学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习： 反证法
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§4 反证法
课时目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
1．反证法：先假定____________________成立，在这个前提下，若推出的结果与
____________________相矛盾，或与命题中的______________相矛盾，或与________相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定________________成立．
2．反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
一、选择题
1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )
A ．假设至少有一个钝角
B ．假设至少有两个钝角
C ．假设没有一个钝角
D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
2．实数a 、b 、c 不全为0的含义为( )
A ．a 、b 、c 均不为0
B ．a 、b 、c 中至多有一个为0
C ．a 、b 、c 中至少有一个为0
D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0
3．如果两个数的和为正数，则这两个数( )
A ．一个是正数，一个是负数
B ．两个都是正数
C ．至少有一个是正数
D ．两个都是负数
4．设x 、y 、z 均为正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x
，则a 、b 、c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2
C ．至少有一个不小于2
D ．都大于2
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为( )
A ．a ，b ，c 都是偶数
B ．a ，b ，c 都不是偶数
C ．a ，b ，c 中至多一个是偶数
D ．至多有两个偶数
二、填空题
6．用反证法证明命题“x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时应假设为____________．
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.
上述步骤的正确顺序为__________．(填序号)
8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”
四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
三、解答题
9．若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．
10.已知三个正数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：1a ，1b ，1c
不可能成等差数列．
能力提升
11．在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.
12．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1
(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．
1．在使用反证法时，必须在假设中列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
2．推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法．
3．对于否定性命题，结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．
§4 反证法
答案
知识梳理
1．命题结论的反面 定义、公理、定理 已知条件 假定 命题的结论
作业设计
1．B
2．D
3．C
4．C
5．B
6．x ＝a 或x ＝b
解析 否定结论时，一定要全面否定，x ≠a 且x ≠b 的否定为x ＝a 或x ＝b .
7．③①②
解析 考查反证法的一般步骤．
8．丙
解析 若甲说的话对，则丙、丁至少有一人说的话对，则乙说的话不对，则甲、丙至少有一个人获奖是对的．又∵乙或丙获奖，∴丙获奖．
9．解 设三个方程均无实根，则有：
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0
Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，
解得⎩⎨⎧