直角三角形相似的判定(一)
22.2.4直角三角形相似判定定理
A
A'B' A'C'
AB kA' B'，AC kA'C'
BC AB2 AC2
k 2 A' B'2 k 2 A'C'2
C
B
k A' B'2 A'C'2
A'
kB'C'
AB AC BC k A'B' A'C' B'C'
RtABC∽RtA' B'C'
C' B'
上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC，
求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE.
C E
F
A
D
B
分析：(1)要证明AE是∠CAB的平分线，
只要证明RtΔACE∽RtΔADF即可
(2)要证明AB•AF＝AC•AE， 只要证明ΔACF∽ΔABE
C E
F
证明：
A
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°； (2) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8； (3) AB＝10，AC＝8，A'B'＝15，B'C'＝9．
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°；
A 25°
B' 65°
65°
C'
A'
C
B
∵ ∠B=∠B ∠C=∠C
∴ ΔABC∽ΔA'B'C'
两角分别对应相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 强调：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.ABCDEF判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．强调：①有平行线时，用预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例2、如图,AB ⊥BD,CD ⊥BD,P 为BD 上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD 上由B 点向D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例3、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C =90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
1相似三角形的判定
∵∠ADC=∠ACB,又∠A=∠A,∴由判定定理 1,知
△ABC∽△ACD
∵AC CD
=
AB BC
,∴AACB
=
CD BC
,由判定定理
2
知,不能单独判断
△ABC∽△ACD
∵AC2=AD·AB,∴AACB
=
AD AC
,又∠A=∠A,由判定定理
2,知
△ABC∽△ACD
答案:C
3.直角三角形相似的判定 (1)定理1:如果两个果两个直角三角形的两条直角边 对应成比例 ,那么它 们相似 . (3)定理3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直 角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例 ,那么这两个直角三角形 相似.
△ABC中,DE∥BC,则△ABC∽△ADE.
(2)判定定理 1:对于任意两个三角形 ,如果一个三角形的两个角与 另一个三角形的两个角对应 相等,那么这两个三角形 相似.简述为: 两角对应 相等,两三角形相似 .
(3)引理:如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线 )所得的 对应线段 成比例,那么这条直线 平行于三角形的第三边 .
反思感悟 根据三角形相似的定义 ,可由三角形相似得到成比例的 线段,从而可推出线段长度之积相等 .在推理过程中 ,要注意对应边、 对应角 ,避免出现不对应的情况 .
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
变式训练 1如图,在平行四边形 ABCD中,点E在DC上.
若DE∶EC= 1∶2,则BF∶BE=
.
∴∠C'= 55°.
答案:55°
???'????'?= ????'???'?,
思考辨析 判断下列说法是否正确 ,正确的在后面的括号内画 “√ ”错, 误的画
23.2相似三角形的判定(直角三角形)
图3-22
直角相似三角形判定方法 小结
1、(定义法)三个角对应相等,且三条边对应成比例的 两个直角三角形叫作相似三角形. 2、（判定定理1）三边对应成比例的两个直角三角形
相似。 3、（判定定理2）两角对应相等的两个直角三角形 相似。 4、（判定定理3）两边对应成比例且夹角相等的两 个直角三角形相似 5、（特殊）任意两边对应成比例两个直角三角形相似
判断题
1. 两条直角边对应成比例的两直角三 角形相似。 （ ） 2. 有一锐角相等的两直角三角形相 似。 （ ） 3.
一直角三角形的三边分别为3，4， 5，另一直角三角形的两边分别为6， 8，则这两个直角三角形相似。
（ ×）Байду номын сангаас
基础练习：
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°，要使 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，应加什么条件？
55° （1）∠A=35° ，∠B′=________。 12 （2）AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。 3 （3）AB=5，AC=___，A′B′=10， A′C′=6。 4 （4）AB=10，BC=6， A′B′=5，A′C′=______. 3a （5）AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=_____
E F A D B
小结
1.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 2.直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角 形相似的方法对直角三角形同样适用。 3.让学生了解了用代数法证几何命题的思想方法。 4.关于探索性题目的处理。
例1， 已知：∠ABC=∠CDB=90°， AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎 样的关系式时，△ABC∽△CDB？
直角三角形相似判定定理
直角三角形相似判定定理
一、定义法
如果两个直角三角形的三条边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
二、定理法
1.勾股定理：在直角三角形中，勾股定理表述了直角三角形的两条直角边的
平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形相似。
2.毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，毕达哥拉斯定理表述了直角三角形的
两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形相似。
三、斜边中线法
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
如果两个直角三角形的斜边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
四、两锐角对应相等
如果两个直角三角形的两个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。
五、夹边中线法
在直角三角形中，夹边上的中线等于夹边的一半。
如果两个直角三角形的夹边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
六、两边对应成比例且夹角相等
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个直角三角形相似。
七、两边对应成比例且夹边平行
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
八、两锐角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两锐角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
九、两角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
直角三角形相似
E
F
B
D
要证明AB•AF＝AC•AE，只要证明 ΔACF∽ΔＡＢＥ
证明
(1) C是 D 斜 A上 B边 的高 又 ∠CAE=∠EAB
AD A FC 9E 0 又 A A E D AA FC
ΔACF∽ΔABE
AE AC AF AD
AC AF AB AE
ΔAEC∽ΔAFD
AB•AF=AC•AE
直角三角形相似
初三数学组
序言
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AB
则△ABC≌ △A'B'C'
3）(SSS)
若
AB BCCA 1 A B BC C A
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
经典：相似三角形判定复习(一)
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
C
B
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点， 连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
解：(1)∵∠A＝∠A ∴ 当∠ACP＝∠B时, △ACP∽△ABC.
M为斜边BC中点
又 ∵ ∠DMA=
∴AM=BM=BC/2
∠AME
∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∴△MAD∽ △MEA ② ∵ △MAD∽ △MEA
∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE
AM ME ∴ MD =AM
即AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
AA'BB'BB'CC'CC'AA'△ABC∽△A'B'C'
思考： 对于两个直角三角形，我们还
可以用“HL”判定它们全等。那么， 满足斜边的比等于一组直角边的比 的两个直角三角形相似吗？
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
∠C=∠C' =90o
C'
AC = A B A'C' A ' B '
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
A
2.△ABC中,∠ BAC是直角，过斜
D
B
E
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D,连AM. D A
直角三角形相似的判定-1
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(变式)
C
b
B D
如图:若例题的已知条件不 变，将△ABC∽△CDB改为 △ABC∽△BDC，此时BD与 a、b之间满足怎样的关系 式呢？
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(变式)
C
b
B D
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(变式)
C
b
B
D
如图:若例题的已知条件不 变，将△ABC∽△CDB改为 △ABC∽△BDC，此时BD与 a、b之间满足怎样的关系 式呢？
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C
b
B
D
如图:若例题的已知条件不 变，将△ABC∽△CDB改为 △ABC∽△BDC，此时BD与 a、b之间满足怎样的关系 式呢？
a
C
b
A
B
D
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A
a b
C
(变式)
B
如图:若例题的已知条件不 变，将△ABC∽△CDB改为 D △ABC∽△BDC，此时BD与 a、b之间满足怎样的关系 式呢？
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如图:若例题的已知条件不 变，将△ABC∽△CDB改为 D △ABC∽△BDC，此时BD与 a、b之间满足怎样的关系 式呢？
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C
b
B
D
如图:若例题的已知条件不 变，将△ABC∽△CDB改为 △ABC∽△BDC，此时BD与 a、b之间满足怎样的关系 式呢？
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初中数学相似三角形六大证明技巧
初中数学相似三角形六大证明技巧初中数学里的相似三角形呀，就像是一群有着特殊关系的小伙伴。
那证明相似三角形的技巧可真是超有趣的，就像玩游戏闯关一样，每一种技巧都是一个通关秘籍呢。
（一）平行于三角形一边的直线这就像是一个神奇的魔法线。
如果有一条直线平行于三角形的一边，那么它所截得的三角形与原三角形相似。
比如说在三角形ABC中，有一条直线DE平行于BC，那三角形ADE就和三角形ABC相似啦。
这就好像是复制粘贴了一个小三角形在大三角形里面，但是形状是一样的，只是大小不同。
这时候它们的对应角相等，对应边成比例。
这可是最简单最基础的一个技巧哦，就像是游戏里的第一关，轻松搞定。
（二）两角分别相等的两个三角形相似这个就更好理解啦。
如果两个三角形有两个角分别相等，那它们肯定相似。
比如说在三角形ABC和三角形DEF中，角A等于角D，角B等于角E，那这两个三角形就像是双胞胎一样，只是大小可能不一样。
这就像两个人长得很像，因为他们的某些特征是一样的。
这时候，不管三角形的边是长是短，只要角相等，就满足相似的条件啦。
（三）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似想象一下，两个三角形的两条边按照一定的比例存在，而且它们的夹角还相等。
就好像是两个三角形在做一种特殊的拉伸，但是拉伸的方向和比例是固定的。
比如说在三角形ABC和三角形DEF中，AB比DE等于AC比DF，而且角A等于角D，那这两个三角形就是相似的。
这就像是按照特定的规则把一个三角形变形为另一个三角形，而且变形后还是相似的关系呢。
（四）三边成比例的两个三角形相似这个就像是给三角形的三条边都定了一个比例规则。
如果三角形ABC的三条边AB、BC、CA与三角形DEF的三条边DE、EF、FD成比例，也就是AB比DE等于BC比EF等于CA比FD，那这两个三角形就相似啦。
这就好比是用同一个模具做出来的两个三角形，只是大小不同，形状是完全一样的。
（五）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似在直角三角形这个特殊的家族里，有这么一个独特的相似判定方法。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
三角形相似的判定(一)
练习1
如果在△ ABC 和△ DEF 中，
∠A=50°，∠B=60°，∠E=70°，
∠ F=50°,那么这两个三角形是否
相似？为什么？ ∠D = 60°
△ABC∽△FDE
练习2 如图，四边形 ABCD 是平行 练习2 如图，四边形 ABCD 是平行 四边形，指出图中的相似三角形 四边形，指出图中的相似三角形 （不包括全等）. （不包括全等）.
（不包括全等），并说明理由.
△ABD∽△GED；
练习2 在矩形ABCD中，EG⊥BD 于G点，请说出图中的相似三角形
（不包括全等），并说明理由.
△ABD∽△GED；
△CDB∽△GED.
练习3
在矩形ABCD中，EG⊥BD
于G点，请分别说出图中的相似三角
形（不包括全等），并说明理由.
练习3
在矩形ABCD中，EG⊥BD
△ADG∽△GDE； △ADG∽△AGE； △GDE∽△AGE；
△ADG∽△GDE； △ADG∽△AGE； △GDE∽△AGE； △ABG∽△GDE；
小 1．知识方面：
结
C
A
D
B
小 结
1．知识方面：
•判定定理1
C
A
D
B
小 结
1．知识方面：
•判定定理1
•有关“双垂图”
C
的重要结论
A
D
B
2．思想方法： 全等三角形 判定方法
∵∠A=∠A´，∠B=∠B´，
∴△ABC∽△A´B´C´.
例1 已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°，
∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°.
求证：△ABC∽△DEF.
例1 已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°，
两个直角三角形相似的判定
一直角三角形的三边分别为3，4， 5，另一直角三角形的两边分别为6， 8，则这两个直角三角形相似。
（ ×）
例1、 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90° ，AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎 样的关系式时，△ABC∽△CDB？
∠B= ∠两角对应相等，两三角形相似。 B' 定理3： ∠A= ∠A' ∠B= ∠B' △ABC∽△A'B'C'
B
C
一、知识回顾
2．判定两个直角三角形全等的方法
有哪些？
▲判定直角三角形全等除“SAS”，“ASA”， “ AAS”“SSS”方法外，还有“HL”的方法，即有斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等． 思考：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形是否相似呢？
随堂练习 2．已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，CD，C′D′分 别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′=AC∶A′C′
请说明：△ABC∽△A′B′C′．
3.如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是 BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC， 求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE。
直角三角形相似的判定
A
A′
c b
B
a
∟
C
B′
C′
一、知识回顾
1、相似三角形的判定定理： 定理1：三边对应成比例，两三角形相似。
AB BC CA △ABC∽△A'B'C' B' A' B' B' C' C' A'
相似三角形的判定一
ABC DEF相似三角形的判定(一)掌握相似三角形的判定方法：1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2、如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
3、如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
4、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 重点难点:相似三角形判定条件 【知识点回顾】 相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
即：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形。
（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ （2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．不相似，请说明理由。
，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111A C B A C B ∆∆例1、如图，方格纸上的每个小正方形的边长都为1，下列图中的三角形与右图中的△ABC 相似的是（）。
例2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=6，AC=4，DA=8.AC平分∠BAD 吗？为什么？例3、方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形。
相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)
相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。
相似比为k。
判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
两个直角三角形相似的判定定理
两个直角三角形相似的判定定理
两个直角三角形相似的判定定理是高中数学中的一个重要定理，主要用于解决与直角三角形相似性有关的问题。
本文将介绍两个直角三角形相似的判定定理及其证明，以及相似性在几何学中的应用。
1. 判定定理一：若一个直角三角形的两条直角边分别等于另一个直角三角形的两条直角边或者分别等于另一个直角三角形的一条非直角边和一条斜边，则这两个直角三角形是相似的。
对于判定定理一，我们需要使用勾股定理进行证明。
假设ΔABC和ΔDEF是两个直角三角形，并且AB=DE，AC=DF，BC=EF。
根据勾股定理可知：
AB²=AC²-BC² ，DE²=DF²-EF²
代入等式可得：
将等式左右两边同时加上BC²和EF²，可得：
因此，两个直角三角形ΔABC和ΔDEF是相似的。
a/sinB=b/sinA，c/sinE=d/sinF
BC=EF
a/b = c/d
两个直角三角形相似的判定定理在几何学中的应用十分广泛。
例如，在三角形相似问题中，我们可以使用判定定理一得出两个直角三角形之间的相似性，从而进一步解决整个问题。
此外，这个定理还可以应用于计算机视觉、机器人学、虚拟现实等领域。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
判断两个三角形是否相似是几何学中的重要问题，本文将介绍相似三角形的判定方法。
一、AA判定法AA判定法即如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF，满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么这两个三角形相似。
二、SAS判定法SAS判定法是指如果两个三角形的一对对应边的比例相等，并且夹角的大小也相等，则这两个三角形相似。
具体来说，如果三角形ABC 和三角形DEF，满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，且∠A = ∠D，那么这两个三角形相似。
三、SSS判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF，满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形相似。
值得注意的是，如果一个三角形的三个角的度数和另一个三角形的三个角的度数完全相等，但边的长度不同，则这个三角形并不一定是相似的。
四、比例法判定相似三角形除了上述的基本判定法之外，我们还可以利用比例法来判定两个三角形是否相似。
具体来说，我们需要比较两个三角形的相邻边的比例，如果这些比例相等，则两个三角形相似。
五、直角三角形的相似在判定直角三角形的相似性时，我们可以通过观察两个直角三角形的斜边和直角边的比例来判断它们是否相似。
如果两个直角三角形的斜边比例相等，并且直角边比例也相等，则这两个直角三角形相似。
总结：判定相似三角形的方法包括AA判定法、SAS判定法、SSS判定法、比例法以及直角三角形的相似性判定。
根据所给的条件，我们可以选择合适的判定方法来判断两个三角形是否相似。
相似三角形具有相同的形状，但尺寸不同，这种性质在实际应用中十分重要，可以用于解决计算距离、测量高度等问题。
相似三角形的判定方法可以帮助我们在解决几何问题时快速确定是否存在相似三角形，从而简化计算过程。
直角三角形相似的判定
直角三角形相似的判定
首先，可以确定的是，两个三角形的形状相似的前提是，它们的边都存在对应关系，即它们之间存在一定的比例关系。
其中，等腰直角三角形和直角三角形必须存在三种边比例相等的情况。
接下来，考虑相似三角形之间存在的角度情况，即两个相似三角形角具有相同的角数。
在此加以阐述，等腰直角三角形和直角三角形相似，即其中的两个直角角的角度都不相同，正数表示直角角，三个角的和等于180°，相应的，等腰直角三角形的三个角的和也将等于180°。
最后，等腰直角三角形和直角三角形相似性的判断，还需要考虑它们三角形的外接圆的情况，即它们的外接圆是否有相同的圆心。
如果它们的外接圆的圆心位置相同，则等腰直角三角形和直角三角形相似。
等腰直角三角形和直角三角形相似性的判断，要满足以上三方面的条件：边的比例，角的定义以及外接圆的位置条件，这三方面同时满足时，等腰直角三角形和直角三角形就是相似。
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∴
AB BC . A' B' B' C '
且∠C′=90°=∠C
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 3、AB=10，AC=8，A′B′=15， B′C′=9。
练习二
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。要使Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′，应 加什么条件？
55° 1、∠A=35° ，∠B′=________。 12 2、AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。 3 ，A′B′=10， A′C′=6。 3、AB=5，AC=___
∴
且∠C=∠C′=90° ∴ △ABC∽△A′B′C′
AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8。
③解：∵AB=10，AC=8，∠C=90°。
2 2 2 2 AB AC 10 8 6 ∴BC= AB 10 2 BC 6 2 ∴ A' B' 15 3 , B' C ' 9 3
1、∠A=25°，∠B′=65°。
①解：∵∠A=25°, ∠C=90°。 ∴ ∠B=65 °。
于是∠B′=65°=∠B ，
∠C′= 90°=∠C。 ∴△ABC∽△A′B′C′。
②解：∵AC=3，BC=4，
A′C′=6，B′C′=8。 ∴
AC 3 1 BC 4 1 , . A' C ' 6 2 B' C ' 8 2 AC BC . A' C ' B ' C '
直角三角形相似的判定
A
A′
c b
B
a
∟
C
B′
C′
一、复习提问
1、到目前为止我们总共学过几种判定两 个三
角形相似的方法？
答： （1）两角对应相等的两个三角形相似。 （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （3）三边对应成比例的两个三角形相似。
2、判定两个直角三角形相似有几种方法？
答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。
4、在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠C=90°，AB=10，AC=8，BC= 6 ； ∠D=90°，EF=5，DE=4，DF= 3 ； 这两个直角三角形 相似 。 问题：1、这两个直角三角形的已 知边（共四条）有什么关系？ 2、你是如何证明这两个直角三角 形相似的？
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二、学习内容
4、AB=10，BC=6， A′B′=5， A′C′=______. 4
3a 5、AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=_____
例：如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，
当BD与a,b之间满足怎样的关系式时，⊿ABC∽ ⊿CDB？
解：∵
∴当
a ∠ABC=∠CDB=90° = 时， ⊿ABC∽ ⊿CDB。
C
b
A
B
D
分析：要使R t⊿ABC∽ R t⊿CDB
即当
=
时， ⊿ABC∽ ⊿CDB
而题中已经知道R t⊿ABC的斜边和 一直角边及R t⊿CDB的斜边，利用 今天讲的这个定理可知只须加上条 件 = 即可。
∴BD=
C
时， ⊿ABC∽ ⊿CDB
答：当BD=
B
问：若改为⊿ABC∽ ⊿BDC，结果如何三角形相似呢？
答：一个锐角对应相等或两边对应
成比例的两个直角三角形相似。
2、直角三角形相似的判定定理的简单应
用。
3、初步了解转移比例的证法。
作业：练习册135－136页 1、2、3、4题。
；新宝6 / 新宝6 ；
有甚者,还有壹个是人头蛇身,总之都不是壹些正常の人类修士.似乎这些家伙,都是人和兽之间繁衍出来の怪种,后代.十三尊黑袍圣人个个都十分强大,绝不是十三个花瓶那么简单,站在那里壹排,声势十分吓人.每人の手中,都有壹颗类似于那样の弹丸.为首の是那位人头蛇身の家伙,而 且这个家伙还是壹个绝美の女人の脸,下面却是壹条十几米长の花蛇之身,看上去格外の诡异."别让咱主等急了,赶紧收拾了她们,拿东西走人..."女人蛇喋喋怪笑,从她の嘴里吐出壹枚白色の弹丸."好..."其它人立即也从嘴里,各自吐出壹颗白色の弹丸,大家每人の手中,各有壹黑壹白两 颗弹丸.这两颗弹丸の出现,令神殿中の七彩神尼,透过大殿中の水晶,脸色更加难看."小蓉,你快带着师姐妹们离开这里!"七彩神尼立即催促阿上,带着七彩神殿の人离开这里,她知道这些东西の恐怖,若是十三对黑白珠全部爆开の话,他们有可能杀进神殿之中.而目前自己又身受重伤,挡 住他们两三人还可以,但是他们有十三尊圣人,自己根本就拦不住他们."不!师尊!"阿上坚定の摇头,喝道,"要死大家壹起死!""咱等誓与师尊壹起共存亡!""对,要死壹起死,咱们绝不逃走!"殿内,还有壹百多名七彩神殿の女弟子,个个实力不弱,但是距离圣境还差得太远.就她们现在这些实 力,恐怕连壹位圣人都无法缠住,无法帮上七彩神尼什么忙,无非只能送死.这也是七彩神尼の暗疾,其实她并不是壹个冷酷无情の人,众多弟子之中,也从未逼过谁学习七绝.,除了阿上以前学过壹段时间,其它人都没有人让她们学.七彩神尼咳出壹口鲜血,阿上赶紧抱着她,其它の弟子也焦 急の上前关心她.七彩神尼苦涩の笑道："你们都是为师の好弟子,为师以你们为骄傲,不过咱七彩神殿壹脉,绝不可断了香火,你们听为师の,立即带着神殿离开此地,为咱壹脉续存香火!""师尊您别再说了!"阿上断然道,"咱们是绝不会抛下您离开の,而且就算咱们离开了,也逃不过他们の 追捕の,不如咱们再战壹场,死也要拉他们几人垫背...""对,听圣女の!""绝不苟且偷生!"这些女弟子也都是壹些果决之人,跟着七彩神尼和阿上她们,自然也不会是孬种.见这些平时素素の女弟子,个个都有这样の壹股豪气,七彩神尼也有壹丝欣慰,她勉强の挤出壹丝笑容对众人说："既然 大家有这份心,那就不要逃吧,如果真の逃走了,以后也无法再在修行路上前行了.不过咱们也不要总想着死,神殿中还有大量の机关,他们若是敢进来,咱们也要让他们付出代价.""你们听圣女の安排吧,她都知道怎么处理..."七彩神尼闭上眼睛.阿上立即给她嘴里喂上了两枚丹药,同时叫 来了一些修为最高の师姐妹,和大家商议了如何应付这些外面の强大の黑袍圣人....（正文贰16贰十三尊圣人）贰16叁狂怒"轰轰...""轰轰轰轰轰..."十三尊黑袍圣人,手中の黑白弹丸都飞向了七彩神殿の缺口处,黑与白之间壹接触,便会爆发出更加恐怖の爆炸の威力.缺口处被他们强 势轰开了,十三尊黑袍圣人齐涮涮の冲进了面前の神殿之中,落到了神殿最外面の那壹层道台之上."起..."就在这时,道台四周の角落里,亮起了壹层层の紫色光柱,壹个类似于结界壹样の封印将这十三尊黑袍圣人封印在了其中了,让他们壹时无法离开这里."壹群毛都没长齐の丫头,也敢 在这里放肆!"女人蛇冷笑壹声,扭头看了看壹旁の壹位人头马身の中年男人："桑德斯,看你の了!""好の,不在话下!"男人马喋喋冷笑,露出了壹排尖牙利齿,嘴角边还镶着壹条银钩.这也是壹个强大の圣人,他取出了壹套紫色の银针,男人马迅速の拿出银针,身形在这结界之中上窜下跳,没 壹会尔の功夫就用他の这套银针,在道台上织出了壹个复杂の像线型壹样の带阵."去死吧!"阿上等人也不是吃素の,这个道台准备了多少壹-本-读-年了,在神殿之中,壹直是第壹道屏障.结界上方,壹大片の白色の液体从上面飙了出来,形成了壹片瀑布壹样の东西,开始向下面涌."这是化 灵毒!"女人蛇面色壹变,立即认出了这种液体の来历,是可怕の化灵毒,若是他们沾染上了,也会有比较大の麻烦."开..."其中壹位男人猴,跳到了女人蛇の面前,双手撑开了壹道光幕,将众人都给守在了其中,光幕将化灵毒挡在了外面,并无法渗进其中.不过纵是如此,也能看到刺眼の光亮, 那化灵毒正在慢慢の腐蚀着这片光幕."桑德斯,开始吧!"女人马看向了男人马,要让他尽快破开这结界,离开这里,避开这恐怖の化灵毒.有了光幕の支撑,男人马这才有了空余の时间,开始拿着银针在封印中壹片壹片の剥离,正在撤开这片封印结界.而在神殿の最深地,阿上等女此时也正十 分紧张の看着面前の巨大水晶球,从这里面可以看到道场中の情况."师尊,现在咱们怎么办?"阿上有些担心.从那男人马の情况来看,应该可以轻松の破的掉那道台上の封印,到时迟早会冲破出来,而那化灵毒也无法伤到他们."不要着急,等他们耗费点元灵之力再说..."七彩神尼闭目调养, 正在紧张の恢复.她虽比根汉の境界要高很多,成名已久,但是却没有根汉那种变太の恢复能力,仅仅倚仗吃东西就可以快速の恢复元灵之力.阿上紧紧の拿着壹块七彩神玉,操控现在神殿中の各种机关,都要倚仗这块七彩神玉,这东西要是丢了の话可就有大麻烦了.这便是七彩神殿の根,这 些人模怪样の黑袍圣人,要夺走の就是这块神玉,以及这座神殿.大概过了半小时左右,那男人马终于是解开了道台上の结界封印,银针飞舞,拉开了这道台上の封印,封印就此结束."走..."女人蛇冷哼壹声,长臂壹挥,带着众人前行,跳上了远处の壹块紫色仙石."呃..."就在这时,壹位男人 猪突然身上发出了壹阵阵黑烟,竟然被这仙石将肌体给烤成了焦黑色,疼の他大叫壹声,元灵从躯体中飙出来.剩下の十二人,也紧急离开了仙石,男人猪在虚空中惨叫两声,然后又是壹副新の躯体从虚空中浮现出来."该死,这是什么鬼东西!"虽然又恢复了新の躯体,但是新の躯体却远不如 之前の躯体强悍,没有经过淬炼,令男人猪大怒不已.女人蛇沉声道："大家都小心壹些,这神殿中有大量の机关,将东西拿在手上,别被那神尼给暗算了!""恩..."众人都是圣人,经过の战斗无数,自然也知道这其中の凶险.