初中九年级下册数学 《垂径定理》圆PPT优秀课件
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第三章 圆
3 垂径定理
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
2021/02/21
1
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【创设情境】
问题1 请拿出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折， 你会发现什么？多折几次试一试．
追问1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？ 追问2：如果是一个残缺的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？
（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由．
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【探究问题】
问题5 已知：如图 ，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且 CD⊥AB，垂足M．
求证：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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【巩固提高】
弦CD
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弦CD
弦CD
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【巩固提高】
追问：现在能解决课前提出的赵州桥问题了吗？ 解： 如图，由题意可知，AB=37m，CD=7.23m，所以AD= 1 AB＝18.5m，
2
OD OC CD R 7.23 ． 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 AO2 OD2 AD2 ，即
【启发思考】
问题3 通过前面的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分 别是什么？
结论： ⑴圆是轴对称图形； ⑵经过圆心的每条直线都是它的对称轴； ⑶圆的对称轴有无数条．
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【启发思考】
问题4 如图，对折⊙O使圆的两半部分重合得到一条折痕CD，在OC上取一点M， 过点M再次对折⊙O，使CM与MD重合，新的折痕与⊙O交于A、B两点．
你能文字语言叙述问题5和问题6中的结论吗？ 问题5的结论（垂径定理）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的
两条弧． 问题6的结论（垂径定理的推论）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
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【形成结论】
追问：如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？ 类似还有如下结论： （1）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦； （2）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧．
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【创设情境】
问题2 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我 国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所 对的弦长)为37.4m， 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出 赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
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课堂小结： 本节课你学到了哪些数学知识？ 在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？ 1、本节课我们探索了圆的轴对称性； 2、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理； 3、垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、
弦心距等问题．
【巩固提高】
布置作业： 1、教科书习题3.3第1题、第2题．（必做题） 2、教科书习题3.3第3题、第4题．（选做题）
【探究问题】
问题6 如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于 点M．
（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由． （3）AB与CD的位置关系如何？说一说你的理由．
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【形成结论】
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R2 18.52 R 7232，解得 R 27.3 （m）．
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【巩固提高】
学生练习1 课本76页随堂练习第2题． 学生练习2 如图，已知 弦AB ，请你利用尺规作图的方法作出弦AB的中点，
说出你的作法．
A
B
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【巩固提高】
3 垂径定理
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【创设情境】
问题1 请拿出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折， 你会发现什么？多折几次试一试．
追问1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？ 追问2：如果是一个残缺的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？
（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由．
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【探究问题】
问题5 已知：如图 ，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且 CD⊥AB，垂足M．
求证：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD
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弦CD
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弦CD
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OD OC CD R 7.23 ． 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 AO2 OD2 AD2 ，即
【启发思考】
问题3 通过前面的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分 别是什么？
结论： ⑴圆是轴对称图形； ⑵经过圆心的每条直线都是它的对称轴； ⑶圆的对称轴有无数条．
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【启发思考】
问题4 如图，对折⊙O使圆的两半部分重合得到一条折痕CD，在OC上取一点M， 过点M再次对折⊙O，使CM与MD重合，新的折痕与⊙O交于A、B两点．
你能文字语言叙述问题5和问题6中的结论吗？ 问题5的结论（垂径定理）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的
两条弧． 问题6的结论（垂径定理的推论）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
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【形成结论】
追问：如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？ 类似还有如下结论： （1）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦； （2）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧．
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问题2 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我 国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所 对的弦长)为37.4m， 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出 赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
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课堂小结： 本节课你学到了哪些数学知识？ 在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？ 1、本节课我们探索了圆的轴对称性； 2、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理； 3、垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、
弦心距等问题．
【巩固提高】
布置作业： 1、教科书习题3.3第1题、第2题．（必做题） 2、教科书习题3.3第3题、第4题．（选做题）
【探究问题】
问题6 如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于 点M．
（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由． （3）AB与CD的位置关系如何？说一说你的理由．
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【形成结论】
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R2 18.52 R 7232，解得 R 27.3 （m）．
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【巩固提高】
学生练习1 课本76页随堂练习第2题． 学生练习2 如图，已知 弦AB ，请你利用尺规作图的方法作出弦AB的中点，
说出你的作法．
A
B
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