要长。
二、生存数据特点
1.数据的分布为独特分布，不规则，未知分布。 通常不服从正态分布。有时近似服从指数分布、 weibull分布、gompertz分布、对数logistic。
③当x为连续性变量时， RRt=e（x-x*）
2、RRt=eb=
h（t，1） h（t，0）
称为比例风险模型 （proportional hazards model）
第三节 cox模型的参数估计与统计推断
一、极大似然法估计 二、cox模型的似然函数（部分似然法）
partial likelihood function 1、无截尾数据的资料 例i=1—4，tj=t1—t4，（无截尾，无重合ties） ①危险集 rist set
2.不可避免地包含有截尾数据。
三、生存时间分布
1.生存函数--任意时刻生存率
s（t）=p（T≥t） 0≤t≤∞ ①中位生存期：又称半数生存期，表示恰好有50％的个 体尚存活的时间。 ②特定的生存函数都有特定的生存分布。
2.危险率函数（harzard fuction）
危险率：患者已活到t时刻，到t+ t这段时间内死
cox模型及其应用
主要用于生存分析
宁波大学医学院 沈其君
第一节 基本概念
一、随访研究与生存时间
1.随访研究 在队列研究中，对一批研究对象进行追踪观察
所获得的有关结局以及出现这种结局所经历的时 间等方面的研究。 目的：
a 估计生存率和生存时间长短，进行疗效 考核和预后评价。
b 对生存状况进行简单客观的统计描述 （生存概率、生存率、中位生存期等）。
手术切除
死亡
染毒
死亡
化疗
缓解
缓解
复发
终点事件和起始事件是相对而言的，它们都由研究目的决 定，须在设计时明确规定，并在研究期间严格遵守，不能 随意改变。
2.可能出现的随访结局（仅以死亡为终点为 例）
1.出现规定的结局（失效failure） 2.死于其他疾病 3.失访（只要未能观察到事先规定的终点事件） 4.随访结束时病人尚存活等 生存时间的类型 1. 完全数据（complete data）
第二节 COX模型结构及流行病学意义
一、问题提出
1、组间比较 2、多因素（协变量）：回归
y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn
例如，恶性黑色素瘤的预后影响因素有部位、病程、治疗、 恶性程度、形态大小、是否转移等。
3、生存分析如何构建回归模型？
二、生存分析回归模型的一般构造
1、构造思想
（1）自变量x----影响因素 因变量y----生存时间 （2）x与y之间的表现形式
当b>0，则eb>1，h（t，1）>h（t，0） 当b<0，则eb<1，h（t，1）<h（t，0）
两组病人的危险性比值为
h（t，1） RRt= h（t，0） = eb
在某一时刻新疗法对于常规 疗法的危险性有多大
②当n=2时，x1=
1 0
x2=
1 0
h（t，11）=h0（t）eb1+b2 h（t，10）=h0（t）eb1 h（t，01）=h0（t）eb2 h（t，00）=h0（t）e0
3、生存分析的回归模型
Cox模型的基本形式为
h（t）=h0（t）exp（ b1x1+b2x2+…+bnxn ）
称此模型为比例风险模型。自变量x可以是各种预后影响因 素，也可以是这些因素的交互作用项；b1—bn为各协变量 所对应的回归系数。
4、参数估计方法
（1）全参数法 （2）半参数法 （3）非参数法
﹛ ﹜ R（t1）= 1，2，3，4 R（t2）=﹛2，3，4﹜ R（t3）=﹛3，4﹜ R（t4）=﹛4﹜
②似然函数的构造思想
t 4
L（ ）= i R
i 1
j
条件危险概率
各死亡 时点上各死亡之概率的乘积
1 Rt1 =
h0（t）分布要明确，极大似然法 cox模型的贡献在于可对h0（t）不作要求 h0和自变量的估计形式都未知
三、流行病学意义
假设cox模型为
h（t）=h0（t）exp（ b1x1+b2x2+…+bnxn ）
1、b1—bn为回归系数①当n=1时，x1=1 新疗法 0 常规疗法
exp（bx）=
eb h（t，1）=h0（t）eb e0 h（t，0）=h0（t）e0
从起点至死亡（死于所研究疾病）所经历的时间。 2. 截尾数据（删失数据，censored data）
从起点至截尾点所经历的时间。 【尚未观察到研究对象出现反应（终点事件）时，即由于 某种原因停止了随访，这时记录到的时间信息是不完整的， 这种生存时间数据称为不完全数据或截尾值。】截尾原因： 失访、死于其它疾病、观察结束时病人尚存活等。
c 探讨影响疗效和预后的“危险因素”及 “保护因素”。
随访研究的三个因素（两点一线）
起点事件：反映研究对象生存过程的起始特征的事件。
终点事件：研究者所关心的特定结局。
生存时间：从某个起始事件开始到某个终点事件的发生所 经历的时间。也称失效时间。
生存时间举例（小孩智齿除外？）
起始事件
终点事件
服药
痊愈
亡的（广义的死亡）可能性。（条件概率 ） 生存概率：单位时段开始存活的个体到该时段结束
时仍存活的可能性。
3.生存函数s（t）与危险率函数h（t）的关系
lim h（t）=
P（t T t t） t为任意时刻的危险率
t 0
t
t
e S（t）=
h（u）du
0
h（t）= t h（u）du 0
累积危险概率