Grover 量子搜索算法的改进

且满足
( 2 2 2 2 2 Ps( q ) Pnsq ) M (bq cq ) ( N M )aq N (bq cq ) 2( N M )cq bq
1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 sin 2 sin 2
(sin 2 (q 1) sin 2 q 2 cos sin(q 1) sin q ) (cos2 q sin 2 sin 2 q cos2 sin 2 q ) ((1 sin 2 q ) sin 2 sin 2 q (1 sin 2 ) sin 2 q ) 1
是子空间 j (| j | 0 ) 的幅度均值。上述结 j 0
N 1 N 1
N 1
果表明，应用局部扩散算子Y的结果只是在子空间j 0 j (| j | 0 ) 上
执行均值翻转，而对于子空间 j (| j | 1 ) ，仅仅只是改变幅度 j 0
M 1 由cos y 1 的 sin N 2 2
M 。当M N时， N
2M N ,q 。 N 2 2 M 考虑到迭代步数为整数 ，通常向下取整表示为 q 2 2 M N
基本Grover算法经过q次迭代后的成功概率为
Psq sin 2 (2q 1) 其中sin M / N ;0 / 2; 需要的迭代次数 G q 4 Younes 算法经过q次迭代后成功概率为
bq 2 q cq 1 ; b0 s; b1 2sy ( g )
系统的搜索的成功概率是
2 2 2 2 Ps( q ) M (bq cq ) M (bq bq 1 ) ( 2 Pnsq ) ( N M )aq ( N M )(bq cq ) 2 ( N M )(bq bq 1 ) 2
同理，三次迭代后系统状态变为
W6 U f | W5 a2 (| i | 0 ) c2 1 (| i | 0 )
2 j 0 j 0
N 1
N 1
b2 1 (| i | 1 )
j 0
N 1
W7 Y | W6 a3 (| i | 0 ) c3 1 (| i | 0 )
1 N
| i ) | 0
i 0
W2
(4)局部扩散。首先定义一个局部扩散算子Y，将其用于n+1 位量子比特系统中，该算子可描述为
(| i | f (i) ) (d ) N
i 0
Y H n I (2 | 0 0 | I ) H n I
2 1 j 0 j 0 j 0
N 1
N 1
N 1
应用局部扩散算子Y作用后系统状态变为
W5 a2 (| i | 0 ) b2 (| i | 0 ) c2 1 (| i | 1 )
2 1 j 0 j 0 j 0
N 1
N 1
N 1
对于拥有 N 2 n 个元素的无序数据搜索，一步迭代搜索的实施 过程可分为4步，如下图所示。
N 量 子 比 特

|0
|0
H H
….
Uf
Y
|0
H

测 量
……
1 qubit | 0 工作空间
O( N / M )
具体步骤如下： (1) 准备存储器。准备一个所有量子位处于|0>态的n+1位作 为Oracle算子U f 的工作空间。此时系统状态为
P
( 3) s
2 2 M (b32 c3 ) M (b32 b2 )
( 2 Pns3) ( N M )a3 ( N M )(b3 c3 ) 2 ( N M )(b3 b2 ) 2
综上所述，经过q>=2次迭代之后，系统状态可描述为
Wq aq (| i | 0 ) bq (| i | 0 ) cq 1 (| i | 1 )
| W0 | 0 n | 0
(2)寄存器初始化。对于前n位量子位施加H门变换，将系统 n 状态变为2 个状态的均匀叠加态，即 N 1
| W1 ( H n I ) | W0 (
(3)应用Oracle识别搜索问题的解，并将识别结果存储在附加 量子比特中，即 1 N 1
证明： 由U q ( y )的定义式U q ( y ) sin (q 1) , 成功概率可写为 sin sin 2 (q 1) sin 2 q (1 cos )( ) 1 2 2 sin sin 或 sin 2 (q 1) sin 2 q 1 cos
2 j 0 j 0
N 1
N 1
b3 1 (| i | 1 )
j 0
N 1
记 3 ((N M )a2 Mc2 ) / N , 经计算上式各系数为 a 3 2 3 a2 ;b 3 2 3 c2 ; c3 b2
系统搜索的成功的概率为
2 1
N 1 j 0
将Y作用于 |W2 后，系统状态更新为
N 1 j 0
N 1 j 0
记 a1 均值为 1 ( N M ) /( N N ) ，经计算上式各系数为：
1 1 a1 2 1 ; b1 2 1 ; c1 N N 且满足( N M )a12 Mb12 Mc12 1 ( f ) 应该指出，幅度 1对应的状态在应用局部 b 扩散 算子Y之前具有0幅度。
2
N M
sin 2 (q 1) sin 2 q P (1 cos )( ) 2 2 sin sin 其中cos 1 M / N ;0 / 2; 需要的迭代次数
(5) 测量。经过一步迭代搜索之后，搜索的成功概率为
Ps(1) M (b12 c12 ) M (( 2( N M ) 2 1 2 ) ( ) ) N N N
M M 2 M 3 5( ) 8( ) 4( ) N N N ( 失败的概率为Pns1) ( N M )a12 根据e式得
P 1
2( H
N 1 j 0
n
I | 0 0 | H
I ) k | k k | k
k 0 k 0 N 1 j 0
P 1
(2 a j )(| j | 0 ) j (| j | 1 )
1 N 1 其中 N j j 0
其中向量|0>的长度为 P 2 N 2n1
下面考虑将Y应用于具有P个基本状态的量子系统 k | k k 0 的情况。为便于叙述，该量子系统可以重写为
P 1

k 0
P 1
k
| k j (| j | 0 ) j (| j | 1 )
记 2 ((N M )a1 Mc1 ) / N ，经过计算上式中各系数分别 为
a2 2 2 a1; b2 2 2 c1; c1 b1
2 2 2 系统搜索的成功概率为 Ps( 2) M (b2 c2 ) M (b2 b12 ) : ( 2 Pns2) ( N M )a2 ( N M )(b2 c2 ) 2 ( N M )(b2 b1 ) 2
其中y=cosθ，0<θ<=π/2。 由第二类切比雪夫多项式 U q ( y )
sin( q 1) sin
，上述三式可写为
aq s(U q U q 1 );bq sU q ; cq sU q 1 系统搜索的成功概率为
2 2 Ps( q ) (1 cos )(U q U q 1 ) ( 2 2 Pnsq ) cos (U q U q 1 ) 2
为确定以高概率获得一个搜索目标所需要的迭代步数，Younes给 出了如下定理。 2 2 定理：若使得成功概率 P(q) (1 cos )(Uq Uq1 ) =1，其中 U q (y) s 是第二类切比雪夫多项式，y=cosθ且0<θ<=π/2，则所需迭代步数为
q
或 2 2 。
当q>=2时，将g式改为
aq 2 y q 1 aq 2 ; a0 s; a1 s(2 y 1) bq 2 y bq 2 ; b0 s; b1 2sy cq bq 1 ; c0 0; c1 s
解上述的迭代方程可得
sin(q 1) sin q ) sin sin sin(q 1) bq s( ) sin sin q cq s ( ) sin aq s (
2 1 j 0 j 0 j 0 N 1 N 1 N 1
aq 2 q aq 1 ; a0 s; a1 s(2 y 1) cq bq 1 ; c0 0; c1 s
记 y 1 M / N , s 1 / N , q yaq1 (1 y)cq1 。计算上式中 各态系数可用递推算式
经过简单的三角运算， 上述关系可写为 cos(2q 2 ) cos 2q 2 cos 0 2 cos 2q cos2 2 cos sin 2q 2 cos 0 2 cos (cos2q cos sin 2q sin 1) 0 cos (cos(2q ) 1) 0 cos 0或 cos(2q ) cos 或q 2 2
之
Grover 量子搜索算法的改进
陶兴亮、王乐
2013-6-16
2003年，英国伯明翰大学Younes 提出了一种使用局部扩散算子的搜索算法， 该算法中算子的均值反转操作仅在系统的 一个局部子空间上执行。理论推导和实验 证明，该算法比基本Grover算法具有更 优良的性能，尤其适用于多目标搜索。对 于在N个元素中寻找M个目标的搜索，其 成功概率至少为84.72%。
的符号。 记 i 为所有搜索问题的解集，i 为所有非解的集合，由d式
1 2
描述的 系统状态可以描述为
1 W2 N
1 2 (| i | 0 ) N j 0
N 1

j 0
N 1 1
(| i | 1 )
W3 a1 (| i | 0 ) b1 (| i | 0 ) c1 1 (| i | 1 ) (e)
( Ps(1) Pns1) 1
当Oracle算子U f 和局部扩算算子Y作用于系统状态时，就构成 了迭代算法。如前所述，系统在一次迭代之后的状态如e式，经过二 次迭代后，系统更新情况如下： 应用Oracle算子 U f 后，将具有概率幅b1和c1 的目标态概率幅 交换后，系统可描述为
W4 a1 (| i | 0 ) c1 (| i | 0 ) b1 1 (| i | 1 )
j 0 j 0
N 1
N 1
其中当k为偶数时 j k ，当k为奇数时 j k 。应用Y后 该量子系统变为
Y ( k | k ) ( H
k 0
P 1
n
I (2 | 0Leabharlann Baidu 0 | I ) H
n P 1
n
I ) k | k
k 0