贵州大学818高等代数考研真题及答案

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2021年贵州大学数学与统计学院《818高等代数》考研全套

目录

•全国名校高等代数考研真题汇编（含部分答案）

说明：本科目考研真题不对外公布（暂时难以获得），通过分析参考教材知识点，精选了有类似考点的其他院校相关考研真题，以供参考。

2．教材教辅

•北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】（上册）

•北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】（下册）

•北京大学数学系《高等代数》（第3版）网授精讲班【注：因第10章考试不做要求，所以老师没有讲解。】【39课时】

说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。

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试看部分内容

名校考研真题

第6章线性空间

一、选择题

1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]

A．B． C．

【答案】C查看答案

【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的．

2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等

【答案】B查看答案

【解析】比如在中选三个向量组

(I)：0

(Ⅱ)

(Ⅲ)．

若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．

二、填空题

1．若

则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是_ _____维的．[中国人民大学研]

【答案】2；4．查看答案

【解析】在复数域上令；则是线性无关的．

则

此即证可由线性表出．

在实数域上，令

若，其中，则

此即在R上线性关．

可由线性表出，所以在实数域R上，有

三、分析计算题

1．设V是复数域上n维线性空间，V1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研]

解：取的一组基，再取的一组基则

＝秩

2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求

（1）U＋W：

（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研]

解：（1）令

可得．所以

由于为的一个极大线性无关组，因此又可得

且，故为U＋W的一组基．

（2）令

因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：

再令，则

故ζ为U∩W的一组基．

3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令

（1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间；

（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r ＋1：

（3）对于非齐次线性方程组

求W的一个基．[华东师范大学研]

证明：（1）显然W≠，又

因为存在t1，t2使Aα＝t1B，Aβ＝t2B．所以

即kα＋lβ∈W，此说明W是K n的子空间．

（2）对线性方程组（A，B）X n＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r（A，B）＝n－r＋1．

任取α∈W，存在t∈K，使

所以是线性方程组（A，B）X n＋1＝0的解．