【数学试题】浙江省嘉兴市2019学年第一学期期末考试

一、选择题：每小题4分，共40分

1.已知全集=U R ，集合

=11A x x ， =1,1B ，则A ∁=

U B （ ）

A．

1

x x B.

1x x C.

11x x D.

11x x 2.已知i 是虚数单位， 1+22z i i ，则=z （

）

A．1

B.2

C.i

D.2i

3.设双曲线1=2x y x 在点 1,2 处的切线与直线0ax by c 垂直，则a

b

（）

A．

13

B. 13

C.3

D.3

4.函数 22log f x x x ，则满足 01,4x ，且 0f x 为整数的实数0x 的个数为 （

）

A．3

B.4

C.17

D.18

5.设,m n R ，则“m n ”是“m m n n ”的 (

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知,x y 满足条件2020240x y y x y

，若=z ax y 的最大值为0，则实数a 的值为

( )

A．12

B.2

C.

12 D.2

7.如果是某三棱锥的正视图和俯视图，则该三棱柱的侧视图面积为 ()

A．2

B.

2

C. 32

D.

8

8.等差数列 n a 满足：10a ，31047a a . 记12n n n n a a a b ，当数列

n b 的前n 项和n S 取最大值时, =

n ( )

A．17

B.18

C.19

D.20

9.已知A，B 是椭圆2

2C 13

y x : 短轴的两个端点，点O 为坐标原点，点P 是椭圆上不同于A，B 的动点，若直线PA，PB 分别与直线=4x 交于点M，N，则△OMN 面积的最小值为(

)

A．

B.

C.

D.10.如图，△ABC 中，AB=2，AC=3，BC 边的垂直平分线与BC，AC 交于点D，E，若P 是线段DE 上的动

点，则PA BC

的值为

( )

B

C

嘉兴市2019学年第一学期期末高三测试

数学试卷

A.与角A 有关，且与点P 的位置有关

B.与角A 有关，且与点P 的位置无关

C.与角A 无关，且与点P 的位置有关 D . 与角A 无关，且与点P

A

C

二、填空题：多空题6分，单空题4分，共36分 11.已知55sin

,cos 66

P

是角 的终边上一点，则cos = ，角 的最小正值是

.

12.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球，3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是 ，若变量 为取出3个球中红球的个数，则 的方差 =

D .

13.已知213n

x x

的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n

，展开式中

的系数最大项是

.

14.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为4,4,6a b c ，I 是△ABC 内切圆的圆心，若+AI xAB y AC

，则=

x ，=y

.

15.已知 1

11

x x a f x a a ，实数12,x x 满足 121f x f x ，则 12+f x x 的最小值为

.

16.已知两定点104P

，104Q

位于动直线l 的同侧，集合 =|M l 点P ，Q 到直线距离之和等于 1，

=,,,N x y x y l l M . 则集合N 中的所有点组成的图形面积是

.

17.已知矩形ABCD，AB=4，BC=2，E、F 分别为边AB、CD 的中点. 沿直线DE 将△ADE 翻折成△PDE ，在点P 从A 至F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为 .

三、解答题：共5小题，共74分

18.(本题满分14分)设函数 22sin cos 3f x x x

.（1）若02x

，，求

f x 的单调递增区间；

（2）在△ABC 中，AB=1，AC=2， f A A 为钝角，求sin C 的值.

19．（本题满分15分）如图，在四棱锥''''ABCD A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，DA=AB=BC=1， DC=2. 平面''DCC D 平面ABCD ，四边形''DCC D 为菱形，'=60D DC .（1）求证：'DA BC ；

（2）求'DA 与平面''BCC B 所成角的正弦值.

20.（本题满分15分）已知数列 n a 的前n 项和为n S ，

*2+1n n S a n N .（1）求数列 n a 的通项公式； （2）若11111n n n c a a

，n T 为数列 n c 的前n 项和. 求证：1

23

n T n .D

21.（本题满分15分）设点A，B 的坐标为 44816 ，，，，直线AM 和BM 相交于点M，且AM 和BM 的斜率之差是1.

（1）求点M 的轨迹C 的方差；

（2）过轨迹C 上的点 00,Q x y ，04y ，作圆 2

2:24D x y 的两条切线分别交x 轴于点F，G. 当△QFG 的面积最小时，求0y 的值.

22.(本题满分15分)已知函数 ln 0f x a x bx c a 有极小值.（1）试判断,a b 的符号，求 f x 的极小值点；

（2）设 f x 的极小值为m ，求证2

44ac b m a a

.