运用导数解决含参函数问题的策略

数, 则当 x I
[ 1, e] 时, f ( x) I
[
1 2
,
1+
1 2
e2 ] .
故要使存在
x0
I
[ 1, e] 使不等式 f
( x0)
[
m
成立,
只需
m
\
1 2
即可.
=例 2>
已 知函 数 f ( x ) =
4x 3x2 +
3 的 定 义域 为 [ 0,
2] . ( 1) 求 f ( x ) 的值域.
=例 4> 设函数 f ( x) = x 4 + ax3 + 2x2 + b( x I R, a,
b I R) .
( 1) 若函数 f ( x ) 仅在 x = 0 处有极值, 求实数 a 的取 值范围;
( 2) 若对于任意的 a I [ - 2, 2] , 不等式 f ( x ) [ 1 在
[ - 1, 1] 上恒成立, 求实数 b 的取值范围. 解: ( 1) f c( x ) = 4x3 + 3ax2 + 4x= x ( 4x2 + 3ax + 4) .
未知.
=例 3>
已知函数 f ( x) = 1n x-
a x
(aI
R) .
( 1) 讨论 f ( x ) 在[ 1, e] 上的单调性;
( 2) 若 f ( x ) < x 在[ 1, + ] ) 上 恒成立, 试求 a 的取
值范围.
解: ( Ñ ) f ( x ) 的定义域为(0, +
]
) , f c( x ) =
用等价转化的数学思想, 通 过不断地 转化, 把不 熟悉、不 规范、复杂的问题转化为熟 悉、规范甚 至模式化、简单的
问题. 解决的主要途径是将含参 数不等 式的存在 性或恒
成立问题根 据其 不等 式的 结构特 征, 恰 当地 构造 函数, 等价转化为含参函数的最值讨论.
历年高考试题中也常出现 此类问 题, 且涉及 的知识
要函数 f ( x) 仅在 x= 0 处有极值, 则 x= 0 不 是 方程 4x2 + 3ax + 4 = 0 的 根, 即 对于
x I R, 4x2 + 3ax + 4 \0 恒成立.
_ $= 9a2 - 64 [ 0 ] -
8 3
[
a[
8 3
.
( 2) 由 a I [ - 2, 2] 得 $= 9a2 - 64< 0, 即 x I R, 4x2 + 3ax + 4> 0 恒成立,
f (x)=
4 3
@
1 x+
1 x
[
4 3
@ 2
1= 1 x
2 3
(
当 且仅 当
x
40
中学教学参考( 中旬) 2010. 2 总第 41 期
= 1 时取/ = 0 ).
综合 ¹ º 得 0 [ f ( x ) [
2 3
.
( 2) 设函数 g( x) 在[ 0, 2] 上的值 域为 A , ^ x1 I [ 0,
中学教学参考
解题方法与技巧
运用导数解决含参函数问题的策略
广西钦州市第一中学( 535000) 梁小金
以函 数为载 体, 以 导数为 工具, 考查函 数性质 及导 数应用为目标, 是最近几年函数 与导数 交汇试题 的显著
特点和命题趋向. 运用导数确定 含参数 函数的参 数取值 范围是一类常见的探索性问题, 主要是 求存在性 问题或 恒成 立问 题中的 参数 的范围. 解决这 类问 题, 主要 是运
则由题可知 F( x ) [ 0 对任意 x I [ - 3, 3] 恒成立. 令 Fc( x) = - 6x 2 + 6x+ 12= 0, 得 x = - 1 或 x = 2,
ZHONGXUE JIAOXUE CANKAO
解题方法与技巧
而 F( - 1) = - 7a, F( 2) = 20- a, F( - 3) = 45- a, F( 3)
g ( x 2 ) , 求实数 a 的取值范围.
解: ( 1) f c( x ) =
ax2 - 2x + x2
a(x>
0) , 令 h ( x ) =
ax2
- 2x + a.
¹ 当 $= 4- 4a2 [ 0, 即 a \1 时, h( x ) = 0 ] f c( x ) \
0, _ 当 a \1 时 f ( x ) 在( 0, + ] ) 上是单调递增函数.
º当 $= 4- 4a2 > 0, 即 0< a< 1 时, 由 h ( x ) = 0 ]
0< 1-
1a
a2 <
1]
1+
1a
a2 >
1.
_ 当 0 < a < 1 时, f ( x ) 在 ( 0, 1-
1a
a2
)
和
( 1+
1a
a2 ,
+
] ) 上 是 单 调 递 增 函 数, 在
( 1-
1a
a2 ,
º 得1 3
[
a[
1.
二、含参函数中的恒成立问题
可先利用题设条件建立 变量的关 系式, 将所 求变量
和另 一已 知变量 分离, 得到函 数关系, 从而 使这种 具有
函数背景的范围问题迎刃而 解, 再由已 知变量的 范围求
出函数的值域, 即为 所求 变量 的范 围. 类 型有: ( 1) 双参
数中知道其中一 个参 数的 范围; ( 2) 双参 数中 的范 围均
1 x
+
a x2
=
x+ x2
a
,
显然
x
2
>
0.
( 1) 当 a \- 1 时, x + a \0, 即 f c( x ) \0 在[ 1, e] 上
恒成立, 此时 f ( x ) 在[ 1, e] 上为增函数;
( 2) 当 a [ - e 时, x + a [ 0, 即 f c( x ) [ 0 在[ 1, e] 上
8 3
a-
2a2 <
0,
不符合题意.
º当 a> 0 时, gc( x ) = a( x + a ) ( x - a) , 若 0 < a
[ 2, 即 0 < a [ 4 时, g ( x ) 在[ 0, a ] 上为 递 减 函数, 在
[
a, 2] 上为递增函数, _ g ( 0) = 0, g ( a ) = -
1 x
-
2.
^ x \1, _ Wc( x ) < 0. ^ x \1, _ W( x) 在[ 1, + ] ) 上 单调递减, _ Wc( x) X W( 1) = - 1< 0,
因此 gc( x) < 0. 故 g( x ) 在 [ 1, + ] ) 上单调 递减, 则 g ( x ) [ g( 1) = - 1, _ a 的取值范围是( - 1, + ] ) .
2 3
a2
a<
0, g ( 2) =
8 3
a-
2a2
\
2 3
]
1 3
[
a[
1.
若 a > 2, 即 a> 4 时, gc( x ) < 0, 函数 g ( x ) 在 [ 0, 2]
上为递减函数,
_ g ( 2) =
8 3
a-
2a2 <
0,
g ( 0)
=
0, 不满
足,
_ [ 0,
2 3
]
AA
.
综合
¹
< g(x2),则
f ( e) < 2, f ( 1) < 2, _ ae-
a e
-
2<
2]
0<
a<
e
4e 2-
1.
关于运用导数解决含参 函数问题 的策略 还有很多,
参数问题形式多样, 方法灵 活多变, 技 巧性较 强, 对于某
些/ 含参函数0 题 目, 不 一定用 某一 种方 法, 还 可用 多种
]
_ b [ - 4.
f ( 1) [ 1
b [ - 2+ a,
=例 5> 已知 f ( x ) = 7x 2 - 28x - a, g ( x ) = 2x 3 +
4x 2 - 40x, 当 x I [ - 3, 3] 时, f ( x ) [ g ( x ) 恒成 立, 求实
数 a 的取值范围. 解: 设 F( x ) = f ( x) - g ( x ) = - 2 x3 + 3x 2 + 12x - c,
= 9- a,
_ F( x ) max = 45- a [ 0. _ a \45. 即实 数 a 的取值范
围为[ 45, + ] ) .
=例 6>
已知 函 数 f ( x ) = ax -
a x
-
2ln x ( a>
0) ,
g ( x ) = 2xa.
( 1) 求 f ( x ) 的单调区间.
( 2) 若对 区间 [ 1, e ] 上 任 意 x1 和 x2 总有 f ( x1 ) <
=例 1>
已知函数 f ( x ) =
1 2
x
2
+
1nx , 若存在 x 0 I
[ 1, e] 使不等式 f ( x 0 ) [ m, 求实数 m 的取值范围.
解: ( 1) f ( x) =
1 2
x2
+
ln x( x >
0) , f c( x ) =
x+
1 x
,
由
x I [ 1, e] , f c( x) > 0 得函数 f ( x ) 在区间 I [ 1, e] 为增函
恒成立, 此时 f ( x ) 在[ 1, e] 上为增函数
( 3) 当- e [ a< - 1 时, 令 f c( x ) = 0 得 x = - a, 于
是:
当 1 [ x [ - a 时, 令 f c( x) < 0, _ f ( x ) 在[ 1, - a] 上 为减函数;
当- a [ x [ e 时, 令 f c( x ) > 0, _ f ( x ) 在[ - a, e] 上 为增函数.
( 2) 设 g( x ) =
1 3
ax
3
-
a2 x ( a X 0) ,
若对任意 的 x 1
I
[ 0, 2] 总存在 x2 I [ 0, 2] 使得 f ( x1 ) - g ( x 2 ) = 0, 求实数
a 的取值范围.
解: ( 1) ^ 0 [ x [ 2, _ f ( x ) \0. ¹ 当 x= 0 时, f ( x) = 0; º当 0< x [ 2 时,
面广, 综合性强, 不少考生在处 理这类 问题时, 不 知道确
定参数范围的函数关系或不等 关系从 何而来. 本 文通过 一些实例介绍这类问题相应的 解法, 期 望对考生 的备考
有所帮助. 一、含参函数中的存在性问题
利用题设条件能沟通所求 参数之 间的联系, 建立方
程或不等式( 组) 求解. 这是求存 在性范 围问题最 显然的 一个方法.
2] 总存在 x2 I [ 0, 2] 使得 f ( x 1 ) - g( x 2 ) = 0,
_ [ 0,
2 3
]
AA . 而 gc( x ) =
ax2 -
a2 ,
¹ 当 a< 0 时, gc( x ) < 0, 函数 g ( x ) 在 [ 0, 2] 上为递
减函数, g ( 0) = 0, g( 2) =
方法 去处 理. 这就 要求 我们养 成良好 的数 学思维, 有良
好的 观察 与分析 问题 的能力, 灵活的 转化 问题能 力, 使
所见到的/ 含参函数0问题能更有效地解决.
( 责任编辑 金 铃)
x 得 lnx -
a x
<
x.
Байду номын сангаас
^x
\1 _
a
\x lnx
- x2.
令 g( x ) = x lnx- x2 , 要使 a> xlnx - x 2 在[ 1, + ] ) 恒成立, 只需 a> g( x ) .
而 gc( x) = lnx - 2x + 1.
令 W( x) =
lnx -
2x + 1, 则 Wc( x ) =
_ x < 0 ] f c( x ) < 0, x> 0 ] f c( x ) > 0, 因此 f ( x ) 在 [ - 1, 1] 上先减后增.
为了使任意的 a I [ - 2, 2] , 不等 式 f ( x) [ 1 在[ -
1, 1] 上恒成立, 则
f ( - 1) [ 1, b [ - 2- a,
综上可知, 当 a \- 1 时, f ( x ) 在[ 1, e] 上为 增函数;
当 a [ - e 时, f ( x ) 在 [ 1, e] 上 为减函数; 当 - e [ a< - 1 时, 时 f ( x ) 在[ 1, - a] 上为 减函数, 在 [ - a, e] 上 为增函
数.
( Ò )由 f(x)<
1+
1a
a2 ).
( 2) 由( 1) 得 f ( x ) 在[ 1, e] 上是单调递减函数或先减
后增, _ f ( x ) 在 [ 1, e] 上 的 最大 值 为 f ( 1) 或 f ( e) . 而
f ( 1) = 0, f ( e) = ae-
a e
-
2.
而 g( x ) 在 [ 1, e ] 上 是 单 调 递减 函 数, _ gm in ( x ) = g ( e) = 2, 要使对 区间 [ 1, e] 上任 意 x1 和 x 2 总有 f ( x1 )
1+
1a
a2 )上是单调递减函数.
综合 ¹ º 得, 当 a \1 时, f ( x ) 的单 调 递增 区 间是
( 0, + ] ) ;
_ 当 0 < a < 1 时, f ( x ) 的 单 调 增 区 间 是 ( 0,
1-
1a
a2 )
和(
1+
1a
a2 ,
+
]
), 单调递减区间是
( 1-
1a
a2 ,