《数学分析》第十章_定积分的应用

第十章 定积分的应用 （ 8 时 ）

§1 平面图形的面积 （ 2 时 ）

一． 直角坐标系下平面图形的面积 ：

1 简单图形：-X 型和-Y 型平面图形 .

2简单图形的面积: 给出-X 型和-Y 型平面图形的面积公式. 对由曲线

0),(=y x F 和0),(=y x G 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.

例1 求由抛物线 x y =2与直线 032=--y x 所围平面图形的面积.

3参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间],[b a 上的曲边梯形的曲边由方程

b a t t y y t x ==≤≤==)( , )( , , )( , )(βχαχβαχ给出.又设0)(>'t χ,就有)(t χ↗↗, 于是存在反函数 )(1x t -=χ. 由此得曲边的显式方程 ],[ , )]([)(1b a x x y t y ∈=-χ.

⎰⎰'==-b a dt t t y dx x y S β

α

χχ)(| )( || )]([ |1, 亦即 ⎰⎰==β

α

βαχ)(| )( || |t d t y dx y S .

具体计算时常利用图形的几何特征 .

例2 求由摆线)0)(cos 1(),sin (>-=-=a t a y t t a x 的一拱与x 轴所围平面图形的面积. 例3 求椭圆122

22=+b

y a x 所围平面图形的面积. 二 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线 )(θr r =和射线 , βθαθ==

) (βα<所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法，并用微元法推导公式.半径为r , 顶角为θ∆的扇形面积为

θ∆221r . ) ⎰=βα

θθd r A )(212 .

例4求由双纽线 θ2cos 22a r = 所围平面图形的面积 .

解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒≥4 , 4 , 02cos ππθθ或⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ππ45 , 43. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为4π±的两条直线之间 ) . 以θ-代θ 方程不变⇒图形关于X 轴对称;以θπ-代θ, 方程不变, ⇒图形关于Y 轴对称. ( 参阅[1]P 24 图610- )

因此 ⎰=⋅=40

222cos 214π

θθa d a A .

Ex [1]P 242 1—6.

§2 由平行截面面积求体积 （ 2 时 ）

一 已知平行截面面积求体积求立体的体积:设截面面积为],[ , )(b a x x A ∈推

导出该立体之体积: ⎰=b

a

dx x A V )(.

祖暅原理: 夫叠棊成立积,缘幂势即同则积不容异.(祖暅系祖冲之之子,齐梁时人, 大 约在五世纪下半叶到六世纪初)

例1 求由两个圆柱面 222a y x =+ 和 2

22a z x =+所围立体体积 . [1]P 244 E1 ( 33

16a ) 例2 计算由椭球面 122

2222=++c

z b y a x 所围立体 (椭球 )的体积 . [1] P 342 E2 ( abc π3

4 ) 二 旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式.

⎰=b

a

dx x f V )(2π.

例3 推导高为h , 底面半径为r 的正圆锥体体积公式.

例4 求由曲线02

=-y x 和0=-y x 所围平面图形绕X 轴旋转所得立体体积.

例5 求由圆25)20(22≤-+y x 绕X 轴一周所得旋转体体积. ( 10002

π ) 例6 ,0 , :==-x e y D x X 轴正半轴 . D 绕X 轴旋转 . 求所得旋转体体积.

Ex [1]P 246 1，2，3.

§3 平面曲线的弧长 ( 1 时 )

一. 弧长的定义: 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲,即用折线总长的极限定义弧长.可求长曲线.

二. 弧长计算公式:光滑曲线的弧长.设 :L )(t x χ=，)(t y y =，,βα≤≤t 又()())( , )(B , )( , )(ββχααχy y A ，)(t χ和)(t y 在区间],[βα上连续可导且0)()(22≠'+'t y t χ. 则 L 上以A 和B 为端点的弧段的弧长为

dt t y t s ⎰'+'=

β

αχ22)]([)]([ .

为证明这一公式,先证以下不等式:对+

∈∀R c b a ,, ,有

|| | |2222c b c a b a -≤+-+, (Ch 1 §1 Ex 第5题 (P 4) .其几何意义是:在以点),( , ),(c a b a 和)0,0(为顶点的三角形中,两边之差不超过第三边.) 事实上， |||||||||||||

| | |22222222222222c b c b c b c b c b c a b a c b c a b a -=+-≤+-≤+++-=+-+. 为证求弧长公式,在折线总长表达式中, 先用Lagrange 中值定理, 然后对式)()(*22i i y ξξχ'+'插项进行估计.参阅 [1]P 247.

如果曲线方程为极坐标形式)( ], , [

, )(θβαθθr r r ∈=连续可导,则可写出其参数方程θθθθsin )( ,cos )(r y r x ==.于是

θθθθθθχβ

αβαd r r d y s ⎰⎰'+='+'=

)()()]([)]([ 2222.