数学方法论-第五讲-RMI方法(课堂PPT)
感悟“RMI 原理”
感悟“RMI 原理”蒋亮【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2012(000)007【总页数】5页(P6-10)【作者】蒋亮【作者单位】象山县教育局浙江象山315700【正文语种】中文“化归”是转化和归结的简称，化归方法是数学解决问题的基本方法．高中数学中有许多种化归是通过寻找恰当的映射来实现的，徐利治教授把这类通过寻找恰当映射实现化归的策略进一步形式化地抽象为关系映射反演原理，简称RMI(relation ship mapping inversion)原理，此原理可以表述如下：给定一个含有目标原象x的关系结构系统S，如果能找到一个定映映射φ，将S映入或映满另一个关系结构系统S*，在S*中，通过一定的数学方法，将目标映象x*=φ(x)确定出来，再通过反演，即逆映射φ-1，把目标原象x=φ-1(x*)确定出来，从而使原问题获解．利用“RMI原理”解决问题的框图如下：“RMI原理”为我们探索和研究数学对象提供了一种较为有用的思想方法．用“RMI原理”审视高中数学教学，笔者有几点感悟，仅供一线教学的同行参考和启迪．在解决数学问题时，我们有时会通过“转化”的途径，将要解决的陌生问题转化为熟悉问题，将复杂问题转化为简单问题，将抽象深奥的问题转化为具体浅显的问题．这种通过“转化”来解决数学问题的思想方法，就是我们通常所说的“数学化归”．“数学化归”就其涉及到的学科知识论域而言，可以归纳为3类：(1)同一个论域内同一组对象之间的化归．例如在几何证明中，要证明某2条直线平行，可以化归为证明同位角相等，或者化归为某个三角形的中位线与底边的关系等等．这类问题的化归局限于同一课程同一研究对象内部之间的转化，属于化归的第一层次．(2)同一个论域内不同对象之间的化归．例如在解析几何中，通过换元的方法，将直线与椭圆的相交问题，转化为直线与圆的相交问题．这类问题涉及同一课程不同研究对象之间的化归，属于化归的第二层次．(3)不同论域之间或不同学科之间的化归．例如通过坐标法可以将曲线的相交问题(几何)化归为方程组的求解问题(代数)．这种涉及数学的不同分支之间，亦或不同学科之间的化归，属于化归的第三层次．感悟“RMI原理”与“数学化归”，笔者认为：“RMI原理”体现了化归的较高层次，即“RMI原理”实现了不同数学分支之间、不同数学对象之间的转化．这种转化能够洞察原关系结构系统和新关系结构系统之间的对应关系，并通过关系结构系统，使得原问题的解决变得更加直观、浅显，解题的思维变得更加优化、精深．因此，“RMI原理”是一种化归，而且是化归的较高层次．例1 已知直线l：Ax+By+C=0，椭圆τ：+=1，试探究直线l与椭圆τ的位置关系．分析考虑到直线与圆的位置关系为我们所熟知，因此，可以通过压缩变换(选定映射φ)，将直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系(选定象集S*)．令实质是建立定映映射φ)，则直线l：Ax+By+C=0，对应为直线l′：椭圆τ：+=1，对应为圆τ′：圆τ′的圆心到直线l′的距离比较d与1的大小，即能确定直线l′与圆τ′的位置关系．注意到定映映射φ的可逆性，即这样，直线与椭圆的相交性和直线与圆的相交性保持不变．于是，由直线l′与圆τ′的位置关系便可得出直线l与椭圆τ的位置关系：当(aA)2+(bB)2=C2时，直线l与椭圆τ相切；当(aA)2+(bB)2<C2时，直线l与椭圆τ相离；当(aA)2+(bB)2>C2时，直线l与椭圆τ相交．例1解题的精髓是通过换元法将直线与椭圆的位置关系转化为我们熟知的直线与圆的位置关系，是解析几何中不同对象之间的转化，属于化归的第二层次．例1解法之简捷，得益于“RMI原理”的实践，其结果完全可以作为一种判别式，用来判断直线与椭圆的位置关系．务必指出，“RMI原理”作为一种化归，其定映映射φ必须保持某种不变性，例如用割补法把平行四边形面积化为矩形面积计算时，需要保证图形运动时面积不变．本例中的定映映射φ，保证了直线与椭圆的相交性和直线与圆的相交性不变．例2 已知：a,b,c∈R+，求证：分析此题若用代数方法证明，需要经过多次平方，算式之复杂，计算之繁琐，会让学生碰得头破血流．最后迫使他们改用三角形两边之和大于第三边的几何思考方法来解决此题，从而使原问题变得简易浅显、一目了然．构造四边形ABCD,如图1所示.设E为AD的中点，且AE=DE=a，BE=b，CE=c，∠AEB=∠BEC=∠CED=60°,则AB=,BC=,CD=．这样，在代数与几何之间便建立了一个对应关系(映射φ)：↔AB,↔BC,↔CD.于是，要证的不等式就化归为证明AB+BC>CD．因为AB+BC>AC，而AC>CD，所以结论成立．构建一个合适的模型，通过对这个模型的考察研究来完成解题，是“RMI原理”建立定映映射φ的常见手段．例2解题的关键是构建了四边形ABCD(映射φ)，从而改变了原问题的外部形式和内部结构，使代数问题和几何问题得以相互转化，属于化归的第三层次．特别强调的是，在高中数学中，有许多数学方法，如解析法、复数法、换元法、向量法、构造模型法、几何(代数)变换法等，它们都是“RMI原理”的具体应用．在平常的教学中，若能从“RMI原理”的高度来认识和统一上面所提到的这些常见的数学思想方法，定能优化学生的知识结构，提高学生的思维水平．“RMI原理”的核心思想是利用2个系统之间的联系、关系与相似性来解决问题，因此，能否合理、巧妙地引进定映映射φ，是运用“RMI原理”解决问题的关键．感悟“RMI原理”与映射原则，笔者特别强调，在选取映射φ时应该遵循的以下几条原则：(1)简单化原则．在选择定映映射φ以及将原关系结构系统S映射至新关系结构系统S*时，必须坚持S*较之S，问题的解决变得更容易、更简单、更具体、更直观．即遵循由难变易、由繁变简、由非标准型变为标准型的基本原则．(2)可逆性原则．一般来说，选择定映映射φ时，必须同时考虑到反演φ-1是否合乎问题需要，即是否可通过反演φ-1把原象目标x确定出来．通常，在2个具有运算关系的结构系统S和S*中，选择映射φ时，应该考虑φ是否为同构映射或同态映射．如果建立在2个系统间的定映映射φ不是一一对应的，那么利用这样的映射反演解题后，必须做一些必要的弥补工作．(3)高观点原则．“RMI原理”是高层次的化归，因此，我们在选择映射φ时，应该坚持视角独特、构思新颖、方法巧妙等高观点原则．从而使得在映射φ下，从S到S*的过程是原始计算向创新算法的优化过程(例如2个数的乘除运算可化归为对数的加减运算)；是低级思维向高级思维的发展过程(例如函数在[a,b]上的单调性关系可化归为导函数的正负值关系)．(4)和谐性原则．“RMI原理”涉及的系统可大可小，情况多种多样．关键在于通过映射φ，使得2个结构系统间的某类问题建立对应，以利于指导解题．例3 对数与同构.我们知道，全体正实数集R+关于乘法运算来说构成一个群，全体实数集R关于加法运算也构成一个群．在R+与R之间我们选定定映映射φ=logc(其中c>0且c≠1)，在φ下，对于任意的a,b∈R+，都有a→logca,b→logcb.当a≠b时，有logca≠logcb．于是，定映映射φ就是R+到R上的一一映射．又因为ab→logc(ab)=logca+logcb，所以，对于R+上的乘法运算和R上的加法运算来说，定映映射φ=logc是一个同构映射．若要求出a·b(a>0,b>0)，不妨设x=a·b，乘法是原象间的关系，在同构映射φ下，要找映象x*，只需根据映象间的关系——加法来写出：再作反演(反对数)，即得原象x．一个同构映射，能将繁难的乘法关系映成简易的加法关系，这正是对数的价值所在．学习对数的主要之点，正是关系的转化，发现φ=logc是R+到R上的同构映射．由于在平面上建立了直角坐标系，平面上的点与有序实数对之间便建立了一一对应关系(定映映射φ)，这样，函数与图像、方程与曲线、复数与向量等不同结构系统之间便构建了一定的对应关系，这便是我们常说的“数形结合思想”．数形结合的思想方法是“RMI原理”最集中的体现，它能给抽象的数量关系以形象的几何直观，也能把粗犷的几何问题转化为细腻的数量关系．在高中数学中，将几何问题转化为代数问题进行研究的典范是解析几何，通过几何直观来注释代数关系的经典内容则是矩阵与变换[1]．在平常的教学中，教师过多地从“数”的角度去理解“形”的特征，却淡化了给抽象的数量关系寻找形象的几何直观．事实上，数学是有“形”的，因为数学中的基本元素、概念等都是从现实世界中提炼和抽象出来的．感悟“RMI原理”与数形结合思想，笔者认为：要抓住矩阵和变换的教学机遇，给学生补上“以形助数”这一课，让抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，让抽象思维与形象思维统一起来．例4 利用矩阵的几何意义直观认识矩阵的运算和运算律.因为所以矩阵对应的变换是关于x轴的反射变换．同理，矩阵对应的变换是关于直线y=x的反射变换．由平面几何知识可知，将平面上一点P先作关于x轴的对称，再作关于直线y=x的对称，得到的点P′正好是将点P绕原点逆时针旋转90°所得．而逆时针旋转90°所对应的变换矩阵是正好是矩阵和矩阵的乘积.这正是矩阵乘法的几何意义，即2个矩阵相乘表示连续2次实施变换，据此，不难理解矩阵乘法满足结合律．这一特例同时也可帮助学生认识“旋转变换可以由连续2次反射变换来实现”这一性质．将一个顶点为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)的正方形，先逆时针旋转90°，再将靠近y轴的方向压缩一半得到的结果(图2)，与先将靠近y轴的方向压缩一半，再逆时针旋转90°得到的结果(图3)作比较，让学生认识到交换变换顺序得到的结果一般是不同的，即因此，矩阵的乘法不满足交换律．根据投影变换的特点，把一个顶点为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)的正方形先作关于原点O的对称变换，再向x轴作投影变换得到的结果(图4)，与先作y轴的反射变换，再向x轴作投影变换得到的结果(图5)是一样的,即但因为所以矩阵的乘法不满足消去律．数学中存在各种结构系统，它们大多是独立发展起来的，后来，数学家发现其中某些结构系统之间有着密切的联系，甚至还可以一一对应，即将一个结构系统内成立的问题结论对应到另一个结构系统内，它的相应问题的结论也成立，于是便自觉地去寻找这类系统间的对应关系．这样，一种重要的数学思想方法——“RMI原理”便逐渐形成了．感悟“RMI原理”与数学创新，笔者认为：在定映映射φ下，2个结构系统S与S*之间便构建了某种联系，通常将一个结构系统内成立的结论对应到另一个结构系统内，它的相应结论也成立．这样，借助于对象集S*(或原集S)的探究，往往能反演出许多令人惊喜的创新硕果．例5 三角函数与双曲函数的探究.如图6所示，在单位圆中，点A(1,0)，向量由绕原点旋转而得．设点P(x,y)，扇形OAP的面积为，则∠AOP=α,x=cosα，y=sinα．考虑到角α∈R，我们规定：当由绕原点逆时针旋转所得时，面积取正值；顺时针旋转所得时，面积取负值(显然，这里的面积是数量，已不是通常的面积概念了)；按逆(顺)时针每旋转一周，面积相应的增(减)2π．同样的方法，实施到双曲线上，如图7所示，在等轴双曲线x2-y2=1中，点A(1,0)，设P′(x,y)是双曲线上一点，曲边△OAP′的面积为．因为曲边△ABP′的面积为S= dt=(t-ln|t+|(x-ln|x+|),且所以 =-(x-ln|x+|)．由得这便是通常所说的双曲函数．在单位圆和等轴双曲线之间构建定映映射φ：使得单位圆上的点P对应于等轴双曲线上的点P′，两者保持曲边△OAP的面积和曲边△OAP′的面积相等(图6和图7)．显然，在定映映射φ下：cosα↔coshα，sinα↔sinhα．这样，人们把coshα和sinhα分别称作双曲余弦、双曲正弦就可以理解了．观察双曲函数，coshα和sinhα均可用一个基本函数eα来表示．不妨称eα为双曲函数的中心函数，记为f(α)=eα．于是，类似地，在三角函数中，cosα和sinα是否也存在一个中心函数g(α)？分析双曲函数的中心函数，由于其中x，y满足x2-y2=1,因此在三角函数中，若令x′=cosα，y′=isinα，则x′,y′也满足x′2-y′2=1．这样，猜想中心函数这便是数学家欧拉的伟大发现．由此可得现在提出一个问题：不脱离实数域，能否将cosα和sinα类似地简化为用一个基本函数来表示？从射影几何的观点来看图形(图8和图9)，这是可能的．考虑单位圆和通过点G(-1,0)的直线束y=λ(x+1)，其中λ是参数(如图8所示)．容易解得圆对应于λ的射线的交点P的坐标为因为所以即这种通过tan对c osα和sinα作单值表示的公式，就是通常所说的万能公式．观察双曲函数的中心函数f(α)，有性质f(α+β)=f(α)f(β)．对于三角函数的中心函数g(x)而言，是否也有性质g(α+β)=g(α)g(β)?如图9，设P′(cosα,sinα)，P(cos(α+β),sin(α+β)),则是绕原点逆时针旋转角β所得,即又g(α)g(β)=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(sinαcosβ+cosαsinβ),故对于中心函数g(x)而言，也有性质由该性质可得这就是两角和公式．限于篇幅，我们不再探索，但事实足以说明，通过对象集S*的不断探究，定能反演出原集S的更多性质(反之亦可)，这些性质如果不是“RMI原理”的实践，恐怕很难观察出来．可以这样说，“RMI原理”为我们提供了一种探究的方法、一条创新之道.它的应用，能锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性，能提高学生的数学创新能力．如果谁能对一些十分重要的关系结构S，巧妙地引进非常有用且具有能行性反演φ-1的可定映映射φ，谁就作出了较为重要的贡献[2].文章得到导师张奠宙先生的悉心指导，在此谨表谢意！【相关文献】[1] 普通高中课程标准实验教科书数学(选修4-2)[M]．北京：人民教育出版社，2008．[2] 徐利治．数学方法论选讲[M]．武汉:华中工学院出版社，1983．[3] 张奠宙．数学方法论稿[M]．上海：上海教育出版社，1996．。
第4章 RMI范型与应用——分布式计算课件PPT
本地过程调用和远程过程调用的区别
分布式计算•云计算•大数据
RMI简述
RMI（Remote Method Invocation）即远程方法调用，是 分布式计算的关键。RMI是RPC模型的面向对象实现，是一种 用于实现远程过程调用的应用程序编程接口，它使客户机上运 行的程序可以调用远程服务器上的对象。由于RMI API只适用 于Java程序，所以，我们一般称为Java RMI。
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分布式对象范型的体系结构
右图描述了支持分布式对 象范型的基本体系结构，一个 分布式对象由某一进程提供， 这里称之为对象服务器（ object server），同时必须 在系统中为分布式对象注册提 供一种设施，这里称之为对象 注册器（object registry） ，或简称为注册器（registry ）。
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如何访问某一分布式对象？
对象客户（object client）进程从注册器中查询该对象的引 用，然后使用对象的引用调用远程方法。对象客户通过客户代理 调用远程方法。在分布式计算环境中，代理是指充当其他软件构 件之间的协调者的软件构件。代理通过与客户主机上的软件交互 ，提供分布式对象系统的运行时支持。例如负责向远程主机传送 方法调用所需的进程间通信，包括封装需要传输给远程对象的参 数数据。
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Java RMI体系结构
➢ 桩/框架（Stub/Skeleton）层：客户端的桩和服务器端的框架； ➢远程引用（remote reference）层：处理远程引用行为； ➢传输层（transport）：连接的建立和管理，以及远程对象的跟踪。
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stub和skeleton
RMI法则在中学数学中的应用_刘方然
RM I 法则在中学数学中的应用江苏省灌南县教育局教研室 刘方然 RM I 法则即关系、映射、反演法则,是一种普遍的思想原则:对于有某种对应关系的两个结构领域S 、S *,S 中的问题在该结构中解答遇到困难时,可以利用对应关系,把问题映射到S *中去,在S *中求得解答后,再反演到S 中来,这样,原来的问题就得到解决.用框图表示,即\例1 计算x =223×357.(精确到0.001)首先在等式两边取对数,得l g x =23lg 2+57lg 3.再从对数表中查得lg 2、lg 3的值,然后计算出l g x 的值0.5415,再查反对数表,即可得到x 的值3.479.上述求解的过程就是RM I 法则的一个具体应用,将指数关系结构中的计算x =22×35,映射到对数关系结构中计算lg x =23lg 2+57lg 3,在对数运算结构中求得l g x ≈0.5415,再通过反演(取反对数)得到x ≈3.479.用框图表示为 RM I 法则是徐利治先生首先提出,并将这样的方法上升到理论.RM I 法则在数学中有广泛的应用,是重要的数学思想方法,它能揭示数学上两种关系结构的本质联系,有助于学生对数学知识的理解.因此,在教学中要培养学生运用RM I 的意识和能力,从而提高学生的数学思维品质.中学数学中应用RM I 法则常见的有以下几种情形.一、指数结构和对数结构大数学家欧拉曾指出“对数源出于指数”,这深刻地说明了指数和对数之间有着密切的联系,说明了指数运算结构和对数运算结构存在着对应关系.1.指数结构映射到对数结构一个含有乘方、开方的复杂计算式,可通过取对数化为对数的加减运算.如例1是典型的对数方法,它的映射H 是取对数,反演H -1是取反对数.2.对数结构映射为指数结构例2 已知a >0,a ≠1,M >0,N >0,求证l o g a M N =log a M +l o g a N .在对数结构中不好解决此问题,因此利用对数的定义,化对数问题为指数问题.设 l o g a M =p ,log a N =q ,由对数定义可以得 M =a p ,N =a q .所以,M N =a p ×a q =a p +q ,再利用对数定义化此式为对数形式,得l o g a M N =p +q ,即 log a M N =log a M +l o g a N .此问题是RM I 法则的一个具体运用,其映射H 是利用对数定义化对数为指数,其反演H -1是利用对数定义化指数为对数.二、方程结构和函数结构函数和方程是中学数学研究的重要内容.它们之间有着密切的联系,函数y =f (x )可以看作方程f (x )-y =0,而方程f (x ,y )=0,当对非空数集A 中任意一个x 0,都有唯一确定的一组解x =x 0,y =y 0,则此方程f (x ,y )=0可以看作是y 关于x 的一个函数.因此,许多函数问题、方程问题可以利用上述关系,分别在方程结构和函数结构间用RM I 法则解决.1.函数结构映射成方程结构例3 求函数y =co s x +2s i n x +co s x +3的值域.解:由y =co s x +2sin x +co s x +3,得y ·sin x +(y -1)co s x =2-3y ,∴ y 2+(y -1)2·sin(x +θ)=2-3y ,①(其中θ满足:co s θ=yy 2+(y -1)2,sin θ=y -1y 2+(y -1)2).∵ x ∈R ,∴ 方程①有实数解.∴ y 2+(y -1)2≤|2-3y |.化简,得 (7y -3)(y -1)≥0,∴ y ≥1或y ≤37,即为函数的值域.注:求函数y =f (x )(x ∈A )的值域问题,可以映射成方程中的求参量y 的取值范围,使方程f (x )-y =0在x ∈A 的范围内有解的问题.求得参量y 的取值范围后再反演到函数结构中,即为y =f (x )的值域.2.方程结构映射成函数结构例4 已知方程lg (x -1)+l g (4-x )=l g (a -x ),求使方程有解的a 的取值范围.解:原方程x -1>0,4-x >0,a -x >0,(x -1)(4-x )=a -x .①②③④满足①、②、④的必满足③.∴ 原问题等价于方程④在(1,4)上有解.由④,得 a =-(x -3)2+5,∵ 1<x <4, ∴ 1<a <5.注:本例首先是简化讨论,然后将问题映射成函数的值域问题,避免了用方程的方法解答此题的繁冗讨论,求得结果后再反演为方程问题的结果.三、代数结构和几何结构在中学数学中,有许多代数问题、几何问题可以利用解析几何的基本思想分别映射到几何关系结构和代数关系结构中去,然后再反演到原结构中来,从而使原问题得到解决.1.几何关系结构映射成代数关系结构例5 如图,已知平面内并列的三个相等的正方形,证明:∠1+∠2+∠3=π2.分析:如图,建立直角坐标系,由于平行线的内错角相等,故作映射H :∠1=arg (1+i ),∠2=a rg (2+i ),∠3=arg (3+i ).这样,几何问题被映射成a rg [(1+i )(2+i )(3+i )]=π2.∵ (1+i )(2+i )(3+i )=(1+3i )(3+i )=10i ,且a rg (1+i )、a rg (2+i )、a rg (3+i )均为锐角,∴ a rg (1+i )+arg (2+i )+a rg (3+i )=π2.反演到几何结构中,即∠1+∠2+∠3=π2.2.代数结构映射成几何结构例6 任给8个非零实数a 1,a 2,…,a 8.证明:6个数a 1a 3+a 2a 4,a 1a 5+a 2a 6,a 1a 7+a 2a 8,a 3a 5+a 4a 6,a 3a 7+a 4a 8,a 5a 7+a 6a 8中至少有一个是非负的.分析:注意到 2(a 1a 3+a 2a 4)=|a 1+a 2i |2+|a 3+a 4i |2-|(a 1-a 3)+(a 2-a 4)i |2=|a 1+a 2i |2+|a 3+a 4i |2-|(a 1+a 2i )-(a 3+a 4i )|2,故作映射H :a 1、a 2→O A :a 1+a 2i ;a 3、a 4→O B :a 3+a 4i ;a 5、a 6→O C :a 5+a 6i ;a 7、a 8→OD :a 7+a 8i .这样原问题就映射成:|OA |2+|O B |2-|BA |2≥0,或|OA |2+|O C |2-|A C |2≥0,或|OA |2+|OD |2-|AD |2≥0,或|OB |2+|OC |2-|BC |2≥0,或|OB |2+|OD |2-|BD |2≥0,或|OC |2+|OD |2-|CD |2≥0.由于O A 、OB 、O C 、OD 这四个向量中,至少有两个向量的夹角不超过90°,不妨设O A 、OB 的夹角不超过90°,在△A OB 中应用余弦定理,得|O A |2+|OB |2-|A B |2≥0,从而a 1a 3+a 2a 4≥0.故原命题成立.四、非标准结构和标准结构在中学数学中,有许多问题的解决是通过将原问题映射到标准结构中,在标准结构中解决后,再反演到原结构中,从而获得问题的解.例7 求双曲线4x 2-9y 2-16x +54y -29=0的中心坐标,顶点坐标,准线方程和渐近线方程.分析:原方程可化为(y -3)24-(x -2)29=1.故作映射H :x ′=x -2,y ′=y -3.这样将原关系结构映射成标准关系结构 y ′24-x ′29=1,在新坐标系x ′O ′y ′下,易求得中心为(0,0),顶点坐标分别为(0,-2)、(0,2),准线方程为y ′=±41313,渐近线方程为y ′=±23x ′.然后通过反演H -1:x =x ′+2,y =y ′+3,得到在原坐标系下,中心为(2,3),顶点为(2,1)、(2,5),准线方程为 y =3±41313,渐近线方程为2x -3y +5=0或2x +3y -13=0.五、现实模型结构和数学模型结构现实世界中的一些问题可以根据某些对应法则,将其映射成中学数学中一些常见结构(如:函数结构、方程结构、不等式结构……)中的问题,在数学结构中通过计算、推导得出数学结论后,再通过反演回到现实原型中,从而获得实际问题的解决.这是RM I 方法在中学数学中运用的典型内容.例8 某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷?(精确到1公顷)首先将这个现实问题映射成不等式结构中的问题:令耕地平均每年至少只能减少x 公顷,该地区人口为p ,粮食单产为M 吨/公顷.依题意得不等式M ×(1+22%)×(104-10x )p ×(1+1%)10≥M ×104p×(1+10%).然后在不等式结构中解这个不等式:化简上式,得x ≤103×[1-1.1×(1+0.01)101.22].∵ 103×[1-1.1×(1+0.01)101.22] =103×[1-(1.11.22)×(1+C 110×0.01+C 210×0.012+…)] ≈103×(1-(1.1)×1.1045] ≈4.1,∴x ≤4(公顷).最后将x ≤4这个数学关系,反演到现实模型中去,即按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.。
I-MR(单值-移动极差)控制图
王金珊
一、概述 二、操作步骤 三、分析结果说明
目录
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2
一、概述
1、在子组中没有连续数据（独立观测值）时使用I-MR控制图，绘制变量数 据在一段时间内的单个观测值（I 控制图）和移动极差（MR 控制图）,能 够很直观的将生产过程体现在图中。 2、使用此组合控制图可以在难以或不可能将测量值分成子组时,监控过程 水平（均值）和过程变异（移动极差） ，以及检测是否存在特殊原因 。 这种情况通常在测量费用高昂、生产量偏低或产品生产周期很长时发生。
定检验。
侧）大于 1 个标准差
4
连续 K 个点，距离中心线（任一侧）1 个 15 标准差以内
连续 K 个点，距离中心线（任一侧）大于 8
1 个标准差
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二、操作步骤
“检验 1” 用于检测 单个不受 控制的点。 “检验 2” 用于检测 均值可能 出现的偏 移。
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二、操作步骤
执行所有的特殊原因 检验：选择此项将进 行所有八项检验。
3、主要说明（以下说明可根据需要选择性使用） （1）尺度：点击“尺度”后出现下图
①时间： 索引：选择此项将用整数标记 X 轴（依次为1、2、3…）。 标记：选择此项可用≤3个标记列 （包含日期/时间、数字或文本尺 度值中的值，首先为最内层）来 标记 X 轴。
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7
二、操作步骤
选择“索引”后出现的图形
连续k点在中心线同一侧99连续k个点全部递增或全部递减66连续k个点上下交错14k1个点中有k个点距离中心线同侧大于2个标准差22k1个点中有k个点距离中心线同侧大于1个标准差44连续k个点距离中心线任一侧1个标准差以内15连续k个点距离中心线任一侧大于1个标准差88二操作步骤检验11用于检测单个不受控制的点
五大常用算法资料课件
• 适用场景：Dijkstra算法适用于解决单源最短路径问题，例如在地图导航、物流配送等领域有广泛应用。 • 注意事项：在使用Dijkstra算法时，需要注意处理负权重的边，因为Dijkstra算法只能处理非负权重的问题。
THANKS
要点一
总结词
二分查找是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法， 它将数组分成两半，比较中间元素与目标值，如果中间元 素等于目标值则查找成功，如果目标值小于中间元素则在 前半部分数组中继续查找，如果目标值大于中间元素则在 后半部分数组中继续查找。
要点二
详细描述
二分查找的主要思想是将数组分成两半，比较中间元素与 目标值，如果中间元素等于目标值则查找成功，如果目标 值小于中间元素则在前半部分数组中继续查找，如果目标 值大于中间元素则在后半部分数组中继续查找。这个过程 递归进行，直到找到目标值或搜索区间为空。二分查找的 时间复杂度为O(logn)，是一种高效的搜索算法。
Floyd-Warshall算法
01
02
03
04
Floyd-Warshall算法是一种 用于解决所有节点对之间最
短路径问题的图算法。
Floyd-Warshall算法的基本 思想是通过动态规划的方式 逐步计算出所有节点对之间 的最短路径。该算法的时间 复杂度为O(V^3)，其中V是
节点数。
适用场景：Floyd-Warshall 算法适用于解决所有节点对 之间最短路径问题，例如在 社交网络分析、交通网络规
单元九Mathematica软件及其运用ppt课件
9.1.4 常用函数
1、系统常用的数学函数
幂函数 Sqrt（平方根） 指数函数 Exp（以e为底的指数） 对数函数 Log 三角函数 Sin，Cos，Tan，Cot，Sec， Csc 反三角函数 ArcSin，ArcCos，ArcTan，ArcCot 绝对值函数 Abs 求和函数 Sum 取整数函数 IntegerPart 求模函数 Mod[m,n]——求m除n所得余数
格式：Nest[f，x，n] 6、定义临时变量
格式：Module[{x，y，……}，表达式1； 表达式2；……]
使用中的几个问题
1、简便输入 %—表示上次计算的结果 %% —表示上上次计算的结果 %n—表示第n次计算的结果
2、运行程序— Shift+Enter或小键盘 上的Enter
3、保存文件 用菜单进行：save as …… 4、分号“；”的应用 （1）在几个语句中间，表示各语句间 并列关系，用于一行多句输入
格式4： Table[表达式，{x，n1，n2，n3}] — 生成的表中元素x的取值从n1到n2，步长为n3 例6：生成{10，20，30，……，150} 例7：生成{e， e4 ， e7 ， e10 ， e13}
格式5： Table[f[m，n]，{m ，m1 ，m2，m3}， {n，n1，n2，n3}] —生成二层表 例8：生成{{2，3，4，5，6}，{3，4，5，6， 7}，……{6，7，8，9，10}}
例9：生成{{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}， {5，6}}
例10：生成{{1，Sin[1]}，{2， Sin[2]}，……， {5， Sin[5]}}
4、迭代（递推）生成 格式：NestList[函数名f，初值x，迭代次数n] 例1：f[x_]: = 1/(1+x) NestList[f，x，4] 例2： NestList[Sin，x，4]
机算法设计与分析基础(第三章蛮力法)2ppt课件
S e q u e n t i a l S e a r c h ( A [ 0 . . . n ] , K ) 最佳效率：Tbest (n) = 1
{ A[n ] K // 限 位 器 i 0 w h ile ( A[i] K ) i i 1 if (i n ) retu rn (i) // 成 功 else retu rn ( 1) // 失 败
}
最差效率：Tworst(n) = n + 1
问：为何定义 A 数组为 n+1 维？ 答：有一个位置放限位器 问：若输入有序，算法可改进？ 答：遇到 ≤ 或 ≥ 查找键元素，
立即停止查找。
编辑版pppt
18
蛮力字符串匹配
蛮力字符串匹配 —— 也称 串模式匹配 文本（Text）： n 个字符的串 模式（Pattern）：m 个字符的串（n > m , 模式小于文本）
{ 串匹配之蛮力法
j 0 // 每 次 从 P[0]开 始 while j m and P[ j] T [i j] do
j j1 if j m return i } return 1 // 没 找 到 匹 配
思考： while 结束时 j=？ ① j<m ② j=m j < m : 提前退 出循环，模式 不匹配。 j = m : 找到了 匹配模式。
—— 直接干吧！（ 最容易想到 ）
一个简例
已知：数字 蛮力算法：
aa 和n非负a整数an ，要a求：..设.计计a算
an
值的算法
n个 策略：直接基于问题定义来设计算法 —— 把 a 和 a 相乘 n 次 其他蛮力策略应用
——选择排序、冒泡排序、插入排序、顺序查找、朴素的字符 串匹配
——比较常用还有枚举法、盲目搜索算法等。
数学分析讲义(第五版)课件
设z
zn x2, 幂级数 n1 n 32n
的收敛半径为
R
1
lim
n
n
|
n
32n
|
9 lim n
n
1
n 32n
9,
从而 x2 z 9时原级数收敛, x2 z 9 原级数发
散,
所以
n1
n
x2n 32n
的收敛半径为
R
3.
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方法2 应用柯西-阿达玛定理 (n 奇数时, an 0), 由于
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一、幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n ,
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
an
xn1 .
0
n0 n 1
证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半
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径R. 因此,对任意一个 x (R, R) , 总存在正数 r, 使得|x| < r < R, 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r, r]上 一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积 定理, 就得到所要证明的结论(i)与(ii). 注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区 间上一致收敛!)
上一致收敛.
对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办
法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.
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例5 级数
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
线性代数的RMI模型理论——向量空间直和分解理论的RMI模型理论
学专业线性代数 向量空 间直和分 解理 Ｂ ８ ＝ ．－ ｐ＝ ． ｐ ｐ ， ’ｐ 一 ｔ ０ｐ Ｏ即 ： － Ｂ＝ ， 一 ． 论 的教学思路。
关键 词 ： 性 代 数 向量 空 间 线 和 分 解 理 论 Ｒ Ｉ模 型 Ｍ 直 Ｒ Ｉ方 法 Ｍ Ｒ Ｉ Ｍ 方法 的框 图表 示 如 下 ：
】兰州商学院学报 ，９ ０ ２ ： １９ （ ） 证明 设 ｗ， ｗ 的任 意一个余子 学思路 Ⅱ． 是
６ －７ ６ ０．
空间 ，那 么 ｗ 也 是 ｗ。 的一个 余子 空 空 间 。 取 ｗ 的 一 个 基 ｛【 ｌ… ， 和 ０，： ｝ ． ， ０
Ｗ。 一 个 基 ｛ Ｂ ， ， ｓ． 为 Ｖ＝ 的 Ｂ ，： … Ｂ １因
可 以唯 一 地 表 成
．４ 存在 Ｖ中 ｎ ｒ 的形 式 ， 里 ０ ＥＷ．＝ ， ， ， 且 ， ４ — 这 【 ； ， ｌ… ｎ 并 ｉ 的 Ｒ 模型理论 ，并 且应用关系 映射 的一个基 。由定理 ６ ．， ＭＩ
反演思想方 法论述非 数学专业 线性代 个 向量 ｛ ， ， … ０ｌ 【使得｛ 一，【０ 当 Ｖ是有 限维 向量空间时， ０，【 ，
关 １分 系 解
Ｖ＝ ｗ①Ｗｌ
］
关 于 直 和 的概 念 可 以 推 广 到 多 于 两 个 子 空 间 的情 形 。 Ｗ 。 ， Ｗ 设 ， …， 是 向量 空 间 ｖ 的子 空 间 。 如果
（） Ｗ １Ｗ２＋… ＋ ； ｉＶ＝ ＋ ， Ｗ
教 学思路 向量空 间直和分 解理论是 线性代
学 术 纵 横
线牲 代数 的 ＭＩ Ｒ 模型理论
— —
向量空间直和分解理论的 Ｒ 模型理论 ＭＩ
口 窦 永 平
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册5.1计数原理 精品教学课件
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件
事．
()
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中，完成这个步骤的方法
是各不相同的．
()
1234
(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分 n 步完成的，那么其中
任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有 n 步骤都完成后，这件
事情才算完成．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
(2)分步乘法计数原理的理解 分步乘法计数原理中的“完成一件事需要 n 个步骤”，是指完成 这件事的任何一种方法，都需要分成 n 个步骤．在每一个步骤中任取 一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是 相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．
如何区分“分类”还是 “分步”？
[思路点拨]
[解] 选一幅画布置房间分三类计数： 第一类：选油画，有 5 种不同的选法； 第二类：选国画，有 2 种不同的选法； 第三类：选水彩画，有 7 种不同的选法． 根据分类加法计数原理，共有 N＝5＋2＋7＝14 种不同的选法．
分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后 在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：
6 [完成这件事可分两步：第一步，从集合 A 中任选一个元素作 为个位数字，有 2 种不同的方法；第二步，从集合 B 中任选一个元 素作为十位数字， 有 3 种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一 共有 2×3＝6 种不同的方法．]
1234
4．从甲地到乙地，如果翻过一座山，上山有 2 条路，下山有 3 条路．如果不走山路，由山北绕道有 2 条路，由山南绕道有 3 条路．
1234
2．完成一项工作，有两种方法，有 5 个人只会用第一种方法， 另外 4 个人只会用第二种方法，从这 9 个人中选 1 人完成这项工作， 不同的选法种数是( )
RMI原理在中学数学中的应用
RMI原理在中学数学中的应用化归法是一种重要的数学研究和解题的方法.化归就是转移，是把需要解决的比较困难的数学问题转化归结为一个或几个比较容易解决的新问题或者已经解决的问题，从而达到求解原问题的目的.用思维结构框如图所示：化归法的目的是化繁为简，化难为易，化未知为已知.化归法的途径和手段不固定，没有固有的模式，需要具体问题具体分析，但在中学数学中，化归法经常是通过恒等变形或者关系映射反演等原理得以实现.关系映射反演原理即：(relation)、映射(mapping)、反演(inversion)原理,简称rmi原理.rmi原理的提出有着坚实的哲学依据，即：世界是一个普遍联系的有机整体，世界上事物的联系具有普遍性.反映世界的不同量化模式(即关系结构) 相互之间也具有联系性，映射就是联系不同量化模式的基本纽带.rmi原理是一个十分重要的数学方法和思想，是化归原则在数学领域中的具体化与形式化，具有联系各个数学分支体系、解决数学问题的功能.由于rmi原理反映了数学方法的特殊性，因此，在数学方法论的发展史上，它也是一个真正具有数学特色的数学方法.数学中的关系结构是指彼此之间具有某种或某些数学关系(如代数关系、函数关系、序关系等等)的数学对象的集合.rmi理在数学中的应用可以这样描述：对于给定的一个含有目标原象x 的原象关系结构系统t，当在 t中不容易或者不能够直接确定x时，如果能找到一个可定映映射f：t→t*，将t映入映象关系结构系统t*；在t*中通过一定的数学方法去确定目标映象x*=f(x)，然后再通过反演，即相应的逆映射 f -1可以确定目标原象.通过以下步骤“关系——映射——定映——反演——获解”的数学解题方法称之为rmi维框图如下图所示：rmi原理关键是寻求适当的映射与反演.rmi原理在数学领域有着极为广泛的应用，同时派生出许多具体的数学方法，是较高层次的化归.应用rmi原理解决中学数学问题常见的情形有以下几种.一、方程结构和函数结构函数和方程在中学数学研究中是密不可分的，函数y=f(x)可以等价地看做是方程f(x)-y=0，当方程f(x，y)=0对于非空数集a中任意一个x0而言，都有唯一确定的一组解x=x0，y=y0时，它就可以看做是y关于x的一个函数.根据方程和函数之间这一互化的关系，我们可以分别在方程结构和函数结构之间运用rmi.1.方程结构映射成函数结构【例1】已知方程sin2x+cos x+a=0有实数解，求实数a的取值范围.2.函数结构映射成方程结构二、代数结构和三角结构在中学数学中，以初等函数为映射工具，利用rmi我们可以将一些代数、三角问题分别映射到代数关系结构和三角关系结构当中去，然后再反演回到原结构中来，从而达到求解原问题的目的.【例3】已知x是正实数，试证明：(x+1-x)?x＜12 .三、代数结构和几何结构我们经常说，用代数的方法去解决几何问题或者用几何的方法来解决代数问题.这实际上是一种利用代数的量与几何的形的关系来解决问题的一种方法，这种方法本身就是关系——映射——反演(rmi).在中学数学中，有许多代数问题可以通过坐标系寻求映射工具映射到几何关系结构中去，然后再反演到原来的代数结构中来，从而解决原来的代数问题.而几何问题也一样可以映射到代数关系结构中去，然后再反演到原来的几何结构中来，从而解决原来的几何问题.例如，在笛卡儿平面上用有序实数对(x，y)来表示点，它使一个有序实数对(x,y)与几何中的点构成了一一对应关系.坐标系里点的坐标按某种规则连续变化,那么,平面上的曲线就可以用方程来表示.比如，我们用关于x，y的一次方程来表示直线，用关于x，y的二次方程来表示圆锥曲线.这样作为原象的几何图形便和作为映象的(x，y)及含x，y的方程式建立起对应，这种对应关系是一种映射关系.通常情况下，一个几何问题在本质上就是某些特定的几何图形之间的关系问题，这种几何图形之间的关系问题在上述映射关系的对应下便可转化为代数式的关系问题.要解决图形之间的关系问题，只须解决代数式的关系问题即可.1.几何结构映射成代数结构【例4】已知一个半圆的直径ab =2r，直线l与ab的反向延长线垂直相交于点t，at=2a(a0)上一动点，a(6a，0)为定点，以a 为中心，将aq按顺时针方向旋转90°到ap，求p点的轨迹方程.六、应用模型结构和数学模型结构随着应用性问题在中学数学中的地位日益提高，在教学中我们既要重视提高学生的解题技巧，培养学生用熟知的数学模型解决数学问题的能力，又要培养学生从实际问题中提炼和构造数学模型的能力和将复杂陌生的问题化归为简单熟悉的数学模型来解决实际问题的能力.根据某些对应法则，通过建模可将一些有关应用模型结构的问题映射成中学数学中常见的问题结构(例如函数结构、数列结构、方程结构、三角结构、不等式结构等)，形成数学模型，在数学模型中找到解决数学问题的方法，得出结论后再反演回到实际问题原型中，从而解决实际问题.这是运用rmi原理解决中学数学问题最典型的内容.【例8】a村、b村坐落在一条小河的同侧，两村计划在河边共建一座可以供两村使用的水电站发电，已知a村到河边的垂直距离为300m，b村到河边的垂直距离为700m，两村相距500m，问水电站应该建于何处，使得送电到两村的电线用料最省?分析：要解决这个生活问题，必须用数学语言对问题加以描述，转化为一个数学问题，也是我们常说的数学建模.我们可以把两个村庄看做是两个点a、b，而小河则可看做是一条直线l，这样就可以将原问题转化为：在一条直线的同侧有相距500m a、b，它们到这条直线的距离分别为300m和700mp，使得∣ap∣+∣bp∣的值最小.这样一来，利用解析几何中的距离公式就可以很快求得p点的坐标，最后将p点再反演为水电站的位置即可.解决这类问题的关键在于怎样把实际问题归纳或抽象为数学问题，而数学建模能力的缺乏是学生在解决应用问题时遇到的最大困难.首先，我们必须弄清实际问题中已知的信息以及这些信息的关系，然后紧扣问题的主要矛盾提出假设，运用数学语言对已知信息进行必要的加工、改述，确定所要建立的数学模型中各种量的关系或图形之间的关系，最后找到解决数学模型问题的方法时，实际问题也就迎刃而解了.利用rmi原理研究数学问题，关键在于选取适当的映射.rmi 原理能揭示数学上两种关系结构的本质联系，是一种重要的数学思想方法.要想灵活地在中学数学中应用rmi原理，要求我们熟练掌握数学各分支的知识体系以及各分支之间的联系和变化，从而使数学各部分知识形成一个完整的整体.使用rmi原理指导学生解题，有助于学生对数学知识的理解，既可用以启发学生解题的思路、提高学生解题的效率，又可用来指导学生进行数学发现.在中学数学教学中，为了提高学生的数学思维品质和解决问题的能力，我们要注重培养学生运用rmi和能力.(责任编辑金铃）。
逻辑学穆勒五法ppt课件
一个相关条件发生变化，而其他条件保持不变。 ➢ 3、注意： ➢ 尽量找出唯一之异，其他情况相同。
实例分析
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
(三)求同求异法并用法(The Joint Method of Agreement and Difference)
1．含义：先在正面场合求同，再在反面场合求同，最后，在正反两 个方面求异，得出结论。
▪ 2．公式：
▪ 正面场合：ABC——a
▪
ADE——a
▪
…………
▪ 反面场合：BC——无a
▪
DE——无a
启迪：以发展的眼光看问题，以长远的眼光看问题。 ➢ 复杂多样性：一因多果，一果多因，多因多果，互为因果
▪
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
三、穆勒五法基本内容
➢ （一）求同法（The Method of Agreement）
▪（二）求异法(The Method of Difference) 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
➢ 1、含义：所研究的现象出现的场合与不出现的场合之间，只 有一点不同，那么，这点不同就与所研究的现象之间可能有 因果联系。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
RMI原理及在中学数学解题中的应用研究
摘要关系（relation）—映射（mapping）—反演（inversion）原理，简称RMI原理,是一种分析处理问题的普遍原则。
主要适用于解决数理科学与工程技术科学方面的有关问题，尤其广泛应用于现代数学研究，具有联系各个数学分支体系、解决数学问题的功能，并能够实现深层次抽象化的化归，提高数学解题效率。
本论文基于对RMI原理理论实质的理解，重点梳理了RMI原理在中学数学解题中的种种应用，从中进一步思考了RMI原理对中学数学解题教学的启示，总结了采用RMI原理解题需要运用的策略。
关键词：RMI原理；化归原则；解题教学AbstractThe method of Relation-Mapping-Inversion, abbreviated RMI method, is a general principle of analysis and solution. It is mainly used to solve some problems about mathematical science and engineering science and technology, especially widely used on modern mathematical research .It has the function of contacting various branches of mathematics and solving mathematical problems. It also can realize the more abstract naturalization and improve the efficiency of solving problems.This paper is based on understanding the theory of RMI method, and mainly arranges its various applications in solving middle school mathematical problems. And from that, it makes me begin to think of the RMI method’s affections on the teaching of solving middle school mathematical problems. Finally, I make a summary of strategies about applying RMI method to solve mathematical problems.Key words:The method of Relation-Mapping-Inversion; The theory of reduction; teaching about solving problems.目录摘要 (I)Abstract (I)目录 (I)1 RMI原理概述 (1)1.1 一般化的RMI原理 (1)1.2数学中的RMI原理及化归原则 (2)1.2.1数学中的RMI原理简述 (2)1.2.2化归原则与RMI原理的关系 (3)2 RMI原理在中学数学解题中的应用 (4)2.1 对数法 (4)2.2 向量法 (6)2.3 复数法 (9)2.4 解析法 (11)2.5 参数法 (14)2.6 换元法 (15)2.7 变换法 (17)3 RMI原理对中学数学解题教学的启示 (18)参考文献........................................................................................ 错误!未定义书签。
蛮力法详解PPT课件
改进的顺序查找
将待查值放在查找方向的尽头处，免去了在查找过 程中每一次比较后都要判断查找位置是否越界，从 而提高了查找速度。
哨兵
0123456789 k 10 15 24 6 12 35 40 98 55
查找方向
i
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改进的顺序查找
算法3.2——改进的顺序查找
int SeqSearch2(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合 { r[0]=k; i=n; while (r[i]!=k)
√
√ √ √
√ √ √
熟练掌握 √ √
√
2021/6/1
3
第3页/共95页
3.1 概述：蛮力法的设计思想
蛮力法中“力”是指计算机的“计算能 力”，不是人的智“力”。
蛮力法的设计思想：直接基于问题的描述， 从有限集合中，逐一列举集合的所有元素， 对每一个元素逐一判断和处理，从而找出 问题的解。
例：计算an
11.
s[k] = c;
12.
k++;
13.
}
14. } } }
10
第10页/共95页
蛮力法的设计思想
• 执行时间： • 外循环：(n+1)次， • 中间循环：(n+1)(n+1)次， • 内循环：(n+1)*(n+1)*(n+1) 次。
当时n=100，内循环的循环体执行次数大于100万次。
2021/6/1
对某类特定问题，在规模较小的情况下，穷举法往往是 一个简单有效的方法。
2021/6/1
14
第14页/共95页
蛮力法的设计思想
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4
44
逆行速度为每小时：（62）112（千米） 4
甲、乙两地水路的距离是：12(11)1（ 5 千米）
.
4
12
例6 甲、乙、丙三人现在的岁数和是113岁。当甲的岁数是乙 的岁数的一半时丙是38岁；当乙的岁数是丙的岁数的一半 时，甲是17岁。那么丙现在是多少岁？
甲岁数
现在岁数与当时岁数的差 113岁
.
1
中国著名数学教育家、数学方法论专家 -----徐利治
.
2
一、关系映射反演方法
如果原问题“化归”为一个新问题 后，新问题与原问题是同构的（即，只 是形式不同，数学结构完全相同），这 种“化归”在数学上又称为“RMI”方 法。
.
3
二、关系映射反演方法的基本含义
原象关系结构 （原象系统中的问题）
.
16
例7 （托尔斯泰问题）一组割草人要把两片草地上 的草割完，大片是小片的两倍。上半天人们都在大片 地上割，午后人们对半分开，一半仍留在大片地上， 到傍晚恰好把草割完；另一半到小片地上去割，到傍 晚还剩下一小块，这一小块一个人一整天可以割完。 问这组割草人有多少？
半组人 半天
一人一天＝二人 半天
（一）能否在另一关系结构中构造出该问题的模型 （二）能否用另一知识系统中的语言来改述与解决这个问题 （三）变形－－对应（映射）－－反演
.
15
日本数学家、数学教育家米山国藏指出： “学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所 学到的数学知识，因而这种作为知识的数学， 通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然 而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头 脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在 他们的生活和工作中发挥着重要的作用。”
.
10
行程问题的数量关系 （速度比）
映射
线段图
问题得到解决
反演
在线段图上得到 帮助或求得解
.
11
例5 一条船从甲地沿水路去乙地，往返一共需要2小时， 去时顺水，比返回来每小时多航行8千米，且第二小时比第 一小时少航行6千米，求甲、乙两地水路的距离？
顺水
3千米
甲
乙
顺航： 68 3（小时）前一小时里逆航：1 3 1（小时）
.
17
例8 一条街上，一个骑车人和一个步行人同向 而行，骑车人速度是步行人速度的3倍。每隔10 分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔20分钟 有一辆公共汽车超过骑车人。如果公共汽车从 始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么每 间隔几分钟发一辆车？
.
18
汽车10 骑车20 汽车20
人10
汽车10 汽车20
4
1
3
2
.
21
甲，乙两船同时从B港分别向C港和A港行 驶。已知甲船速度是乙船速度的五分之六倍， A，B 两港相距540千米。甲船3小时后到达C 港，然后立即驶向A港，最后与乙船同时到达 A港。则乙船速度是（ ）千米/小时。
C
B
A
[540(32)5]615 5
.
22
一船从甲港顺水而下行到乙港，马上又从乙 港逆水行回甲港，共用了8小时。已知顺水每小时 比逆水多行20千米，又知前4小时比后4小时多行 60千米。那么，甲乙两港相距多少千米。
.
6
例1 水结成冰体积增加了十分之一，那么，冰化
成水后，体积减少了几分之几？
水
冰
水
.
7
例2 某班有四个课外活动小组。已知有二分之一 的学生参加语文小组，有四分之一的学生参加英语 小组，有八分之一的学生参加数学小组，还有6名学 生参加科技小组。如果参加者互不重复，该班有多 少人。
1 2
1 1 6人 48
.
23
乙岁数
丙38岁
甲现在岁数 乙现在岁数 丙现在岁数
甲现在岁数是： (11338)32（ 5岁 ）
.
13
甲17岁
现在岁数与当时岁数的差 113岁
乙岁数
丙岁数
甲现在岁数 乙现在岁数 丙现在岁数
乙现在岁数是：(11317)33（ 2岁 ）
丙现在岁数是：11325325（ 6岁 ）
.
14
四、运用RMI方法来解决数学问题的基本思路：
人10
骑车20
＝人10的6.
前前后后两两车车 的的距距离离
前后两 车的距
离
汽车2分 钟 19
.
20
甲、乙两车分别从A、B两地出发，在、之间不断往返行驶。 已知甲车的速度是每小时15公里，乙车的速度是每小时35 公里，并且甲、乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的 地点恰好相距100公里，那么，AB两地相距多少公里？
.
8
例3 鸡兔同笼不知数，十二个头笼中露。 数清脚共三十只，多少只鸡多少兔？
.
9
例4 A、B，两地相距2400米，甲从A地， 乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。甲每分 钟跑300米。乙每分钟跑240米，在30分钟后停 止运动。甲，乙两人在第几次相遇时距A地最近？ 最近距离是多少米？
1
2
3
2 4 0 0 9 38 0 0
映射
映射关系结构 （映射系统中的问题）
反演
在原象系统中作出解决
在映射系统中求得解决.4来自曹冲称象与关系映射反演法
称大象的问题 原象系统中的问题
转化 映射
称石头的问题 映象系统中的问题
在原象系统中作出解决 大象问题得到解决
反演 转化
在映象系统中求得解决 石头问题得到解决
.
5
三、RMI方法的应用
“映射”作广义上来理解，就是指化难 为易的某种对应方法或手段，而“反演” 就是把变换后求得的解答再转换成原来问 题所要求的答案。