学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：反证法

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北师大版高中数学选修2-2同步训练反证法

（3）反证法1、用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根B.方程20x ax b ++=至多有一个实根C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根2、用反证法证明命题“若220a b +=,则,a b 全为0”其反设正确的是( )A. ,a b 至少有一个不为0B. ,a b 至少有一个为0C. ,a b 全不为0D. ,a b 中只有一个为03、用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c 、、中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（）A.假设a b c 、、都是偶数B.假设a b c 、、都不是偶数C.假设a b c 、、至多有一个偶数D.假设a b c 、、至多有两个偶数4、用反证法证明命题:“若,Z,a b ab ∈能被5整除,则,a b 中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是( )A. ,a b 都能被5整除B. ,a b 都不能被5整除C. ,a b 有一个能被5整除D. ,a b 有一个不能被5整除5、用反证法证明“,,a b c 中至少有一个大于0”,下列假设正确的是( )A.假设,,a b c都小于0B.假设,,a b c都大于0C.假设,,a b c中至多有一个大于0 D.假设,,a b c中都不大于06、设x、y、z都是实数,1a xy=+,1b yz=+,1c zx=+,则,,a b c三个数( )A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于27、反证法是( )A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法B.对其否命题的证明C.对其逆命题的证明D.分析法的证明方法8、用反证法证明命题“自然数,,a b c,中恰有一个偶数”时,需假设( ) A.,,a b c都是奇数B.,,a b c都是偶数C.,,a b c都是奇数或至少有两个偶数D.,,a b c至少有两个偶数9、以下各数不能构成等比数列的是( )A.1,4,16B.C.3,6,9D.10、如果两个实数之和为正数,则这两个数( )A.一个是正数,一个是负数B.两个都是正数C.至少有一个是正数D.两个都是负数11、完成反证法证题的全过程.设127,,,a a a ⋯是1,2,,7⋯的一个排列,求证:乘积()()()127127p a a a =--⋯-为偶数.证明:假设p 为奇数,则1271,2,,7a a a --⋯-均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=__________=__________=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p 为偶数.12、用反证法证明命题“如果a b >,>,假设的内容是_________.13、用反证法证明命题:若整系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有有理数根,那么a ,b ,c 中至少有一个是偶数时,则假设的内容是__________.14、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于60°”时,正确的假设为__________.15、设函数()()20f x ax bx c a =++≠,,,a b c 均为整数,且()()0,1f f 均为奇数。

《反证法》学案1(北师大版选修1-2)

反证法导学（一）知识归纳：1．用反证法证明命题的一般步骤如下：①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.2．反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：①结论本身以否定形式出现；②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.（二）学习要点：1．用反证法证题的关键是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：2．反证法证题的难点是如何引出“矛盾”，用反证法证明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：①由假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即与原命题的条件矛盾，这种情况实际上是证明了命题的“逆否命题”正确；②由假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由“非q为真”推出了“q 为真”，形成了自相矛盾；③由假设结论q不成立，经过推理论证得到一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个显然的概念、结论矛盾.但在实际应用时，究竟如何引出矛盾必须根据命题本身的数学内容进行探索，有时很难事先估计如何引出矛盾或是否能用反证法证明成功，正是由于这些难点，所以在高考中反证法出现得较少.例1.用反证法证明下述命题：（Ⅰ）某班有49位学生，证明：至少有5位学生的生日在同一个月.[解析]“至少有5位”的反设是“至多只有4位”.[证明]假设至多只有4位学生的生日在同一个月，即生日同在1，2，3，…12月的学生人数都不超过4人，∴该班学生总数m≤4×12=48人，与该班有49个学生的条件矛盾，∴假设不成立，∴至少有5位学生的生日在同一个月.（Ⅱ）设f(x)=x2+ax+b,求证：|f(1)|、| f(2)|、| f(3)|、中至少有一个不小于.[证明] 假设由①、②得两式相加得－4<a<－2 ④，由②、③得，两式相加得－6<a<－4 ⑤，显然④与⑤矛盾，∴假设不成立，∴|f(1)|、| f(2)|、| f(3)|、中至少有一个不小于.（Ⅲ）设三个正实数a、b、c满足条件=2求证：a、b、c中至少有两上不小于1.[证明]假设a, b, c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：（1）a、b、c三数均小于1，即0<a<1 , 0<b<1, 0<c<1,则∴>3与已知条件矛盾；（2）a、b、c中有两数小于1，设0<a<1, 0<b<1,而c≥1，则∴>2+>2，也与已知条件矛盾；∴假设不成立，∴a、b、c中至少有两个不小于1.[评析]象上面的这些例题，要证明的结论是“至多、至少”等，还是比较容易判断需要用反证法，从证明过程可以看出难点是“引出矛盾”，需有一定的能力，因此反证法在高考中很少要求.例2.已知a、b、c是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.①由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.例3.若x、y、z均为实数，且a=x2－2y+，b=y2－2z+，c=z2－2x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由.解：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0.而a+b+c=x2－2y++y2－2z++z2－2x+=（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3，∵π－3＞0，且无论x、y、z为何实数，（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2≥0，∴a+b+c＞0.这与a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0.●思悟小结1.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.。

2020-2021学年北师大版高中数学选修1-2《反证法》同步练习题及解析

（新课标）最新北师大版高中数学选修1-23.4 反证法（北京师大版选修1-2）一、选择题（每小题8分，共24分）1. 用反证法证明：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数2. 已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f(x1＋x22)<f(x1)＋f(x2)2，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A．y＝log2x B．y＝xC．y＝x2D．y＝x33. 用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件二、填空题（每小题7分，共28分）4．命题“在△ABC 中，若∠A>∠B ，则a>b ”的结论的否定应该是 .5. 如果用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．6. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°.正确顺序的序号排列为____________．7.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_____．三、解答题（每小题12分，共48分）8.若x y z ，，均为实数，且2π22a x y =-+，2π23b y z =-+，2π26c z x =-+．求证：a b c ，，中至少有一个大于零．.9. 设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 中，c b a ,,均为整数，且)1(),0(f f 均为奇数.求证：0)(=x f 无整数根.10.已知：a ＋b ＋c>0，ab ＋bc ＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.11.已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能同时大于14.3.4 反证法（北京师大版选修1-2）参考答案一、选择题1.B2.C3.B二、填空题4.a ≤b5.a ，b 都不能被5整除6.③①②7.没有一个是三角形或四边形或五边形三、解答题8.证明：假设a b c ，，都不大于0，即000a b c ，，≤≤≤，则0a b c ++≤．由2π22a x y =-+，2π23b y z =-+，2π26c z x =-+，得222(1)(1)(1)π3π30a b c x y z ++=-+-+-+-->≥，即0a b c ++>，这与0a b c ++≤矛盾．所以假设不成立，即a b c ，，中至少有一个大于零．9.证明：假设0)(=x f 有整数根n ，则20(),an bn c n ++∈Z = 而)1(),0(f f 均为奇数，即c 为奇数，a b +为偶数，则,,a b c 同时为奇数或,a b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，2anbn +为偶数；当n 为偶数时，2an bn +也为偶数，即2an bn c ++为奇数，与20an bn c ++=矛盾.()0f x ∴=无整数根.10.证明：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a ＋b ＋c>0，可得c>－(a ＋b)，又a ＋b<0，∴ c(a ＋b)<－(a ＋b)(a ＋b),ab ＋c(a ＋b)<－(a ＋b)(a ＋b)＋ab,即ab ＋bc ＋ca<－a 2－ab －b 2.∵ a 2>0，ab>0，b 2>0，∴ －a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca<0，这与已知ab ＋bc ＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．11.证法1：假设(1－a)b 、(1－b)c 、(1－c)a 同时大于14. ∵ a 、b 、c 都是小于1的正数，∴ 1－a 、1－b 、1－c 都是正数.(1－a)＋b 2≥(1－a)b ＞14＝12，同理(1－b)＋c 2＞12，(1－c)＋a 2＞12. 三式相加，得(1－a)＋b 2＋(1－b)＋c 2＋(1－c)＋a 2＞32，即32＞32，矛盾．所以(1－a)b 、(1－b)c 、(1－c)a 不能同时大于14. 证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得 (1－a)b(1－b)c(1－c)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫143. ① 因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14. 同理，0<b(1－b)≤14，0<c(1－c)≤14. 所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫143.② 因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．。

学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：导数的概念

§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念课时目标 1.了解导数的概念及实际背景.2.会求函数在某一点的导数，并理解其实际意义．设函数y ＝f(x)，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f(x 0)变到f(x 1)，函数值y 关于x的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f （x ）在x 0点的瞬时变化率,.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10lim x x →f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 一、选择题1．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－22．下列各式正确的是( )A.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)x B.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )＋f (x 0)Δx C.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx D.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )＋f (x 0)Δx 3.设f(x)在x= x 0处可导，则0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)4．函数y ＝x 2－1在x ＝1处的导数是( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对5．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的导数值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－16．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( )A ．－1B .12C .13D ．1 题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________．8．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则0limx ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________ 9．设函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______.三、解答题10．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处的导数．11.心理学家研究发现，学生的接受能力G 和教师提出概念所用的时间x(时间单位：分钟)有如下关系：G(x)＝0.1x 2＋2.6x ＋43，计算G ′(10)．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f(x)≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 13．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体在运动开始及第5秒末时的速度．1．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx2．导数就是瞬时变化率，可以反映函数在某一点处变化的快慢．§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念作业设计1．B2．C3.A [0limx ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx =0lim x ∆→－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx =－0lim x ∆→f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－f ′(x 0)．] 4．C5.A6．D7．4 m /s解析 s ′(2) =0lim x ∆→2(2＋Δt )3－5(2＋Δt )2－(2×23－5×22)Δt ＝4.解析 0limx ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx =－0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－11.9．2 解析 ∵f ′(1)=0limx ∆→a (1＋Δx )－a Δx ＝a ＝2. ∴a ＝2.10．解 ∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx·(1＋1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx·(1＋1＋Δx )， ∴0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→－11＋Δx·(1＋1＋Δx )=－11＋0·(1＋1＋0)＝－12， ∴y ′|x=1＝f ′(1)＝－12. 11．解 G ′(10)=0lim x ∆→G (10＋Δx )－G (10)Δx =0lim x ∆→0.1(10＋Δx )2＋2.6(10＋Δx )－0.1×102－2.6×10Δx ＝4.6.12．2解析由导数的定义，得f ′(0)=0lim x ∆→f (Δx )－f (0)Δx ＝0lim x ∆→a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝0lim x ∆→＝b. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a>0，∴ac ≥b 24，∴c>0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 13．解 s ′(0) =0lim x ∆→4(0＋Δt )2＋2Δt －3－(4×02＋2×0－3)Δt ＝2；=0lim x ∆→4(5＋Δt )2＋2(5＋Δt )－3－(4×52＋2×5－3)Δt ＝42，故物体在运动开始的速度为2 m /s ，第5秒末时的速度为42 m /s .。

学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：第四章单元检测B

第四章导数应用(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．5．若函数f (x )＝a sin x ＋sin x 在x ＝π3处有极值，那么a 等于( ) A ．2 B ．－1 C.233D ．0 6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调减区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)D ．(0,2)7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )8．方程x 3＋x 2＋x ＋a ＝0 (a ∈R )的实数根的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．函数y ＝4x －x 4在x ∈上的最大值，最小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (1)与f (2)C ．f (－1)与f (2)D ．f (2)与f (－1)10．函数f (x )＝2x 2－13x 3在区间上的最大值是( ) A.323 B.163C ．12D ．9 11．对于函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)，正确的是( )A ．有极大值和极小值B ．有极大值无极小值C ．无极大值有极小值D ．无极大值无极小值12．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值是( )A ．a ＝－11，b ＝4B ．a ＝－4，b ＝11题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若f (x )＝－12x 2＋b ln x ＋2在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是__________． 14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________． 15.如图所示，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题： ①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈．②f (x )的极值点有且只有一个．③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值． (1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．20．(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？21.(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图像在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．第四章导数应用(B)1．B2．D3．C 4．A 5．B6．D7．A8．B9．B10．A11．D12．D13．(－∞，0]解析 ∵f ′(x )＝－x ＋b x ＝－x 2＋b x，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，即f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，又x >0，故－x 2＋b ≤0在(0，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在(0，＋∞)上恒成立．∴b ≤0.14．4解析若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4. 所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0，即x ∈．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233. 根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.∴x ＝－233是极大值点也是最大值点． x ＝233是极小值点也是最小值点． f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确．17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立．由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0，即x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1. 又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5，①由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0，即x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1. 又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7，②∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意，∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7.18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2. f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1，令f ′(x )<0，得－23<x <1. 所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈，由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )<c 2，x ∈恒成立，则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )<0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在(－1,3)上f ′(x ) >0，所以f (x )在上单调递增，又由于f (x )在上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间上的最大值和最小值．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间上的最小值为－7.20．解设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%， y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%. 令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．21．(1)解由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0，即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x. ∵x >1时，f ′(x )>0，∴f(x)在上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)证明令F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2－23x3＋ln x，∴F′(x)＝x－2x2＋1x ＝x2－2x3＋1x＝x2－x3－x3＋1x＝(1－x)(2x2＋x＋1)x.∵x>1，∴F′(x)<0，∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴F(x)<F(1)＝12－23＝－16<0.∴f(x)<g(x)．∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图像在g(x)＝23x3＋12x2的下方．。

【学案导学备课精选】高中数学 3.4反证法同步练习(含解析)北师大版选修1-2

§4 反证法课时目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．反证法：先假定____________________成立，在这个前提下，若推出的结果与____________________相矛盾，或与命题中的______________相矛盾，或与________相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定________________成立．2．反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角2．实数a 、b 、c 不全为0的含义为( )A ．a 、b 、c 均不为0B ．a 、b 、c 中至多有一个为0C ．a 、b 、c 中至少有一个为0D ．a 、b 、c 中至少有一个不为03．如果两个数的和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个是正数D ．两个都是负数4．设x 、y 、z 均为正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于25．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为( )A ．a ，b ，c 都是偶数B ．a ，b ，c 都不是偶数C ．a ，b ，c 中至多一个是偶数D ．至多有两个偶数二、填空题6．用反证法证明命题“x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时应假设为____________．7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为__________．(填序号)8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．三、解答题9．若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．10.已知三个正数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列．能力提升11．在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.12．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．1．在使用反证法时，必须在假设中列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．2．推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法．3．对于否定性命题，结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．§4 反证法答案知识梳理1．命题结论的反面定义、公理、定理已知条件假定命题的结论作业设计1．B2．D3．C4．C5．B6．x ＝a 或x ＝b解析否定结论时，一定要全面否定，x ≠a 且x ≠b 的否定为x ＝a 或x ＝b .7．③①②解析考查反证法的一般步骤．8．丙解析若甲说的话对，则丙、丁至少有一人说的话对，则乙说的话不对，则甲、丙至少有一个人获奖是对的．又∵乙或丙获奖，∴丙获奖．9．解设三个方程均无实根，则有：⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12a <－1或a >13－2<a <0. 即－32<a <－1. 所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根． 10．证明假设1a ，1b ，1c成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac. ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2b ac⇒b 2＝ac .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ⇒(a ＋c )2 ＝4ac ⇒(a －c )2＝0⇒a ＝c .又2b ＝a ＋c ，∴a ＝b ＝c .因此，d ＝b －a ＝0，这与d ≠0矛盾．所以1a ，1b ，1c不可能成等差数列． 11．证明假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角(不妨设C 为最大角)， ∴B ≥A ≥60°，C >A ≥60°，∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾， ∴假设错误，原结论成立，即A <60°.12．证明假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0(x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1. 解上述不等式，得12<x 0<2.这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．。

【优教通-同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2教案：第3章-反证法-参考学案

3.4 反证法学习目标1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.学习过程一、课前预备复习1：直接证明的两种方法: 和;复习2：是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※学习探究探究任务：反证法问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题，经过正确的推理，最终得出，因此说明假设，从而证明白原命题.这种证明方法叫.试试：证明：5,3,2不行能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→ 从假设动身，经推理论证得到冲突→ 冲突的缘由是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而确定原命题真实.※典型例题例1 已知0a≠,证明x的方程ax b=有且只有一个根. 变式：证明在ABC∆中,若C∠是直角,那么B∠确定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出冲突（与已知条件冲突，或与假设冲突，或与定义、公理、定理、事实冲突等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能相互平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. ※动手试试练1. 假如12x>,那么2210x x+-≠.练2. ABC∆的三边,,a b c的倒数成等差数列,求证:90B<︒.三、总结提升※学习小结1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出冲突；④确定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.学习评价※自我评价你完成本节导学案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）.A ．假设三内角都不大于60︒B ．假设三内角都大于60︒C ．假设三内角至多有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个大于60︒ 2. 实数,,a b c 不全为0等价于为（）. A ．,,a b c 均不为0 B ．,,a b c 中至多有一个为0 C ．,,a b c 中至少有一个为0 D ．,,a b c 中至少有一个不为03.设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++（）. A ．都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 4. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 . 5. “4x >”是“240x x ->”的条件. 课后作业1. 已知,0x y >,且2x y +>.试证:11,x yy x++中至少有一个小于2.2. 证明2不是有理数.。

《学案导学与随堂笔记》北师大版数学选修1-2全套备课精选同步练习第二章章末检测(A)

章末检测(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列表示旅客搭乘火车的流程，正确的是()A．买票→候车→上车→检票B．候车→买票→上车→检票C．候车→买票→检票→上车D．买票→候车→检票→上车2．要描述一工厂的某产品的出厂过程，应用()A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图3．下列判断不正确的是()A．画工序流程图类似于算法的流程图，从上到下，逐步细化B．在工序流程图中可以出现循环回路C．工序流程图中的流程线表示两相邻工序之间的衔接关系D．结构图中基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系4．根据二分法原理求解方程x2－2＝0得到的流程图可称为()A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图5．按照下图的程序计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是() A．6 B．21 C．156 D．2316．下列结构图中，体现要素之间是逻辑先后关系的是()7．将x＝2输入以下程序框图，得结果为()A．3 B．5 C．8 D．128．下面是对三角形分类的结构图，其中不正确的是()9．如图所示的结构图中“工程部门”的上位是()A．技术研发部门B．综合办公室C．总经理D．股东大会10．下图为Sum＝1＋3＋5＋…＋101的程序框图，其中①应为()A．A＝101? B．A≤101?C．A>101? D．A≥101?11．如图所示的是成品加工流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过的工序的道数是()A．6或8 B．5或7 C．4或5 D．7或812．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有一程序框图如图所示：该算法解决的是_________________________________________________________．14．景泰蓝是深受人们喜爱的手工艺品，现在我们把它的制作流程叙述一下：第一步制胎，第二步掐丝，第三步点蓝，第四步烧蓝，第五步打磨，第六步镀金．请你用工序流程图，在图中描述出以上工序：→→→烧蓝→→15．已知框图如图所示：若a＝5，则输出b＝________.16．下图是某公司的组织结构图，后勤部的直接领导为____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)用流程图表示解“简单的线性规划问题”的一般步骤．18．(12分)建立数学模型一般都要经历下列过程：从实际情境中提出问题，建立数学模型，通过计算或推导得到结果，结合实际情况进行检验．如果合乎实际，就得到可以应用的结果，否则重新审视问题的提出、建模、计算或推导得到结果的过程，直到得到合乎实际的结果为止．设计一个流程图表示这一过程．19．(12分)观察如图所示的程序框图，说明它所表示的函数．20.(12分)设计判断数列{a n}是否为等比数列的流程图．21．(12分)到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行要收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元但不超过100万，一律收取50元手续费，超过100万则不予办理．请画出求汇款额为x元时，银行收取的手续费y元的流程图．22．(12分)某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处，各科室共同管理和服务各班级，试画出该校的行政组织结构图，并由结构图说明学校的管理工作是怎样进行的？第二章框图(A)答案1．D2．B3．B4．A5．D6．C7．D8．B9．B10．B11．B12．A13．输出不大于990且能被15整除的正整数解析由算法流程图知从n＝1开始，a＝15n为15的倍数．又根据n>66即结束，则a为从15开始到15×66的66个整数．由于15×66＝990，则该算法解决的是输出不大于990且能被15整除的所有正整数．14．制胎掐丝点蓝打磨镀金15．26解析若a＝5，程序执行“否”，计算b＝52＋1＝26.故b＝26.16．专家办公室17．解参考流程图如图所示．阅读题目↓ 写出约束条件↓ 写出目标函数↓作出平面区域表示可行域↓在可行域内平行移动目标函数所在直线，使目标函数取得最大(小)值↓解方程组，求得最优解↓代入最优解，求得目标函数的最值18．解流程图如图所示：19．解由题意知，程序框图表示的函数为y ＝⎩⎨⎧x2＋3 (x <0)，0 (x ＝0)，x2－5 (x >0).20．解如图所示．21．解要计算手续费，首先建立汇款额与手续费之间的函数关系式，依题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0<x ≤100，x ×0.01， 100<x ≤5 000，50， 5 000<x ≤1 000 000.流程图如图所示：22．解该校的行政组织结构图如下：由图可知：学校的现有管理工作由校长总负责，然后由两名副校长分别负责教学工作和后勤工作，校长办公室对校长负责，处理学校工作，班级是学校的基本单位，各部门科室都有责任管理和服务于班级，班级工作是最基础的学校工作．。

高中数学北师大版选修2-2学案1.3 反证法 Word版含解析

§反证法.了解间接证明的一种基本方法——反证法..理解反证法的概念及思考过程和特点.(难点).掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材～“例”以上内容，完成下列问题..反证法的定义先假定，在证明数学命题时命题结论的反面，成立在这个前提下若推出，、定理公理定义相矛盾的结果与、，假定或与命题中的，或与已知条件相矛盾从而说明命题结论的反面相矛盾不可能成立，，命题的结论成立.这种由此断定证明方法叫作反证法..反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若则”的过程可以用以下框图表示：→→“且﹁”,为假))→“若则”,为真))判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()反证法属于间接证明问题的方法.( ) ()反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理.( )()反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.( )【解析】()正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法.()错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.()错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.【答案】()√()×()×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()求数列{}的通项与前项和；()设＝(∈＋)，求证：数列{}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【精彩点拨】第()问应用＝＋(－)和＝＋(－)两式求解.第()问先假设存在三项，，成等比数列，再用反证法证明.【自主解答】()设等差数列{}的公差为，由已知得∴＝，故＝－＋，＝(＋).()证明：由()得＝＝＋.。

《学案导学与随堂笔记》北师大版数学选修1-2全套备课精选同步练习3.1归纳与类比

第三章推理与证明 §1 归纳与类比课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳与类比2.合情推理归纳和类比都是合情推理，得出的结论____________________．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误2．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n的一个表达式是( )A ．n 2－1B ．(n －1)2＋1C ．2n －1D ．2n －1＋13．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 ……A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113 4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35. 观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A ．■B ．C ．□D ．○二、填空题6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是__________________________．7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．8．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.三、解答题9．观察等式sin 220°＋sin 240°＋sin 20°·sin 40°＝34；sin 228°＋sin 232°＋sin 28°·sin 32°＝34.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．10.已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n (n ∈N *)，求出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式．.能力提升11．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在时，记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．1．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系．在应用类比推理时，其一般步骤为：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．③检验这个猜想．第三章推理与证明 §1 归纳与类比答案知识梳理作业设计 1．B 2．C 3．B 4．B 5．A6．正四面体的内切球的半径是高的14解析原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是高的14.7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．962解析观察各式容易得m ＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，将m ＝512代入得n ＋p ＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n ＋14p －1，化简整理得n ＋4p ＋200＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋p ＋350＝0，n ＋4p ＋200＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－400，p ＝50.∴m －n ＋p ＝962.9．解 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，而cos 60°＝12，sin 60°＝32，由此题的条件猜想，若α＋β＝60°，则sin 2α＋sin 2β＋sin α·sin β＝sin 2(α＋β)＝34.10．解由a 1＝S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1得，a 1＝1a 1，又a 1>0，所以a 1＝1.当n ≥2时，将S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ， S n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1的左右两边分别相减得a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，整理得a n －1a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，所以a 2－1a 2＝－2，即a 22＋2a 2＋1＝2，又a 2>0，所以a 2＝2－1.同理a 3－1a 3＝－22，即a 23＋22a 3＋2＝3，又a 3>0，所以a 3＝3－ 2.可推测a n ＝n －n －1.11．D12．证明类似性质为：若M 、N 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与P 点位置无关的定值．其证明如下：设P (x ，y )，M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2＝b 2a 2(m 2－a 2)．∴k PM ＝y －nx －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m ，又x 2a 2－y 2b 2＝1，即y 2＝b 2a2(x 2－a 2)， ∴y 2－n 2＝b2a 2(x 2－m 2)．∴k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a2. 故k PM ·k PN 是与P 点位置无关的定值．。

北师大版数学【选修2-2】《反证法》导学案（含答案）

北师大版数学【选修2-2】《反证法》导学案（含答案）第4课时反证法1.理解反证法的概念.2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题的步骤.3.理解反证法与命题的否定之间的关系.生活中的反证法:妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆.有一次,我和爸爸在看电视,妹妹和妈妈在厨房洗碗.突然,有盘子打碎了,当时一片寂静.我说一定是妈妈打破的.为什么呢?问题1:如何证明上述结论呢?证明:假如,妈妈一定会大骂,当时是没有.所以结论是妈妈打破了盘子.问题2:反证法的意义及用反证法证明命题的基本步骤假设命题结论的成立,经过正确的推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法.用反证法证明问题的基本步骤:(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从这个,经过推理论证,得出;(3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.问题3:反证法得出的矛盾的主要类型(1)与已知条件矛盾,(2)与已有公理、定理、定义矛盾,(3)自相矛盾.问题4:适合用反证法证明的试题类型(1)直接证明困难,(2)需分成很多类进行讨论,(3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题,(4)结论为“唯一”类命题.1.否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是().A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解2.用反证法证明命题“如果a>b,那么>”时,假设的内容应是().A.=B.<C.=且<D.=或<3.已知a、b、c成等差数列且公差d≠0,那么、、成等差数列.(填“能”或者“不能”)4.已知函数f(x)=a x+(a>1),用反证法证明:f(x)=0没有负实根.用反证法证明否定性命题设{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,c n=a n+b n,证明:数列{c n}不是等比数列.用反证法证明唯一性命题求证:方程5x=12的解是唯一的.用反证法证明至多、至少等形式的命题实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个负数.已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.已知a与b是异面直线.求证:过a且平行于b的平面只有一个.若a、b、c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:a、b、c中至少有一个大于0.1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用().①结论相反的判断即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原结论.A.①②B.①②④C.①②③D.②③2.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是().A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角3.在用反证法证明命题“若x>0,y>0且x+y>2,则和中至少有一个小于2”时,假设为“”.4.用反证法证明:如果x>,那么x2+2x-1≠0.(2013年·陕西卷)设{a n}是公比为q的等比数列,(1)推导{a n}的前n项和公式;(2)设q≠1,证明数列{a n+1}不是等比数列.考题变式(我来改编):答案第4课时反证法知识体系梳理问题1:不是妈妈打破的问题2:反面(2)假设出发矛盾基础学习交流1.C2.D否定结论>,可得≤,即=或<.3.不能∵a、b、c成等差数列,∴2b=a+c,假设、、成等差数列,则=+,∴(a+c)2=4ac,∴(a-c)2=0,∴a=c,从而d=0,与d≠0矛盾,∴、、不可能成等差数列.4.解:假设存在x0<0(x0≠-1),满足f(x0)=0,则=-.又0<<1,所以0<-<1,即<x0<2,< p="">与假设x0<0(x0≠-1)矛盾,故f(x)=0没有负实根.重点难点探究探究一:【解析】假设数列{c n}是等比数列,则(a n+b n)2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1),①因为{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=a n-1a n+1,=b n-1b n+1,代入①并整理得:2a n b n=a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n(+),即2=+,②当p,q异号时,+<0,与②相矛盾;当p,q同号时,由于p≠q,所以+>2,与②相矛盾.故数列{c n}不是等比数列.【小结】利用反证法证明本题的关键是假设数列{c n}是等比数列后,根据等比数列的性质找到矛盾.题目利用了等比中项找到{a n},{b n}的公比满足的条件2=+,结合不等式的知识可知此式不成立,从而得到矛盾.探究二:【解析】由对数的定义易得x1=log512是这个方程的一个解.假设这个方程的解不是唯一的,它还有解x=x2(x1≠x2),则=12.因为=12,则=1,即=1.①由假设得x2-x1≠0,当x2-x1>0时,有>1;②当x2-x1<0时,有<1.③显然②③与①都矛盾,这说明假设不成立,所以原方程的解是唯一的.【小结】有关唯一性命题的证明问题,可考虑用反证法.“唯一”就是“有且只有一个”,其反面是“至少有两个”.探究三:【解析】假设a,b,c,d都是非负数,则1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd,这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d至少有一个负数.【小结】解决本题的关键是假设a,b,c,d都是非负数后,通过怎样的途径来找矛盾.本题给出了两个条件“a+b=c+d=1,ac+bd>1”,显然应将这两个条件联系起来,这样很自然地想到利用(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)建立两个已知的关系,从而为找矛盾奠定基础.思维拓展应用应用一:假设三式同时大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,∵a,b,c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>,又(1-a)a≤()2=,同理,(1-b)b≤,(1-c)c≤,∴(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤,这与假设矛盾,故原命题得证.应用二:如图,假设过直线a且平行于直线b的平面有两个,分别为平面α和β.在直线a上取点A,过b和A确定一个平面γ,且γ与α、β分别交于过点A的直线c、d,由b∥α知b∥c,同理b∥d,故c∥d,这与c,d相交于点A矛盾,故假设不成立,所以原结论成立.应用三:假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤0,而a+b+c</x0<2,<>。

学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：第四章章末检测A

章末检测 (A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 2．下列说法正确的是( )A ．0i 是纯虚数B ．原点不是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D ．i 2是虚数3．若θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( )A ．x 0＝4B ．x 0＝1C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在 5．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2等于( ) A ．－3－4iB ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 6．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2 ，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A.14 B.12C ．1D ．2 7．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i ＝1＋i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝38．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( )A ．－5＋2iB ．－5－2i C.5＋2i D.5－2i 9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( )A ．－1 000－1 000iB ．－1 002－1 002iC ．1 003－1 002iD ．1 005－1 000i10．设复数z 满足1－z 1＋z＝i ，则|1＋z |等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．211．若z 1＝(2x －1)＋y i 与z 2＝3x ＋i (x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．f (n )＝i n ＋i －n (n ∈N ＋)的值域中的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无穷多个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．z 1是复数，z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为______．14．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．15．若复数z ＝2i 1－i，则|z ＋3i|＝________. 16．已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m 1－i－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)虚数，(2)纯虚数．18．(12分)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .19．(12分)复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a z <0，求纯虚数a .20.(12分)已知z 是虚数，证明：z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1.21．(12分)(1)证明：|z |＝1⇔z ＝1z ；(2)已知复数z 满足z ·z ＋3z ＝5＋3i ，求复数z .22．(12分)复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．第四章数系的扩充与复数的引入(A)答案1．C2．C3．B4．D5．A [⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3－i )(1－i )22 ＝(1－2i)2＝－3－4i.]6．A7．A8．A9．C10．C11．C12．B13．1解析设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a ＋b i －i(a －b i)＝a －b ＋(b －a )i ，又a －b ＝－1，∴b －a ＝1.14.115＋3i 解析设z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )，根据题意得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝5＋3i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3a ＋a 2＋b 2＝5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝115b ＝3，∴z ＝115＋3i. 15. 5解析 ∵z ＝2i 1－i＝2i (1＋i )2＝－1＋i. ∴z ＝－1－i ，∴|z ＋3i|＝|－1＋2i|＝ 5.16．－2i解析 2z －z ＝21＋i －1－i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－1－i ＝－2i. 17．解由于m ∈R ，复数z 可表示为 z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，(1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．(2)当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数． 18．解设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )．则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋8i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－15y ＝8，∴z ＝－15＋8i.19．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i (m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m 2 ＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i<0， ∴⎩⎨⎧ －m 2<0，m 2－2＝0， ∴m ＝4.∴a ＝4i.20．证明设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R 且y ≠0)，则z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2 ＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 当|z |＝1，即x 2＋y 2＝1时，z ＋1z＝2x ∈R . 当z ＋1z ∈R ，即y －y x 2＋y2＝0时，又y ≠0， ∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.∴z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1. 21．(1)证明设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则|z |＝1⇔x 2＋y 2＝1，z ＝1z ⇔z ·z ＝1⇔(x ＋y i)(x －y i)＝1⇔x 2＋y 2＝1，∴|z |＝1⇔z ＝1z .(2)解设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋3(x ＋y i) ＝(x 2＋y 2＋3x )＋3y i ＝5＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋3x ＝5，3y ＝3∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4y ＝1. ∴z ＝1＋i 或z ＝－4＋i.22．解 z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i(a ＋b i) ＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4. ① ∵复数0、z 、z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1. ②又∵z 对应的点在第一象限，∴－2a >0，－2b >0，∴a <0，b <0. ③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：导数在实际问题中的应用

§2 导数在实际问题中的应用课时目标 1.理解实际问题中导数的意义.2.区分极值和最值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．中学物理中，速度可以看作______________的导数，线密度是__________________的导数，功率是________________的导数．2．函数的最大值点：函数y ＝f (x )在区间上的最大值点x 0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f (x 0)．3．函数的最值函数的最大值和最小值统称为________．一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在上有极大值，则极大值一定是上的最大值B ．若f (x )在上有极小值，则极小值一定是上的最小值C ．若f (x )在上有极大值，则极小值一定是x ＝a 和x ＝b 时取得D ．若f (x )在上连续，则f (x )在上存在最大值和最小值2．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在上的最大值和最小值是( )A ．f (1)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (1)，f (5)D ．f (5)，f (2)3．函数y ＝x ex 在上的最大值是( ) A ．当x ＝1时，y ＝1e B ．当x ＝2时，y ＝2e2 C ．当x ＝0时，y ＝0 D ．当x ＝12，y ＝12e 4．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( )A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．06．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32 B.12C ．－12D ．－12或－32题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．8．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为____________． 9．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体，如果最初有500克氡气，那么七天后氡气的剩余量为A (t )＝500×0.834t ，则A ′(7)约为________，它表示____．三、解答题10．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈．11．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)能力提升12．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．13．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x 对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．可以利用导数的实际意义，建立函数模型，解决实际生活中的最大值、最小值问题．§2 导数在实际问题中的应用知识梳理1．路程关于时间质量关于长度功关于时间3．最值作业设计1．D 上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在上一定存在最大值和最小值．]2．D3．A4．A5．B 时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4.]6．C 上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．] 7．－1解析 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.8. 211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0， ∴f (0)≤f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π2.即12≤f (x )≤122e π. 9．－25.5 氡气在第7天时，以25.5克/天的速度减少10．解 (1)f ′(x )＝12＋cos x .令f ′(x )＝0，又∵0≤x ≤2π，∴x ＝2π3或x ＝4π3. ∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32，又∵f (0)＝0，f (2π)＝π.∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0，当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在内恒大于0，∴f (x )在上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12；x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在上的最小值为－12，最大值为2.11．解设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)， f ′(x )＝48－10 800x2，令f ′(x )＝0得x ＝15.当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．12．解由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立，知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1. 因为f (－13)＝8627， f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5.所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)．13．解收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎫25－18q ＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)， L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84. 因为当0<q <84时，L ′>0；当84<q <200时，L ′<0，所以当q＝84时，L取得最大值．所以产量q为84时，利润L最大．章末总结。

北师大版高中数学选修高二第五课时反证法导学案

第五课时 1.3反证法一、学习目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。

二、学习重点：了解反证法的思考过程与特点。

学习难点：正确理解、运用反证法。

三．学习方法：探析归纳，讲练结合四、学习过程（一）、复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。

就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述。

因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。

（二）、探究新课1、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

2、例题探析a，求证：2能整除a.例1、已知a是整数，2能整除2例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。

求证：a与b平行。

例3、求证：2是无理数。

高中数学第一章推理与证明3反证法同步练习北师大版选修2_2

高中数学第一章推理与证明 3 反证法同步练习北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.否定“自然数a、b、c恰有一个偶数”时正确反设为( )A.a、b、c都是奇数B.a、b、c都是偶数C.a、b、c中至少有两个偶数D.a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数答案：D思路分析：自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有全为奇数,恰有一个偶数,恰有两个偶数,全为偶数.2.用反证法证明命题中,得出的矛盾可以是与下列哪些内容产生的( )①命题已知②数学定义③定理、公理④推理、演算的规律A.①B.①③C.②D.①②③④答案：D思路分析：①②③④全是矛盾可能产生的原因.3.用反证法证明命题“2+3是无理数”时,假设正确的是( )A.假设2是有理数Ｂ.假设3是有理数C.假设2或3是有理数D.假设2+3是有理数答案：D思路分析：根据反证法的基本步骤加以判断.4.已知a≠0,求证：关于x的方程ax=b有且只有一个根.答案：证明：假设方程ax=b(a≠0)至少存在一个实根不妨设其中的实根分别为x1,x2,且x1≠x2则ax1=b,ax2=b,ax1=ax2,ax1-ax2=0，∴a(x1-x2)=0.又∵x1≠x2,x1-x2≠0,所以a=0,这与已知a≠0矛盾,故假设不成立,原命题成立.思路分析：证明有且只有的问题,可考虑使用反证法加以证明.5.证明:1,3,2不能为同一等差数列的三项.答案：证明：假设1,3,2是某等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,则1=3-md,2=3+nd,(m,n为两正整数).由上面两式消去d得n+2m=(n+m) 3.因为n+2m为有理数,而(n+m)3为无理数,所以n+2m≠(n+m) 3.因此假设不成立.∴1,3,2不能为同一等差数列的三项.思路分析：通过分析可知,直接证比较困难,所以采用反证法.综合应用6.假设p、q都是奇数,求证:关于x的方程x2＋px＋q＝0无整数根.答案：证明:假设方程有整数根α,无论α是奇数还是偶数,都必有α2＋p α＋q 为奇数,这与α2＋p α＋q ＝0矛盾.故方程无整数根.思路分析：此题中含有否定词“无”,可考虑用反证法.7.如图所示,已知直线a 与b 不共面,直线c∩a=M,直线b∩c=N,又a∩平面α=A,b∩平面α=B,c∩平面α=C,求证:A 、B 、C 三点不共线.答案：证明:假设A 、B 、C 三点共线于直线l,∵A、B 、C∈α,∴l ⊂α.∵c∩l=C,∴c 与l 可确定一个平面β.∵c∩a=M,∴M∈β,又A∈l,∴a ⊂β,同理b ⊂β,∴直线a 与b 共面.这与已知矛盾.∴A、B 、C 三点不共线.思路分析：此题属于否定形式的命题,所以应采用反证法，利用平面知识易证.8.已知函数f(x)=12+-+x x a x (a ＞1).证明方程f(x)=0没有负数根. 答案：证明:设存在x 0＜0(x 0≠-1)满足f(x 0)=0,则a x0=1200+--x x , ∵0＜a x0＜1,∴0＜1200+--x x ＜1, 即21＜x 0＜2,与假设x 0＜0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根. 思路分析：应根据题目的特征和要求选择证明方法,本题用反证法入手较为容易,先假定存在x 0＜0(x 0≠-1)满足f(x 0)=0,然后推得结果与假设x 0＜0矛盾.9.若0＜x,y,z ＜2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.答案：证法一:假设x(2-y)＞1,且y(2-z)＞1,且z(2-x)＞1均成立.则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)＞1①由于0＜x ＜2,∴0＜x(2-x)=-x 2+2x=-(x-1)2+1≤1.同理:0＜y(2-y)≤1,且0＜z(2-z)≤1.∴三式相乘得:0＜xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1.②②与①矛盾,故假设不成立.∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.证法二:假设x(2-y)＞1,且y(2-z)＞1,且z(2-x)＞1. ∴)2(y x -+)2(z y -+)2(x z -＞3.③ 而)2(y x -+)2(z y -+)2(x z -≤2)2(2)2(2)2(x z z y y x -++-++-+=3.④ ④与③矛盾,故假设不成立.∴原题设结论成立.思路分析：“不都大于1”即等价于“至少有1个小于或等于1”,由于涉及三个式子,它们出现的情况有很多类,此类问题常用的方法是考虑问题的反面,即“不都”的反面为“都”,可用反证法来处理.。

【备课参考】高二数学北师大版选修1-2同步练习：第3章-反证法-Word版含答案

反证法同步练习【选择题】1、应用反证法推出冲突的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论的相反推断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论A、①②B、①②④C、①②③D、②③2、命题“∆ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应当是（）A、a<bB、a≤bC、a=bD、a≥b3、命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论是否是（）A、无解B、两解C、至少两解D、无解或至少两解4、命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）A、有两个内角是直角B、有三个内角是直角C、至少有两个内角是直角D、没有一个内角是直角5、已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为：a n=a n+2,b n=b n+1,(a,b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是（）A、0个B、1个C、2个D、无穷多个6、假如两个数之和为正数，则这两个数（）A、一个是正数，一个是负数B、两个都是正数C、至少有一个是正数D、两个都是负数【填空题】7、有甲、乙、丙、丁四位歌手参与竞赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说“我获奖了”, 丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_____________.8、用反证法证明“已知a与b均为有理数，且a和b都是无理数，证明：a+b是无理数.”时，应假设______________.【解答题】9、证明：2,3,1不能为同一等差数列的三项. 10、证明：2 不是方程2x+1=0的根.11、若a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三个数不行能同时大于41.12、已知a,b,c均为实数且62,32,22222πππ+-=+-=+-=xzczybyxa.求证：a,b,c中至少有一个大于0.参考答案1、C2、B3、D4、C5、A6、C7、丙8、a+b是有理数.9、略10、略11、证明：假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三个数同时大于41，则由a,b,c都是小于1的正数，有23212121)1()1()1(23=+-++-++-<-+-+-<accbbaaccbba得出冲突，故原命题成立.（本题目还有其他解法）12、证明：假设a,b,c都不大于0即,0,0,0≤≤≤cba则,0≤++cba而c b a ++)62()32()22(222πππ+-++-++-=x z z y y x,3)1()1()1(222-+-+-+-=πz y x ,03>-π 且无论z y x ,,为何实数， ,0)1()1()1(222≥-+-+-z y x ,0>++c b a 这与0≤++c b a 冲突，因此a ,b ,c 中至少有一个大于0.。

学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：导数与函数的单调性

第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号和函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙： f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－xD ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪C ．题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为__________．9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性知识梳理1．f ′(x)>0 减少作业设计1．A2．A3．B4．A5．C6．C7．(－1,11)解析 ∵f ′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x)<0，得－1<x<11，∴f(x)的单减区间为(－1,11)．8．(－∞，－3]解析 f ′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a<0Δ≤0，即⎩⎨⎧a<036＋12a ≤0， ∴a ≤－3.9．即b ＝－32，c ＝－6. (2)∵f ′(x)＝3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f ′(x)＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. ①当a ≥0时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ③当－1<a<0时，令f ′(x)＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x)>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x)<0. 故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 13．解 (1)由已知，得f ′(x)＝3x 2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x)＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x)＝3x 2≥0，f(x)在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3. 当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。

学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：第二章单元检测A

第二章圆锥曲线与方程(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12C ．2D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 25．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)7．过点M (2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线的条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．08.设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．39．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．20．(12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积．21.(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．22．(12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；（2）OA →⊥OB →，求k 的值．第二章圆锥曲线与方程(A)1．A2．B∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.] 3．B4．D ，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号． |PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|(2a －|PF 1|)＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2≥－c 2＋a 2＝b 2，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.]5．B6．B7．B8．B＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6.]9．C10．B11．B12．D13.32解析由已知得∠AF 1F 2＝30°，故cos 30°＝c a ，从而e ＝32. 14．2x －y －15＝0解析设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为线段AB 的中点为P (8,1)，所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2.所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2. 所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，代入x 2－4y 2＝4满足Δ>0.即2x －y －15＝0. 15.22解析由题意，得b 2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝c a ＝ c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝22. 16．③④解析 ①错误，当k ＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k ＝52时，方程表示圆；验证可得③④正确．17．解设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2，把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝xy 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36. ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．解设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1. 由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)， ∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴b a＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. 19．解将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得：k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，由⎩⎨⎧k ≠0(4k ＋8)2－16k 2>0，得k >－1且k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0. 解得：k ＝2或k ＝－1(舍去)由弦长公式得：|AB |＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924＝215. 20．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1. 因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1. 解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65，①又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，②①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20. 21．解焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ (1＋1k2)·(y 1－y 2)2 ＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p . 解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)． 22．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.。

学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：第三章单元检测A

第三章变化率与导数(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)4．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －55．函数y ＝sin x －cos x 的导数是( )A ．cos x ＋sin xB ．cos x －sin xC ．cos x sin xD ．2cos x6．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( ) A.x 2＋6x (x ＋3)2 B.x 2＋6x x ＋3C.－2x (x ＋3)2D.3x 2＋6x (x ＋3)27．函数y ＝x 5a x (a >0且a ≠1)的导数是( )A ．5x 4a x ln aB ．5x 4a x ＋x 5a x ln aC ．5x 4a x ＋x 5a xD ．5x 4a x ＋x 5a x log a e8．下列求导数运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x9．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数函数10．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.10311．下面四组函数中，导数相等的一组是( )A ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x －1B ．f (x )＝sin x －cos x 与g (x )＝cos x －sin xC ．f (x )＝x －1与g (x )＝2－xD ．f (x )＝sin x ＋cos x 与g (x )＝sin x －cos x12．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线倾斜角为α，则α的范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝2x 3＋3x 2－5x ＋4的导数f ′(x )＝______________，f ′(3)＝________.14．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.15.如图所示，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝______；lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝________.(用数字作答) 16．函数f (x )＝(2x ＋5)2在点P (－2,1)处的导数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)求函数y ＝5x 3和y ＝3x 的导数；(2)求函数f (x )＝4x 3在x ＝16处的导数．18．(12分)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像的一个公共点，两函数的图像在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.19.(12分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x －6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12，求a，b，c的值．20．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像经过P (0,2)且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数y ＝f (x )的解析式．21.(12分)已知函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1(x ∈R )，其中a ∈R ，当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．22．(12分)已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4.(1)求曲线C 在点(1，－4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由．第三章变化率与导数(A)1．A2．D3．D4．B5．A6．A7．B8．B [⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2，(3x )′＝3x ln 3， (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ．]9．B10．D11．A12．B13．6x 2＋6x －5 67解析 f ′(x )＝(2x 3＋3x 2－5x ＋4)′＝6x 2＋6x －5，f ′(3)＝6×32＋6×3－5＝67.14．－4解析 f ′(x )＝′＝2x ＋2f ′ (1)，则f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2×0＋2f ′(1)＝－4.15．2 －2解析由A (0,4)，B (2,0)可得线段AB 所在直线的方程为f (x )＝－2x ＋4 (0≤x ≤2)．同理BC 所在直线的方程为f (x )＝x －2 (2<x ≤6)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋4 (0≤x ≤2)，x －2 (2<x ≤6)，所以f (0)＝4，f (4)＝2.limx ∆→f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝－2. 16．4 17．解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(35x )′＝3525x -， y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (2)∵f ′(x )＝(4x 3)′＝(34x )′＝3414x -＝344x ，∴f ′(16)＝34·416＝34×2＝38. 18．解因为函数f (x )，g (x )的图像都过点(t,0)，所以f (t )＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2.g (t )＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab .又因为f (x )，g (x )在点(t,0)处有相同的切线，所以f ′(t )＝g ′(t )．而f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt .将a ＝－t 2代入上式得b ＝t .因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.19．解 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0.∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12.又直线x －6y －7＝0的斜率为16，切线与已知直线垂直，所以切线斜率为－6. 因此，f ′ (1)＝3a ＋b ＝－6，∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.20．解由f (x )的图像经过P (0,2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0. 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.21．解当a ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45，又f ′(x )＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2， f ′(2)＝－625. 所以，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0.22．解 (1)y ′＝12x 3－6x 2－18x ，∴f ′(1)＝－12.所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12，所以所求方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)设与曲线C 还有其他公共点，于是有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4y ＝－12x ＋8，整理得x 3(3x －2)－(3x －2)2＝0，即(3x －2)(x 3－3x ＋2)＝0，即(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0.所以x ＝－2，x ＝23，x ＝1. 即除切点外还有公共点(－2,32)和⎝⎛⎭⎫23，0.。

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§4 反证法
课时目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
1．反证法：先假定____________________成立，在这个前提下，若推出的结果与
____________________相矛盾，或与命题中的______________相矛盾，或与________相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定________________成立．
2．反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
一、选择题
1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )
A ．假设至少有一个钝角
B ．假设至少有两个钝角
C ．假设没有一个钝角
D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
2．实数a 、b 、c 不全为0的含义为( )
A ．a 、b 、c 均不为0
B ．a 、b 、c 中至多有一个为0
C ．a 、b 、c 中至少有一个为0
D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0
3．如果两个数的和为正数，则这两个数( )
A ．一个是正数，一个是负数
B ．两个都是正数
C ．至少有一个是正数
D ．两个都是负数
4．设x 、y 、z 均为正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x
，则a 、b 、c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2
C ．至少有一个不小于2
D ．都大于2
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为( )
A ．a ，b ，c 都是偶数
B ．a ，b ，c 都不是偶数
C ．a ，b ，c 中至多一个是偶数
D ．至多有两个偶数
二、填空题
6．用反证法证明命题“x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时应假设为____________．
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.
上述步骤的正确顺序为__________．(填序号)
8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”
四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
三、解答题
9．若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．
10.已知三个正数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：1a ，1b ，1c
不可能成等差数列．
能力提升
11．在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.
12．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1
(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．
1．在使用反证法时，必须在假设中列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
2．推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法．
3．对于否定性命题，结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．
§4 反证法
答案
知识梳理
1．命题结论的反面定义、公理、定理已知条件假定命题的结论
作业设计
1．B
2．D
3．C
4．C
5．B
6．x ＝a 或x ＝b
解析否定结论时，一定要全面否定，x ≠a 且x ≠b 的否定为x ＝a 或x ＝b .
7．③①②
解析考查反证法的一般步骤．
8．丙
解析若甲说的话对，则丙、丁至少有一人说的话对，则乙说的话不对，则甲、丙至少有一个人获奖是对的．又∵乙或丙获奖，∴丙获奖．
9．解设三个方程均无实根，则有：
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0
Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，
解得⎩⎨⎧
－32<a <12a <－1或a >13－2<a <0
.
即－32<a <－1. 所以当a ≥－1或a ≤－32
时，三个方程至少有一个方程有实根． 10．证明假设1a ，1b ，1c
成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac
. ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，
∴2b ＝2b ac
⇒b 2＝ac . ∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋c 22＝ac ⇒(a ＋c )2 ＝4ac ⇒(a －c )2＝0⇒a ＝c .
又2b ＝a ＋c ，∴a ＝b ＝c .
因此，d ＝b －a ＝0，这与d ≠0矛盾．
所以1a ，1b ，1c
不可能成等差数列． 11．证明假设A ≥60°，
∵A 是不等边三角形ABC 的最小角(不妨设C 为最大角)， ∴B ≥A ≥60°，C >A ≥60°，
∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾， ∴假设错误，原结论成立，即A <60°.
12．证明假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0(x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.
∴ax 0＋x 0－2
x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1
. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1
<1. 解上述不等式，得12
<x 0<2.这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．。