清华大学线性代数 讨论课5答案

4ຫໍສະໝຸດ Baidu
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答： (1) 显然，从矩阵的结构上可以看出X1 和X4 是A的特征向量。 (2) X1 对应的特征值λ1 = 2，X4 对应的特征值λ4 = 3。 则：(A − λ1 I )X2 = X1 ，(A − λ1 I )2 X3 = X1 ，(A − λ4 I )X5 = X4 。
代数与几何讨论课（五）（特征值,特征向量）
一、判断下列结论是否正确,并说明理由： (1) 设A是n阶方阵，若Am = 0，则A的特征值只能是零。 正 确 。 设λ0 为A的 一 个 特 征 值 ， 则 有 非 零 向 量X 使 得AX = λX . 故0 = Am X = (λ0 )m X , 从 而λ0 = 0。 (2) 设A是n阶实方阵，若A2 = A，则A的特征值只能是1或0。 正确。设λ0 为A的一个特征值，则有非零向量X 使得AX = λX . 故0 = (A2 − A)X = (λ2 0 − λ)X , 从 2 而λ0 − λ0 = 0，λ0 = 0 或1。 (3) 设X, Y 是n阶方阵A的属于不同特征值的特征向量，则必有X T Y = 0。 错误。不同特征值的特征向量不一定正交。 (4) 设A是n阶方阵，λ0 是A的一个特征值，X1 , X2 是(λ0 I − A)X = 0的基础解系，则A的属于特征 值λ0 的全部特征向量为k1 X1 + k2 X2 ，其中k1 , k2 是两个任意常数。 错误。特征向量也就是满足此方程的所有非零解，故k1 X1 + k2 X2 不能为零。 (5) 设A是3阶方阵，A的特征值为0, 0, 1，X1 , X2 是AX = 0的基础解系，X3 是AX = X 的非零解， 则A的全部特征向量为k1 X1 + k2 X2 + k3 X3 ，其中k1 , k2 , k3 是不全为零的任意常数。 错误。不同特征值的特征向量之和不为特征向量。 (6) 设X 是n阶方阵A的特征向量，P 是n阶可逆方阵，则P −1 X 是P −1 AP 的特征向量。 正确，特征向量的定义。 (7) 设X 是n阶方阵A的特征向量，若A可逆，则A−1 X 是A−1 的特征向量。 1 −1 正确。设AX = λX 。因为A可逆，所以λ = 0。所以A−1 (A−1 X ) = A−1 (X/λ) = λ A X。 (8) 设A是n阶方阵，若A的特征值都是1，则A与I 相似。 错误。必须有n个无关的特征向量，才能相似于对角方阵。例如A = 但A只有一个特征向量，所以不相似于对角方阵。 (9) 设A是n阶方阵，若A2 + A + I = 0，则A没有实的特征值。 正确。因为设AX = λX ，且λ ∈ R，那么由(A2 + A + I )X = (λ2 + λ + 1)X = 0，必有λ2 + λ + 1 = 0。 故λ为虚数。 (10) 设A是n阶方阵，若A可相似于对角阵，则A的n个特征值互异。 错误。A可相似于对角阵的充要条件为A有n个线性无关的特征向量，但同一特征值可对应几个线性 1 0 无关的特征向量。例如A = ，A的特征值都为1，且相似于对角方阵。 0 1 1 0 1 1 ，A的特征值都为1，
1
(11) 若n阶矩阵A, B 的特征值相同，则A ∼ B (相似)。 0 1 错误。如A = 与0矩阵的特征值相同，但不相似。 0 0 (12) 若A与B 等价(相抵)，则A ∼ B (相似)。 错误。两矩阵相似则必相抵，反之不对。例如A = 似。 (13) 若A ∼ B (相似)，则A与B 等价(相抵)。 正确。由定义立即得证。 (14) 若A与B 有共同的特征值(包含重数)及都有n个线性无关的特征向量，则 (A) A ∼ B （相似）；(B) A = B ；(C) |λI − A| = |λI − B |；(D) |A − B | = 0。 答：（A），（C）。A与B 有共同的特征值，则特征多项式必然相同，所以（C）对。又由题意知 道A与B 可以相似于同一个对角矩阵，所以（A）对。（B），（D）不一定正确。 （15）若A, B 的特征值分别为λ, µ，则： （A）AT 与A有相同的特征值与特征向量； （B）A + AT 及AAT 的特征值分别为2λ及λ2 ； （C）A + B 及AB 的特征值分别为λ + µ及λµ； （D）以上结论都不正确。 答：（D）。容易将前三个逐一排除。 二、下列矩阵可否相似对角阵，又矩阵可对角化的条件是什么？ 1. a11 ∗ · · · ∗ . .. . . a22 . , (aii = ajj , i = j ) .. . ∗ ann 答：可以相似对角化。因为该矩阵有n个彼此不同的特征值，那么必有n个线性无关的特征向量。 2. , (aii = ajj , i = j ) 1 0 0 0 与A = 2 0 0 0 等价(相抵)，不相
a11
∗ a11
··· .. . a33
··· .. ..
. .
∗ . . . . . . ∗ ann
答：当a11 I − A的秩是n − 2时可以对角化，当且仅当a12 = 0。当a12 = 0时不可以对角化，因为a11 的 代数重数为2，而几何重数为1。 3. A2 .. . As
A1
2
答：diag(A1 , A2 , ..., As )可以对角化当且仅当每个Ai 都可以对角化。 4. A ∈ Mn , r(A) = 2, A2 + A = 0 答：可以。显然A的特征值只能为0或−1. 由条件AX = 0的基础解系含n − 2个元，即相对于特征 值0的特征向量有n − 2个线性无关的元。由于A2 = −A，故A的非零的列向量都为相对于特征值−1的特 征向量。因此A至少有两个属于特征值−1的线性无关的特征向量。所以A有n个线性无关的特征向量。 三、设A = (aij )n×n ，且A可逆， j =1 aij = a = 0(i = 1, · · · , n)，试证：a−1 为A−1 的一个特征值， 并求对应的一个特征向量。 1 X ，即a−1 为A−1 的 证明：令X = (1, 1, · · · , 1)T 。则AX = aX ，故a为A的一个特征值。所以A−1 X = a −1 一个特征值，X 为特征值a 的一个特征向量。 四、设A, B ∈ Mn ，且A有n个互异的特征值。 证明：AB = BA ⇐⇒ A的特征向量也是B 的特征向量。 证明： (1) 假设AB = BA。那么由于A有n个互异的特征值，必有n个线性无关的特征向量，以其为列向量构 成一个矩阵P = (α1 , α2 , · · · , αn )。则P −1 AP = diag (λ1 , λ2 , · · · , λn )，其中，λi 为A的特征值。 因为AB = BA，所以有P −1 AP P −1 BP = P −1 BP P −1 AP ，所以，可知P −1 BP = diag (µ1 , µ2 , · · · , µn )为 对角阵。所以有Bαi = µi αi 成立。所以，A的特征向量也是B 的特征向量。 反之，假设A的特征向量也是B 的特征向量。那么由于A有n个互异的特征值，必有n个线性无关的特 征向量，以其为列向量构成一个矩阵P = (α1 , α2 , · · · , αn )。则P −1 AP = diag (λ1 , λ2 , · · · , λn )，P −1 BP = diag (µ1 , µ2 , · · · , µn )。 所以有P −1 AP P −1 BP = P −1 BP P −1 AP ，所以，AB = BA。证毕。 五、设A为三阶实对称矩阵，λ = 1, 2, −1是其三个特征值，α1 = (1, a +1, 2)T ，α2 = (a − 1, −a, 1)T ， 分别为A的对应λ = 1, 2的特征向量，A∗ 的特征值为λ0 ，且A∗ β0 = λ0 β0 ，其中β0 = (2, −5a, 2a + 1)T ， 求a及λ0 的值。 答：首先α1 与α2 正交，故a = ±1. 由于|A|等于A的所有特征值的乘积，故|A| = −2，A可逆。 若AX = λX (X = 0)， 则A−1 X = λ−1 X . 故A的 属 于 特 征 值λ 的 特 征 向 量 也 为A−1 的 属 于 特 征 值λ−1 的特征向量，反之也成立。因为A∗ = |A|A−1 = −2A−1 , 所以β0 为A−1 ，从而也为A的特征向 量。又α1 , α2 , β0 线性无关，故β0 为A的属于特征值−1的特征向量，从而彼此正交，可求出a = −1。从 而β0 为A−1 的属于特征值−1的特征向量，故λ0 = 2。 六、设A, B 为n阶矩阵，证明：AB 与BA有相同的特征值。 证明：只要证明它们有相同的特征多项式，即|λI − AB | = |λI − BA|. 若λ = 0, 由例2.43有|I − 1 1 ( λ A)B | = |I − B ( λ A)|, 故|λI − AB | = |λI − BA|；若λ = 0, |λI − AB | = |λI − BA|成立显然。 七、设A为五阶方阵，X1 , X2 , X3 , X4 , X5 是R5 中的线性无关列向量组，且有 2 1 2 1 2 A(X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ) = (X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ) 3 1 3 试判断， (1) {Xi }中哪一个是A的特征向量； (2) 不是A的特征向量的Xj 与A的特征向量有什么关系？ 3