多面体欧拉公式的发现(1)

【课题】研究性课题：多面体欧拉公式的发现（1）【教学目标】

1、能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.

2、能通过进一步观察验证所得的规律.

3、能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.

4、能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.

【教学重点】欧拉公式的发现.

【教学难点】从中体会和学习数学大师研究数学的方法.

【教学过程】

一、复习引入

欧拉是瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支。比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等。其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，这就是我们今天要学习的欧拉定理。

二、讲解新课

（一）简单多面体

1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体

说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。

（二）五种正多面体的顶点数、面数及棱数：

发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关系式：2V F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立

欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式：

2V F E +-=

证明1：以四面体ABCD 为例来说明：

将它的一个面BCD 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数V 、棱数E 与剩下的面数()111F F F =-变形后都没有变。因此，要研究V 、E 和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

对平面图形，我们来研究：

（1）去掉一条棱，就减少一个面。例如去掉BC ，就减少一个面ABC 。同理，去掉棱CD 、

BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD 。

所以1F E -、V 的值都不变，因此1V F E +-的值也不变

（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点。例如去掉CA ，就减少一个顶点C ．同理，去掉DA 就减少一个顶点D ，最后剩下AB （如图）。

在此过程中V E -的值不变，但这时面数1F 是0， 所以1V F E +-的值也不变

由于最后只剩下AB ，所以

12011V F E +-=+-=，

最后加上去掉的一个面，就得到2V F E +-=．

证明2：

(10)

D

D

⑴如图⑽：将多面体的底面ABCDE 剪掉，伸展成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABCDE 表示）均没有变，故所有面的内角总和不变。

⑵设左图中共有F 个面，分别是12,,

,F n n n 边形，顶点数为V ，棱数为E,则

122F n n n E +++=.

左图中，所有面的内角总和为

︒-++︒-+︒-180)2(180)2(180)2(21F n n n

＝︒-+++180)2(21F n n n F ＝︒-180)22(F E

()360E F =-︒

⑶右图中，所有面的内角总和为

V 360V 2180V 2180()⋅︒︒︒下下上＋（－）＋（－）剪掉的底面内角和

＝

0V V 2360(2)360V ︒=-上上（＋－）

⑷()360E F -︒ ＝0

(2)360V -

整理得2V F E +-=. 欧拉示性数：

在欧拉公式中令()f p V F E =+-，()f p 叫欧拉示性数

说明：（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p =．

（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p =．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体()1616320f p =+-=．

三、 例题讲解

【例1】 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求n 。 解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，∴5n =．

【例2】 一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n 。 解：∵8V =，83

122

E ⨯=

=， ∴26F E V =+-=， ∴6n =．

四、 课堂练习

1.用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式. 解：在三棱柱中：V =6，F =5，E =9 ∵6+5－9=2，∴V +F －E =2 在四棱锥中：V =5，F =5，E =8 ∵5+5－8=2，∴V +F －E =2

2.一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有F =2V －4的关系. 解：∵V +F －E =2 又∵E =23F ，∴V +F －2

3F =0，∴F =2V －4

【备注】欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）

欧拉，瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝欧拉出生于牧师家庭，自幼已受到父亲的教育13

岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。

欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想

法而专攻数学，于19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金。

1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利，成为物理学教授。

在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题1735 年，他因工作过度以致右眼失明在1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其它数学领域均有开创性的发现。

1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡在1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学中的经典著作。

欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础

欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目ξ函数在偶数点的值他证明了a2k是有理数，而且可以伯努利数来表示。

此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数γ的值,其值近似为0.57721566490153286060651209...

在18世纪中叶，欧拉和其它数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程学当中，在常微分方程方面，他完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题，对于非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法