两圆的公切线

B
C
O
1
A
O
2
重要结论：切点三角形
如图， 外切于点A、 为两圆外 如图，⊙O1和⊙O2外切于点 、BC为两圆外 公切线， 、 为切点 为切点， 为 直径， 公切线，B、C为切点，AD为⊙O1直径， 求证： ∥ 。 求证：AC∥BD。
B C
D
O
1
A
O
2
重要结论：切点三角形
如图， 外切于A， 如图，⊙O1和⊙O2外切于 ，两圆的外公 切线BC切 于点B， 切线 切⊙O1于点 ，切⊙O2于C,连结 连结 AB、AC；CA的延长线交⊙O1于D。 的延长线交⊙ 、 ； 的延长线交 。 求证： 求证：（1）AB⊥AC； ） ⊥ ； （2）BD2＝DA·DC。 ） 。 B
两圆的公切线
辅助线篇
辅助线：构造Rt△
要做一个如图那样的V形架， 要做一个如图那样的 形架，将两个钢 形架 管托起，已知钢管的外径分别为200mm 管托起，已知钢管的外径分别为 形角α 和80mm，求V形角α的度数。 ， 形角 的度数。
从边长分别为a、 （ 从边长分别为 、b（a>b）的矩形纸片上 ） 剪下一个最大的圆， 剪下一个最大的圆，然后再从剩下的余料 中又剪下一个尽可能大的圆， 中又剪下一个尽可能大的圆，求第二次剪 下的圆的直径。 下的圆的直径。 A D 计算题： 两圆外切，通常 辅助线的添法是 连结两圆圆心， 平移外公切线， 构成直角三角形， 利用勾股定理计 算。
C O1 O2 A
D
1、如图，⊙O1和⊙O2内切于 ，⊙O1的弦 、如图， 内切于T， TA、TB分别交⊙O2于C和D。 分别交⊙ 、 分别交 和 。 求证： 求证：（1）△TCD∽△TAB； ） ∽ ； （2）当DC＝5，TC：TA＝2:3时，求AB ） ＝ ， ： ＝ 时 的长。 的长。 A
C O1 D B O2 T
内公切线长： AB = d 2 − ( R 2 + R1 ) 2
联想： 联想：
通常构造直角三角形的知识点：垂径定理、 通常构造直角三角形的知识点：垂径定理、切 线长定理、 线长定理、公切线
思考： 思考：
两圆内切时， 公切线的长怎样？ 两圆内切时，内（外）公切线的长怎样？ 两圆外切时，内公切线的长怎样？此时， 两圆外切时，内公切线的长怎样？此时，外公 切线长是两圆直径的比例中项，怎样证明？ 切线长是两圆直径的比例中项，怎样证明？
B
O A D C E
3、如图，⊙O1和⊙O2外切于 ，A为⊙O1上 、如图， 外切于P， 为 一点， 切 一点，AB切⊙O2于B,交⊙O1于E，BP、AP 交 ， 、 的延长线分别交⊙ 的延长线分别交⊙O1、 ⊙O2于C、D。求证： 、 。求证： ；（2） （1）AC//BD；（ ）BC2＝AC2＋AC·BD。 ） ；（ 。
2、在以O为圆心的同心圆中，AB与大圆切 、在以 为圆心的同心圆中 为圆心的同心圆中， 与大圆切 于点B， 与小圆切于点 与小圆切于点C，交大圆于点D、 于点 ，AE与小圆切于点 ，交大圆于点 、 E。（ ）若小圆的半径为 ，ED＝ 求证3 。（1）若小圆的半径为r， ＝ 求证： 2 ： r 。（ 大圆的半径R=2r。（ ）在（1）的 。（2） 大圆的半径 。（ ） 6 条件下， 条件下，当AD＝6cm，tan∠BAO＝ ＝ ， ∠ ＝ 3 的值。 时，求r的值。 的值
F O2 O1 B E G
DH C
公 切 线 数 量 & 两 圆 位 置 关 系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
外公切 内公切 公切线 线数 线数 总数 2 2 2 1 0 2 1 0 0 0 4 3 2 1 0
公切线数量&两圆位置关系
两圆半径分别为R、r，圆心距为d，当两圆只 ，圆心距为 ， 两圆半径分别为 有一条公切线时， 的关系是（ 有一条公切线时，R、r、d的关系是（ ） 的关系是 (A)R-r<d (B)R-r=d (C)R+r>d (D)R-r<d<R+r 已知两圆半径分别是方程x 的两根， 已知两圆半径分别是方程 2-7x+5=0的两根， 的两根 圆心距为7，那么两圆公切线的条数是（ ） 圆心距为 ，那么两圆公切线的条数是（ (A)3 (B)2 (C)1 (D)无 无 两圆半径分别为5和 ， 两圆半径分别为 和3，且两圆共有三条公切 线，则两圆的圆心距等于 。
公切线的性质
切线——类比联想——公切线
什么是切线长？什么是公切线的长？ 切线长有什么定理？你猜想公切线的长 相应有什么性质？写出结论并证明。
重点：关于公切线长的计算
公切线的长的计算
思想：构造直角三角形， 思想：构造直角三角形，利用勾股定理 2 2 计算式： 计算式： 外公切线长： AB = d − ( R 2 − R1 )
两圆的公切线
基础理论篇
生活中的Байду номын сангаас切线
公切线的相关概念
公切线：和两圆都相切的直线。 公切线：和两圆都相切的直线。
1 O
O2
O1
O 2
两圆在公切线的同 两圆在公切线的同 旁——外公切线 外公切线
两圆在公切线的两 两圆在公切线的两 旁——内公切线 内公切线
思考： 思考： 两个圆是否一定有公切线？ 两个圆是否一定有公切线？ 若有，那么会有多少条公切线？ 若有，那么会有多少条公切线？
B E A O1 C P D O2
4、⊙O1是△ABC的外接圆，与⊙O1内切于点 的 、 的外接圆， 内切于点A的 的外接圆 ⊙O2交AB于F，交AC于G，EF⊥BC，垂足为 ， 于 ， 于 ， ⊥ ，垂足为E， GH⊥BC，垂足为 ，AD是△ABC的高，交FG于 的高， ⊥ ，垂足为H， 是 的高 于 M，且AD＝6，BC＝8。 （1）求证：四边形 ， ＝ ， ＝ 。 ）求证： FEHG是矩形；（2）设EF=x，写出矩形 是矩形； 是矩形 ） ，写出矩形FEHG的 的 面积y与 之间的函数关系式及定义域；（3） 之间的函数关系式及定义域；（ 面积 与x之间的函数关系式及定义域；（ ）当矩 FEHG的面积是 ABC的面积的一半时 的面积是△ 的面积的一半时， 形FEHG的面积是△ABC的面积的一半时，两圆的 A 半径有什么关系？并证明你的结论。 半径有什么关系？并证明你的结论。
a O1
M B b
O2 C
a
b
辅助线：作公切线
A M
如图， 内切于P， 如图，⊙O1和⊙O2内切于 ， 大圆的弦AB交小圆于 交小圆于C、 。 大圆的弦 交小圆于 、D。 求证： 求证：∠APC＝∠BPD。 ＝ 。
C O1 O2 D B P
N
Q
如图， 如图，⊙O1和⊙O2外切于 A，BC是⊙O1和⊙O2的公 ， 是 切线， 、 为切点 为切点。 切线，B、C为切点。 求证： ⊥ 求证：AB⊥AC