初等代数研究

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（二）加减消元法
用加减消元法解方程组时,将方程组中各个方程的 两端乘以预先选定的数,然后将各端相加,如此便 能减少作为原方程组的结果的方程组所含的未知 元的个数,以便能够用已知的方法求解.
F2[f(y,…,z),y,…,z]=0,F3[f(y,…,z),y,…,z]=0,……… …………………Fn[f(y,…,z),y,…,z]=0; 3°解方程组(F′); 4°由(F′)的每一个解,相应地求前面被消去的未知 元的值.例如,将由(F′)解出的关于未知元y,…,z的每 一组解代入f(y,…,z)而求出相应的x的值. 对于方程组(F′)仍然采用上述消元的步骤,必然得 到方程组(F″),其中所含方程的个数与未知元的个 数又比(F′)各少一个,如此类推,便可达到将多元方 程转化为一元方程的目的.
定义2
方程组(F)中各个方程的共同的定义域称为方 程组(F)的定义域.
定义3
如果数组集M是方程(F)的定义域,M内的一组 数a,b,…,c满足方程组(F)中的每一个方程,那 么数组a,b,…,c称为方程组(F)的一个解.
定义4
作为方程组(F)的解的数组的集合称为这个方 程组的解集.
I.
II.
III.
证明: 设方程组(Fn)为： f1 = g 1； f2 = g2 , ……… fn = g n ,
在(Fn)的n个方程中任意选出k个方程(k<n)。不失一般 性,设所选的是(Fn)的前k个方程,由此组成方程组(Fk)：
f1=g1, f2=g2, ……… fk=gk.
又设方程组(F′l)：
f′1=g′1, f′2=g′2, ……… f′l=g′l
例如,方程组x+y=3x-y=1与方程组 x3=8x+y=3在实数域上是同解的,但在复数域 上不同解.
如果方程组(F)的每一个解都是方程组(F′)的 解,那么方程组(F′)就称为方程组(F)的结果(或 称为推演式) 显然,如果两个方程组互为结果,那么这两个方 程组便是同解方程组.
定理1
如果方程组中的任何几个方程的集合被与它同解 的方程组替换,那么经过部分替换以后的方程组与 原方程组同解.
定理2
如果方程组中某一个方程是这个方程组中其余方 程的结果,那么弃去这个方程后,并不改变原方程组 的解集.
证明：设方程组(Fn)为 f1=g1,
f2=g2, ……… fn=gn.
不失一般性,可设方程fn=gn是(Fn)中其余各个方 程的结果,弃去这个方程后,得到方程组
(Fn-1)：
f1=g1, f2=g2, ……… fn-1=gn-1.
IV.
显然,方程组的解集是方程组中每一 个方程程. 如果方程组的解集是个空集,那么这个 方程组称为矛盾方程组. 因此,如果方程组中有一个方程是矛盾 方程,那么这个方程组便成为矛盾方程 组.
定义5
如果方程组(F)的任何一个解都是方程组(F′) 的解,方程组(F′)的任何一个解都是方程组(F) 的解,那么方程组(F)与方程组(F′)称为同解方 程组.两个同解方程组显然具有相同的解集. 两个矛盾方程组认为是同解方程组.因为方程 组的解集包含于方程组的定义域内,两个方程 组可能在某一个数域上同解,而在另一个数域 上是不同解的.
（一）代入消元法
用代入消元法解方程组(F)的步骤是: 1°将(F)中的某一个方程的某一个未知元用其它 未知元表示(如果能用初等函数的解析式表示的 话).例如,由F1(x,y,…,z)=0可解出x=f(y,…,z); 2°将求得的表达式代入(F)中的其它方程而消去 这个未知元.这样得到的一个方程组(F′)的方程个 数与未知元的个数都比原方程组(F)中的少一个. 例如,将x=f(y,…,z)代入(F)中除F1(x,y,…,z)=0以 外的各个方程,得到方程组(F’):
一方面,因为(Fn)的每一个解是(Fn-1)中各个方 程的公共解,所以(Fn)的每一个解是(Fn-1)的解; 另一方面,因为方程fn=gn是(Fn-1)中各个方程的 结果,所以(Fn-1)中各个方程的任何公共解都满足 fn=gn,于是(Fn-1)的每一个解都是(Fn)的解.这表 明(Fn-1)与(Fn)同解.
与(Fk)同解.在方程组(Fn)中,用(F′l)替换(Fk),得到一个新的 方程组(F′l-Fn-k)：

f′1=g′1, f′2=g′2, ……… f′l=g′l, fk+1=gk+1, fk+2=gk+2, ………… fn=gn.
因为方程组(Fk)与(F′l)同解,方程组(Fn)的解集是 方程组(Fk)和方程组(Fn-k)的解集的交集,设此交 集为M,所以方程组(Fn-k)与(F′l)的解集的交集仍 为M,这表明方程组(Fn)与(F′l-Fn-k)同解.

定义1
由变数x,y,…,z的函数构成的k个具有共同定义域的方 程的集合称为含有未知元x,y,…,z的k个方程的方程组. 这个方程组一般表示成如下形式 f1 (x,y,…,z)= g1 (x,y,…,z),
f1
f 2 (x,y,…,z)= g 2 (x,y,…,z),
……………………………… f k (x,y,…,z)= g k (x,y,…,z). 为了叙述简便起见,这个方程组用字母符号(F)表示.

推论1：方程组中任何一个方程可以用与它同解 的方程替换,而不改变原方程组的解集. 推论2：如果方程组中某一个方程是恒等式,那么 弃去这个方程后,并不改变原方程组的解集. 由于五次及五次以上的一元方程并无普遍通行的求 解法则,所以方程组在多元高次的条件下也没有一 般的求解法则.初等代数局限于研究在一定条件下 可按一般法则求解的代数方程组以及某些特殊类 型的方程组的解法.
初等代数研究
—方程组
班
级 ：1302班
主讲人 ： 李雯慧
方程组，又称“联立方程”。把若干个方程合在一 起研究，使其中的未知数同时满足每一个方程的一 组方程。能同时满足方程组中每个方程的未知数的 值，称为方程组的“解”。求出它所有解的过程称 为“解方程组”。 一般在初中阶段开始学习二元一次方程组或三元一 次方程组。 两个或两个以上的方程的组合叫做方程组。 解方程组的总体思想是消元，其中包括加减消元法 和代入消元法。