第5章 广义与一般线性模型
广义线性模型课件
（三）条件Logistic回归分析的基本原理
1.概述 条件Logistic回归是经典Logistic回归的重要拓展方法 之一，它主要用于分层数据（strata data）的影响因素 分析，通过分层来控制可能的混杂因素对结局变量的影 响。分层变量可以包括一个变量或者几个变量 。
2.条件 Logistic模型 令yk为第k层的因变量，yk=1或0；xk1，xk2…xki… xkm为 第k层的m个自变量。第k层的模型为：
推荐书籍：
Hosmer, David W . (2000). Applied logistic regression . John Wiley, New York.
（一）Logistic回归分析的任务
影响因素分析 logistic回归常用于疾病的危险因素分析，logistic回归 分析可以提供一个重要的指标：OR。
（2）令病例的生存时间比对照短 （3）在设置生存状态变量（status）时，令病例组为完全 数据，对照组为删失数据
以下实例摘自Hosme and Lemeshow（2000）. Applied Logistic Regression: Second Edition.
John Wiley & Sons Inc.
Logistic回归
因变量
协变量(自变量)
注：此处将X1、X3看作为连续变量。
OR的95%置信区间
对模型的检验
模型拟合良好
经统计学检验，模型2=13.951，P=0.003，Logistic回 归模型有显著性。
拟合分类表
符合率为 70.0%
回归系数 标准误 Wald值
P值
OR
OR置信区间
g(x)是对P的变换，称为logit变换：
广义线性模型.PPT
广义线性模型具有以下三个特征：
1.假定观测量是相互独立的随机变量Yi ,i 1, , n. , 其密度函数为指数散布族．最重要的例子有： · 正态随机变量 N (i , i ); · 泊松随机变量 Possion(i );
· 总体服从泊松分布 Possion(i ) 的样本容量为
ni 1/ i 的样本均值；
从泊松分布的索赔次数，则由（8.2）表示的 BS 恰是一 2
统计量
13
现就（8.2）中的 BS 针对每一参数求偏导，即得一 正规方程组：
逐项置换法
14
性质 8.3.7( Bailey Simon 方法导致“安全保费” ）可以
证明，利用这一方法所得保费总额要较观测到的损失总额多．
即：若 ˆi 与 ˆ j 表示（8. 4 ）的解，则有
6
2 ．一个线性预估量i j xij j , ，它是诸参数 1, , p 的
线性函数，可以作为模型观察值的估计。
3 ．设 Yi 的期望值 i ，则可用联结函数与线性预估量i 的关 系： i g(i ) .
7
注8.2.1（典则联结）
注8.2.2 （方差函数）
以下依方差函数中 的幂次的升幂序，分别表述
之：
1 ．具有常值方差 2 0 的正态分布（同方差性） 2 ．方差与均值相等的泊松分布以及泊松总体的 样本均值．对前者，我们有 2 1，对后者而言， 方差与均值成正比，即有 2 1;
8
3 ．如列举的参数化所示， (, ) 句分布具有固
定的形状参数，从而其变异系数 / 取常值，故 有 2 2;
·
i
与二项随机变量的积：
i
B( 1
i
,
i
)
（从而表示
《广义线模型》课件
生物统计学
用于分析生物数据和遗 传数据，如基因表达、
疾病风险等。
市场营销
用于预测消费者行为和 市场趋势，如消费者购 买决策、市场细分等。
社会科学
用于研究社会现象和人 类行为，如人口统计、
犯罪率等。
广义线模型的优缺点
灵活性强
能够适应各种类型的数据和问题 。
数学基础扎实
具有坚实的统计学和线性代数基 础。
VS
详细描述
非线性广义线模型通过引入非线性项，如 平方、立方等，来描述因变量和自变量之 间的复杂关系。这种模型在许多领域都有 应用，例如经济学、生物学和医学等。
广义岭回归模型
总结词
广义岭回归模型是广义线模型的另一种扩展形式，它通过引入岭回归方法来处理共线性 问题。
详细描述
在统计学中，共线性是指自变量之间存在高度相关性的现象。广义岭回归模型通过引入 岭回归方法，即对系数施加约束，来减少共线性的影响，提高模型的稳定性和预测精度
所应用。
THANKS
感谢观看
模型选择
模型选择是指在多个可能的模型中选 择一个最优模型的过程。模型选择通 常基于模型的复杂度、预测精度、解 释性等因素进行评估。
03
广义线模型的基本形式
线性回归模型
线性回归模型是最基础的广义线模型 ，用于预测一个因变量与一个或多个 自变量之间的关系。
线性回归模型假设因变量和自变量之 间存在线性关系，即因变量的变化可 以用自变量的线性组合来描述。
医学数据分析
总结词
广义线模型在医学数据分析中具有重要价值，能够帮助研究人员更好地理解和解释医学数据。
详细描述
广义线模型可以用于分析医学影像数据、疾病发病率数据等，从而揭示疾病的发生和发展规律。此外，该模型还 可以用于药物疗效分析，为新药研发和临床试验提供支持。
线性统计模型知识点总结
线性统计模型知识点总结一、线性回归模型1. 线性回归模型的基本思想线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。
它的基本思想是假设自变量与因变量之间存在线性关系，通过对数据进行拟合和预测，以找到最佳拟合直线来描述这种关系。
2. 线性回归模型的假设线性回归模型有一些假设条件，包括：自变量与因变量之间存在线性关系、误差项服从正态分布、误差项的方差是常数、自变量之间不存在多重共线性等。
3. 线性回归模型的公式线性回归模型可以用如下的数学公式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y 是因变量，X是自变量，β是模型的系数，ε是误差项。
4. 线性回归模型的参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法来进行。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来寻找到最佳的模型系数。
5. 线性回归模型的模型评估线性回归模型的好坏可以通过很多指标来进行评价，如R-squared（R^2）、调整后的R-squared、残差标准差、F统计量等。
6. 线性回归模型的应用线性回归模型广泛应用于经济学、金融学、市场营销、社会科学等领域，用以解释变量之间的关系并进行预测。
二、一般线性模型（GLM）1. 一般线性模型的基本概念一般线性模型是一种用于探索因变量与自变量之间关系的统计模型。
它是线性回归模型的一种推广形式，可以处理更为复杂的数据情况。
2. 一般线性模型的模型构建一般线性模型与线性回归模型相似，只是在因变量和自变量之间的联系上，进行了更为灵活的变化。
除了线性模型，一般线性模型还可以包括对数线性模型、逻辑斯蒂回归模型等。
3. 一般线性模型的假设一般线性模型与线性回归模型一样，也有一些假设条件需要满足，如误差项的正态分布、误差项方差的齐性等。
4. 一般线性模型的模型评估一般线性模型的模型评估通常涉及到对应的似然函数、AIC、BIC、残差分析等指标。
5. 一般线性模型的应用一般线性模型可以应用于各种不同的领域，包括医学、生物学、社会科学等，用以研究因变量与自变量之间的关系。
《广义线模型》课件
02 广义线性模型的数学原理
CHAPTER
概率函数与连接函数
概率函数
描述因变量与自变量之间的关系，通 常采用指数型函数形式。
连接函数
将线性预测与概率函数连接起来，常 见的连接函数包括逻辑回归的 sigmoid函数和泊松回归的指数函数 。
损失函数与优化算法
损失函数
衡量模型预测误差的度量，常用的损失函数包括平方损失、对数损失等。
《广义线模型》PPT课件
目录
CONTENTS
• 广义线性模型简介 • 广义线性模型的数学原理 • 广义线性模型的实例分析 • 广义线性模型的实践应用 • 广义线性模型的未来发展
01 广义线性模型简介
CHAPTER
广义线性模型的定义
广义线性模型是一种统计模型，用于描述响应变量和解释变量之间的关系。它假设响应变量和解释变量之间存在一个线性关 系，并且响应变量的分布是连续的，且具有可交换的方差-均值关系。
详细描述
泊松回归模型假设响应变量服从泊松分布，并且期望值与 线性预测项成比例。它适用于具有零膨胀和/或过度分散 的数据。
参数解释
与逻辑回归模型相似，(beta_0)为截距，(beta_1, beta_2, ..., beta_n)为斜率，(x_1, x_2, ..., x_n)为自变量 。
实例三：广义线性回归模型
参数调整
02
03
超参数优化
通过交叉验证、网格搜索等方法 调整模型参数，以找到最优模型 配置。
利用贝叶斯优化、遗传算法等智 能优化算法对超参数进行寻优， 提高模型性能。
模型评估与优化
模型评估
通过准确率、召回率、F1值等指标对 模型进行评估，以了解模型性能。
过拟合与欠拟合
广义线性模型
⼴义线性模型⼴义线性模型GLM是⼀般线性模型的扩展，它处顺序和分类因变量。
所有的组件都是共有的三个组件：随机分量系统分量链接函数===============================================随机分量随机分量跟随响应Y的概率分布例1. (Y1，Y2，。
....YN)可能是正态的。
在这种情况下，我们会说随机分量是正态分布。
该成分导致了普通回归和⽅差分析。
例2. y是Bernoulli随机变量(其值为0或1)，即随机分量为⼆项分布时，我们通常关注的是Logistic回归模型或Proit模型。
例2. y是计数变量1,2,3,4,5,6等，即y具有泊松分布，此时的连接函数时ln(E(y))，这个对泊松分布取对数的操作就是泊松回归模型。
============================================系统分量系统组件将解释变量x1、x2、···、xk作为线性预测器：============================================连接函数GLM的第三分量是随机和系统分量之间的链路。
它表⽰平均值µ=e(y)如何通过指定函数关系g(µ)到线性预测器中的解释性变量称G（µ）为链接函数..==============================================⼴义线性模型Y被允许从指数型分布族中得到⼀个分布。
链路函数G(µI)是任何单调函数，并且定义了µI和Xβ之间的关系。
=================================================逻辑回归因变量是⼆进制的评估多个解释变量（可以是数值型变量和/或类别型变量）对因变量的影响。
=============================================模型含义：鸟类的巢址使⽤响应变量是有巢的站点的概率，其中概率计算为p/(1-p)，p是有巢的站点的⽐例。
广义线性模型（GeneralizedLinearModels）
⼴义线性模型（GeneralizedLinearModels）在线性回归问题中，我们假设，⽽在分类问题中，我们假设，它们都是⼴义线性模型的例⼦，⽽⼴义线性模型就是把⾃变量的线性预测函数当作因变量的估计值。
很多模型都是基于⼴义线性模型的，例如，传统的线性回归模型，最⼤熵模型，Logistic回归，softmax回归。
指数分布族在了解⼴义线性模型之前，先了解⼀下指数分布族(the exponential family)指数分布族原型如下如果⼀个分布可以⽤上⾯形式在表⽰，那么这个分布就属于指数分布族，⾸先来定义⼀下上⾯形式的符号：η：分布的⾃然参数（natural parameter）或者称为标准参数（canonical parameter）T (y)：充分统计量，通常⽤T(y) = ya(η):对数分割函数（log partition function）:本质上是⼀个归⼀化常数，确保概率和为1。
当给定T时，a、b就定义了⼀个以η为参数的⼀个指数分布。
我们变化η就得到指数分布族的不同分布。
论证伯努利分布和⾼斯分布为指数分布族，伯努利分布均值φ，记为Bernoulli(φ)，y ∈ {0, 1}，所以p(y = 1; φ) = φ; p(y = 0; φ) = 1 − φ对⽐指数分布族的表达式可以得到：η = log(φ/(1-φ)) 我们将φ⽤η表⽰，则：φ=1/(1+e-η)，是不是发现和sigmoid函数⼀样了。
这就表明，当我们给定T,a，b，伯努利分布可以写成指数分布族的形式，也即伯努利分布式指数分布族。
同理，在⾼斯分布中，有：对⽐指数分布族，我们得到：因为⾼斯分布的⽅差与假设函数⽆关，因⽽为了计算简便，我们设⽅差=1，这样就得到：所以这也表明，⾼斯分布也是指数分布族的⼀种。
构造⼴义线性模型(Constructing GLMs)怎么通过指数分布族来构造⼴义线性模型呢？要构建⼴义线性模型，我们要基于以下三个假设：1. 给定特征属性和参数后，的条件概率服从指数分布族，即。
广义线性模型
广义线性模型广义线性模型一、广义模型的概念以及指数函数族1.多元线性回归和正态线性模型2.指数函数族3.The Tweedie distribution：特殊的指数指数族一员；在0点有很大的概率并且在非0点有合适的分布；方差与均值的p次幂成正比4.GLM的结构：连接函数、设计矩阵、预估变量、offset变量每个观测的方差取决于：1.模型的方差方程；2.幅度变量；3.每个变量的权重二、构建GLM模型1.单因子分析：无法反映变量之间的关系,GLM可以排除这类关系，得到相对数的真实值2.变量、分类因子、交互项目以及线性预测值：（1）权重/暴露（2）反应：模型视图预测的值一般地，模型的名称与反应/权重的含义相同（3）categorical factors and naturally ordered value（4）interaction terms:当某种不同变量的特定组合与分别直接乘以不同变量相对数的经验差异很大时要用到3. 变量估计：通过逆矩阵相关方法求解三、分析因子的显著性1. chi-squared、F-statistics、AIC 等统计量（1）偏离：比较观测值与设定值之间的差距，考虑到权重的影响，并且当方差小时给予误差更大的影响。
（2）偏离度调整（3）chi-squared 统计量：模型的自由度定义为观测的数量减去变量的数量Nested models:可以利用chi-squared来检验偏离度的变化(4) F-statistics(5)AIC：主要用于模型选择的统计量AIC=-2*log likelihood+2*number of parameters是在likelihood 与变量数量之间的权衡，AIC数值越小越好2.模型变量的不确定性Hat matrixLikelihood的二阶导数与变量的方差反比例相关Steep curvature表明变量tightly defined，Shallow curvature 表明变量poorly defined3.其他方法（1）与预期值相比：每种水平下相对值的变动幅度，同时考虑每个水平下得标准偏差，其值的（2）Comparison with time：model fit line；variation的大小应该与exposure的大小相反不同渠道数据收集上的差异可能导致不一致的发生四、测试模型的适当性1.残差法偏离残差：修正了偏度的影响，分布更为正态化皮尔逊残差：观测值与预测值之间的差异，除以预测值的方差，这个办法使得具有不同均值的观测值可以进行比较，但是没有对分布的形状加以调整2.残差图：对于某种模型，如果所选的误差结构是正确的，那么残差的平均值就是0，并且残差值的范围3.Cook’s distanceLeverage:用于估计数据点对于模型结果的影响五、模型refinement1. 完全交互以及边际交互2. 模型限制Restrictions: price demand elasticity; competitive situation;legal or commercial considerationCompensate: adjust the fitted relativities for correlated factors,using the offset term in the GLMImpose restriction at the risk premium stage: allow more complete and balanced compensation by the other factors Counterintuitive model results: behavior factorsDistribution of ratio of fitted values between restricted and unrestricted models3. aliasing : linear dependency : one covariate may be identical to somecombination of other covariates(1):Intrinsic aliasing。
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经统计学检验，模型2=13.951，P=0.003，Logistic回
归模型有显著性。 精品课件
拟合分类表
符合率为 70.0%
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回归系数 标准误 Wald值 P值 OR OR置信区间
根据模型，病情严重程度与治疗方法对患者的治愈情况有影响；其
中病情严重组相对于不严重组，OR＝0.203，95%置信区间为(0.038，
Generalized Linear Models 广义线性模型
北大医学部流行病与卫生统计学系 Tel：
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广义线性模型的定义
该模型假定：
1. Y1,…Yn是n个服从指数分布族的独立样本 i=E（Yi | X1,X2,…,Xk），i＝1，…，n； 2. i是k个解释变量的线性组合 i=0+1Xi1+…+ kXik 3.存在一个连接函数（Link function）g，使得i 与i
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5.模型拟合的优良性指标 （1）拟合分类表（Classification Table） 根据Logistic回归模型，对样本重新判别分类，总符合率越 接近100%，则模型拟合越好。Logistic回归用于判别分类很 粗劣，尤其在很多情况下对于小样本的分类效果差 。 （2）Hosmer-Lemeshow 拟合优度统计量 当检验的P值大于0.1时，则说明模型对样本的拟合是可以接 受的。
影响因素分析 logistic回归常用于疾病的危险因素分析，logistic回
归分析可以提供一个重要的指标：OR。
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（二）经典Logistic回归分析的基本原理
1.变量特点
因变量：二分类变量，若令因变量为y，则常用y＝1表示 “发病”，y＝0表示“不发病”（在病例对照研究中，
一般线性模型ppt课件ppt课件
均值的多重比较是研究因素单元对因变量的影响之间
是否存在显著性差异。如A、B的疗效是否存在显著性 差异。
6.单元均值、边际均值：
在多因素方差分析中，每种因素水平组合的因变量均
值称为单元均值。一个因素水平的因变量均值称为边
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某湖水不同季节氯 化物含量测定值如， 分析不同季节氯化 物含量有无差别？
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方法1：compare means –one way ANOVA
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一般线性模型
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例 对小白鼠喂以A、B、C三种不同的 营养素，目的是了解不同营养素增重的 效果。采用随机区组设计方法，以窝别 作为划分区组的特征，以消除遗传因素 对体重增长的影响。现将同品系同体重 的24只小白鼠分为8个区组，每个区组3 只小白鼠。三周后体重增量结果(克)列于 下表，问小白鼠经三种不同营养素喂养 后所增体重有无差别？
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因素及其类型
(F)固定因素 (R)随机因素 (C)协变量
模型方式
进入模型的因素交互作 用级别，即是分析主效 应、两阶交互、三阶交 互、还是全部分析
方差分析模型类别
是否在模型中包括截距
19
20
【Contrast钮】
弹出Contrast对话框，用于对精细趋势检验和精确两两 比较的选项进行定义，使用频率少；
【Plots钮】
用于指定用模型的某些参数作图，比如用food和group 来作图，用的也比较少（指国内，因为它主要是用来做 模型诊断用的）。
【Post Hoc钮】
该按钮弹出的两两比较对话框。本题对food作两两比较， 方法为SNK法。
一般线性模型的概述和操作方法
被试内在差异—— 重复测量
测量误差
22
常用实验设计：
完全随机设计 配伍设计 拉丁方设计 析因设计 嵌套设计
单因素方差分析 多因素方差分析
h
23
单因素方差分析
完全随机设计（Completely Random Design）
原理：单因素实验设计。仅涉及一个处理因素， 将被试随机分配到各个处理组，每个被试只接受 一个水平的处理。
实际问题中，经常需要同时研究多个因素对
因变量的影响情况。希望控制一些无关的因 素；希望找到影响最显著的因素，并需要知 道起显著作用的因素在什么时候起最好的影 响作用。
实验设计和相应的方差分析就是解决这 些问题的最为基础和常用的有效方法。
h
20
实验设计？ 广义：科学研究的一般程序的知识。包括问题提
高级统计分析
心理系 卢珊 yoyolus@
h
1
一般线性模型 General Linear Model
h
2
GLM（General Linear Model）
分析一个/多个自变量对一个/多个连续性 因变量的影响，且假设因变量和自变量是 线性数量关系
ANOVA：
成组设计的方差分析 配伍设计的方差分析 Univariate 多因素方差分析
单因素，自变量不同水平的数据计算的方差即这个自 变量的处理效应，或主效应
多因素，计算一个因素的主效应时应忽略实验中其他 因素的不同水平的差异
多因素，需要估价因素的不同水平之间的复杂变化
关系。当一个因素的效应大小在另一个因素不同 水平上变化趋势明显不一致，称存在交互作用（ 交互效应）。
h
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什么是交互效应？ 无交互效应模型： Y=A+B
第5章 广义与一般线性模型及R使用(王斌会)
在R语言中，数据需变形为：用y表示频数，x1表示收入人群，x2表示满意程度
5广义与一般线性模型及R使用
（1）建立Poisson对数线性模型：
程 序 与 结 果
从检验结果可看出，p1=0.0031<0.01，p2<0.01，说明收入和满意程度对产品有重要影响
5广义与一般线性模型及R使用
说 明 与 举 例
5广义与一般线性模型及R使用
说 明 与 举 例
2、随机单位组设计模型：函数形式 其中为总均数，i为处理因素A的第i个水平的效应；j为第j个单位组的效应， eij为误差项。
使用4种燃料，3种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况做一次试验，则得火箭 射程列在下表中，试分析各种燃料A与各种推进器B对火箭射程有无显著影响？
分类变量
实验设计模型（方 差分析模型） 协方差分析模型
连续变量 分类变量
5广义与一般线性模型及R使用
表5.1 广义线性模型中的常用分布族
5广义与一般线性模型及R使用
5广义与一般线性模型及R使用
说 明 与 举 例
2、Logistic模型：函数形式 其中参数估计采用极大似然估计。
对45名驾驶员的调查结果，其中四个变量的含义为： x1: 表 示 视 力 状 况 ， 它 是 一 个 分 类 变 量 ， 1 表 示 好 ， 0 表 示 有 问 题 ； x2：年龄，数值型； x3 ： 驾 车 教育 ， 它 也 是 一 个 分 类 变 量， 1 表 示 参 加 过 驾 车 教 育， 0 表 示 没 有 ； y：分类变量（去年是否出过事故，1表示出过事故，0表示没有）。
BA B1 B2 B3 A1 582 562 653 A2 491 541 516 A3 601 709 392 A4 758 582 487
一般线性模型的几种常见形式及应用
一般线性模型的几种常见形式及其合理选用中国卫生统计 1999年第5期第16卷论著作者：胡良平单位：军事医学科学院医学统计教研室（100850)关键词：一般线性模型；设计矩阵；协方差矩阵；多水平模型【提要】目的展示一般线性模型（GLM）的常见形式及其特点，便于人们合理选用。
方法通过改变设计矩阵X和误差的协方差矩阵Ω的结构以及分析设计矩阵X的变量性质，将GLM演绎成一个个简单明了的具体表达式。
结果将GLM简化成适用于回归分析、方差和协方差分析、多水平模型等具体的统计模型。
结论合理选用统计模型的关键在于弄清资料所取自的设计类型，影响因素和反应变量的性质,有无协变量以及各种统计模型的适用范围。
Common Patterns and Rational Applications of the General Linear ModelHu Liangping，Department of Medical Statistics，Academy of Military Medical Sciences(100850）,Beijng 【Abstract】Objective Presenting the common patterns and their characteristics of the general linear model(GLM）for the convenient and rational application。
Methods By changing the structures of design matrix（X）and covariance matrix of error（Ω) and analyzing the characters of variables in the design matrix(X)，some concise and concrete expressions are deduced from GLM respectively。
线性模型(5)——广义线性模型
我们知道，混合线性模型是一般线性模型的扩展，而广义线性模型在混合线性模型的基础上又做了进一步扩展，使得线性模型的使用范围更加广阔。
每一次的扩展，实际上都是模型适用范围的扩展，一般线性模型要求观测值之间相互独立、残差(因变量)服从正态分布、残差(因变量)方差齐性，而混合线性模型取消了观测值之间相互独立和残差(因变量)方差齐性的要求，接下来广义线性模型又取消了对残差(因变量)服从正态分布的要求。
残差不一定要服从正态分布，可以服从二项、泊松、负二项、正态、伽马、逆高斯等分布，这些分布被统称为指数分布族，并且引入了连接函数，根据不同的因变量分布、连接函数等组合，可以得到各种不同的广义线性模型。
要注意，虽然广义线性模型不要求因变量服从正态分布，但是还是要求相互独立的，如果不符合相互独立，需要使用后面介绍的广义估计方程。
=================================================一、广义线性模型广义线性模型的一般形式为：有以下几个部分组成1.线性部分2.随机部分εi3.连接函数连接函数为单调可微(连续且充分光滑)的函数，连接函数起了"y的估计值μ"与"自变量的线性预测η"的作用，在一般线性模型中，二者是一回事，但是当自变量取值范围受限时，就需要通过连接函数扩大取值范围，因此在广义线性模型中，自变量的线性预测值是因变量的函数估计值。
广义线性模型设定因变量服从指数族概率分布，这样因变量就可以不局限于正态分布一种形式，并且方差可以不稳定。
指数分布族的概率密度函数为其中θ和φ为两个参数，θ为自然参数，φ为离散参数，a,b,c为函数广义线性模型的参数估计：广义线性模型的参数估计一般不能使用最小二乘法，常用加权最小二乘法或极大似然法。
回归参数需要用迭代法求解。
广义线性模型的检验和拟合优度：广义线性模型的检验一般使用似然比检验、Wald检验。
模型的比较用似然比检验，回归系数使用Wald检验。
广义线性模型logistic
最小二乘法 最大似然法
目 录
1
通常的线性模型 最小二乘法 最大似然法 广义线性模型 GLM 的局限性和交叉验证
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吴喜之
短标题
通常的线性模型 广义线性模型 GLM 的局限性和交叉验证
即
ηi = g(µi ) = h−1 (µi ) = z′ i β.
这里 g 称为连接函数(link function). 分布假定 (指数族): { } yi θi − b(θi ) f(yi |θi , ϕi , ωi ) = exp ωi + c(yi , ϕ, ωi ) ϕ 权重为 (这里的 g 是组的数目, 不是连接函数): ωi = 1 或者 ωi = ni or 1/ni (i = 1, ..., g).
通常的线性模型 广义线性模型 GLM 的局限性和交叉验证
广义线性模型
以 logistic 回归为例
吴喜之
March 30, 2015
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吴喜之
短标题
通常的线性模型 广义线性模型 GLM 的局限性和交叉验证
P(λ) G(µ, ν ) IG(µ, σ 2 )
log λ −1/µ 1/µ2
Expectation and variance E(y) = b′ (θ) b′′ (θ) var(y) = b′′ (θ)ϕ/ω µ=θ 1 σ 2 /ω exp(θ ) π = 1+exp(θ) π (1 − π ) π (1 − π )/ω λ = exp(θ) λ λ/ω 2 2 π = −1/θ µ µ ν −1 /ω − 1/2 3 µ = (−2θ) µ µ3 σ 2 /ω
线性模型(5)——广义线性模型
线性模型(5)——广义线性模型广义线性模型是一种扩展了一般线性模型的模型，它在混合线性模型的基础上进一步扩展，使得线性模型的使用范围更加广泛。
每次扩展都是为了适用更多的情况。
一般线性模型要求观测值之间相互独立，残差（因变量）服从正态分布，残差（因变量）方差齐性。
而混合线性模型取消了观测值之间相互独立和残差（因变量）方差齐性的要求。
广义线性模型又取消了对残差（因变量）服从正态分布的要求。
残差不一定要服从正态分布，可以服从二项、泊松、负二项、正态、伽马、逆高斯等分布，这些分布被统称为指数分布族，并且引入了连接函数。
根据不同的因变量分布、连接函数等组合，可以得到各种不同的广义线性模型。
需要注意的是，虽然广义线性模型不要求因变量服从正态分布，但是仍要求相互独立。
如果不符合相互独立的要求，需要使用广义估计方程。
广义线性模型的一般形式包括线性部分、随机部分εi和连接函数。
连接函数为单调可微的函数，起到连接因变量的估计值μ和自变量的线性预测值η的作用。
在广义线性模型中，自变量的线性预测值是因变量的函数估计值。
广义线性模型设定因变量服从指数族概率分布，这样因变量就可以不局限于正态分布，并且方差可以不稳定。
指数分布族的概率密度函数包括θ和φ两个参数，其中θ为自然参数，φ为离散参数，a、b、c为函数广义线性模型的参数估计。
广义线性模型的参数估计一般不能使用最小二乘法，常用加权最小二乘法或极大似然法。
回归参数需要用迭代法求解。
广义线性模型的检验和拟合优度一般使用似然比检验和Wald检验。
似然比检验是通过比较两个相嵌套模型的对数似然函数来进行的，统计量为G。
模型P中的自变量是模型K 中自变量的一部分，另一部分是要检验的变量。
G服从自由度为K-P的卡方分布。
回归系数使用Wald检验进行模型比较。
广义线性模型的拟合优度通常使用以下统计量来度量：离差统计量、Pearson卡方统计量、AIC、AICC、BIC、CAIC准则，准则的值越小越好。
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数据的分类与模型选择、广义线性模型概述、Logistic回归模型、对数线
性模型、一般线性模型的计算。
要求学生针对因变量和解释变量的取值性质，了解统计模型的类型。
掌握数据的分类与模型选择方法，并对广义线性模型和一般线性模型有初步的了解。
2.模型选择方式：基本公式
y
X
连续变量0-1变量有序变量多分类变量连续伴有删失连续变量线性回归方程
logistic回归模型累积比数模型
对数线性模型
对数线性模型
多分类logistic回归模型
cox比例风险模型
分类变量实验设计模型（方
差分析模型）
连续变量
分类变量
协方差分析模型
表5.1 广义线性模型中的常用分布族
2、Logistic模型：函数形式
其中参数估计采用极大似然估计。
对45名驾驶员的调查结果，其中四个变量的含义为：
x1:表示视力状况，它是一个分类变量，1表示好，0表示有问题；x2：年龄，数值型；
x3：驾车教育，它也是一个分类变量，1表示参加过驾车教育，0表示没有；y：分类变量（去年是否出过事故，1表示出过事故，0表示没有）。
d5.1=read.table("clipboard",header=T) #读取例5.1数据 logit.glm<-glm(y~x1+x2+x3,family=binomial,data=d5.1) #Logistic 回归模型summary(logit.glm) #Logistic 回归模型结果
得到初步的logistic 回归模型：
（1）建立全变量logistic 回归模型：
logit.step<-step(logit.glm,direction="both") #逐步筛选法变量选择由此得到新的logistic 回归模型：（2）逐步筛选变量logistic 回归模型：
summary(logit.step) #逐步筛选法变量选择结果
pre1<-predict(logit.step,data.frame(x1=1)) #预测视力正常司机Logistic 回归结果p1<-exp(pre1)/(1+exp(pre1)) #预测视力正常司机发生事故概率
pre2<-predict(logit.step,data.frame(x1=0)) #预测视力有问题的司机Logistic 回归结果p2<-exp(pre2)/(1+exp(pre2)) #预测视力有问题的司机发生事故概率c(p1,p2) #结果显示
（3）：预测发生交通事故的概率
3、对数线性模型：函数形式
式2含有交叉效应
某企业想了解顾客对其产品是否满意，同时还想了解不同收入的人群对其产品的满意程度是否相同。
满意不满意合计
高533891
中434108542
低11148159
合计598194792
数据形式变为：用y表示频数，x1表示收入人群，x2表示满意程度
（1）建立Poisson对数线性模型：
从检验结果可看出，p1=0.0031<0.01，p2<0.01，说明收入和满意程度对产品有重要影响
设有3台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。
现从3台机器生产出的薄板中各随机抽取5块，测出厚度值，见下表，试分析各机器生产的薄板厚度有无显著差异？
机器1 2.36 2.38 2.48 2.45 2.47 2.43
机器2 2.57 2.53 2.55 2.54 2.56 2.61
机器3 2.58 2.64 2.59 2.67 2.66 2.62
d5.3=read.table("clipboard",header=T) #读取例5.3数据
anova(lm(Y~factor(A),data=d5.3)) #完全随机设计模型方差分析
P<0.05，说明各机器生产的薄板厚度有显著差异。
（1）数据格式为：
2、随机单位组设计模型：函数形式
其中μ为总均数，αi为处理因素A的第i个水平的效应；βj为第j个单位组的效应，
e ij为误差项。
使用4种燃料，3种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况做一次试验，则得火箭射程列在下表中，试分析各种燃料A与各种推进器B对火箭射程有无显著影响？
BA A1A2A3A4
B1582491601758
B2562541709582
B3653516392487
d5.4=read.table("clipboard",header=T) #读取例5.4数据
anova(lm(Y~factor(A)+factor(B),data=d5.4)) #随机单位组设计模型方差分析PA>0.05，说明各种燃料A 对火箭射程有无显著影响，PB>0.05，说明各种推进器B 对火箭射程也无显著影响。
（1）数据格式为：
关于40个不同年龄（age，定量变量）和性别（sex，定性变量，用0和1代表女和男）的人对某项服务产品的观点（y，二水平定性变量，用1和0代表认可与不认可）的数据。
一、数据管理
二、R语言操作
拟合的模型为：Case4=read.table("clipboard",header=T);Case4
fm=glm(y~sex+age,family=binomial,data=Case4)
fm
summary(fm)
attach(Case4)
Pr=predict(fm,data.frame(list(sex,age))) #模型预测
p=exp(Pr)/(1+exp(Pr))
cbind(sex,age,y,p)
plot(age,Pr)
detach(Case4)
谢谢！。