不等式证明-综合法

3
3
3
∴原不等式成立
? 练一练！
(1)已知x≥1，求证：1+
2
x
(1
x)
2 3
3
（2）已知a,b,c∈R+,求证：
2(a b
ab )
a 3(
b
c
3
abc )
2
3
(1)已知x≥1，求证：1+
2
x
(1
x)
2 3
证明：要证不等式成立 3
只需证 3+2x 33 (1 x)2
即要证 1+(1+x)+(1+x) 33 (1 x)2
（持果索因）
例1 已知a,b∈R+，
求证：(a+b)(1 1 )≥4
ab
证明：∵a+b≥2 ab>0
1 a
b1≥3
1 >0
ab
当且仅当a=b时取等号. ∴(a+b)(1 1 )≥4
ab
已知a,b,c∈R+，
求证：(a+b+c)(1 1 1)≥9
abc
证明：∵a+b+c≥3 3 abc >0
1 1 1≥3 3 1 >0
abc
abc
当且仅当a=b=c时取等号.
∴(a+b+c)(1 1 1)≥9
abc
已知a,b,c∈R+，
1.求证：(a+b+c)(1 1 1)≥9
abc
2.若a+b+c=1,求证:1 1 1 9
1
证明：a
1 b
1 c
=(a+b+c) (
1
a 1
b 1)
c
综合法： 分析法：
再 见！
∵上式恒成立 ∴原不等式成立
（2）已知a,b,c∈R+,求证：
2(a b ab) 3(a b c 3 abc )
2
3
证明：要证不等式成立
只需证 a b 2 ab a b c 33 abc
即要证 c 2 ab 33 abc
∵ c ab ab 33 abc 恒成立 ∴原不等式成立
abc
[(a+b)+(b+c)+(c+a)]( 1 1 1 ) 9 ab bc ca
2(a b c)( 1 1 1 ) 9 ab bc ca
3.求证： 1 1 1 9
a b b c c a 2(a b c)
4.求证：a
c
b
b
a
c
c
b
a
Hale Waihona Puke Baidu
3 2
已知a,b,c∈R+，
已知a,b,c∈R+，
1.求证：(a+b+c)(1 1 1≥) 9
abc
2.若a+b+c=1,求证: 1 1 1≥9
abc
引申：已知α、β∈(0, )，求证：
1
1
2
cos 2 sin2 sin2 cos 2 9
已知a,b,c∈R+，
1.求证：(a+b+c)(1 1 1)≥9
≥9
abc
当且仅当a=b=c时取等号.
已知a,b,c∈R+，
1.求证：(a+b+c)(1 1 1≥) 9
abc
2.若a+b+c=1,求证: 1 1 1≥9
证明：a1
1 b
1 c
abc
= abcabcabc
a
b
c
=3+
b a
c a
a b
c b
a c
b c
≥3+2+2+2=9
当且仅当a=b=c时取等号.
例3 若正数a,b,c满足a+b+c=1,求
证:(a 1)2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
证明：∵ (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2
a
b
c
(a 1) (b 1 ) (c 1)
3[ a
b
c ]2
3
(1
1 a
1 b
1)2 c
(1
9)2
100
ab bc ac 2
已知a,b,c∈R+，
2(a b c)( 1 1 1 ) 9 ab bc ca
abc abc abc 9
ab
bc
ca 2
n
5. 若S= ak(ak∈R+,k=1,2,…,n) k 1
求证: S S S n2
S a1 S a2
S an n 1
例2 求证：
求证： c a b 3
ab bc ac 2
证明:
∵[(a+b)+(b+c)+(c+a)]( 1 1 1 ) 9 ab bc ca
∴ 2(a b c) 2(a b c) 2(a b c) ≥9
ab
bc
ca
∴6+2( c a b )≥9
ab bc ac
∴ c a b 3
a2 b2 b2 c2 c2 a2 2(a b c)
证明：∵ a2 b2 | a b | a b
2
2
2
即 a2 b2 2(a b)
①
2
同理： b2 c2 2(b c)
②
2
c2 a2 2(c a) ③
①+②+③，得
2
a2 b2 b2 c2 c2 a2 2(a b c)
2 ab a b a2 b2
11
2
2
ab
3
3 abc a b c a2 b2 c2
111
3
3
abc
综合法：
从已知或已证明过的不等式
出发，根据不等式的性质推导出
欲证的不等式.（由因导果） 分析法：
从寻求结论成立的充分 条件入手，逐步寻求所需条 件成立的充分条件，直至所 需的条件已知正确时为止.