初中数学竞赛中常用重要定理

数学竞赛中几个重要定理

1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、 E 、F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ••=1

2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上

有点D 、E 、F ，且满足FB AF EA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线。

3、 塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、

M ，则

1=••PA

CP NC BN MB AM

4、 塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的

边AB 、BC 、CA 上，且满足1=••PA CP NC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点。

5、 广勾股定理的两个推论：

推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。

推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a

、m b 、m c

则：m a =2222221a c b -+；m b =2

222221b c a -+；m c =222222

1c b a -+ 6、 三角形内、外角平分线定理：

内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有

AC AB DC BD =

外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ， 则有

AC

AB DC BD =

7、 托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD

8、 三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线

AD 、BE 、CF 共点于P

9、 正弦定理、在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径） 余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边，则有：

a 2=

b 2+

c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;

10、西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ， PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线。

11、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,

记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.

12、 巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF （不论其六顶点排列次序如何）， 其三组对边AB 与DE 、BC 与EF 、CD 与FA 的交点P 、Q 、R 共线。