第四章 摩擦

此类问题为：已知主动力及fs 、f ，求摩擦力。解题步骤： （1）假设物体静止，由平衡方 程求平衡时所需的摩擦力F。 （2）求Fmax=fsFN
（3）比较│F│和Fmax：如果│F│≤Fmax，则假设正确， F即为所求（其中│F│＜Fmax时物体为静止平衡状态， │F│＝Fmax时物体为临界平衡状态）。 如果│F│＞Fmax，则假设错误，物体滑动，Fd=f FN。
1 f 2 10.52 得: min arctg arctg 36087' 2f 20.5
FB
FA FNA
注意，由于α不可能大于 90， 所以梯子平衡倾角α 应满足
36087' 900
24
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
例: 图示一折叠梯放在地面上,与地面的夹角 60 。 脚端A与B和地面的摩擦因数分别为 f sA 0.2, f sB 0.6 。在折叠梯的AC侧的中点处有一重为500N的重物。 不计折叠梯的重量,问它是否平衡？如果平衡，计算两 脚与地面的摩擦力。 C
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
假设物块静止且有下滑的趋势，则
解：以物块为研究对象 y x
∑Fx=0, Q – Gsinα+F=0 ——①
F= Gsinα –Q= – 98N (说明 F 其实际指向与假设相反 F FN ，即实际指向沿斜面向下，物 块实际有上滑的趋势） ∑Fy=0, FN – Gcosα=0 —— ② FN =Gcosα=848.7N
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
解：先取鼓轮为研究对象。
M
O1
( F ) 0 FT r Fs R 0 r r Fs FT P R R
再取杠杆OAB为研究对象。
' ' Fa F c F M ( F ) 0 O s Nb 0
' Fs' f s FN
得
f s aF F b fsc
2012年12月19日
第四章
4.1
4.2 4.3 4.4
摩 擦
滑动摩擦
摩擦角和自锁现象 考虑摩擦时物体的平衡问题 滚动摩阻
前面几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽
略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在
的，一般情况下都存在有摩擦。
例:
平衡必计摩擦
摩擦分类: 1. 按接触物体之间的运动情况分： 滑动摩擦和滚动摩阻。 2. 按接触面的润滑情况分： 干摩擦和湿摩擦。
滚动摩阻
③ M max与滚子半径无关; ④滚动摩阻定律： M max d FN，d 为滚动摩阻系数。
4.4
滚动摩阻的概念
滚动摩阻系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和湿度有关。 ③ d 的物理意义见图示。
根据力线平移定理，将FN和Mf合成一个力FN' ， FN' = FN
研究摩擦的任务：
掌握规律，利用其利，克服其害。
4.1
一、静滑动摩擦力
P
滑动摩擦
物体相对静止
P
Fs
FN FN
F
Fs —静滑动摩擦力，简称静摩擦力。
Fmax—最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力。
物体处于临界平衡时，出现最大静摩擦力。 静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，大小由方 程确定。若判断不出滑动趋势，则方向可假设。
脚端A与B的摩擦力均小于极限静摩擦力，可见折梯处
于平衡的假定成立。
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
例: 图示为起重装置的制动器。已知重物重W，制动块与鼓轮
间的静摩擦系数为fs，各部分尺寸如图示。问在手柄上作用的力P至
少应为多大才能保持鼓轮静止？ P
R
o r
B
W
b
a A
l
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
Fs FN'
Mf d FN '
M f d FN ' d FN
d d
从图中看出，滚阻力偶M的力偶臂正是d（滚阻系数）， 所以，d 具有长度量纲。 由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力 偶不计，即滚动摩擦忽略不计。
y x
解：取物块为研究对象。
Fmax P
先求力F1的最大值。
FN
F F
x
0
F1max cos P sin Fmax 0
y
0
FN F1max sin P cos 0
Fmax f s FN
解得
F1max
sin f s cos P cos f s sin
4.1
滑动摩擦
综述：
①当物体处于静止平衡时， 0≤Fs≤Fmax，静摩擦力由
平衡方程确定，因此，摩擦力的指向可以假设，由
计算结果判断假设的正确性。
②当物体处于临界平衡状态时，Fmax=fsFN，其指向 不能假设，必须与物体的运动趋势相反。 ③当物体滑动时，滑动摩擦力Fd=f FN，其指向不能假
设，必须与物体的运动趋势相反。
FQ
4.2
摩擦角和自锁现象
物体在斜面上的自锁条件
j j f

P

j
F
f
j
R

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4.2
摩擦角和自锁现象
* 摩擦因数的测量
F
j
f
N
F
Rm
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述
大致相同，但有如下的几个特点：
1．分析物体受力时，必须考虑接触面切向的摩擦力Fs。
综合上述两个结果可知：F1必须满足如下条件
sin f s cos sin f s cos P F1 P cos f s sin cos f s sin
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
[例]已知物块重G=980N，斜面倾角α=300，静摩擦因数 fs=0.2，动摩擦因数f=0.15。平行于斜面的力Q=588N，求 物块与斜面间的摩擦力。
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
例：均质正方形薄板重W，置于铅垂面内，薄板
与地面间的静摩擦因数fs=0.5 ，在A处作用一力F，
若使薄板静止不动，则力F的最大值应为______.
（A） 2W
（B） 2W / 2
（C） 2W / 3
（D） 2W / 4 正确答案是：D
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
例：制动器的构造和主要尺寸如图。制动块与鼓轮表面间 的摩擦因数为fs，试求制止鼓轮转动所必需的力F。
F
x
0,
Fs F
最大静摩擦力的方向必须与相对滑动趋势的方向相反。
4.1
滑动摩擦
综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改 变，但介于零和最大值之间，即
0 Fs Fmax 实验表明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的正
压力（即法向约束力）成正比，即
Fmax f s FN
fs是比例常数，称为静摩擦因数。 上式称为静摩擦定律（又称库仑摩擦定律）。
联立求解上述三个方程，得：
Pmin Wr a ( b) Rl f s
A
W
FAy
b
4.4
滚动摩阻的概念
由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力。 下图的受力分析看出
一个问题，即此物体平衡，但没有完全满足平衡方程。
F 0, F F 0 Fy 0, P FN 0
x s
Fmax=fsFN=169.7N ∵ │F │ ＜Fmax，∴假设正确，物块静止， │F │ =98N，方向沿斜面向下。
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
如果Q=200N？
y
x
FN
则 由①式得
F=290N
( F 实际指向与假设相同）
F
由②式得FN=848.7N
Fmax=fsFN=169.7N
∵ │F │ ＞Fmax，∴假设错误，物块滑动， Fd =fFN =127.3N，方向沿斜面向上。
G
A


B
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
bFBy 0.25bG 0
G
y
C
解：以整体为对象，令等边三角形的边长为 b。
MA 0
FBy 0.25G 125N
F
y
0 FAy FBy G 0
A
FAy G FBy 375N


FAx FAy
o
B
x FBx
FBy
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
y
C
以杆 BC 为对象，由
于不计杆件的重量，该
杆为二力杆，即摩擦力 与理想约束力的合力与 铰 C 的约束力均沿杆的 轴线。由图b 的矢量几
A
FC
G


何，有 ：
FAx FAy
o
B
x
FBx
FBy FBy
FBx
FB
FBx FBy tan30 72.17 N
再以整体为对象
2．列补充方程，即
Fs f s FN
0 Fs f s FN
3．由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，即
所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个
确定的值。
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
例：物体重为P，放在倾角为θ的斜面上，它与斜面间摩 擦因数为fs。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。
F R Foy r Fox o W FN P B
解：以鼓轮为研究对象
M
O
0 FR Wr 0
再以手柄为研究对象 a 0 M A 0 Pl F b FN
当鼓轮处于临界平衡状态时，
令P=Pmin，由摩擦方程有： F =F
/=F max= fsFN
P
R o r
B
FN′ l F′ a FAx
F = 0 F 0
x
FN B FA 0
FN A FB W 0
y
FB f FN B
解得：
W fW W FN A , FN B , FB W 2 2 1 f 1 f 1 f 2
0
M
FNB
A
l W cos min FB l cos min FN B lsin min 0 2
0 j jf
全约束力必在摩擦角之内。 由此可知： 1.如果作用于物块的全部主 动力的合力FQ的作用线在摩擦角 jf之内，则无论这个力怎样大， 物块必保持静止。这种现象称为 自锁现象。
FQ
4.2
摩擦角和自锁现象
2.如果作用于物块的全部
主动力的合力FQ的作用线在摩
擦角jf之外，则无论这个力怎
样小，物块一定会滑动。
Fs
M
A
0, F r 0
不成立
FN F与Fs形成主动力偶使轮往前 滚
出现这种现象的原因是，实际接
触面并不是刚体，它们在力的作用
下都会发生一些变形。
4.4
滚动摩阻的概念
F
F
此力系向 A点简化
Mf
FN
Fs
滚动摩阻与主动力偶（F,Fs）相平衡
①滚动摩阻Mf随主动力偶（F , Fs）的增大而增大; ② 0 M f M max 有个平衡范围;
' s
所以
rP(b f s c) F f s Ra
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
例: 梯子长AB=l，重为W，若梯子与墙和地面的静摩 擦系数f =0.5, 求α多大时，梯子能处于平衡状态？ 解：以梯子为研究对象，画受力图。
FNB FB
FA FNA
23
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
FA f FN A
F = 0
x
FAx FBx 0
FAx FBx 72.17 N
4.3
考虑摩擦时物体的平衡问题
y
C
下面判断系统是否处于静平衡 脚端A 与B 的极限静摩擦力分别为 ： G
FAm fsA FAy 75N
FBm fsB FBy 75N
A


FAx FAy
o
B
x FBx
FBy
4.3
y
考虑摩擦时物体的平衡问题
x
再求力F1的最小值。
F'max P F'N
Fx 0 Fy 0
' F1min cos P sin Fmax 0
' FN F1min sin P cos 0
' ' Fmax f s FN
F1min
sin f s cos P cos f s sin
4.2
一、摩擦角
FQ Fs
摩擦角和自锁现象
FQ
Fmax
A
A
A
j
FN FR
jf
FN FR
jf jf
FR FN FS
FR—全约束力
Fmax f s FN tan j f fs FN FN
全约束力与法线间的夹角的最大值jf称为摩擦角。
4.2
摩擦角和自锁现象
二、自锁现象 物块平衡时， 0 Fs Fmax
静摩擦因数的大小需由实验测定。 静摩擦因数的数值可在工程手册中查找。
4.1
二、动滑动摩擦力
滑动摩擦
物体开始相对滑动
Fd—动滑动摩擦力，简称动摩擦力。
FN F' F
动摩擦力的方向与滑动方向相反。
实验表明：动摩擦力的大小与接 触物体间的正压力成正比，即
P
Fd fFN
式中f是动摩擦因数。 一般情况下，动摩擦因数略小于静摩擦因数，即f<fs。 实际上动摩擦因数还与接触物体间相对滑动的速度大 小有关。但当相对滑动速度不大时，动摩擦因数可近似地 认为是个常数。