北京汇文中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 PDF版无答案
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中数学+答案
2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，a∈A，则a的值可以为（）A．﹣2B．1C．0D．﹣12．（5分）已知命题p：∃x∈Q，x2﹣3＝0，则￢p为（）A．∃x∈Q，x2﹣3≠0B．∃x∉Q，x2﹣3＝0C．∀x∈Q，x2﹣3≠0D．∀x∉Q，x2﹣3＝03．（5分）函数y＝x2（﹣2≤x≤3）的值域为（）A．[4，9]B．[0，9]C．[0，4]D．[0，+∞）4．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝[m，+∞），若A⊆B，则实数m的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1] 5．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．2a＞a+b B．a+b＞b C．a2＞ab D．b2＞ab6．（5分）“x＞1”是“1x＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，T＝{x|x=ba，a，b∈A，a＞b}，则集合T中元素的个数为（）A．9B．10C．11D．128．（5分）若函数f（x）的定义域为D，对于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)x1−x2|≥1，称函数f（x）满足性质ψ，有下列四个函数①f（x）=1x，x∈（0，1）；②g（x）=√x；③h（x）＝x2（x≤﹣1）；④k（x）=11+x2其中满足性质ψ的所有函数的序号为（）A．①②③B．①③C．③④D．①②二、填空题（每题5分，共30分）9．（5分）已知a，b，c，d为互不相等的实数，若|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|a﹣d|＝．10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，则f（0）+f（1）＝．11．（5分）若函数f （x ）为一次函数，且f （x +1）＝f （x ）﹣2，f （x ）的零点为1，则函数f （x ）的解析式为 ．12．（5分）某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数．且当年产量为200时，总成本为15000．记该产品的平均成本为f （Q ）（平均成本=总成本年产量），则当Q ＝ ，f （Q ）取得最小值，这个最小值为 ．13．（5分）设a ，b 为互不相等的实数，若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 满足f （a ）＝f （b ），则f （2）＝ ．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝ ．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有 个不同的零点．三、解答题（共80分） 15．解下列关于x 的不等式： （1）x 2﹣2x ﹣8≤0； （2）x 2+4x +5＞0； （3）x 2≤ax ．16．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，B ＝{x |2x ≥a }， （Ⅰ）当a ＝0时，求A ∩B ；（Ⅱ）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）记集合C ＝A ∩B ，若C 中恰好有两个元素为整数，求实数a 的取值范围． 17．已知函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1（a ≠0）．（Ⅰ）比较f （1−√2）与f （1+√2）的大小，并说明理由； （Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）在[﹣1，2]上的最大值为4，求a 的值． 18．已知集合M ＝（﹣1，1），对于x ，y ∈M ，记φ（x ，y ）=x+y1+xy． （Ⅰ）求φ（0，12）的值；（Ⅱ）如果0＜x ＜1，求φ（x ，1﹣x ）的最小值； （Ⅲ）求证：∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ．19．已知函数f （x ）满足：函数y =f(x)x 在（0，3]上单调递增． （Ⅰ）比较3f （2）与2f （3）的大小，并说明理由；（Ⅱ）写出能说明“函数y ＝f （x ）在（0，3]单调递增”这一结论是错误的一个函数； （Ⅲ）若函数的解析式为f （x ）＝ax 3+（1﹣a ）x 2，求a 的取值范围．20．设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）为平面直角坐标系上的两点，其中x A ，y A ，x B ，y B 均为整数．|x B ﹣x A |+|y B ﹣y A |＝3，则称点B 为点A 的“相关点”．点P 1是坐标原点O 的“相关点”，点P 2是点P 1的“相关点”，点P 3是P 2的“相关点”，…，依此类推，点P 2019是点P 2018的“相关点”．注：点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2． （Ⅰ）直接写出点O 与点P 1间的距离所有可能值； （Ⅱ）求点O 与点P 3间的距离最大值； （Ⅲ）求点O 与点P 2019间的距离最小值．2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．【解答】解：x 2＞1，解得：x ＞1，或x ＜﹣1． 集合A ＝{x |x 2＞1}＝{x |x ＞1，或x ＜﹣1}，a ∈A ， 则a 的值可以为﹣2． 故选：A ．2．【解答】解：命题为特称命题， 则命题的否定为∀x ∈Q ，x 2﹣3≠0， 故选：C ．3．【解答】解：∵﹣2≤x ≤3，∴x ＝0时，y ＝x 2取最小值0；x ＝3时，y ＝x 2取最大值9， ∴y ＝x 2（﹣2≤x ≤3）的值域为[0，9]． 故选：B ．4．【解答】解：∵集合A ＝{1，2}，B ＝[m ，+∞），A ⊆B ， ∴m ≤1，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．5．【解答】解：由a ＜b ＜0，取a ＝﹣2，b ＝﹣1，可排除A ，B ，D ． 故选：C ．6．【解答】解：当“x ＞1”则“1x ＜1”成立，当x ＜0时，满足“1x＜1”但“x ＞1”不成立，故“x ＞1”是“1x＜1”的充分不必要条件，故选：A ．7．【解答】解：a ＝1不适合题意，舍去． a ＝2时，b ＝1，可得：ba=12．a ＝3时，b ＝1，2，可得：b a=13，23．a ＝4时，b ＝1，2，3，可得：b a=14，12，34．a ＝5时，b ＝1，2，3，4，可得：b a=15，25，35，45．a ＝6时，b ＝1，2，3，4，5，可得：b a=16，13，12，23，56．可得：T ＝{x |x =ba ，a ，b ∈A ，a ＞b }＝{12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56}．∴集合T 中元素的个数为11． 故选：C ．8．【解答】解：①|1x 1−1x 2x 1−x 2|=|1x 1x 2|≥1(x 1，x 2∈(0，1))，故①正确； ②|√x1−√x 2x 1−x 2|=x +x ，当x 1＞4，x 2＞4时，√x 1+√x 2＞4，√x +√x 14，故②不正确；③|x 12−x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2|，当x 1≤﹣1，x 2≤﹣1时，|x 1+x 2|≥2，故③正确；④|11+x 12−11+x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2(1+x 12)(1+x 22)|≤|x 11+x 12|+|x 21+x 22|， 因为|x 1+1x 1|≥2，所以|x 11+x 12|≤12，同理|x 21+x 22|≤12，所以|x 11+x 12|+|x 21+x 22|≤1，故④不正确， 故选：B ．二、填空题（每题5分，共30分）9．【解答】解：∵|a ﹣c |＝|b ﹣c |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴a ﹣c +b ﹣c ＝0即a +b ﹣2c ＝0．①∵|b ﹣c |＝|d ﹣b |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴b ﹣c ＝d ﹣b 即2b ﹣c ﹣d ＝0．②①②相加可得：a +3b ﹣3c ﹣d ＝0．即a ﹣d ＝3（c ﹣b ）， 又因为|a ﹣c |＝|b ﹣c |＝|d ﹣b |＝1， 则|a ﹣d |＝3|b ﹣c |＝3． 故答案为：3．10．【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣4x +1， 则f （0）＝0，f （1）＝1﹣4+1＝﹣2， 则f （0）+f （1）＝0﹣2＝﹣2，故答案为：﹣211．【解答】解：设f （x ）＝kx +b ，k ≠0， ∵f （x +1）＝f （x ）﹣2， ∴k （x +1）+b ＝kx +b ﹣2， 即k ＝﹣2，∵f （x ）＝﹣2x +b 的零点为1，即f （1）＝b ﹣2＝0， ∴b ＝2，f （x ）＝﹣2x +2 故答案为：f （x ）＝﹣2x +2．12．【解答】解：某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数，且当年产量为200时，总成本为15000． 可得15000＝40000a +3000，解得a =310， 所以C =310Q 2+3000， 该产品的平均成本为f （Q ）=3Q10+3000Q ≥2√3Q 10×3000Q=60．当且仅当3Q 10=3000Q，即Q ＝100时，f （Q ）取得最小值，最小值为60．故答案为：100；60．13．【解答】解：二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 的对称轴x =−a2， 又f （a ）＝f （b ）， ∴a +b ＝2•（a2），∴b ＝﹣2a∴f （2）＝4+2a +b ＝4， 故答案为：4．14．【解答】解：（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k＝4或k＝0．（2）∵g（x）={2x+1，x≤0x3+2x−16，x＞0，当x≤0时，2x+1＝0，得x=−1 2；此时f（x）=−12，由图可知有一个解；当x＞0时，g（x）＝x3+2x﹣16单调递增，∵g（2）＝﹣4，g（3）＝17，∴g（x）在（2，3）有一个零点x0，即f（x）＝x0∈（2，3）由图可知有三个解，∴共有四个解．故答案为4或0；4．三、解答题（共80分）15．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣8≤0，得（x﹣4）（x+2）≤0，所以﹣2≤x≤4，所以不等式的解集为{x|﹣2≤x≤4}；（2）因为x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，所以不等式x2+4x+5＞0的解集为R；（3）由x2≤ax，得x2﹣ax＝x（x﹣a）≤0，所以当a＝0时，x＝0；当a＞0时，0≤x≤a；当a＜0时，a≤x≤0，所以当a＝0时，不等式的解集为{0}；当a＞0时，不等式的解集为{x|0≤x≤a}；当a＜0时，不等式的解集为{x|a≤x≤0}．16．【解答】解：（Ⅰ）a＝0时，B＝{x|x≥0}，且A＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A ∩B ＝[0，1]； （Ⅱ）∵A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，且B ={x|x ≥a2}， ∴a2≤−1，∴a ≤﹣2，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （Ⅲ）∵A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴−1＜a 2≤0，解得﹣2＜a ≤0， ∴实数a 的取值范围为（﹣2，0]．17．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ， 则f （1−√2）＝1+a ，f （1+√2）＝1+a ， 故f （1−√2）＝f （1+√2）；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有{a ＞04a 2＜4a，解可得：0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）；（Ⅲ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，其对称轴为x ＝1， 分2种情况讨论：①，a ＞0时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，在[1，2]上递增，其最大值为f （﹣1）＝1+3a ， 则有1+3a ＝4， 解可得：a ＝1，②，a ＜0时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，其最大值为f （1）＝1﹣a ， 则1﹣a ＝4，解可得a ＝﹣3； 综合可得：a ＝1或﹣3．18．【解答】解：（1）φ(0，12)=0+121+0×12=12；（II ）φ(x ，1−x)=x+(1−x)1+x(1−x)=1−x 2+x+1，由于x ∈（0，1）时，−x 2+x +1∈(1，54]，所以φ(x ，1−x)∈[45，1)，即最小值为45；（III ）证明：因为x ，y ∈（﹣1，1），所以（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，xy ﹣x ﹣y +1＞0，xy +1＞x +y ，又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＜1；同理：（x +1）（y +1）＞0，xy +x +y +1＞0，xy +1＞﹣（x +y ），又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＞−1，综上，x+y1+xy∈M ．即有∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ． 19．【解答】解：（I ）3f （2）＜2f （3）， ∵y =f(x)x 在（0，3]上单调递增， ∴f(2)2＜f(3)3，∴3f （2）＜2f （3）；（II ）f （x ）＝﹣1或﹣x 2﹣9（III ）方法一：∵y =f(x)x =ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增， ∴y ′＝2ax +（1﹣a ）≥0在（0，3]上恒成立， 2ax ≥a ﹣1，当a ＞0时，因为x ≥a−12a 在（0，3]上单调递增， 所以0≥a−1a，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，x ≤a−12a在（0，3]上单调递增， 所以3≤a−12a ，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上：a ∈[−15，1]．方法二：当a ＞0时，对称轴x =a−1a ≤0时符合题意，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，对称轴x =a−12a ≤3时符合题意，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上，a ∈[−15，1]．20．【解答】解：（Ⅰ）点O 与点P 1间的距离所有可能值：3或√5；（Ⅱ）因为点O （0，0），所以由第一问可知，当点P 1（3，0），点P 2（6，0），点P 3（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大， ∴点O 与点P 3间的距离最大值为9．（Ⅲ）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N *）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O与点P2016间的距离最小值为0，此时点P2016又回到最初位置，坐标为（0，0），然后经过三次变换：P2016（0，0）﹣﹣P2017（2，1）﹣﹣P2018（1，3）﹣﹣P2019（0，1），所以点O与点P2019间的距离最小值为1．。
北京市高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
xC. y = x 2 - 4 x +5D. y = x -1 +27.已知函数 f ( x ) = ⎨ 2a是(－∞，＋∞)上的减函数，则 a 的取值范围是 ⎪⎩ x北京市 2019-2020 学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共 8 小题）1.方程-x 2-5x +6=0 的解集为（）.A. {-6,1}B. {2,3}C. {-1,6}D. {-2, -3}2.“ x > 2 ”是“ x 2 > 4 ”的 （）A. 必要不充分条件C. 充分必要条件B. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）.A. y = -3x - 1B. y = 24.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x 2 ，则 f (-1 ) = 2A. -C. -14 94B.D.1 4 9 45.设函数 f （x ）=4x + A. 有最大值 36.若函数 f ( x ) = x + A. －2C. 11 xax-1（x ＜0），则 f （x ）（ ）.B. 有最小值 3C. 有最小值 -5D. 有最大值 -5(a ∈R)在区间(1，2)上有零点，则 a 的值可能是( )B. 0D. 3⎧(a - 3)x + 5, x ≤ 1 ⎪, x > 1A. (0，3)B. (0，3]C. (0，2)D. (0，2]8.设函数 f （x ）在（-∞，+∞）上有意义，且对于任意的 x ，y ∈R ，有|f （x ）-f （y ）|＜|x-y|并且函数 f （x +1）的对称中心是（-1，0），若函数 g （x ）-f （x ）=x ，则不等式 g （2x-x 2）+g （x-2）＜0 的解集是（）.A. (-∞,1)⋃ (2, +∞)C. (-∞, -1] ⋃ (2 , +∞ )B. (1,2 )D. (-1,2 )14.已知函数f (x)=⎨x,x<a．二、解答题（本大题共11小题，共80.0分）9.已知x1，x2是方程x2+2x-5=0的两根，则x12+2x1+x1x2的值为______．110.已知方程ax2+bx+1=0两个根为-，3，则不等式ax2+bx+1>0的解集为______．411.命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______．的12.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______．13.若函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为______．⎧-x x+2x,x≥a⎩①若a=0，则函数f(x)的零点有______个；②若f(x)≤f(1)对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是______．15.设集合A={x2，x-1}，B={x-5，1-x，9}．（1）若x=-3，求A∩B；（2）若A∩B={9}，求A∪B．16.已知函数f(x)=ax-2 x．（1）求定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（1）+f（2）=0，证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f（x）在区间[1，4]上的最值．17.一元二次方程x2-mx+m2+m-1=0有两实根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）求x1•x2的最值；（3）如果x-x＞5，求m的取值范围．1218.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ 上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．（1）设总造价为S元，AD的边长为x米，DQ的边长为y米，试建立S关于x的函数关系式；（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．19.已知函数f（x）=x2+b x+c，其中b，c∈R．（1）当f（x）的图象关于直线x=1对称时，b=______；（2）如果f（x）在区间[-1，1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f（x）＞c-1；（3）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．f -⎪=-f ⎪=- ⎪=-x(-4x)⋅参考答案1【答案】A【详解】∵-x2-5x+6=0，∴x2+5x-6=0，∴(x+6)(x-1)=0，∴x=-6或1，方程-x2-5x+6=0的解集为{-6，1}．故选：A．2【答案】B【详解】因为x2>4⇔x>2或x<-2，所以，“x>2”能推出“x2>4”，“x2>4”不能推出“x>2”，“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件，故选B.3【答案】D【详解】由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上为减函数，故A错误；由反比例函数的性质可知，y=2x在区间(1，+∞)上为减函数，由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增．故选：D．4【答案】A【详解】由奇函数的性质结合题意可得：⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫2⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭本题选择A选项.5【答案】D 1 4.【详解】当x＜0时，f(x)=4x+11-1=-[(-4x)+]-1≤-2-x1-x-1=-5．当且仅当-4x=-11，即x=-时上式取“=”．x2∴f(x)有最大值为-5．21112∴0＜g(x)-g(y)故选：D．6【答案】A【详解】函数f (x)=x+a(a∈R)的图象在(1，)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2 x时，f(1)＝－2＜0，f(2)＝2－＝＞0，.故f(x)在区间(1，)上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.7【答案】D【详解】因为函数f(x)为R上的减函数，所以当x≤1时，f(x)递减，即a-3<0，当x>1时，f(x)递减，即a>0，且(a-3)⨯1+5≥2a，解得a≤2，1综上可知实数a的取值范围是(0,2]，故选D.8【答案】A【详解】由函数f(x+1)的对称中心是(-1，0)，可得f(x)的图象关于(0，0)对称即f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∵g(x)-f(x)=x，∴g(x)=f(x)+x，∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x)，∵对于任意的x，y∈R，有|f(x)-f(y)|＜|x-y|，∴|g(x)-g(y)-(x-y)|＜|x-y|，∴g(x)-g(y)-(x-y)x-yg(x)-g(y)即|-1|＜1，x-yx-y＜2，＜1，由对任意实数x,y(x≠y)有g(x)-g(y)x-y>0得g(x)单调递增，∵g(2x-x2)+g(x-2)＜0，∴g(2x-x2)＜-g(x-2)=g(2-x)，< x < 3⎬ ⎧ ⎧ b ⎧4 ⎪⎪ a⎪⎪⎩ ⎩⎪ 本题正确结果： ⎨ x -< x < 3⎬∴2x-x 2＜2-x ，整理可得，x 2-3x +2＞0，解可得，x ＞2 或 x ＜1，故选：A ．9【答案】0【详解】∵x 1，x 2 是方程 x 2+2x-5=0 的两根，则 x 12+2x 1-5=0，x 1x 2=-5． ∴x 12+2x 1+x 1x 2=5-5=0．故答案为：0．10【答案】 ⎨ x -⎩ 1 4⎫⎭- = - + 3 a =- 43【详解】由题意得： ⎨⇒⎨ ⎪ 1 = - 1 ⨯ 3 ⎪b = 11 ⎪ a 431则不等式可化为： 4 x 2 - 11x - 3 < 0⇒- < x < 34⎧ ⎩1 ⎫4 ⎭11【答案】∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0【详解】命题为全称命题，则命题“∀x ＞0，x 2+2x-3＞0”的否定是为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0， 故答案为：∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0．12【答案】2【详解】f (x )，g (x )分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，∴f (-x )=f (x )，g (-x )=-g (x )，∵f (x )-g (x )=x 3+x 2+2，∴f (-x )+g (-x )=x 3+x 2+2，则 f (1)+g (1)=-1+1+2=2．故答案为：213【答案】{-3，3}【详解】因为函数 f (x )=x 2-2x +1=(x-1)2，⎨ （ 所以对称轴为 x =1，顶点坐标为(1，0)．令 x 2-2x +1=4 得：x 2-2x-3=0，解得：x =-1 或 3，所以 a +2=-1 或 a =3，即：a =-3 或 3．故答案为：{-3，3}14【答案】(1). 2(2). ⎡⎣-1 - 2,1⎤⎦【详解】 ① ⎧- x 2 + 2 x , x ≥ 0当 a=0， f ( x ) = ⎨⎩ x, x < 0当 x ≥ 0 ,时， -x 2 + 2x =0，解得 x=2 或 x=0，当 x < 0 ，x=0 无解故有两个零点② （1）当 a > 1 时，f （1）=1，此时 f (a) > 1 ，不成立，舍；（2）当 a=1，此时 f （x ）的最大值为 f （1），所以成立；（3）当 a < 1 ， f ( x ) = ⎧- x x + 2x, x ≥ a⎩x, x < a⎧ x 2 + 2 x , x < 0令 g ( x ) = - x x + 2x = ⎨⎩- x 2 + 2 x, x > 0f ( x ) ≤ f (1) = 1∴ g ( x ) ≤ 1当 x<0 时， x 2 + 2 x ≤ 1, x ∈ [-1 - 2,0)当 x ≥ 0 时， - x 2 + 2 x ≤ 1 ，恒成立；故 a ≥ -1 - 2 ，综上 -1 - 2 ≤ a ≤ 1故答案为 ⎡⎣-1 - 2,1⎤⎦15【答案】 1）{9}（2）x =-3 时，A ∪B={-8，-4，4，9}，x =10 时， A ∪B={-9，5，9，100}．（ =(x 1-x 2)(1+)， ∴(x 1-x 2)(1+ )＜0，即 f (x 1)＜f (x 2)，（2）最小值为 - ，最大值为 1 （3） -1，- ⎪ （ 5 4【详解】(1)x =-3 时，A={9，-4}，B={-8，4，9}，∴A ∩B={9}；(2)∵A ∩B={9}，∴9∈A ，∴x 2=9，或 x-1=9，解得 x =±3 或 10，x =3 时，不满足集合 B 中元素的互异性，∴x =-3 或 10，由(1)知，x =-3 时，A ∪B={-8，-4，4，9}，x =10 时，A={100，9}，B={5，-9，9}，∴A ∪B={-9，5，9，100}．16【答案】 1） {x|x ≠ 0} ，奇函数 （2）单调递增，证明见详解，最大值【详解】(1)由题意可得，x ≠0，故定义域为 {x|x ≠ 0}7 2，最小值-1；∵f (-x )=-ax + 2 x=-f (x )，∴f (x )奇函数；(2)由 f (1)+f (2)=a-2+2a-1=0，∴a =1，f (x )=x-设 0＜x 1＜x 2，2 x，则 f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 2 +∵0＜x 1＜x 2，2 2 2- x x x x2 1 1 2∴x 1-x 2＜0，1+ 2 x x1 2＞0，2x x1 2∴f (x )在(0，+∞)上的单调递增，∴函数 f (x )在区间[1，4]上的最大值为 f (4)=72，最小值为 f (1)=-1．17【答案】 1） -2 ≤ m ≤ 2 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎝ 3 ⎭【详解】(1)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．∴ △=(-m )2-4(m 2+m -1)≥0，2 从而，x 1•x 2 最小值为 - ，最大值为 1．()从而解得： -1＜m ＜ - ，∴ m ∈ -1，- ⎪ ．()（从而解得：-2 ≤ m ≤2．3(2)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．1∴由根与系数关系得： x ⋅ x = m 2 + m - 1 = (m + )2 - 125 4，又由(1)得：-2 ≤ m ≤ 2 3，5 1 5∴ - ≤ (m + )2 - ≤ 1 ，4 2 45 4(3)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．∴由根与系数关系得： x + x = m ，x ⋅ x = m 2 + m - 1 ，1 212∴ x - x = ( x - x )2 = ( x + x )2 - 4 x x = m 2 - 4 m 2+ m - 1 ＞ 5 ，1212121 21 32又由(1)得： -2 ≤ m ≤ ，3⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭18【答案】 1） S = 4000 x 2 +400000 x 2+ 38000, 0 < x < 10 2 ；（2）118000 元200 - x 2【详解】(1)由题意，有 AM = ，由 AM ＞0，有 0＜x ＜10 2 ；4x则 S=4200x 2+210(200-x 2)+80×2× (200 - x 2 4x)2 ；400000 - 4000x 2 + 10x 4400000 S=4200x 2+42000-210x 2+ =4000x 2+ +38000；x 2x 2∴S 关于 x 的函数关系式：S=4000x 2+400000 x 2+38000，(0＜x ＜102 )；(2)S=4000x 2+ 400000 400000+38000≥2 4000x 2 ⋅x 2 x 2+38000=118000；当且仅当 4000x 2=400000 x 2时，即 x = 10 时， 10 ∈(0，10 2 )，S 有最小值；2]2•[s+(1-s)2]2=1 -+c=c-∴当x=10米时，S m in=118000元．故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区．19【答案】（1）-2（2）证明见解析（3）（0，1 16）【详解】(1)函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为x=-由f(x)的图象关于直线x=1对称，b 2，可得-b2=1，解得b=-2，故答案为：-2．(2)证明：由f(x)在[-1，1]上不单调，可得-1＜-b2＜1，即-2＜b＜2，b b2b2b2对任意的x∈R，f(x)≥f(-)=，2424b2由-2＜b＜2，可得f(x)≥c-＞c-1；4(3)f(x)在区间(0，1)上有两个不同的零点，设为r，s，(r≠s)，r，s∈(0，1)，可设f(x)=(x-r)(x-s)，由c2+(1+b)c=c(1+b+c)=f(0)f(1)=rs(1-r)(1-s)，且0＜rs(1-r)(1-s)＜[r+(1-r)16，则c2+(1+b)c∈(0，1 16)．1．已知集合 A = {-1，0,1,2}, B = x -2 < x ≤1 ，则 A ， } ，，北京市丰台区 2019-2020 学年度第一学期期中考试高一数学试卷考试时间：90 分钟第 I 卷（共 40 分）一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
2022-2023学年北京汇文中学教育集团高一上学期期中考试数学试卷含详解
北京汇文中学教育集团2022-2023学年度第一学期期中考试高一年级数学学科本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一､选择题（每题5分，共60分）1.下列所给元素与集合的关系正确的是（）A.Rπ∈ B.*0N ∈ C.QD.|5|Z-∉2.如图所示，全集U =R ，{}0M x x =>，{}11N x x =-≤≤，则图中阴影部分表示的集合为（）A.(]1-∞-，B.[)10-，C.(]0,1 D.[]1,0-3.已知集合{|P x y ==，集合{|Q y y =，则P 与Q 的关系是（）A.P Q =B.P Q ⊆C.P Q⊇ D.P Q =∅4.下列各组函数表示同一函数的是A.y x =与y =B.1y x =+与211x y x -=-C.y =与0y =D.y x =与y =5.下列函数在定义域上是减函数的是（）A.2y x= B.1y x-= C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. D.12y x =6.若0.52a =，0.62b =，20.6c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A.a b c <<B.c b a <<C.a c b<< D.c<a<b7.使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是（）A.20x -<<B.23x -<<C.05x << D.24-<<x 8.给出函数()f x ，()g x 如表，则(())f g x 的值域为（）x1234()f x 4321x1234()g x 1133A.{2,4}B.{1,3}C.{}1,2,3,4 D.以上情况都有可能9.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23x f x x k =-+（k 为常数），则()1f -=（）A.2B.1C.2- D.1-10.已知函数y =的值域为[)0,∞+，则实数a 的取值范围为（）A.51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭11.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-+；则不等式(1)()0x f x ->的解集（）A.(,1)-∞- B.(1,0)- C.(0,1)D.(1,)+∞12.若x ∀，y ∈R ，函数()f x 满足()()()3f x f y f x y +-+=，函数()()21xg x f x x =++，则()()20222022g g +-=（）A.0B.6C.9D.2022二､填空题（每题5分，共30分）13.函数1()f x x=+的定义域是_________．14.若命题“2000,10∃∈-+≤x R ax ax ”是假命题，则实数a 的取值范围是___________．15.请写出一个定义域为R ，值域为(),1-∞的函数解析式为______.16.若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是__________．17.定义：对于非空集合A ，若元素x A ∈，则必有()m x A -∈，则称集合A 为“m 和集合”.已知集合={1,2,3,4,5,6,7}B ，则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个.18.若使集合{}2(8)(1)0,A x kx k x x Z =---∈中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是________.三､解答题（共60分）19.已知集合{}250,{6}A xx x B x t x t =-≤=<<+∣∣，其中t R ∈（1）当1t =时，求A B ⋂和A B ⋃（2）若A B ⊆，求t 的取值范围20.已知函数()212x f x x-=（1）求13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）判断函数的奇偶性，并加以证明：21.已知函数()221f x x ax a =-++-.（1）若函数()f x 在区间[]0,3上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]0,1上有最大值3，求实数a 的值.22.已知定义域为R 的函数()22xxa f xb -=+是奇函数（1）求,a b 的值.（2）判断()f x 的单调性，并用定义证明.（3）若存在[0,4]t ∈，使()()22420f k tf t t ++-<成立，求k 的取值范围.23.对于函数()y f x =，若定义域中存在实数a 、b 满足0b a >>且()()f a f b ==2(02a bf +≠，则称函数()y f x =为“P 函数”．（1）判断21(1)y x =-，x ∈R 是否为“P 函数”，并说明理由；（2）设n ∈N 且0n >，若函数22||y k x=-，(0,)x n ∈为“P 函数”，且n 的最小值为5，求实数k 的取值范围．北京汇文中学教育集团2022-2023学年度第一学期期中考试高一年级数学学科本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一､选择题（每题5分，共60分）1.下列所给元素与集合的关系正确的是（）A.Rπ∈ B.*0N ∈ C.QD.|5|Z-∉【答案】A【分析】根据实数、自然数、有理数、整数的知识逐一判断即可.【详解】R π∈，*0N ∉Q ，|5|Z -∈故选：A2.如图所示，全集U =R ，{}0M x x =>，{}11N x x =-≤≤，则图中阴影部分表示的集合为（）A.(]1-∞-，B.[)10-，C.(]0,1 D.[]1,0-【答案】D【分析】先确定图中阴影部分表示的集合为()U M N ðI ，再根据题目条件求解.【详解】由图知，阴影部分表示的集合为()U M N ðI .因为全集U =R ，{}0M x x =>，{}11N x x =-≤≤，所以{}|0U M x x =≤ð，(){}|10U M N x x =-≤≤ ð.故选：D.3.已知集合{|P x y ==，集合{|Q y y =，则P 与Q 的关系是（）A.P Q =B.P Q ⊆C.P Q ⊇D.P Q =∅【答案】C【分析】求函数定义域求得集合P ，求函数值域求得集合Q ，由此得出两个集合的关系.【详解】对于集合A ，由10x +≥解得1x ≥-.对于集合Q ，0y ≥.故集合P 包含集合Q ，所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查集合与集合的关系，考查函数定义域和值域的求法，考查集合的研究对象，属于基础题.4.下列各组函数表示同一函数的是A.y x =与y =B.1y x =+与211x y x -=-C.y =与0y =D.y x =与y =【答案】D 【分析】根据定义域以及函数解析式进行判断选择.【详解】因为y x =与||y x ==解析式不同，所以y x =与y =不是同一个函数；因为1,y x x R =+∈与21(1)1x y x x -=≠-，定义域不同，所以1y x =+与211x y x -=-不是同一个函数；因为y =定义域为222101110x x x x ⎧-≥∴=∴≠±⎨-≥⎩与0()y x R =∈定义域不同，所以y =与0y =不是同一个函数；因为y x =与y =定义域都为R ,且y x ==，所以y x =与y =是同一个函数，故选：D【点睛】本题考查相同函数判断，考查基本分析判断能力，属基础题.5.下列函数在定义域上是减函数的是（）A.2y x= B.1y x-= C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. D.12y x =【答案】C【分析】根据函数的解析式，直接判断函数的单调性，即可判断选项.【详解】A.函数2y x =在(),0∞-单调递减，在[)0,∞+单调递增，故A 错误；B.11y xx-==的单调递减区间是(),0∞-和()0,∞+，不能说函数在定义域上是减函数，故B 错误；C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数函数的性质可知，函数在定义域R 上单调递减，故C 正确；D.12y x =，根据幂函数的性质可知，函数在定义域[)0,∞+单调递增，故D 错误.故选：C6.若0.52a =，0.62b =，20.6c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A.a b c <<B.c b a <<C.a c b <<D.c<a<b【答案】D 【分析】利用指数函数比较a 、b 、1三个数的大小关系，利用指数函数的单调性比较c 与1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】0.60.502221>>= ，即1b a >>，又200.60.61c =<= ，因此，c<a<b .故选：D.7.使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是（）A.20x -<<B.23x -<<C.05x <<D.24-<<x 【答案】A【分析】解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义结合集合间的关系直接判断作答.【详解】解不等式260x x --<得：23x -<<，对于A ，因{|20}x x -<<{|23}x x -<<，即20x -<<是260x x --<成立的充分不必要条件，A 正确；对于B ，23x -<<是260x x --<成立的充要条件，B 不正确；对于C ，因{|05}x x <<⊄{|23}x x -<<，且{|23}{|05}x x x x -<<⊄<<，则05x <<是260x x --<成立的不充分不必要条件，C 不正确；对于D ，因{|23}x x -<<{|24}x x -<<，则24-<<x 是260x x --<成立的必要不充分条件，D 不正确.故选：A8.给出函数()f x ，()g x 如表，则(())f g x 的值域为（）x1234()f x 4321x1234()g x 1133A.{2,4}B.{1,3}C.{}1,2,3,4 D.以上情况都有可能【答案】A【分析】由于()()121g g ==，()()343g g ==，即可求解(())f g x 的值域．【详解】∵当1x =或2x =时，()()121g g ==，∴()()()()()1214f g f g f ===；当当3x =或4x =时，()()343g g ==，∴()()()()()3432f g f g f ===．故(())f g x 的值域为{2,4}．故选：A ．9.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23x f x x k =-+（k 为常数），则()1f -=（）A.2B.1C.2- D.1-【答案】A【分析】根据(0)0f =求出1k =-，再根据(1)(1)f f -=-可求出结果.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，又0(0)2301f k k =-⨯+=+，所以10k +=，得1k =-，所以当0x ≥时，()231x f x x =--，所以(1)(1)(231)2f f -=-=---=.故选：A10.已知函数y =的值域为[)0,∞+，则实数a 的取值范围为（）A.51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】讨论1a =，1a >，1a <三种情况，列式求a 的取值范围.【详解】当1a =时，y =[)0,∞+，满足条件，当1a >时，()1410a ∆=--≥，解得：514a <≤，当1a <，不满足条件，综上可知，514a ≤≤.故选：A11.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-+；则不等式(1)()0x f x ->的解集（）A.(,1)-∞-B.(1,0)- C.(0,1)D.(1,)+∞【答案】B【分析】由()f x 是定义在R 上的奇函数得()f x ，分0x <、0x >可得()0f x >、()0f x <得的解，再由(1)()0x f x ->得10()0x f x ->⎧⎨>⎩或10()0x f x -<⎧⎨<⎩，解不等式组可得答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，2()f x x x =-+，当0x <时，()22()()=--=---=+f x f x x x x x ，且(0)0f =，0x >时，由2()0=-+>f x x x 得()0,1x ∈，由2()0=-+<f x x x 得()1,x ∈+∞，0x <时，由2()0=+>f x x x 得(),1x ∈-∞-，由2()0=+<f x x x 得()1,0x ∈-，由(1)()0x f x ->得10()0x f x ->⎧⎨>⎩或10()0x f x -<⎧⎨<⎩，当10()0x f x ->⎧⎨>⎩时，无解，当10()0x f x -<⎧⎨<⎩时，()1,0x ∈-，故选：B ．12.若x ∀，y ∈R ，函数()f x 满足()()()3f x f y f x y +-+=，函数()()21xg x f x x =++，则()()20222022g g +-=（）A.0B.6C.9D.2022【答案】B【分析】利用赋值法，分别令0x y ==和y x =-得到()()6f x f x +-=；由奇函数的定义可判断()21xh x x =+是R 上的奇函数，再结合奇函数的性质即可求出()()20222022g g +-的值.【详解】由题意，将0x y ==代入()()()3f x f y f x y +-+=，得()03f =，将y x =-代入()()()3f x f y f x y +-+=，得()()()03f x f x f +--=，即()()6f x f x +-=.设()21x h x x =+（x ∈R ），则()()()2211x x h x h x x x --==-=-+-+，所以()h x 是R 上的奇函数，则()()0h x h x +-=；又()()()()21xg x f x h x f x x =+=++，所以()()()()()()2022202220222022202220226g g h f h f +-=++-+-=，故选：B.二､填空题（每题5分，共30分）13.函数1()f x x=+的定义域是_________．【答案】()(],00,1-∞⋃【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =+100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃14.若命题“2000,10∃∈-+≤x R ax ax ”是假命题，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[0,4)【分析】由题意，命题的否定为真命题，分别讨论0a =和0a ≠两种情况，根据二次函数的性质，即可得答案.【详解】因为命题“2000,10∃∈-+≤x R ax ax ”是假命题，所以命题的否定：2,10x R ax ax ∀∈-+>为真命题，当0a =时，10>恒成立，符合题意，当0a ≠时，由题意得：240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<.综上实数a 的取值范围是[0,4).故答案为：[0,4)15.请写出一个定义域为R ，值域为(),1-∞的函数解析式为______.【答案】21x y =-+（答案不唯一）【分析】本题为开放性试卷，因为函数的定义域为R ，值域为开区间(),1-∞，联想到指数型函数，即可求解.【详解】令函数21x y =-+，因为指数函数2x y =的定义域为R ，值域是()0,∞+，则函数2x y =-的值域是(),0∞-，函数21x y =-+的值域是(),1-∞，满足条件，所以满足条件的函数解析式可以是21x y =-+.故答案为：21x y =-+（答案不唯一）16.若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是__________．【答案】5【分析】先由条件35x y xy +=得315x y+=，再利用1的代换以及基本不等式求最值.【详解】由条件35x y xy +=，两边同时除以xy ，得到315x y+=，那么1311123134(34)())(1325555y x x y x y x y x y +=++=++≥+=等号成立的条件是123y x x y =，即2x y =，即11,2x y ==.所以34x y +的最小值是5，故答案为：5．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.17.定义：对于非空集合A ，若元素x A ∈，则必有()m x A -∈，则称集合A 为“m 和集合”.已知集合={1,2,3,4,5,6,7}B ，则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个.【答案】15【分析】由新定义可得集合B 的子集中，1,7、2,6、3,5、4一定成组出现，再由子集的概念即可得解.【详解】由题意，集合B 的子集中，1,7、2,6、3,5、4一定成组出现，当集合B 的子集中只有1个元素时，即为{4}，共1个；当集合B 的子集中有2个元素时，即为{}{}{}1,7,2,6,3,5，共3个；当集合B 的子集中有3个元素时，即为{}{}{}1,4,7,2,4,6,3,4,5，共3个；当集合B 的子集中有4个元素时，即为{}{}{}1,7,2,6,1,7,3,52,6,3,5，共3个；当集合B 的子集中有5个元素时，即为{}{}{}1,7,4,2,6,1,7,4,3,5,2,6,4,3,5，共3个；当集合B 的子集中有6个元素时，即为={1,2,3,5,6,7}B ，共1个.当集合B 的子集中有7个元素时，即为={1,2,3,4,5,6,7}B ，共1个.则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有15个.故答案为：15.18.若使集合{}2(8)(1)0,A x kx k x x Z =---∈中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是________.【答案】[4,2]--【分析】根据题意对k 的值进行讨论，求出对应的集合A ，再分析集合A 中元素的个数，从而得出元素最少的情况，【详解】由题知：①当0k =时，{}8(1)0,{|1,}A x x x Z x x x Z =--∈=<∈，此时集合A 中的元素个数为无限个，故舍去.②当0k >时，2(8)(1)0kx k x --->，等价于：28010kx k x ⎧-->⎨->⎩或28010kx k x ⎧--<⎨-<⎩即：81x k k x ⎧>+⎪⎨⎪>⎩或81x k k x ⎧<+⎪⎨⎪<⎩.因为81k k +≥=>所以8x k k >+或1x <.8{A x x k k =>+或1,}x x Z <∈此时集合A 中的元素个数为无限个，故舍去.③当0k <时，2(8)(1)0kx k x --->，等价于：81x k k x ⎧<+⎪⎨⎪>⎩或81x k k x ⎧>+⎪⎨⎪<⎩.因为81k k +<，所以81k x k +<<.即8{|1,}A x k x x Z k =+<<∈.此时集合A 中的元素个数为有限个，并且8k k+的值越大，集合A 中的元素就越少.因为8k k +≤-65-<-<-所以当865k k -≤+<-时，即：42k -≤≤-时，集合A 中的元素个数最少.故答案为：[4,2]--【点睛】本题主要考查了不等式解法与应用，同时也考查了分类讨论的思想，其中对k 的值讨论是本题的关键，属于难题.三､解答题（共60分）19.已知集合{}250,{6}A xx x B x t x t =-≤=<<+∣∣，其中t R ∈（1）当1t =时，求A B ⋂和A B⋃（2）若A B ⊆，求t 的取值范围【答案】（1）{}15A B x x ⋂=<≤，{}07A B x x ⋃=≤<（2）10t -<<【分析】（1）分别求两个集合，再求两个函数的交集和并集；（2）根据子集关系，比较端点值，列式求t 的取值范围.【小问1详解】当1t =时，{}17B x x =<<，{}05A x x =≤≤，{}15A B x x ⋂=<≤，{}07A B x x ⋃=≤<【小问2详解】若A B ⊆，则065t t <⎧⎨+>⎩，解得：10t -<<.20.已知函数()212x f x x-=（1）求13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）判断函数的奇偶性，并加以证明：【答案】（1）43-；（2）奇函数，证明见解析.【分析】（1）直接代入求值得解；（2）利用函数的奇偶性定义证明.【小问1详解】21181()114399(122332()333f ----====-⨯---．【小问2详解】函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称.则21()()2x f x f x x--==--，则()f x 是奇函数．21.已知函数()221f x x ax a =-++-.（1）若函数()f x 在区间[]0,3上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]0,1上有最大值3，求实数a 的值.【答案】（1）[)3,+∞；（2）2-或3.【分析】（1）根据二次函数对称轴和区间的位置关系，列出不等关系，即可求得结果；（2）根据对称轴和区间的位置关系分类讨论，在不同情况下求解即可.【小问1详解】()221f x x ax a =-++-的对称轴x a =，要满足题意，只需3a ≥，故实数a 的取值范围为[)3,+∞.【小问2详解】当0a ≤时，()f x 在[]0,1单调递减，则()f x 在[]0,1上的最大值为()01f a =-，令()03f =，解得2a =-；当01a <<时，()f x 在[)0,a 单调递增，在[],1a 单调递减，则()f x 在[]0,1上的最大值为()21f a a a =-+，令()3f a =，解得1a =-或2a =，都不满足01a <<，故舍去；当1a ≥时，()f x 在[]0,1单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f a =，令()13f =，解得3a =；综上所述，2a =-或3.22.已知定义域为R 的函数()22x x a f x b -=+是奇函数（1）求,a b 的值.（2）判断()f x 的单调性，并用定义证明.（3）若存在[0,4]t ∈，使()()22420f k tf t t ++-<成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1a =，1b =（2）()f x 在R 上是减函数,证明过程见详解（3）4k >-【分析】(1)根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解；(2)利用函数单调性的定义进行证明即可；(3)根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可.【小问1详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，即101a b -=+，所以1a =，又因为(1)(1)f f -=-，所以122122a a b b --=-++，将1a =代入，解得1b =，经检验符合题意，所以，1a =，1b =.【小问2详解】由（1）知：函数12(12)22()1121212x x x x xf x --++===-++++，函数()f x 在R 上是减函数，证明如下：任取12,R x x ∈，且12x x <，21121212222(22)()()1212(12)(12)x x x x x x f x f x --=-=++++，因为12x x <，所以21220x x ->，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在R 上是减函数.【小问3详解】因为存在[0,4]t ∈，使()()22420f k t f t t ++-<成立，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以不等式可转化为()()2224f k t f t t +<-，又因为函数()f x 在R 上是减函数，所以2224k t t t +>-，所以24k t t >-，令2(4)t g t t =-，由题意可知：问题等价转化为min ()k g t >，又因为min ()(2)4g t g ==-，所以4k >-.23.对于函数()y f x =，若定义域中存在实数a 、b 满足0b a >>且()()f a f b ==2(02a b f +≠，则称函数()y f x =为“P 函数”．（1）判断21(1)y x =-，x ∈R 是否为“P 函数”，并说明理由；（2）设n ∈N 且0n >，若函数22||y k x=-，(0,)x n ∈为“P 函数”，且n 的最小值为5，求实数k 的取值范围．【答案】（1）不是，答案见解析；（2）4,15⎛⎤⎥⎝⎦．【分析】（1）反证法.假设其为“P 函数”，代入值得到两组等式，相减，分解因式得到1a b ==，与题设矛盾.故21(1)y x =-不是“P 函数”.（2）分类讨论分析22||y k x =-的单调性，只有0k >时符合题意.通过()()f a f b ==2()02a b f +≠运算得到,,a b k 三者关系式，11k a b =+，3b a =，由n 的最小值为5，得到取值范围满足435a ≤<，从而得到k 的取值范围.【详解】（1）若21(1)y x =-，x ∈R 是“P 函数”，则满足()()22211212a b a b +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭则22222202420a b a b a b ab b ⎧--+=⎨--+-=⎩，两式相减得222420a ab b b -++-+=故10ab a b --+=即()()110b a --=，则1a b ==这与0b a >>矛盾故21(1)y x =-，x ∈R 不是否为“P 函数”（2）22||y k x =-，(0,)x n ∈①若0k ≤，则20k x ->，则222||y k k x x =-=-在(0,)x n ∈时单调递减，故不满足存在0b a >>使得()()f a f b =，不合题意②若0k >，因为()2g x k x =-，(0,)x n ∈单调递减，且20g k ⎛⎫= ⎪⎝⎭故2(0,)x k ∈时，()2||f x k x =-单调递减，故2(,)x k ∈+∞时，()2||f x k x =-单调递增，故2(0,a k ∈，2(,)b k ∈+∞()()2222a b f a k f b k f a b +⎛⎫∴=-==-= ⎪⎝⎭，11k a b =+，()211f a k a a b∴=-=-44112222a b f k a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴=-=-+ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭若411112a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-+=- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦则8313b a a b a b ab+=+=+，则22833ab ab a b ab =+++，故22340a b ab +-=得3a b =，不合题意若411112a b a b b a ⎡⎤⎛⎫-+=- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦则8313a b a b b a ab+=+=+，则22833ab ab b a ab =+++，故22340a b ab +-=得3b a =.故1143k a b a =+=，232a k =，43a k=若(0,)n 中存在实数a 、b 满足0b a >>且()()f a f b ==2()02a b f +≠，n 的最小值为5.故在(0,5)中存在a 满足()()(3)22f a f a f a ==，且435a ≤<故445k ≤<，故415k <≤综上所述，k 的取值范围为4,15⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
2019-2020学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
奇函数，
f (x) f (x) ， g(x) f (x) x ，
g(x) f (x) x ，
g(x) f (x) x f (x) x g(x) ， 对于任意的 x ， y R ，有 | f (x) f ( y) || x y | ，
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A． ( ，1) (2 ， ) C． ( ， 1](2, )
B． (1, 2) D． (1, 2)
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．已知 x1 ， x2 是方程 x2 2x 5 0 的两根，则 x12 2x1 x1x2 的值为
2．“ x 2 ”是“ x2 4 ”的 ( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，在区间 (1, ) 上为增函数的是 ( )
A． y 3x 1
B． y 2 x
C． y x2 4x 5 D． y | x 1| 2
f （1） g （1）的值等于 ．
13．若函数 f (x) x2 2x 1在区间 [a ，a 2] 上的最小值为 4，则实数 a 的取值集合为 ．
14．已知函数
f
(x)
x | x x, x
| 2x, x a a
（1）若 a 0 ，则函数 f (x) 的零点有
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A． ( ，1) (2 ， ) C． ( ， 1](2, )
B． (1, 2) D． (1, 2)
【解答】解：由函数 f (x 1) 的对称中心是 (1, 0) ，可得 f (x) 的图象关于 (0,0) 对称即 f (x) 为
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中+答案 (2)
2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1}D ．{0，1，2}2．（5分）如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．﹣ab ＜﹣a 2D ．−1a ＜−1b3．（5分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A ．y =√x −1B ．y =1x−1C ．y =√x 2+1D ．y =√1x−14．（5分）已知f （x ）＝ax 3+bx ﹣4，若f （2）＝6，则f （﹣2）＝（ ） A ．﹣14B ．14C ．﹣6D ．105．（5分）设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）函数f(x)=x 2−1x−2在区间（1，3）内的零点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．（5分）已知命题“∃x ∈R ，2x 2+（a ﹣1）x +12≤0是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣3，+∞）D ．（﹣3，1）8．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，94]B ．（﹣∞，73]C ．（﹣∞，52]D ．（﹣∞，83]二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．（5分）已知x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4，则x 2﹣5xy +6y 2的值为 ．10．（5分）已知α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则α2﹣2αβ+β2＝ ． 11．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 12．（5分）已知函数f （x ）={x 2+1(x ≥0)−2x(x ＜0)，若f （x ）＝10，则x ＝ ．13．（5分）若二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解，求实数k ＝ ． 14．（5分）已知λ∈R ，函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ，当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．（10分）已知集合A ＝{x |﹣4+a ＜x ＜4+a }，B ＝{x |x+1x−5≥0}．（1）若a ＝1，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．16．（10分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时有f （x ）=4xx+4 （1）判断函数f （x ）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明； （2）求函数f （x ）的解析式（写成分段函数的形式）．17．（10分）已知关于x 的不等式（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2的解集为A ，且3∉A ． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求集合A ．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．（4分）函数y =√x +1+√3−x 的定义域是 ． 19．（4分）已知函数f （x ）=11+x 2，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14）＝ ．20．（4分）设x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5，则√xy的最小值为 ．21．（4分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．22．（4分）设函数f （x ）的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x ∈D ，都有f （x +m ）＞f （x ），则称f （x ）为D 上的“m 型增函数”．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0．（1）若方程有实数根，求实数k的取值范围；（2）如果k是满足（1）的最大整数，且方程x2﹣4x+2k＝0的根是一元二次方程x2﹣2mx+3m ﹣1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．24．（10分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x＝1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．25．（10分）对于区间[a，b]（a＜b），若函数y＝f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y＝f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．（1）求函数y＝x2的所有“保值”区间；（2）函数y＝x2+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．【解答】解：因为A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：A．2．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，可得1a =−121b=−1，∴1a＞1b，故A不正确．可得ab＝2，b2＝1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab＝﹣2，﹣a2＝﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．3．【解答】解：A．y=√x−1≥0，故A不符合；B.y=1x−1∈(−∞，0)∪(0，+∞)，故B不符合；C.y=√x2+1≥1，故C不符合；D.y=√1x−1的定义域为{x|x＞1}，当x＞1时，1x−1＞0，∴y=√1x−1＞0，故D符合．故选：D．4．【解答】解：∵f（x）＝ax3+bx﹣4∴f（x）+f（﹣x）＝ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×（﹣x）﹣4＝﹣8∴f（x）+f（﹣x）＝﹣8∵f（2）＝6∴f（﹣2）＝﹣14故选：A．5．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故选：A．6．【解答】解：f′（x）＝2x+1x2，当x∈（1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，3）上单调递增，又f（1）＝﹣2＜0，f（3）=203＞0，∴f（x）在（1，3）上有1个零点．故选：B．7．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+12＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×12＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．8．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[−14，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[−12，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x ∈（2，3]时，由4（x ﹣2）（x ﹣3）=−89解得x =73或x =83， 若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m ≤73． 故选：B ．二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．【解答】解：∵x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4， ∴x 2﹣5xy +6y 2＝（x ﹣2y ）（x ﹣3y ） ＝6×4＝24． 故答案为：24．10．【解答】解：∵α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根， ∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣7，则α2﹣2αβ+β2＝（α+β）2﹣4αβ＝（﹣2）2﹣4×（﹣7）＝32． 故答案为：32．11．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6+4x ≥4×2×√900x ⋅x =240（万元）． 当且仅当x ＝30时取等号． 故答案为：30．12．【解答】解：令x 2+1＝10， 解得，x ＝3或x ＝﹣3（舍去）； 令﹣2x ＝10，解得，x ＝﹣5； 故答案为：3或﹣5．13．【解答】解：由3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1得，两直线的交点坐标为（2，﹣1）， ∵二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解， ∴点（2，﹣1）在直线y ＝kx ﹣9上， ∴﹣1＝2k ﹣9，∴k ＝4． 故答案为：4．14．【解答】解：当λ＝2时函数f （x ）={x −4，x ≥2x 2−4x +3，x ＜2，显然x ≥2时，不等式x ﹣4＜0的解集：{x |2≤x ＜4}；x ＜2时，不等式f （x ）＜0化为：x 2﹣4x +3＜0，解得1＜x ＜2，综上，不等式的解集为：{x |1＜x ＜4}． 函数f （x ）恰有2个零点， 函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x |1＜x ＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．【解答】解：B ＝{x |x ≤﹣1或x ＞5}， （1）若a ＝1，则A ＝{x |﹣3＜x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x |﹣3＜x ≤﹣1}； （2）∵A ∪B ＝R ， ∴{−4+a ≤−14+a ＞5， ∴1＜a ≤3，∴实数a 的取值范围为（1，3]．16．【解答】解：（1）函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增．证明：设x 1＞x 2≥0，则f(x 1)−f(x 2)=4x 1x 1+4−4x2x 2+4，=16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16，又x 1＞x 2≥0，所以x 1﹣x 2＞0，x 1x 2≥0，x 1+x 2＞0， 所以16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16＞0．则f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），故函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增； （2）由于当x ≥0时有f(x)=4x x+4， 而当x ＜0时，﹣x ＞0，则f(−x)=−4x−x+4=4xx−4=f(x)， 即f(x)=4xx−4（x ＜0）． 则f(x)={4xx+4(x ≥0)4xx−4(x ＜0)． 17．【解答】解：（I ）∵3∉A ，∴当x ＝3时，有（ax ﹣1）（x ﹣2）≤2， 即3a ﹣1≤2； 解得a ≤1，即a 的取值范围是{a |a ≤1}；…（3分） （II ）（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2， ∴（ax ﹣1）（x ﹣2）﹣2＞0， ∴ax 2﹣（2a +1）x ＞0，…（4分） 当a ＝0时，集合A ＝{x |x ＜0}；…（5分）当a ＜−12时，集合A ={x|0＜x ＜2+1a }；…（6分） 当a =−12时，原不等式的解集A 为空集；…（7分） 当−12＜a ＜0时，集合A ={x|2+1a ＜x ＜0}；…（8分） 当0＜a ≤1时，集合A ={x|x ＜0或x ＞2+1a}．…（9分）四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．【解答】解：要使函数y =√x +1+√3−x 的解析式有意义， 自变量x 须满足：的解：要要{x +1≥03﹣x ≥0 即∴{x ＜−1x ≤3解得∴﹣1≤x ≤3∴y =√x +1+√3−x 定义域为[﹣1，3] 故答案为：[﹣1，3]19．【解答】解：∵f （x ）=11+x 2，∴f （1x ）=x 21+x 2，∴f （x ）+f （1x）=11+x 2+x 21+x 2=1， ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14） ＝f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （13）+f （4）+f （14）＝312，故答案为：312．20．【解答】解：x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5， 则√xy=√xy=√xy=2√xy +6xy； 由基本不等式有： 2√xy 6xy ≥2√2√xy ⋅6xy=4√3； 当且仅当2√xy =6xy 时，即：xy ＝3，x +2y ＝5时，即：{x =3y =1或{x =2y =32时；等号成立， 故(x+1)(2y+1)√xy的最小值为4√3；故答案为：4√321．【解答】解：①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元）， 即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得（m ﹣x ）×80%≥m ×70%， 即有x ≤m8恒成立， 由题意可得m ≥120， 可得x ≤1208=15， 则x 的最大值为15元． 故答案为：130，1522．【解答】解：∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝|x ﹣a |﹣a （a ∈R ），得f （x ）={|x −a|−a ，x ＞00，x =0−|x −a|+a ，x ＜0，f （x +20）＞f （x ），∵f （x ）为R 上的“20型增函数”， ∴f （x +20）＞f （x ），当x ≥0时，|20+x ﹣a |﹣a ＞|x ﹣a |﹣a ，式子|x +20﹣a |＞|x ﹣a |的几何意义为数轴上到点a 的距离小于到点a ﹣20的距离， 又x ＞0，∴a +a ﹣20＜0，解得a ＜10；当x ＜0＜x +20时，|x +20﹣a |﹣a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20﹣a |+|x +a |＞2a 恒成立， ∴根据几何意义得|2a ﹣20|＞2a ，即a ＜5；当x ＜x +20＜0时，﹣|x +20+a |+a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20+a |＜|x +a |恒成立， ∴﹣a ﹣a ﹣20＞0，即a ＜10． ∴实数a 的取值范围是a ＜5． 故答案为：（﹣∞，5）五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 23．【解答】解：（1）由题意△≥0， ∴16﹣8k ≥0， ∴k ≤2．（2）由题意k ＝2，方程x 2﹣4x +2k ＝0的根，x 1＝x 2＝2， ∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的一个根为2， ∴4﹣4m +3m ﹣1＝0， ∴m ＝3，方程为x 2﹣6x +8＝0， ∴x ＝2或4，∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的另一个根为4．24．【解答】（Ⅰ）解法一：因为f （x ）＝（x ﹣2）（x +a ）＝x 2+（a ﹣2）x ﹣2a ， 所以，f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2． 由2−a 2=1，得a ＝0．解法二：因为函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 所以必有f （0）＝f （2）成立， 所以﹣2a ＝0，得a ＝0．（Ⅱ）解：函数f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2．①当2−a 2≤0，即 a ≥2时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （0）＝﹣2a ．②当0＜2−a 2＜1，即 0＜a ＜2时， 因为f （x ）在区间(0，2−a 2)上单调递减，在区间(2−a 2，1)上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f(2−a 2)=−(2+a 2)2．③当2−a 2≥1，即 a ≤0时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递减，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （1）＝﹣（1+a ）．25．【解答】解：（1）因为函数y ＝x 2的值域是[0，+∞），且y ＝x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]， 所以[a ，b ]⊆[0，+∞），所以a ≥0，从而函数y ＝x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{a 2=a b 2=b.解得{a =0，或a =1b =0，或b =1.又a ＜b ，所以{a =0b =1.所以函数y ＝x 2的“保值”区间为[0，1]．…（3分） （2）若函数y ＝x 2+m （m ≠0）存在“保值”区间，则有：①若a ＜b ≤0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递减，所以 {a 2+m =b b 2+m =a.消去m 得a 2﹣b 2＝b ﹣a ，整理得（a ﹣b ）（a +b +1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b +1＝0，即 a ＝﹣b ﹣1．又{b ≤0−b −1＜b所以 −12＜b ≤0． 因为 m =−b 2+a =−b 2−b −1=−(b +12)2−34(−12＜b ≤0)，所以 −1≤m ＜−34．…（6分） ②若b ＞a ≥0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递增，所以 {a 2+m =a b 2+m =b.消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以 a +b ﹣1＝0，即 b ＝1﹣a ．又{a ≥0a ＜1−a所以 0≤a ＜12． 因为 m =−a 2+a =−(a −12)2+14(0≤a ＜12)，所以 0≤m ＜14．因为 m ≠0，所以 0＜m ＜14．…（9分）综合①、②得，函数y＝x2+m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是[−1，−34)∪(0，14)．…（10分）。
2018-2019学年北京市汇文中学高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2018-2019学年北京市汇文中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）1. 集合A ={x|sinx >0}，B ={x|cosx <0}，则A ∩B =( )A. {x|2kπ<x <2kπ+π2,k ∈Z} B. {x|2kπ+π2<x <2kπ+π,k ∈Z} C. {x|2kπ+π<x <2kπ+3π2,k ∈Z}D. {x|2kπ+3π2<x <2kπ+2π,k ∈Z}2. 若θ是钝角，则与cos(2π−θ)相等的是( )A. sin(π−θ)B. cos(π−θ)C. sin(π2−θ)D. 以上都不对3. 已知幂函数f(x)=(n 2+2n −2)x n2−3n(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，则n 的值为( )A. −3B. 1C. 2D. 1或24. 函数y =|log a (x −1)|，a >0，a ≠1的单调递减区间是( )A. (0,2)B. (1,2)C. (2,+∞)D. 当0<a <1时为(1,2)，当a >1时为(2,+∞)5. 函数f(x)=sin(x +πk ),k ∈N 的一个对称轴方程为x =π3，则k 可以使( )A. 3B. 4C. 6D. 126. 已知a =5log 23.4，b =5log 43.6，c =(15)log 30.3，则( )A. a >b >cB. b >a >cC. a >c >bD. c >a >b7. 在△ABC 中，sinA =45，cosB =213，则△ABC 为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形8. 函数f(x)=sin(12x +π6)的图象是由函数f(x)=sinx 的图象经( )所得A. 先向左平移π6个单位，再将所有点的横坐标变为原来的一半 B. 先向左平移π3个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍C. 先将所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移π6个单位D. 先将所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位9.“sinx<cosx”是“tanx<1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知tanθ=−34，θ是第二象限，则sinθ+cosθ=()A. −15B. 15C. −15或15D. 7511.给出三个函数：①f(x)=e x−e−x2；②g(x)=x−sinx；③ℎ(x)=4x2−4x+4−3sinπx．其中只有1个零点的函数个数为()A. 0B. 1C. 2D. 312.已知函数f(x)=sinx，若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1<x2<⋯<x m≤6π，且|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x m−1)−f(x m)|=12(m≥2,m∈N∗)，则m的最小值为()A. 6B. 7C. 8D. 9二、单空题（本大题共6小题，共18.0分）13.log218+2ln1=______．14.函数y=2sin(2x+1)的最小正周期是______．15.sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是______．16.如果角θ的终边经过点(sin(−π3),cosπ3)，那么tanθ的值是______．17.小强在给小明描述一个函数f(x)的条件时，说了3个条件：①f(x)是奇函数或偶函数(小强虽然记忆模糊，但肯定是二者之一)；②对∀x∈(−∞,+∞)，都有f(x+1)=f(x−1)；③对∀x∈(−∞,+∞)，|f(x)|>2的解集是空集(小强说话还挺绕的)(最后小强又补充道：f(x)不是常数函数)请你结合小强的描述，写出一个符合要求的函数f(x)=______．x+φ)+k.18.如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin(π6据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共34.0分）19.已知α是第三象限的角，且sinα⋅cosα=1．2(1)求sinα+cosα的值；(2)求tanα的值．20.已知二次函数f(x)=(lga)x2+2√2x+lga的最大值为1，求a的值．)．21.已知函数f(x)=2sin(2x+π3(1)求出函数的单调递减区间；(2)用“五点法”作出函数在一个周期内的简图．22.函数f(x)=3sin(2x+π6)的部分图象如图所示．(Ⅰ)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(Ⅱ)求f(x)在区间[−π2,−π12]上的最大值和最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A ={x|sinx >0}表示位于第一和第二象限的角的集合， B ={x|cosx <0}表示位于第二和第三象限的角的集合，所以A ∩B 表示第二象限的角的集合，即为{x|x =2kπ+π2<x <2kπ+π,k ∈Z}， 故选：B ．分别考虑集合A ，B 表示的角所在的象限，由交集的定义可得所求结论．本题考查集合的交集的求法，以及三角函数值的符号，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为θ是钝角，所以cos(2π−θ)=cosθ<0， 对于A ，sin(π−θ)=sinθ>0，错误； 对于B ，cos(π−θ)=−cosθ>0，错误； 对于C ，sin(π2−θ)=cosθ<0，正确； 对于D ，结论错误． 故选：C ．由已知利用诱导公式即可求解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】 【分析】本题考查幂函数的性质及其应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 由幂函数f(x)=(n 2+2n −2)x n2−3n(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，知{n 2+2n −2=1n 2−3n <0，且n 2−3n 是偶数，由此能求出n 的值．【解答】解：∵幂函数f(x)=(n 2+2n −2)x n 2−3n(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，∴{n2+2n−2=1n2−3n<0，且n2−3n是偶数，解得n=1．故选B．4.【答案】B【解析】解：函数y=|log a(x−1)|的定义域为(1,+∞)，过定点(2,0)，①当a>1时，y=log a(x−1)在(1,+∞)上单调递增，在(1,2)上，y=log a(x−1)<0，∴y=|log a(x−1)|=−log a(x−1)单调递减，在(2,+∞)上，y=log a(x−1)>0，∴y=|log a(x−1)|=log a(x−1)单调递增，②当0<a<1时，y=log a(x−1)在(1,+∞)上单调递减，在(1,2)上，y=log a(x−1)>0，∴y=|log a(x−1)|=log a(x−1)单调递减，在(2,+∞)上，y=log a(x−1)<0，∴y=|log a(x−1)|=−log a(x−1)单调递增，综上所述，函数y=|log a(x−1)|的单调递减区间是(1,2)，故选：B．先求出函数y=|log a(x−1)|的定义域和过定点坐标，对a分情况讨论，根据对数函数的图像和性质，分别得到函数的单调递减区间即可．本题主要考查了对数函数的单调性，考查了函数图像的变换，是基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f(x)=sin(x+πk ),k∈N的一个对称轴方程为x=π3，则π3+πk=π2+mπ，m∈Z，可得：k=116+ m，当m=0时，k=6．故选：C．根据正弦函数的性质即可求解．本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象特征以及对称轴方程的求法，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵c=5−log30.3=5log3103，a=5log23.4，b=5log43.6，∵log43.6=log 223.61=12log23.6∴结合图象y=log2x可知，log23.4>12log23.6，∴结合y=log2x和y=log3x可知，log23.4>log3103>12log23.6，∵函数y=5x是增函数，∴a>c>b故选：C．利用指数与对数函数的运算性质即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由sinA=45，cosB=213，知sinB=√16513，cosA=±√1−sin2A=±35，则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，进行分情况讨论，若cosA=−35，即A为钝角时，有sinC=45×213+√16513×(−35)<0，与C为三角形内角矛盾，故cosA=35，可得cosC=−cos(A+B)=sinAsinB−cosAcosB=45×√16513−35×213>0，推知△ABC为锐角三角形．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，cosA=±35，分情况讨论可得cosA=35，利用两角和的余弦公式可求cosC>0，推知△ABC为锐角三角形，即可得解．本题必须计算三个角的余弦值来确定三角形的具体形状，中间涉及分类讨论和较为复杂的计算，对学生的代数思维和计算能力要求较高，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：把y=sinx的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，可得函数y=sin x2的图象，再向左平移π3个单位，可得函数y=sin12(x+π3)=sin(12x+π6)的图象．故选：D．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求解．本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了函数思想，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：如图根据正余弦函数、正切函数的图像特征可知，当sinx<cosx时，x∈(−34π+2kπ,14π+2kπ)(k∈Z)，则此时tanx<1不成立；当tanx<1时，x∈(−12π+kπ,14π+kπ)(k∈Z)，此时sinx<cosx也不成立，故“sinx<cosx”是“tanx<1”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据充要条件的定义进行判断即可．本题考查充要条件的判定，涉及正余弦函数的性质，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：∵θ是第二象限，∴sinθ>0，cosθ<0，∵tanθ=sinθcosθ=−34，可得cosθ=−43sinθ，又sin2θ+cos2θ=1，∴sin2θ+(−43sinθ)2=1，解得sinθ=35，可得cosθ=−45，∴sinθ+cosθ=−15．故选：A．根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解．本题主要考查了三角函数的同角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：∵f′(x)=e x+e−x2>0，∴f(x)在R上单调递增，又∵f(0)=0，∴函数f(x)只有一个零点；∵g′(x)=1−cosx≥0，∴g(x)在R上单调递增，又∵g(0)=0，∴函数g(x)只有一个零点；∵4x2−4x+4=4(x−12)2+3≥3，3sinπx≤3，且当且仅当x=12时，4x2−4x+4=3sinπx=3，∴函数ℎ(x)只有一个零点；故选：D．f′(x)=e x+e−x2>0，且f(0)=0，即可判断函数f(x)只有一个零点，同理可判断函数g(x)只有一个零点，由4x2−4x+4=4(x−12)2+3≥3，3sinπx≤3，且当且仅当x=12时，4x2−4x+4=3sinπx=3，即可得函数ℎ(x)只有一个零点．本题考查了导数的综合应用及函数的零点与函数单调性的关系应用，是中档题．12.【答案】C【解析】解：∵y=sinx对任意x i，x j(i,j=1,2,3,…,m)，都有|f(x i)−f(x j)|≤f(x)max−f(x)min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i(i=1,2,3,…,m)取得最高点，考虑0≤x1<x2<⋯<x m≤6π，|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x m−1)−f(x m)|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故选：C．由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j(i,j=1,2,3,…,m)，都有|f(x i)−f(x j)|≤f(x)max−f(x)min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i(i=1,2,3,…,m)取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．本题考查正弦函数的图象和性质，考查转化思想方法，属于难题．13.【答案】−2+2ln1=−3+1=−2．【解析】解：log218故答案为：−2．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】π=π，【解析】解：函数y=2sin(2x+1)的最小正周期为T=2π2故答案为：π．由题意利用正弦函数的周期公式即可得出结论．本题主要考查正弦函数的周期的求法，属于基础题．15.【答案】sin2>sin1>sin3>sin4【解析】解：∵1是第一象限，2，3是第二象限，4是第三象限，∴sin4<0，sin2>sin3>0，∵sin1=sin(π−1)，且2<π−1<3，∴sin2>sin(π−1)>sin3，即sin2>sin1>sin3>sin4，故答案为：sin2>sin1>sin3>sin4根据正弦函数的图象和性质结合三角函数的诱导公式和函数的单调性即可得到结论．本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数的诱导公式以及正弦函数的单调性是解决本题的关键．16.【答案】√33【解析】解：∵角θ的终边经过点(sin(−π3),cosπ3)，∴角θ的终边经过点(−√32,12 )，∴那么tanθ=yx =12−√32=−√33．故答案为：√33．由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．17.【答案】sinπx【解析】解：由题意可知，若f(x)=sinπx，f(−x)=−sinπx=−f(x)，f(x)是奇函数，满足①，②对∀x∈(−∞,+∞)，都有f(x+1)=f(x−1)，即f(x+2)=f(x)，f(x)的周期是2，而f(x)=sinπx的最小正周期T=2ππ=2，满足②，又f(x)=sinπx∈[−1,1]，|f(x)|<1，对∀x∈(−∞,+∞)，|f(x)|>2的解集是空集，满足③，综上，f(x)=sinπx，符合条件．故答案为：f(x)=sinπx(答案不唯一)．有条件①可得函数的奇偶性，②可得函数的周期性，③可得函数的值域，结合这三项写出适合的函数即可．本题主要考查了函数的奇偶性、周期性和值域，是中档题．18.【答案】8【解析】解：∵由题意可得：y min=−3+k=2，∴可解得：k=5，∴y max=3+k=3+5=8，故答案为：8．由图象观察可得：y min=−3+k=2，从而可求k的值，从而可求y max=3+k=3+5= 8．本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．19.【答案】解：因为α是第三象限的角，且sinα⋅cosα=1，2所以sinα<0，cosα<0，tanα<0，(1)sinα+cosα=−√(sinα+cosα)2=−√1+2sinαcosα=−√1+2×1=−√2；2=0，(2)因为(sinα−cosα)2=sin2α+cos2α−2sinαcosα=1−2×12=1．所以sinα=cosα，可得tanα=sinαcosα【解析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．(2)由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．20.【答案】解：∵二次函数f(x)=(lga)x2+2√2x+lga的最大值为1，∴lga<0，即0<a<1，令t=lga<0，则f(x)=tx2+2√2x+t对称轴为−√2t，∴f(−√2t )=1即t⋅(−√2t)2+2√2×(−√2t)+t=1化简得t2−t−2=0，解得t=−1或2(舍)，∴t=lga=−1，∴a=110，故a的值为110．【解析】根据题意考虑用换元法求函数的最值，求得对称轴处得函数的最大值为1，再求a的值．本题考查二次函数的最值问题，用换元法先求函数的最值，再得a的值，属于容易题．21.【答案】解：(1)对于函数f(x)=2sin(2x+π3)，令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，得π12+kπ≤x≤7π12+kπ(k∈Z)，可得函数f(x)的递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ]，(k∈Z)．(2)列表如下：图象如图：【解析】(1)根据正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到函数f(x)的递减区间；(2)分别令2x+π3=0、π2、π、3π2、2π，得到相应的x的值及y的值，由此得到函数在一个周期内图象上的关键的点，描出这五个点的坐标再连成平滑的曲线，即可得到函数在一个周期内的图象．本题给出正弦型三角函数，求它的单调区间并作出一个周期内的图象，着重考查了三角函数的单调性、三角函数的图象作法等知识，属于基础题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=3sin(2x+π6)，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，可知y0为函数的最大值3，此时，可知，当k=1时，x0=7π6，y0=3;(Ⅱ)∵x∈[−π2,−π12]，∴2x+π6∈[−5π6,0]，∴当2x+π6=0，即x=−π12时，f(x)取最大值0，当2x+π6=−π2，即x=−π3时，f(x)取最小值−3【解析】(Ⅰ)由题目所给的解析式和图象可得所求；(Ⅱ)由x∈[−π2,−π12]可得2x+π6∈[−5π6,0]，由三角函数的性质可得最值．本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．。
【精品高一数学试卷】2019-2020北京高一(上)期中+答案
2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知集合A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，那么A∩B＝（）A．{1，3，5，6，8}B．{6，8}C．{3，5}D．{1，6，8} 2．（3分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b23．（3分）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②y=√x；③y=−1x；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．（3分）如果幂函数f（x）＝x a的图象经过点（2，4），则f（x）在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值6．（3分）已知a＞0，那么a−2+4a的最小值是（）A．1B．2C．4D．5 7．（3分）下列函数中，与函数y＝x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=√x2B．y=x2x C．y=√x23D．y=(√x)28．（3分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 10．（3分）函数f(x)={x 2，x ≥tx ，0＜x ＜t （t ＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t 的取值范围是（ ） A ．1B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）11．（3分）若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有f （x ）+f （﹣x ）＝0； （2）对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数：①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝﹣x 3；③f(x)=x −1x ；④f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0．其中是“理想函数”的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．（3分）对于集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（ ）①如果P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，那么P ⊆M ； ②如果c ＝4n +2，n ∈Z ，那么c ∉M ； ③如果a 1∈M ，a 2∈M ，那么a 1a 2∈M ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0二、填空题13．（3分）已知函数f(x)={1，x ≥0−2x ，x ＜0，如果f （m ）＝4，那么实数m 的值为 ．14．（3分）已知二次函数f （x ）满足如表所给对应关系：x 1 2 4 f （x ）﹣1则不等式f （x ）＜0的解集为 ．15．（3分）命题“∀x ∈R ，|x |+1≥1”的否定是 ．16．（3分）函数y ＝f （x ）（x ≠0）是奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，函数y ＝f （x ）单调递增．若f （1）＝0，则f （﹣1）＝ ；不等式f （x ）＜0的解集为 ． 17．（3分）若“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ． 18．（3分）已知函数f(x)=4√mx −2mx+1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．19．（3分）设函数f （x ）＝x ﹣[x ]（x ≥0），其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[√3]=1，[2]＝2．若函数y ＝kx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是 ．20．（3分）已知函数f(x)={x +4x ，0＜x ＜4−x 2+10x −20，x ≥4，若有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的值为 ，若存在0＜x 1＜x 2＜x 3＜x 4，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 ． 三、解答题21．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3≤0}，B ={x|1x−1＞0}． （1）求（∁R B ）∪A ；（2）若集合C ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）＜0}（a ∈R ），且C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 22．函数f （x ）=ax+b 1+x 2是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （12）=25．（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）用定义证明f （x ）在（﹣1，1）上是增函数； （3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．23．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f （x ）={30，0＜x ≤302x +1800x −90，30＜x ＜100（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．24．设函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （f （x ））的定义域交集为D ，集合M 是由所有具有性质：“对任意的x ∈D ，都有f （f （x ））＝x ”的函数f （x ）组成的集合．（1）判断函数f （x ）＝2x ﹣1和g(x)=1x是不是集合M 中的元素？并说明理由． （2）设函数f （x ）∈M ，且f （x ）＝kx +b （k ≠0），试求函数f （x ）的解析式． （3）已知f(x)=axx+b ∈M ，试求实数a ，b 应满足的关系．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{3，5}．故选：C．2．【解答】解：∵a＞b，∴a+c＞b+c，∴A正确．故选：A．3．【解答】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①y＝﹣x2+1，为二次函数，在（0，+∞）上是减函数；对于②y=√x，在（0，+∞）上是增函数；对于③y=−1x，为反比例函数，在（0，+∞）上是增函数；对于④y＝|x|，当x＞0时，y＝x，即其在（0，+∞）上是增函数；故选：A．4．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）＝2，又由函数为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，故选：B．5．【解答】解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，4），∴f（2）＝2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（x）在定义域先递减再递增，有最小值，故选：C．6．【解答】解：根据题意，a−2+4a=a+4a−2，又由a＞0，则a−2+4a=a+4a−2≥2√a×4a−2＝2，当且仅当a＝2时等号成立，即a−2+4a的最小值是2；故选：B．7．【解答】解：判断与y＝x（x≥0）是否有相同图象，即是判断哪个函数与y＝x（x≥0）表示同一个函数，A.y=√x2=|x|，解析式不同，不是同一个函数；B.y=x2x的定义域为{x|x≠0}，而y＝x（x≥0）的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C.y=√x23=x23，解析式不同，不是同一个函数；D.y=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，定义域和解析式都相同，是同一个函数．故选：D．8．【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．9．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1 升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1 升，故行驶1 小时，路程为80km，燃油为8 升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；故选：D．10．【解答】解：∵y＝x2和y＝x在（0，+∞）上都是增函数，要想函数f(x)={x2，x≥tx，0＜x＜t（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，只需在端点处y＝x2的图象在y＝x的上方即可，∴t2≥t解得t≥1，故选：D．11．【解答】解：若f（x）是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则函数f （x ）是奇函数；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，即（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，∴x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2），即函数f （x ）是单调递减函数． 故f （x ）为定义域上的单调递减的奇函数．①f （x ）＝x 2在定义域R 是偶函数，所以不是“理想函数”；②f （x ）＝﹣x 3在定义域R 上是奇函数，且在R 上单调递减，所以是“理想函数”； ③f （x ）＝x −1x在定义域所在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上分别单调递增，所以不是“理想函数”；④f （x ）={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0，在定义域R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 故选：C ．12．【解答】解：集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }， 对于①，b ＝2n +1，n ∈Z ， 则恒有2n +1＝（n +1）2﹣n 2，∴2n +1∈M ，即P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，则P ⊆M ，①正确； 对于②，c ＝4n +2，n ∈Z ，若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2＝4n +2， ∴4n +2＝（x +y ）（x ﹣y ）， 又x +y 和x ﹣y 同奇或同偶，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除， ∴4n +2∉M ，即c ∉M ，②正确； 对于③，a 1∈M ，a 2∈M ，可设a 1＝x 12﹣y 12，a 2＝x 22﹣y 22，x i 、y i ∈Z ； 则a 1a 2＝（x 12﹣y 12）（x 22﹣y 22）＝（x 1x 2）2+（y 1y 2）2﹣（x 1y 2）2﹣（x 2y 1）2＝（x1x2+y1y2）2﹣（x1y2+x2y1）2∈M那么a1a2∈M，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选：C．二、填空题13．【解答】解：当m≥0时，∵函数在x≥0时，f（x）＝1，∴f（m）＝1≠4，不合题意舍去；当m≤0时，∵函数x＜0时，f（x）＝﹣2x，∴f（m）＝﹣2m＝4，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：设函数f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），由表中数据知1和4是方程f（x）＝0的两根，又f（2）＝﹣1＜0，故此二次函数是开口向上的抛物线，并且与X轴交于两点（1，0）和（4，0），∴不等式f（x）＜0的解集为1＜x＜4．故答案为：（1，4）．15．【解答】解：命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是全称命题，其否定为特称命题，∴命题“∀x∈R，|x|+1≥1”的否定是“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．故答案为：“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．16．【解答】解：根据题意，因为函数y＝f（x）（x≠0）是奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，即f（1）＝0；当x∈（0，+∞）时，函数y＝f（x）单调递增，且f（1）＝0，则在区间（0，1）上，f （x）＜0，在区间（1，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x）＜0，综合可得：不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．17．【解答】解：因x 2﹣2x ﹣3＞0得x ＜﹣1或x ＞3，又“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知“x ＜a ”可以推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”， 反之不成立． 则a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．18．【解答】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴不等式mx 2﹣2mx +1＞0的解集为R ， ①m ＝0时，1＞0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，{m ＞0△=4m 2−4m ＜0，解得0＜m ＜1，∴实数m 的取值范围是[0，1）． 故答案为：[0，1）．19．【解答】解：画出f （x ）的示意图如下：当y ＝kx 过（3，1）时，k =13，当y ＝kx 过（4，1）时，k =14， 所以k ∈（14，13），故答案为：（14，13）．20．【解答】解：不妨设x 1、x 2、x 3、x 4按从左到右顺序排列： 如下图：当y＝4或5时，有且仅有不相等的三个正数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则当y＝4时，x1＝2，x2＝4，x3＝6，此时x1+x2+x3＝12；当y＝5时，x1＝1，x2＝4，x3＝5，此时x1+x2+x3＝11．如图，，结合上问可知，当y∈（4，5）时，存在0＜x1＜x2＜x3＜x4，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），不妨令此时y＝a，则对于x1、x2满足方程x+4x=a，即x2﹣ax+4＝0，所以x1x2＝4；对于x3、x4满足方程﹣x2+10x﹣20＝a，即﹣x2+10x﹣20﹣a＝0，所以x3+x4＝10，则有x4＝10﹣x3，所以x 1x 2x 3x 4＝4x 3x 4＝4x 3（10﹣x 3）＝﹣4（x 3﹣5）2+100，其中x 3∈（4，5），则﹣4（x 3﹣5）2+100∈（96，100），故答案为：12或11；（96，100）．三、解答题21．【解答】解：（1）A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞1}，∴∁R B ＝{x |x ≤1}，（∁R B ）∪A ＝{x |x ≤3}；（2）C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，且C ⊆A ，∴{a ≥1a +1≤3，解得1≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围为[1，2]．22．【解答】解：（1）由题意得{f(0)=0f(12)=25， 由此可解得{a =1b =0， ∴f(x)=x 1+x 2． （2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，则有f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)， ∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，1﹣x 1x 2＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴f （x ）在（﹣1，1）上是增函数．（3）f （t ﹣1）+f （t ）＜0，∴f （t ﹣1）＜﹣f （t ），即f （t ﹣1）＜f （﹣t ），∵f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴﹣1＜t ﹣1＜﹣t ＜1，解之得0＜t ＜12．23．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时，f （x ）＝2x +1800x −90＞40， 即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40−x 10； 当30＜x ＜100时， g （x ）＝（2x +1800x −90）•x %+40（1﹣x %）=x 250−1310x +58；∴g （x ）={40−x 10x 250−1310x +58； 当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．24．【解答】解：（1）对任意x ∈R ，f （f （x ））＝2（2x ﹣1）﹣1＝4x ﹣3≠x ，所以f （x ）不是集合M 中的元素；g 对任意x ≠0，（g （x ））=11x =x ，所以g （x ）是集合M 中的函数；（2）因为函数f （x ）∈M ，所以f （f （x ））＝k （kx +b ）+b ＝k 2x +（k +1）b ＝x ， 所以k 2＝1，（k +1）b ＝0，解得k ＝1，b ＝0，或k ＝﹣1，b 取任何实数，则f （x ）＝x 或f （x ）＝﹣x +b ；（3）因为f(x)=ax x+b ∈M ，所以f （f （x ））=a⋅ax x+b ax x+b +b =x ，即（a +b ）x 2﹣（a 2﹣b 2）x ＝0恒成立，故a +b ＝0．。
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中+答案
2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，2，3，4} B ．{0，4}C ．{1，2}D ．{3}2．（4分）已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为（ ） A ．a +bB ．a ﹣bC ．abD ．ab3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．f （x ）＝ln |x |B ．f （x ）＝2﹣xC ．f （x ）＝x 3D ．f （x ）＝﹣x 24．（4分）设函数D(x)={1，x ∈Q 0，x ∉Q，则f[f(−√2)]的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．不存在5．（4分）已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b6．（4分）设a 、b 是实数，则“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（4分）已知函数f （x ）=6x −log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）8．（4分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M ．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E 1和E 2，则E 1E 2的值所在的区间为（ ）A ．（1，2）B ．（5，6）C ．（7，8）D ．（15，16）二、填空题共10小题，每小题4分，共40分 9．（4分）函数f （x ）=√2x −4的定义域为 ．10．（4分）已知函数f(x)={2x ，x ＞1log 12x ，0＜x ≤1，则f(f(14))= ；若f （x ）＝1，则x＝ ．11．（4分）函数f(x)=x+2x−1（x＞1）的最小值是；取到最小值时，x＝．12．（4分）设a为常数，函数f（x）＝x2﹣6x+3，若f（x+a）为偶函数，则a＝．13．（4分）定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为．14．（4分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．15．（4分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（ⅰ）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅；（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为．16．（4分）对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f[f（x0）]＝x0，则称x0为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f[f（x）]＝x}，那么：（1）函数g（x）＝x2﹣2的“不动点”为；（2）集合A与集合B的关系是．17．（4分）若x、y∈R+，且1x+3y=4，则yx的最大值为．18．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2ax+a，其中a∈R①f（−12）＝②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．（13分）已知全集U＝R，集合P＝{x|x（x﹣2）≥0}，M＝{x|a＜x＜a+3}．（Ⅰ）求集合∁U P；（Ⅱ）若a＝1，求集合P∩M；（Ⅲ）若∁U P⊆M，求实数a的取值范围．20．（13分）解下列关于x的不等式（Ⅰ）（x﹣1）（x﹣2）＜0；（Ⅱ）|2x﹣1|＜3；（Ⅲ）x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＞0．21．（13分）已知函数f(x)=x+1 x+2．（Ⅰ）求f[f（1）]的值；（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范围；（Ⅲ）判断函数在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．22．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1，x∈[0，2]上．（Ⅰ）若a＝﹣1，则f（x）的最小值；（Ⅱ）若a=12，求f（x）的最大值；（Ⅲ）求f（x）的最小值．23．（13分）如果定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）＝1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．那么就称函数f（x）为“梦幻函数”．（Ⅰ）分别判断函数f（x）＝x与g（x）＝2x，x∈[0，1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；24．（13分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）＝ax2+bx+c 的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a＝1，b＝2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y＝x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数y=12x2+12的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．故选：C．2．【解答】解：∵In2＝a，In3＝b，又∵log32=ln2 ln3∴log32=a b故选：D．3．【解答】解：函数f（x）＝ln|x|是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意；函数f（x）＝2﹣x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f（x）＝x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）＝﹣x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，不满足题意；故选：A．4．【解答】解：∵函数D(x)={1，x∈Q 0，x∉Q，∴f（−√2）＝0，∴f[f(−√2)]=f（0）＝1．故选：B．5．【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2=log1215=log2−15−1=log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52=1log25，c＝0.50.2=(12)15=√125=1√25．而log25＞log24＝2＞√25，∴1log 25√25．∴a ＜c ， ∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．6．【解答】解：若a ＞b ＞0，则a 2＞b 2成立，若a ＝﹣2，b ＝1，满足a 2＞b 2，但a ＞b ＞0不成立， 故“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件， 故选：C ．7．【解答】解：∵f （x ）=6x−log 2x ， ∴f （2）＝2＞0，f （4）=−12＜0， 满足f （2）f （4）＜0，∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C ．8．【解答】解：lgE ＝4.8+1.5M ，∴lgE 1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE 2＝4.8+1.5×7.5＝16.05， ∴E 1＝1016.8，E 2＝1016.05， ∴E 1E 2=100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×√3＞5， ∴E 1E 2的值所在的区间为（5，6），故选：B ．二、填空题共10小题，每小题4分，共40分 9．【解答】解：由题意得：2x ﹣4≥0，解得：x ≥2， 故函数的定义域是[2，+∞）， 故答案为：[2，+∞）．10．【解答】解：函数f(x)={2x ，x ＞1log 12x ，0＜x ≤1，则f(f(14))=f （log 1214）＝f （2）＝22＝4，若f （x ）＝1，若x ＞1，可得2x ＝1，解得x ＝0（舍去）； 若0＜x ≤1，可得log 12x ＝1，解得x =12，综上可得x =12． 故答案为：4，12．11．【解答】解：∵x ＞1， ∴x ﹣1＞0，由基本不等式可得y ＝x +2x−1=x ﹣1+2x−1+1≥2√(x −1)⋅2x−1+1＝2√2+1， 当且仅当x ﹣1=2x−1即x ＝1+√2时，函数取得最小值2√2+1． 故答案为：2√2+1；1+√2．12．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣6x +3＝（x ﹣3）2﹣6，为二次函数且其对称轴为x ＝3，f （x +a ）＝（x +a ﹣3）2﹣6，为偶函数，必有a ＝3； 故答案为：313．【解答】解：∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （﹣3）＝0，得﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，由f （﹣0）＝﹣f （0），得f （0）＝0， 作出f （x ）的草图，如图所示：∴f （x ）＞0的解集为：（﹣3，0）∪（3，+∞）， 故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．14．【解答】解：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题， 则若a ＞b ＞c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣315．【解答】解：∵（ⅰ）A ∪B ＝{1，2，3，4}，A ∩B ＝∅；（ⅱ）集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素． 则A ，B 不能为空集，且A ，B 不能均为二元集合， 若A 含一个元素，则该元素只能是3，即A ＝{1} 若A 含三个元素，则元素不能有3，即A ＝{1，2，4} 故答案为：{3}或{1，2，4}（答对一个给3分）16．【解答】解：（1）∵若f （x 0）＝x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”，即即A ＝{x |f （x ）＝x }，设函数g （x ）＝x 2﹣2的“不动点”为x 0，x 02﹣2＝x 0，求得x 0＝2，或x 0＝﹣1，故A ＝{2，﹣1}．故答案为：x 0＝2，或x 0＝﹣1．（2）∵满足f [f （x 0）]＝x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”，即B ＝{x |f [f （x ）]＝x }． ∵函数g （x ）＝x 2﹣2，∴函数g [g （x ）]＝g 2（x ）﹣2＝[x 2﹣2]2﹣2＝x 4﹣4x 2+2， 由g [g （x ）]＝x 2，可得 x 4﹣4x 2+2＝x ，求得x ＝2，故B ＝{2}， ∴B ⫋A ， 故答案为：B ⫋A ．17．【解答】解：∵x 、y ∈R +，且1x+3y =4，∴y =43−13x ， ∵x ＞0，y =43−13x＞0， ∴0＜1x ＜4， 则yx =43x−13x 2=−13(1x)2+43⋅1x，结合二次函数的性质可知，当1x=2即x =12时，y x取得最大值43．故答案为：4318．【解答】解：①f （−12）＝﹣f （12）＝﹣[（12）2﹣a +a ]=−14；②因为f （x ）是R 上的奇函数，且值域为R ，所以x ＞0时，△＝（﹣2a ）2﹣4a ≥0，解得：a ≤0或a ≥1；故答案为：①−14；②（﹣∞，0]∪[1，+∞）三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U ＝R ，集合P ＝{x |x （x ﹣2）≥0}＝{x |x ≤0或x ≥2}， ∴集合∁U P ＝{x |0＜x ＜2}．（Ⅱ）a ＝1时，M ＝{x |a ＜x ＜a +3}＝{x |1＜x ＜4}． ∴集合P ∩M ＝{x |2≤x ＜4}．（Ⅲ）∵集合∁U P ＝{x |0＜x ＜2}，M ＝{x |a ＜x ＜a +3}， ∁U P ⊆M ，∴{a ≤0a +3≥2，解得﹣1≤a ≤0． ∴实数a 的取值范围是[﹣1，0]．20．【解答】解：（Ⅰ）由（x ﹣1）（x ﹣2）＜0，可得1＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |1＜x ＜2}．（Ⅱ）由|2x ﹣1|＜3，可得﹣3＜2x ﹣1＜3，求得﹣1＜x ＜2， 故原不等式的解集为（﹣1，2）．（Ⅲ）由x 2﹣（3a +1）x +2a （a +1）＞0，可得[x ﹣（2a ）][x ﹣（a +1）]＞0， 当2a ＞a +1时，即a ＞1时，不等式的解集为（﹣∞，a +1）∪（2a ，+∞）； 当2a ＝a +1时，即a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠2}；当2a ＜a +1时，即a ＜1时，不等式的解集为（﹣∞，2a ）∪（a +1，+∞）．21．【解答】解：（Ⅰ）f [f （1）]=f(23)=23+123+2=58； （Ⅱ）由f （x ）＞1得，x+1x+2＞1，化简得，1x+2＜0，∴x ＜﹣2，∴x 的取值范围为（﹣∞，﹣2）； （Ⅲ）f(x)=x+1x+2=1−1x+2，f （x ）在（﹣2，+∞）上是增函数，证明如下： 设x 1＞x 2＞﹣2，则：f(x 1)−f(x 2)=1x 2+2−1x 1+2=x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)， ∵x 1＞x 2＞﹣2，∴x 1﹣x 2＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0， ∴x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)＞0，∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（﹣2，+∞）上是增函数．22．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝﹣1时，f （x ）＝x 2+2x +1， 因为x ∈[0，2]，f （x ）min ＝1； （Ⅱ）当a =12，f （x ）＝x 2﹣x +1， 因为x ∈[0，2]，f （x ）max ＝3； （Ⅲ）当a ＜0时，f （x ）min ＝1， 当0≤a ≤2时，f （x ）min ＝1﹣a 2， 当a ＞2时，f （x ）min ＝5﹣4a ， 综上：f(x)={1a ＜01−a 20≤a ≤25−4aa ＞2．23．【解答】解：（Ⅰ）①显然，在[0，1]上满足f （x ）＝x ≥0，g （x ）＝2x ≥0； ②f （1）＝1，g （1）＝2；③若x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f （x 1+x 2）﹣[f （x 1）+f （x 2）]＝x 1+x 2﹣[x 1+x 2]＝0，即f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立；∴f （x ）＝x 是“梦幻函数”，g （x ）＝2x 不是“梦幻函数”；（Ⅱ）设x 1，x 2∈[0，1]，x 1＜x 2，则x 2﹣x 1∈（0，1]，∴f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）﹣f （x 2﹣x 1+x 1）≤f （x 1）﹣[f （x 1）+f （x 2﹣x 1）]＝﹣f （x 2﹣x 1）≤0， ∴f （x 1）≤f （x 2），∴f （x ）在[0，1]单调递增，令x 1＝x 2＝0，∵x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立， ∴0≥2f （0），又f （x ）≥0，∴f （0）＝0，∴当x ＝0时，f （x ）取最小值f （0）＝0，当x ＝1时，f （x ）取最大值f （1）＝1．24．【解答】解：（1）函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣1，0）， 可得a ﹣b +c ＝0，又a ＝1，b ＝2， 则f （x ）＝x 2+2x +1，由新定义可得g （x ）＝x 为函数f （x ）的一个承托函数；（2）假设存在常数a ，b ，c ，使得y ＝x 为函数f （x ）的一个承托函数， 且f （x ）为函数y =12x 2+12的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤12x2+12恒成立，令x＝1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a＝c；又（a−12）x2+bx+c−12≤0恒成立，可得a＜12，且b2﹣4（a−12）（c−12）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a−12）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a＝c＜12，b＝1﹣2a，可取a＝c=14，b=12．满足题意．。
2019北京汇文中学高一年级期中统一练习数学
（Ⅱ）若函数 f ( x) sin( x )( 0) 具有性质 T ，求 的最小值 ; （Ⅲ）设函数 g( x) 具有性质 T ，且存在 M 0 ，使得 x R ，都有 g(x) M 成立，求
证： g(x) 是周期函数 .
4
附加题：（本题满分 5 分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过
（Ⅱ）求函数
f
(
x)
在区间
[0,
π ]
上的取值范围
.
2
(16) （本小题共 11 分）
在△ ABC 中，点 D 是 BC 边上一点， AD 2 , AC
（Ⅰ）求 cosC 的值；
（Ⅱ）若△ ABD 的面积为 3 ，求 sin BAC 的值 . 2
7 , ADC 60 .
3
(17) （本小题共 12 分）
.
（12）已知 ,
(0, π) ， tan
1 , tan
1
，则
=
.
2
3
2
（13）在 △ ABC 中， c 4 ， B 30 ，请给出一个 b 的值，使得此三角形有两解，则 b
2
的一个值是
.
（ 14 ） 如 图 所 示 ， 在 长 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， BB1 B1D1 ，点 E 是棱 CC1 上的一个动点， 若平面 BED1 交 棱 AA1 于点 F ，给出下列命题： .
（9）已知圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则其侧面积为
.
（10）在 △ ABC 中， sin B sin C, a 3c ，则 B =______.
（11）已知正方形 ABCD 的边长为 1，将 △ ADC 沿对角线 AC 折起， 若折叠后平面 ACD ⊥平
北京市2020-2021高一上学期期中考试数学试题(含答案)
北京市高一上学期期中考试数学试题含答案考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX题号----- --- 总分得分第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2,请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1.设集合/= {见。
2,0}, B = {2,4},若4nB = {2},则实数a的值为( □A. 2B. ±2C. A/2D. ±A/22.计算log2V访的结果是O3 「「4 c _3A 4DA. §B・％ C. 一5 D. *3.下列函数中，是偶函数的是(□A. /(%) = -B. /(%) = IgxC. /(%) = e x - e^xD. /(%) = |x| X4.函数/•(%)=婕+% — 4的零点所在的区间是()A. (0Z1)B. (1 匚 2)C. (213)D. (3 二 4)5.已知f(x + l) =疝，则函数f(x)的大致图像是( 口6. g 6rZlog25nbZlog35Dc01og32,则。
二的大小关系为()A. aucZbB. aJbZcC. b% 二 cD. c二。
二b7.已知XC[1,2]二/—恒成立，则实数。
的取值范围是()A. [1^ + 00)B. (1,+8)C. (—8,1]D. (—8,1)8.设函数f(x) = 1 + [划一％,其中国表示不超过x的最大整数，若函数y = loga”的图象与函数/• (%)的图象恰有3个交点，则实数a的取值范闱是()A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4) O O ••■■••••■■••••■■••••■■••然••■■••••■■••••■■••••■■••O O••■•■••■•■••■■•■■••■•■•O•■••■••■••■•摒•■••■••■••■•O•■••■••■••■•O•■••■••■••■••■••■••■••■•O•■••■••■••■••■••■••■••■•O•■•■••■••■••■•O•■第n卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题9.计算：e lnl Z10.已知集合/= {x|x > 1}, B = {x\x > d］,若A之B,则实数a的取值范围是.11.函数/1 (x) = log a(a - a x) (0 < a < 1)的定义域为.12.己知/(')匚，则/丁(—切= ______________________________ ；若/(、)= —1,则I一X十1, X > 1X =二13.已知函数f(x) = a/ —2% —2在区间［1,+8)上不单调，则实数。
2019年汇文高三上数学期中考试
2019-2020学年度第一学期北京汇文中学期中考试高三年级 数学班级 姓名 学号一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.函数222x xy =+的最小值为（）A.1B.2C.2.己知命题p:∃c>0，方程x 2-x+c=0有解，则⌝p 为（）A.∀c>0，方程x 2-x+c=0无解B.∀c ≤0，方程x 2-x+c=0有解C.∃c>0，方程x 2-x+c=0无解D.∃c ≤0，方程x 2-x+c=0有解3.已知函数y=a x ，y=x b ,v=log c x 的图象如图所示，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a4.已知集合P={x|x 2≤1},M={a}若P ∪M=P,则a 的取值范围是（）A.(-∞,-1]B.[1，+∞)C.[-1，1]D.(-∞，-1]∪[1,+∞)5.函数f （x ）的图象向石平移1个单位长度,所得图象与y=e x ；关于y 轴对称,则f （x ）=（） A.1x e + B.1x e - C.1x e -+ D.1x e --6.函数f(x)=4 3sin x π⎛+⎫ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程为（） A.3x π=- B.6x π= C.2x π= D.23π 7.已知x ∈R,则“|x+1|+|x-2|>4”是“x<-2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（）A.-4B.-3C. -2D.-19.已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是（）A.y=f(x)的图像关于(π,0)中心对称B.y=f(x)的图像关于直线x=2π对称 C.f(x)的最大值为2D.f(x)既奇函数，又是周期函数 10.已知函数()22,0ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≤若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是（）A.(- ∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]11.若等比数列{a n }满足a 1+a 3=5,且公比q=2,则a 3+a 5=（）A.10B.13C.20D.25 12已.知{a n }是各项均为正数的等比数列,3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则1113810+=+a a a a （ A.27 B.3 C.-1或3 D.1或27二、填空题(共8小题,每小题5分，共40分.13.已知数列{a n }的n 项和S n =3n +1.则a 2+a 3=__________14.若角θ的终边过点P(3.-4).则sin(θ-π)=_____________15.已知正方形ABCD 边长为1.E 是线段CD 的中点，则AE BD ___________16.已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |=|b |=2.则a (2a-b )的值为__________17.将232，1223（），122从大到小的顺序排列应该是____________ 18.给定下列四个命题: ①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件；②若“p ∨q ”为真.则“p ∧q”为真； ③若a<b ，则am 2<bm 2； ④若集合A ∩B=A.则A ⊆B.其中为真命题的是______________ (填上所有正确命题的序号)19.在ABC 中，已知cosA=513，sinB=35,则cosC 的值为___________ 20.设当x=θ时，函数f(x)=sinx-2cosx 取得最大值，则cos θ=___________三、解答题(共4小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)21.如图，在四边形ACBD 中，cos ∠CAD=-17,∆ABC 为正三角形.(I)求cos ∠BAD 的值;(II)若,求AB 和CD 的长.23.如图，在三棱锥P-ABC 中AC=BC=2，∠ACB=90 ，AP=BP=AB ，PC ⊥AC.(I)求证:PC ⊥AB ；(I1)求二面角B-AP-C 的余弦值.23.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n ，正项等比数列{b n }滿足:b 1=a 1-1.b 4=2b 2+b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足n n n c a b =，其前n 项和为T n ，证明:32<T n <524.己知函数()sin (0)x f x x x π=<<()()(1?)g x x Inx m m R =-+∈ (I)求f(x)的单调区间；(II)求证:1是g(x)的唯一极小值点；(III)若存在a,b ∈(0,π),满足f(a)=g(b)，求m 的取值范围。
【精品高一数学试卷】2019-2020北京高一(上)期中数学+答案
2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B ＝（）A．{2，3，4，5}B．{3}C．{1，4，5}D．{1，3，4，5}2．（5分）函数f(x)=√x−1x−2的定义域是（）A．R B．{x|x＞2}C．{x|x≥1}D．{x|x≥1且x≠2} 3．（5分）若a＞b，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D．1a ＜1b4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝x2﹣2x B．y＝|x|C．y＝2x+1D．y=−√x 5．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞06．（5分）下列函数中：①y=2x②y=1(x+1)2③y＝x2+1④f(x)={x+1，x＜01−x，x＞0偶函数的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）“x＞1”是“x2﹣x＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）9．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1C．f(x)=4x D．f（x）＝x﹣|x|10．（5分）函数f（x）=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁U A ）∩B ＝ ．12．（5分）已知f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （f （﹣1））的值为 ．13．（5分）函数y ＝x 2+3x ﹣1，x ∈[﹣2，3]的值域是 ． 14．（5分）若x ＞0，则f(x)=4x +19x的最小值为 ． 15．（5分）若二次函数f （x ）的图象关于x ＝2对称，且f （a ）≤f （0）＜f （1），则实数a 的取值范围是 ．16．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （i ）男学生人数多于女学生人数； （ii ）女学生人数多于教师人数； （iii ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ． ②该小组人数的最小值为 ． 三.解答题：本大题共3小题，共30分17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，B ＝{x |x 2+4x +3＜0}，C ＝{x |2k ﹣1＜x ＜2k +3}． （1）求A ∪B ；（2）若C ⊆A ∪B ，求实数k 的取值范围． 18．（8分）已知a ，b ＞0，证明：a 3+b 3≥a 2b +ab 2．19．（12分）已知函数f（x）=2x−1a，g(x)=2x−1a（a∈R，a≠0）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分20．（4分）已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝．21．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集是．22．（4分）已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的是．（只填写序号）23．（4分）设f(x)={(x−a)2，x≤0 x+1x，x＞0．（1）当a=12时，f（x）的最小值是；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是．24．（4分）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．（10分）已知函数f（x）＝x2+a|x﹣1|．（1）当a＝2时，解方程f（x）＝2；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．26．（10分）设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．若f（x），g（x）满足①f（x）有零点；②f（x）的零点均为g（f（x））的零点；③g（f（x））的零点均为f（x）的零点．则称f（x），g（x）为一对“K函数”．（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．【解答】解：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}， ∴A ∩B ＝{3}． 故选：B ．2．【解答】解：函数f(x)=√x−1x−2中， 令{x −1≥0x −2≠0， 解得x ≥1且x ≠2，所以函数f （x ）的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}． 故选：D ．3．【解答】解：由a ＞b ，可得ac 与bc 大小关系不确定，ac 2≥bc 2，a +c 2＞b +c 2，1a与1b 的大小关系不确定． 因此只有C 确定． 故选：C ．4．【解答】解：由二次函数的性质可知，y ＝x 2﹣2x 在（0，+∞）上先减后增，故A 错误； y ＝|x |在（﹣∞，0）上为减函数，（0，+∞）上为增函数，故B 错误； 由一次函数的性质可知，y ＝2x +1在（0，+∞）上为增函数，故C 错误；由幂函数的性质可知，y =√x 在（0，+∞）上为增函数，从而有y =−√x （0，+∞）上为减函数，故D 正确； 故选：D ．5．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0 故选：B ．6．【解答】解：①由y =2x =f （x ），可得f （﹣x ）=−2x =−f （x ），即不为偶函数； ②f （x ）=y =1(x+1)2的定义域为{x |x ≠﹣1}，关于原点不对称，不是偶函数；③由二次函数的性质可知，y ＝x 2+1的图象关于y 轴对称，为偶函数； ④由f(x)={x +1，x ＜01−x ，x ＞0可得f （﹣x ）={1+x ，x ＜0−x +1，x ＞0=f （x ）是偶函数．故选：C．7．【解答】解：∵x2﹣x＞0⇔x＞1或x＜0，∴当x＞1时，x2﹣x＞0成立，当x2﹣x＞0时，x＞1不一定成立，∴“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分不必要条件．故选：A．8．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x﹣3，∴f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，由函数零点判定定理可知，函数在（1，2）上一定存在零点．故选：B．9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝（x+2）2，f（2x）＝（2x+2）2＝4（x+1）2，2f（x）＝2（x+2）2，f（2x）≠2f（x）；对于B，f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1，2f（x）＝2（x+1）＝2x+2，f（2x）≠2f（x）；对于C，f（x）=4x，f（2x）=42x=2x，2f（x）=8x，f（2x）≠2f（x）；对于D，f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2x﹣2|x|，2f（x）＝2x﹣2|x|，f（2x）＝2f（x），符合题意；故选：D．10．【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）=bc2＞0，∴b＞0，由f（x）＝0得ax+b＝0，即x=−b a，即函数的零点x=−ba＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合∁U A＝{x|x≤0或x≥2}，所以集合（∁U A ）∩B ＝{﹣3，﹣1，3}． 故答案为：{﹣3，﹣1，3}． 12．【解答】解：根据题意，f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （﹣1）＝3×（﹣1）2＝3， 则f （f （﹣1））＝f （3）＝2×3﹣1＝5； 故答案为：5．13．【解答】解：因为y ＝x 2+3x ﹣1，所以函数对称轴为x =−32，因为x ∈[﹣2，3]，所以当x =−32时，y 的值最小为(−32)2+3×(−32)−1=−134， 当x ＝3时，y 的值最大为32+9﹣1＝17， 所以函数的值域为[−134，17]． 故答案为：[−134，17]． 14．【解答】解：∵x ＞0，∴4x +19x ≥2√4x ⋅19x =43（当且仅当4x =19x 即x =16时，取“＝”号）， ∴当x =16时，f （x ）最小值为43．故答案为：43．15．【解答】解：由题意可知二次函数f （x ）的对称轴为x ＝2， 因为f （0）＜f （1），所以f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，所以二次函数f （x ）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． ①当a ∈（﹣∞，2）时：{a ＜2a ≤0，解得a ≤0．②当a ∈（2，+∞）时：因为f （4）＝f （0）， 所以{a ＞2a ≥4，解得a ≥4．综上所求：a ≤0或a ≥4． 故答案为：a ≤0或a ≥416．【解答】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则{x＞yy＞42×4＞x，即4＜y＜x＜8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则{x＞yy＞z2z＞x，即z＜y＜x＜2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12三.解答题：本大题共3小题，共30分17．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x2+4x+3＜0}＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，则A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞3}；（2）由C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}，且C⊆A∪B，令2k﹣1≥3或2k+3≤﹣1，解得k≥2或k≤﹣2，所以实数k的取值范围是k≤﹣2或k≥2．18．【解答】证明：（a3+b3）﹣（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，（a﹣b）2≥0，∴（a﹣b）2（a+b）≥0，则有a3+b3≥a2b+b2a．19．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）=2x−1．∵f（x）＞0，∴2x−1＞0，∴0＜x＜2，∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}；（2）f （x ）+g （x ）=2x −1a +2x −1a =2x +2x −2a， ∵f （x ）+g （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立， ∴2a ≤2x+2x 在（0，+∞）上恒成立，∴只需2a≤(2x+2x)min ．∵当x ＞0时，2x+2x ≥2√2x⋅2x =4，当且仅当x ＝1时取等号，∴(2x +2x)min =4，∴2a≤4，∴a ＜0或a ≥12，∴a 的取值范围为（﹣∞，0）∪[12，+∞）．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 20．【解答】解：∵M ＝{0，1，2，3}，N ＝{0，2，4，6}， ∴M ∩N ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．21．【解答】解：根据绝对值的意义可得，|x ﹣1|+|x +2|表示数轴上的x 对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而﹣3、2对应点到1和﹣2对应点的距离之和正好等于5， 故不等式|x ﹣1|+|x +2|≤5的解集是[﹣3，2]， 故答案为：[﹣3，2]．22．【解答】解：已知x ＞y ＞z ，x +y +z ＝0，则①x ＞0，y ＞0，z ＜0，②x ＞0，y ＜0，z ＜0，③x +z ＝0，y ＝0．所以①xz ＜yz 正确．②xy ＞yz ，不正确．③xy ＞xz ，正确．④x |y |＞z |y |，不正确． 故答案为：①③．23．【解答】解：（1）当a =12时，当x ≤0时，f （x ）＝（x −12）2≥（−12）2=14， 当x ＞0时，f （x ）＝x +1x≥2√x ⋅1x=2，当且仅当x ＝1时取等号， 则函数的最小值为14，（2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件．若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数， 则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2，要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2≤2，即0≤a ≤√2， 即实数a 的取值范围是[0，√2]， 故答案为：14，[0，√2]．24．【解答】解：解：由题意集合M ＝{x ∈N *|1≤x ≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A 1＝{1，4，5，6，7}，A 2＝{3，12，13，14，15}，A 3＝{2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3取最小值：X 1+X 2+X 3＝8+18+13＝39，当A 1＝{1，4，5，6，15}，A 2＝{2，7，8，9，14}，A 3＝{3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3＝16+16+16＝48，当A 1＝{1，2，3，4，15}，A 2＝{5，6，7，8，14}，A 3＝{9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3取最大值：X 1+X 2+X 3＝16+19+22＝57， ∴X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为：39+57＝96． 故答案为：96．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2+2|x ﹣1|＝2． 当x ＜1时，x 2+2（1﹣x ）＝2，x 2﹣2x ＝0，得x ＝0； 当x ≥1时，x 2+2（x ﹣1）＝2，x 2+2x ﹣4＝0，得x =√5−1． 综上，方程f （x ）＝2的解为x ＝0或x =√5−1．（2）x ≥1时，f （x ）＝x 2+a （x ﹣1）＝x 2+ax ﹣a 在[1，+∞）上单调递增， 则x =−a2≤1，故a ≥﹣2； 0≤x ＜1时，f （x ）＝x 2﹣ax +a ，x =a2≤0，故a ≤0． 且1﹣a +a ≤1+a ﹣a 恒成立．综上，实数a 的取值范围是[﹣2，0]．26．【解答】解：（1）若f （x ），g （x ）为任意一对“K 函数”，求d 的值；由f （x ）＝x +1＝0，得x ＝﹣1，所以g （f （﹣1））＝g （0）＝1，故x ＝﹣1不是g （f （x ））的零点，故不满足②，所以不是一对“K 函数”，（2）设r 为方程的一个根，即f （r ）＝0，则由题设得g （f （r ））＝0． 于是，g （0）＝g （f （r ））＝0，即g （0）＝d ＝0．所以d ＝0，反之g （f （x ））＝f （x ）[f 4（x ）+bf （x ）+cf （x ））＝0，则f （x ）＝0成立，故d ＝0；（3）因为d ＝0，由a ＝1，f （1）＝0得b ＝﹣c ，所以f （x ）＝bx 2+cx ＝﹣cx （x ﹣1），g （f （x ））＝f （x ）[f 2（x ）﹣cf （x ）+c ]， 由f （x ）＝0得x ＝0，1，可以推得g （f （x ））＝0，根据题意，g （f （x ））的零点均为f （x ）的零点，故f 2（x ）﹣cf （x ）+c ＝0必然无实数根 设t ＝﹣cx （x ﹣1），则t 2﹣ct +c ＝0无实数根，当c ＞0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≤c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24， 所以h （t ）min ＝h （c4）＞0，即c 216−c 24+c ＞0，解得c ∈（0，163），当c ＜0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≥c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24，所以h （t ）min ＝h （c2）＞0，即c −c 24＞0，解得c ∈（0，4），因为c ＜0，显然不成立，当c ＝0时，b ＝0，此时f （x ）＝0在R 上恒成立，g （f （x ））＝c ＝0也恒成立， 综上：c ∈[0，163）．。
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中数学+答案 (2)
2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．（5分）设集合M ＝{m ∈Z |﹣3＜m ＜2}，N ＝{n ∈Z |﹣1≤n ≤3}，则M ∩N ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，0，1}C ．{0，1，2}D ．{﹣1，0，1，2}2．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ） A ．y =|x|x 与y ＝1 B ．y =√(x −1)2与y ＝x ﹣1 C ．y =x 2x 与y ＝xD ．y =x 3+xx 2+1与y ＝x 3．（5分）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（ ） A ．y ＝﹣x +1B ．y ＝x 2﹣4x +5C ．y =√xD ．y =1x4．（5分）命题“对任意a ∈R ，都有a 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0 B ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0 C ．存在a ∈R ，使得a 2≥0D ．存在a ∉R ，使得a 2＜05．（5分）已知函数f （x ）的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f [f （13）]＝（ ）A ．−13B ．13C ．−23D ．236．（5分）已知a ，b 是实数，则“a ＞b ＞0且c ＜d ＜0”是“ad＜b c ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知集合M ={x ∈R |#/DEL/##/DEL/#5−|2x −3|为正整数}，则M 的所有非空真子集的个数是（ ） A ．30B ．31C ．510D ．511二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 9．（5分）方程组{3x +y =22x −3y =27的解集用列举法表示为 ．10．（5分）已知函数f(x)={x +2，x ≤0−x +2，x ＞0，则方程f （x ）＝x 2的解集为 ．11．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 12．（5分）若函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣1）x +2在区间（1，4）上不是单调函数，那么实数a 的取值范围是 ．13．（5分）几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ）时给出了下面几个结论： ①函数f （x ）的值域为（﹣1，1）； ②若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）； ③f （x ）在（0，+∞）是增函数；④若规定f 1（x ）＝f （x ），且对任意正整数n 都有：f n +1（x ）＝f （f n （x ）），则f n (x)=x1+n|x|对任意n ∈N *恒成立．上述结论中正确结论的序号为 ．14．（5分）函数f （x ）＝2x 2﹣4x +1，g （x ）＝2x +a ，若存在x 1，x 2∈[12，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．（10分）设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2﹣7x +3≤0}，B ＝{x |x 2+a ＜0}．（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．16．（10分）已知二次函数f（x）＝x2+2bx+c（b，c∈R）．（1）已知f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤1}，求实数b，c的值；（2）已知c＝b2+2b+3，设x1、x2是关于x的方程f（x）＝0的两根，且（x1+1）（x2+1）＝8，求实数b的值；（3）若f（x）满足f（1）＝0，且关于x的方程f（x）+x+b＝0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b的取值范围．17．（10分）已知函数f(x)=x+4 x．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）指出该函数在区间（0，2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数g(x)={f(x)，x＞05，x=0−f(x)，x＜0，当x∈[﹣1，t]时g（x）的取值范围是[5，+∞），求实数t的取值范围．（只需写出答案）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．（6分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如表：x123f（x）213x123g（x）321则方程g[f（x）]＝x+1的解集为（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3} 19．（6分）已知f（x）是定义在（﹣4，4）上的偶函数，且在（﹣4，0]上是增函数，f（a）＜f（3），则a的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣4，﹣3）∪（3，4）20．（6分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +5在x ∈[1，3]上有零点，则正数a 的所有可取的值的集合为（ ） A ．[73，3]B ．[√5，+∞)C ．[√5，3]D ．(0，√5]五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 21．（6分）已知函数f(x)=√1−x +√x +3，则函数f （x ）的最大值为 ，函数f （x ）的最小值点为 ．22．（6分）关于x 的方程g （x ）＝t （t ∈R ）的实根个数记为f （t ）． （1）若g （x ）＝x +1，则f （t ）＝ ；（2）若g(x)={x ，x ≤0，−x 2+2ax +a ，x ＞0，（a ∈R ），存在t 使得f （t +2）＞f （t ）成立，则a 的取值范围是 ．23．（6分）对于区间[a ，b ]（a ＜b ），若函数y ＝f （x ）同时满足： ①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ），x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]， 则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间． （1）写出函数y ＝x 2的一个“保值”区间为 ；（2）若函数f （x ）＝x 2+m （m ≠0）存在“保值”区间，则实数m 的取值范围为 ． 六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．（14分）已知x 为实数，用[x ]表示不超过x 的最大整数． （1）若函数f （x ）＝[x ]，求f （1.2），f （﹣1.2）的值； （2）若函数f(x)=[x+12]−[x2](x ∈R)，求f （x ）的值域； （3）若存在m ∈R 且m ∉Z ，使得f （m ）＝f （[m ]），则称函数f （x ）是Ω函数，若函数f(x)=x +ax是Ω函数，求a 的取值范围．2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{﹣1，0，1}，故选：B．2．【解答】解：针对选项A：y=|x|x的定义域为{x|x≠0}，函数y＝1的定义域为x∈R，故错误．对于选项B：y=√(x−1)2=|x−1|和函数y＝x﹣1不相等，故错误．对于选项C：y=x2x的定义域为{x|x≠0}，函数y＝x的定义域为x∈R，故错误．对于选项D：y=x3+xx2+1的定义域为x∈R，函数y＝x的定义域为x∈R，故正确．故选：D．3．【解答】解：对于选项：A由于y＝﹣x+1在实数范围内为减函数，故错误．对于选项：B由于函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，该函数为开口方向向上，对称轴为x ＝2的抛物线，故函数的图象在（0，2）上单调递减，故错误．对于选项：C函数的图象为第一象限内的幂函数，由于α=12，所以函数的图象单调递增，故正确．对于选项：D函数的图象为双曲线，所以函数y=1x在（0，2）上单调递减，故错误．故选：C．4．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为：存在a0∈R，使得a02＜0．故选：B．5．【解答】解：由图象知f（x）={x+1(−1＜x＜0) x−1(0＜x＜1)∴f(13)=13−1=−23，∴f(f(13))=f(−23)=−23+1=13． 故选：B ．6．【解答】解：当c ＜d ＜0，所以1d＜1c ＜0，故−1d ＞−1c ＞0，由于a ＞b ＞0， 所以−ad ＞−bc ＞0， 故ad＜b c ．但是a d＜b c，整理得ac−bd cd＜0，整理不出a ＞b ＞0且c ＜d ＜0．故“a ＞b ＞0且c ＜d ＜0”是“ad＜b c ”的充分而不必要条件． 故选：A ．7．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图， 可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项， 故选：C ．8．【解答】解：集合M ={x ∈R |#/DEL/##/DEL/#5−|2x −3|为正整数}，故5﹣|2x ﹣3|＞0，整理得|2x ﹣3|＜5，即﹣5＜2x ﹣3＜5， 解得﹣1＜x ＜4， 由于集合M 为正整数，所以M ＝{−12，0，12，1，32，2，52，3，72}，故集合M 的所有非空真子集的个数是29﹣2＝510． 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 9．【解答】解：{3x +y =22x −3y =27整理得{9x +3y =62x −3y =27，解得{x =3y =−7，转换为列举法为{（3，﹣7）}． 故答案为：{（3，﹣7）}．10．【解答】解：根据函数的解析式f(x)={x +2，x ≤0−x +2，x ＞0，当x≤0时，x+2＝x2，解得x＝2或﹣1，（正值舍去），故x＝﹣1．当x＞0时，﹣x+2＝x2，解得x＝﹣2或1（负值舍去），故x＝1．所以解集为{﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}．11．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6+4x≥4×2×√900x⋅x=240（万元）．当且仅当x＝30时取等号．故答案为：30．12．【解答】解：根据函数的图象，函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴方程为x＝1﹣a，由于函数在区间（1，4）上不是单调函数，所以1＜1﹣a＜4，解得：﹣3＜a＜0．故答案为：（﹣3，0）．13．【解答】解：①正确；∵|x|＜1+|x|，∴x1+|x|∈(−1，1)，故函数值域（﹣1，1）．②正确；f（x）=x1+|x|是一个奇函数，当x≥0时，f（x）=x1+x=1−11+x，可得函数f（x）在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f（x）=x1+|x|(x∈R)是一个增函数，∴x1≠x2，一定有f（x1）≠f（x2）；③正确；由②可知f（x）在（0，+∞）是增函数．④正确；当n＝1时，f1（x）＝f（x）=x1+|x|，f2（x）=x1+|x|1+|x|1+|x|=x1+2|x|，当n＝k时，f k（x）=x1+k|x|成立，当n＝k+1时，f k+1（x）=x1+k|x|1+|x|1+k|x|=x1+(k+1)|x|成立，由数学归纳法知，此命题正确．故答案为：①②③④．14．【解答】解：∵函数f （x ）＝2x 2﹣4x +1＝2（x ﹣1）2﹣1；∴当12≤x ≤2时，当x ＝1时，f （x ）有最小值﹣1；当x ＝2时，f （x ）有最大值1；即﹣1≤f （x ）≤1，则f （x ）的值域为[﹣1，1]；当12≤x ≤2时，2×12+a ≤g （x ）≤4+a ，即1+a ≤g （x ）≤4+a ，则g （x ）的值域为[1+a ，4+a ]，若存在x 1，x 2∈[12，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）， 则[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]≠∅， 若[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]＝∅， 则1+a ＞1或4+a ＜﹣1， 得a ＞0或a ＜﹣5，则当或[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a ≤0， 即实数a 的取值范围是[﹣5，0]， 故答案为：[﹣5，0]．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．【解答】解：（1）A ＝{x |2x 2﹣7x +3≤0}＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝﹣4时，B ＝{x |﹣2＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |12≤x ＜2}，A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤3}． （2）∁R A ＝{x |x ＜12或x ＞3}． 当（∁R A ）∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ， 即A ∩B ＝∅．①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |−√−a ＜x ＜√−a }， 要使B ⊆∁R A ，需√−a ≤12， 解得−14≤a ＜0．综上可得，a 的取值范围为a ≥−14．16．【解答】解：（1）由题可知：﹣1，1为方程x 2+2bx +c ＝0的两个根； 所以，{1−2b +c =0，1+2b +c =0.解之得：b ＝0，c ＝﹣1；（2）因为c ＝b 2+2b +3，f （x ）＝x 2+2bx +c ＝0，所以x 2+2bx +b 2+2b +3＝0 因为x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2bx +b 2+2b +3＝0的两根， 所以△＝4b 2﹣4b 2﹣8b ﹣12≥0即b ≤−32； 所以{x 1+x 2=−2b x 1x 2=b 2+2b +3，因为（x 1+1）（x 2+1）＝8，所以x 1x 2+x 1+x 2＝7，所以﹣2b +b 2+2b +3＝7； 所以b 2＝4，所以b ＝2或b ＝﹣2，因为b ≤−32，所以b ＝﹣2； （3）因为f （1）＝0，所以c ＝﹣1﹣2b 设g （x ）＝f （x ）+x +b ＝x 2+（2b +1）x ﹣b ﹣1， 则有{g(−3)＞0g(−2)＜0g(0)＜0g(1)＞0解得15＜b ＜57，故b 的取值范围为(15，57)；17．【解答】解：（1）因为函数f(x)=x +4x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 所以x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，﹣x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 函数f(x)=x +4x 的定义域关于原点对称， 因为f(−x)=−x −4x =−f(x)， 所以f （x ）是奇函数．（2）函数f （x ）在区间（0，2]上是减函数，证明：任取x 1，x 2∈（0，2]，且0＜x 1＜x 2≤2，f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2， 因为0＜x 1＜x 2≤2，所以2≥x 2＞0，2＞x 1＞0，所以4＞x 1x 2，所以x 1x 2﹣4＜0， 又因x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞0，所以f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x1x2−4)x1x2＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（0，2]上是减函数．（3）实数t的取值范围为[0，1]．四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．【解答】解：若x＝1，则g[f（1）]＝g（2）＝2，而x+1＝1+1＝2，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝2，则g[f（2）]＝g（1）＝3，而x+1＝2+1＝3，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝3，则g[f（3）]＝g（3）＝2，而x+1＝3+1＝4，即方程g[f（x）]＝x+1不成立．即方程的解为{1，2}，故选：C．19．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在（﹣4，4）上的偶函数，且在（﹣4，0]上是增函数，则f（x）在区间[0，4）上为减函数，又由f（a）＜f（3），则f（|a|）＜f（3），则有|a|＞3，解可得：a＞3或a＜﹣3；又由函数的定义域为（﹣4，4），即a的取值范围为（﹣4，﹣3）∪（3，4）；故选：D．20．【解答】解：x∈[1，3]，x2﹣2ax+5＝0得2a=x2+5x=x+5x≥2√5，当且仅当x=√5成立，又y＝x+5x，y（1）＝6，y（3）=143，所以y∈[2√5，6]，要使函数f（x）＝x2﹣2ax+5在x∈[1，3]上有零点，即2a∈[2√5，6]，a∈[√5，3]，故选：C．五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21．【解答】解：f(x)=√1−x+√x+3的定义域为[﹣3，1]，由基本不等式√a 2+b 22≥a+b 2，得√1−x +√x +1≤2√2，当1﹣x ＝x +3，即x ＝﹣1时，成立，当x ＝﹣3，1时f （x ）＝0，故答案为：2√2；﹣3，1．22．【解答】解：（1）g （x ）＝x +1的值域为R 且在R 上为单调递增函数，则方程g （x ）＝t 只有一个解，所以f （t ）＝1；（2）存在t 使得f （t +2）＞f （t ）成立；即方程的g （x ）＝t +2根的个数比方程g （x ）＝t 的根的个数多；当a ≤0 时，作出函数g （x ）的图象；显然不满足方程的g （x ）＝t +2根的个数比方程g （x ）＝t 的根的个数多；当a ＞0时，作出函数g （x ）的图象；要存在t ，使得方程的g （x ）＝t +2根的个数比方程g （x ）＝t 的根的个数多；则要求二次函数的最大值要大于2；即−4×a−4a 2−4＞2，解得a ＞1；故答案为：1，（1，+∞）．23．【解答】解：（1）由“保值”区间的定义可得函数y ＝x 2的一个“保值”区间为[0，1]；（2）易知，函数f （x ）＝x 2+m （m ≠0）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0），①当[a ，b ]⊆（0，+∞）时，则{a 2+m =a b 2+m =b，即方程x 2﹣x +m ＝0有两个不相等的正根，则{1−4m ＞0m ＞0，解得0＜m ＜14； ②当[a ，b ]⊆（﹣∞，0）时，则{a 2+m =b b 2+m =a ，则a +b ＝﹣1，则{a 2+m =−1−a b 2+m =−1−b，即方程x 2+x +m +1＝0有两个不相等的负根，则{1−4(m +1)＞0m +1＞0，解得−1＜m ＜−34； ③当a ＝0时，此时f （0）＝0，则m ＝0，与题设矛盾；④当b ＝0时，则{f(a)=a 2+m =0f(0)=m =a，即m 2+m ＝0，解得m ＝﹣1或m ＝0（舍去）； 综上，实数m 的取值范围为[−1，−34)∪(0，14)．故答案为：[0，1]；[−1，−34)∪(0，14)．六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．【解答】解：（1）已知x 为实数，用[x ]表示不超过x 的最大整数，所以f （1.2）＝1，f （﹣1.2）＝﹣2．（2）方法1：因为x+12−x 2=12， 所以，只可能有两种情况：（1）存在整数t ，使得t ≤x 2＜x+12＜t +1，此时[x 2]=[x+12]=t ，f （x ）＝0；（2）存在整数t ，使得x 2＜t ≤x+12，此时[x 2]=t −1，[x+12]=t ，f （x ）＝1． 综上，f （x ）的值域为{0，1}．（3）当函数f(x)=x +a x 是Ω函数时，若a ＝0，则f （x ）＝x 显然不是Ω函数，矛盾．若a ＜0，由于都在（0，+∞）单调递增，故f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 同理可证：f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，此时不存在m ∈（﹣∞，0），使得 f （m ）＝f （[m ]），同理不存在m ∈（0，∞），使得 f （m ）＝f （[m ]），又注意到m [m ]≥0，即不会出现[m ]＜0＜m 的情形，所以此时f(x)=x +a x 不是Ω函数．当a ＞0时，设f （m ）＝f （[m ]），所以m +a m =[m]+a [m]，所以有a ＝m [m ]，其中[m ]≠0，当m ＞0时，因为[m ]＜m ＜[m ]+1，所以[m ]2＜m [m ]＜[m ]（[m ]+1），所以[m ]2＜a ＜[m ]（[m ]+1）．当m ＜0时，[m ]＜0，因为[m ]＜m ＜[m ]+1，所以[m ]2＞m [m ]＞[m ]（[m ]+1），所以[m ]2＞a ＞[m ]（[m ]+1）．记k ＝[m ]，综上，我们可以得到：a 的取值范围为{a ∈R |a ＞0且∀k ∈N *，a ≠k 2且a ≠k （k +1）}．。
北京市北京汇文中学教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
北京汇文中学教育集团2024-2025学年度第一学期期中考试高一年级数学学科本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每题4分，共48分）1．已知集合，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．2．记命题，则为（）A．B．C．D．3．集合的真子集有（）个A．1B．2C．3D．44．已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．B．C．D．5．下列函数中，在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．6．“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A．B．C．D．8．若函数的值域为，则函数的图象大致是（）A．B．{}12A x Z x=∈-≤<0A⊆0A∉3A∈1A-∈:0,3p x x∃>≥p⌝0,3x x∀><0,3x x∀≤<0,3x x∃≤≥0,3x x∃>< {}0,1,a b c，b ac a-<+2c ab<c cb a>b c a c<(0,)+∞1y xx=-y=2xy-=22y x x=-12x-<<12x>()f x(,1]-∞-5()(3)(2)2f f f-<<5(3)((2)2f f f<-<5(2)(3)()2f f f<<-5(2)()(3)2f f f<-<(0,1)xy a a a=>≠且(0,1]logaxC ．D ． 9．已知函数，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题（每题5分，共30分）13．函数的定义域为________．14．已知函数，则________．15．若在上是增函数，能够说明“在上也是增函数”是假命题的一个的解析式________．16．函数的值域为________．()21x f x x =--()0f x >(1,1)-(,1)(1,)-∞-+∞ (0,1)(,0)(1,+-∞∞ ）1.2 1.23log 6,2,0.5a b c ===b a c <<c b a <<c a b <<a c b <<()f x =R a [0,1][0,1)(0,1](0,1)A N *i N *∈1,()0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩N *,A B i N *∈()0i A B ϕ= ()1i A B ϕ= N *,A B i N *∈()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅ N *,A B i N *∈()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+ 1()1f x x =-3()27log x f x x =+13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x R ()y xg x =R ()g x ()g x =221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩17．已知下列四个函数：．从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则________．18．已知函数．若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围为________．三、解答题（每题12分，共72分）19．已知集合．（Ⅰ）若，求集合（Ⅱ）若，求的取值范围．20．分别求下列关于的不等式的解集：（Ⅰ）；（Ⅱ）．21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，如图所示．（I ）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；（Ⅱ）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？22．已知函数．1,,ln ,x y x y y x y e x====()f x ()g x ()F x =()()f x g x +()F x =2,(),x a x a f x x x a +≤⎧=⎨>⎩0x 00()()f x f x -=-a {}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或2a =-()()R R B A ；I ððA B A = a x 2610x x --<2(2)20x a x a +--≤x y x x y ()2,f x x x a a R =--∈（I ）当时，直接写出函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值．23．已知是定义在[3，3]上的奇函数，当]时，． （I ）求在（0，3]上的解析式；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．24．若集合A 具有以下性质：①；②若，则，且时，．则称集合是“好集”．（I ）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由．命题：若，则必有；命题：若，且，则必有．参考答案一、选择题DACDC ，BDBDC ，BA二、填空题13．或写为14．2 15．（答案不唯一） 16． 17． 18．三、解答题19．（I ）（1，5]（Ⅱ）20．（I ）（Ⅱ）时，解集为[2，]； 时，解集为； 时，解集为[，2]．21．解：（I ）依题意得温室的另一边长为米．因此养殖池的总面积，2a =()f x 2a >()f x ()y f x =-[3,0]x ∈-1()()94x x a f x a R =+∈()y f x =1[1,2x ∈--11()34x x m f x -≤-m 0,1A A ∈∈,x y A ∈x y A -∈0x ≠1A x ∈A {}1,0,1B =-Q A ,x y A ∈x y A +∈A p ,x y A ∈xy A ∈q ,x y A ∈0x ≠y A x∈{}1x x ≠(,1)(1,)-∞+∞ x (1,+-∞）1x e x +1[2,4-(,4)(5,)-∞-+∞ 11(,)32-2a <-a -2a =-{}22a >-a -1500x 1500(3)(5)y x x=--因为，所以．所以定义域为．（Ⅱ），当且仅当，即时上式等号成立，当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．22．解：（1）当时，，，由二次函数的性质知，单调递增区间为（，1]，[2，）．或写为（，1），（2，）（Ⅱ）∵，[1，2]时，所以，当，即时，；当，即时，； ∴．23．（I ）因为是定义在[3，3]上的奇函数，[3，0]时，，所以，解得，所以（3，0]时，当时，，所以，又，即在上的解析式为，（Ⅱ）因为时，，所以可化为，整理得，150030,50x x->->3300x <<{}3300x x <<15004500(3)(5)1515(5)151515153001215y x x x x =--=-+≤-=-=45005x x=30x =x y 2a =(2)2,2()22(2)2,2x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨--<⎩22(1)3,2()(1)1,2x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨---<⎪⎩-∞+∞-∞+∞2a >x ∈2()()22f x x a x x ax =--=-+-228(24a a x -=-+3122a <≤23a <≤min ()(2)26f x f a ==-322a >3a >min ()(1)3f x f a ==-min 26,23()3,3a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩()y f x =-x ∈-1()()94x xa f x a R =+∈001(0)094a f =+=1a =-x ∈-11()94x x f x =-(0,3]x ∈[3,0)x -∈-11()9494x x x x f x ---=-=-()()49x x f x f x =--=-()y f x =(0,3]()49x xf x =-1[1,2x ∈--11()94x x f x =-11()34x x m f x -≤-11119434x x x x m --≤-13(334xx m ⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭令，根据指数函数单调性可得，所以也是减函数．所以，所以，故实数的取值范围是[7，）．24．解：（I ）集合不是“好集”．理由是：假设集合是“好集”．因为，所以．这与矛盾．有理数集是“好集”．因为，对任意的，有，且时，．所以有理数集是“好集”．（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以．若，则，即．所以，即．（Ⅲ）命题均为真命题．理由如下：对任意一个“好集”，任取，若中有0或1时，显然．下设均不为0，1．由定义可知：．所以，即．所以．由（Ⅱ）可得：，即．同理可得．若或，则显然．若且，则．所以．所以．由（Ⅱ）可得：．所以．综上可知，，即命题为真命题．若，且，则．13()334x x g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x 11max 13()(1)3734g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7m ≥m +∞B B 1,1B B -∈∈112B --=-∈2B -∉Q 0,1Q Q ∈∈,x y Q ∈x y Q -∈0x ≠1Q x∈Q A 0A ∈,x y A ∈0y A -∈y A -∈()x y A --∈x y A +∈,p q A ,x y A ∈,x y xy A ∈,x y 111,,1x A x x -∈-111A x x -∈-1(1)A x x ∈-(1)x x A -∈(1)x x x A -+∈2x A ∈2y A ∈0x y +=1x y +=2()x y A +∈0x y +≠1x y +≠2()x y A +∈2222()xy x y x y A =+--∈12A xy ∈11122A xy xy xy =+∈xy A ∈xy A ∈p ,x y A ∈0x ≠1A x ∈所以，即命题为真命题．1y y A x x =⋅∈q。
2022-2023北京汇文中学教育集团高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市汇文中学教育集团高一（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．下列所给元素与集合的关系正确的是（ ） A ．π∈RB ．0∈N *C ．√2∈QD ．|﹣5|∉Z2．如图所示，全集U ＝R ，M ＝{x |x ＞0}，N ＝{x |﹣1≤x ≤1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．[﹣1，0）C ．（0，1]D ．[﹣1，0]3．集合P ={x|y =√x +1}，集合Q ={y|y =√x −1}，则P 与Q 的关系是（ ） A ．P ＝QB ．P ⫌QC ．P ⫋QD ．P ∩Q ＝∅4．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．y ＝x 与y =√x 2B ．y ＝x +1与y =x 2−1x−1C ．y =√x 2−1+√1−x 2与y ＝0D ．y ＝x 与y =√x 335．下列函数在定义域上是减函数的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝x ﹣1C ．y =(12)xD ．y =x 126．若a ＝20.5，b ＝20.6，c ＝0.62，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b7．使不等式x 2﹣x ﹣6＜0成立的充分不必要条件是（ ） A ．﹣2＜x ＜0B ．﹣2＜x ＜3C ．0＜x ＜5D ．﹣2＜x ＜48．给出函数f （x ），g （x ）如表，则f [g （x ）]的值域为（ ）A ．{4，2}B ．{1，3}C ．{1，2，3，4}D ．以上情况都有可能9．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣3x +k （k 为常数），则f （﹣1）＝（ ）A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣110．已知函数y =√(a −1)x 2+x +1的值域为[0，+∞），则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1，54]B ．[54，+∞)C ．(54，+∞)D ．(−∞，54)11．f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ，则不等式（x ﹣1）f （x ）＞0的解集（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，+∞）12．若∀x ，y ∈R ，函数f （x ）满足f （x ）+f （y ）﹣f （x +y ）＝3，函数g(x)=xx 2+1+f(x)，则g （2022）+g （﹣2022）＝（ ） A ．0B ．6C ．9D ．2022二、填空题（每题5分，共30分） 13．函数f （x ）=1x +√1−x 的定义域是 ． 14．若命题“∃x 0∈R ，ax 02−ax 0+1≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 15．请写出一个定义域为R ，值域为（﹣∞，1）的函数解析式为 ． 16．若正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，则3x +4y 的最小值是 ．17．定义：对于非空集合A ，若元素x ∈A ，则必有（m ﹣x ）∈A ，则称集合A 为“m 和集合”．已知集合B ＝{1，2，3，4，5，6，7}，则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有 个．18．若使集合A ＝{x |（kx ﹣k 2﹣8）（x ﹣1）＞0，x ∈Z }中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ． 三、解答题（共60分）19．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣5x ≤0}，B ＝{x |t ＜x ＜t +6}，其中t ∈R ． （1）当t ＝1时，求A ∩B 和A ∪B ； （2）若A ⊆B ，求t 的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=1−x 22x ．（Ⅰ）求f(−13)；（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并加以证明； （Ⅲ）求证：函数在（0，+∞）上单调递减． 21．（12分）已知函数f （x ）＝﹣x 2+2ax +1﹣a ．（Ⅰ）若函数f （x ）在区间[0，3]上是单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若f （x ）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a 的值．22．（12分）已知定义域为R 的函数f(x)=a−2xb+2x 是奇函数． （1）求a ，b 的值；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若存在t∈[0，4]，使f（k+t2）+f（4t﹣2t2）＜0成立，求k的取值范围．23．（12分）对于函数y＝f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0，则称函数y＝f（x）为“P函数”．（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围．2022-2023学年北京市汇文中学教育集团高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．下列所给元素与集合的关系正确的是（ ） A ．π∈RB ．0∈N *C ．√2∈QD ．|﹣5|∉Z解：R 、N *、Q 、Z 分别表示了实数集、正整数集、有理数集、整数集， 故π∈R ，0∉N *，√2∉Q ，|﹣5|＝5∈Z ， 故选：A ．2．如图所示，全集U ＝R ，M ＝{x |x ＞0}，N ＝{x |﹣1≤x ≤1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．[﹣1，0）C ．（0，1]D ．[﹣1，0]解：阴影部分表示的集合为∁M ∪N M ， 又∵M ＝{x |x ＞0}，N ＝{x |﹣1⩽x ⩽1}， ∵M ∪N ＝{x |x ⩾﹣1}， ∴∁M ∪N M ＝[﹣1，0]． 故选：D ．3．集合P ={x|y =√x +1}，集合Q ={y|y =√x −1}，则P 与Q 的关系是（ ） A ．P ＝QB ．P ⫌QC ．P ⫋QD ．P ∩Q ＝∅解：∵P ={x|y =√x +1}={x|x ≥−1}， Q ＝{y |y ≥0} 由图可知： ∴P ⊃且≠Q ， 故选：B ．4．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．y ＝x 与y =√x 2B ．y ＝x +1与y =x 2−1x−1 C ．y =√x 2−1+√1−x 2与y ＝0D ．y ＝x 与y =√x 33解：y ＝x 与y =√x 2=|x |的对应关系不一致，故不表示同一函数； y ＝x +1与y =x 2−1x−1=x +1（x ≠1）的定义域不一致，故不表示同一函数；y =√x 2−1+√1−x 2=0（x ＝±1）与y ＝0的定义域不一致，故不表示同一函数； y ＝x 与y =√x 33=x 的定义域和对应关系均相同，故可表示同一函数； 故选：D ．5．下列函数在定义域上是减函数的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝x ﹣1C ．y =(12)xD ．y =x 12解：根据二次函数的性质可知，A 显然不符合题意； 根据幂函数性质可知y ＝x﹣1显然不符合题意；根据指数函数的性质可知，y ＝（12）x 在R 上单调递减， 根据幂函数的性质可知，y =x 12在[0，+∞）上单调递增．故选：C ．6．若a ＝20.5，b ＝20.6，c ＝0.62，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b解：因为函数y ＝2x 是单调增函数，且0＜0.5＜0.6， 所以1＝20＜20.5＜20.6，即1＜a ＜b ； 又函数y ＝0.6x 是单调减函数，且2＞0， 所以0.62＜0.60＝1，即c ＜1； 所以c ＜a ＜b ． 故选：D ．7．使不等式x 2﹣x ﹣6＜0成立的充分不必要条件是（ ） A ．﹣2＜x ＜0B ．﹣2＜x ＜3C ．0＜x ＜5D ．﹣2＜x ＜4解：由x 2﹣x ﹣6＜0可得：﹣2＜x ＜3， 即不等式的解集为（﹣2，3），因为（﹣2，0）⫋（﹣2，3），则﹣2＜x ＜0是不等式x 2﹣x ﹣6＜0成立的充分不必要条件，而选项B 是充要条件，选项C 对应的集合与（﹣2，3）只有交集，选项D 是不等式x 2﹣x ﹣6＜0成立的必要不充分条件， 故选：A ．8．给出函数f （x ），g （x ）如表，则f [g （x ）]的值域为（ ）A ．{4，2}B ．{1，3}C ．{1，2，3，4}D ．以上情况都有可能解：∵当x ＝1或x ＝2时，g （1）＝g （2）＝1， ∴f （g （1））＝f （g （2））＝f （1）＝4； 当x ＝3或x ＝4时，g （3）＝g （4）＝3， ∴f （g （3））＝f （g （4））＝f （3）＝2． 故f [g （x ）]的值域为{2，4}． 故选：A ．9．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣3x +k （k 为常数），则f （﹣1）＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣1解：∵f （x ）为定义在R 上的奇函数； ∴f （0）＝1﹣0+k ＝0； ∴k ＝﹣1；∴x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣3x ﹣1；∴f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣（2﹣3﹣1）＝2． 故选：A ．10．已知函数y =√(a −1)x 2+x +1的值域为[0，+∞），则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1，54]B ．[54，+∞)C ．(54，+∞)D ．(−∞，54)解：当a ＝1时，y =√x +1的值域为[0，+∞），满足题意； 当a ≠1时，要使函数y =√(a −1)x 2+x +1的值域为[0，+∞）， 则{a −1＞01−4(a −1)≥0，解得1＜a ≤54，综上可得实数a 的取值范围是[1，54]． 故选：A ．11．f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ，则不等式（x ﹣1）f （x ）＞0的解集（ ）A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，+∞）解：根据题意，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ＝x （1﹣x ），则在区间（0，1）上，f （x ）＞0，在区间（1，+∞）上，f （x ）＜0，又由f （x ）为奇函数，在区间（﹣1，0）上，f （x ）＜0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x ）＞0， （x ﹣1）f （x ）＞0⇒{x −1＞0f(x)＞0或{x −1＜0f(x)＜0，解可得﹣1＜x ＜0，即不等式的解集为（﹣1，0）， 故选：B ．12．若∀x ，y ∈R ，函数f （x ）满足f （x ）+f （y ）﹣f （x +y ）＝3，函数g(x)=xx 2+1+f(x)，则g （2022）+g （﹣2022）＝（ ） A ．0B ．6C ．9D ．2022解：由题意，将x ＝y ＝0代入f （x ）+f （y ）﹣f （x +y ）＝3，得f （0）＝3，将y ＝﹣x 代入f （x ）+f （y ）﹣f （x +y ）＝3，得f （x ）+f （﹣x ）﹣f （0）＝3，即f （x ）+f （﹣x ）＝6． 设h （x ）=x x 2+1，（x ∈R ），则h （﹣x ）=−x x 2+1=−h （x ）， 所以h （x ）是R 上的奇函数，则h （x ）+h （﹣x ）＝0， 又g （x ）=xx 2+1+f （x ）＝h （x ）+f （x ）， 所以g （2022）+g （﹣2022）＝h （2022）+f （2022）+h （﹣2022）+f （﹣2022）＝6， 故选：B ．二、填空题（每题5分，共30分） 13．函数f （x ）=1x +√1−x 的定义域是 （﹣∞，0）∪（0，1] ． 解：要使函数f （x ）=1x +√1−x 有意义， 则{x ≠01−x ≥0，解得x ≤1且x ≠0， 所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]． 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]．14．若命题“∃x 0∈R ，ax 02−ax 0+1≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是 （0，4） ． 解：若命题“∃x 0∈R ，ax 02−ax 0+1≤0”是假命题， 则命题的否定：∀x ∈R ，ax 2﹣ax +1＞0为真命题， 只需Δ＝a 2﹣4a ＜0，解得0＜a ＜4， 故答案为：（0，4）．15．请写出一个定义域为R ，值域为（﹣∞，1）的函数解析式为 y ＝﹣3x +1（答案不唯一） ． 解：令y ＝﹣3x +1，函数的定义域为R ，因为指数函数y ＝3x 的值域为（0，+∞），所以y ＝﹣3x 的值域为（﹣∞，0）， 所有y ＝﹣3x +1的值域为（﹣∞，1），满足题意． 故答案为：y ＝﹣3x +1（答案不唯一）．16．若正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，则3x +4y 的最小值是 5 ． 解：∵x +3y ＝5xy ，x ＞0，y ＞0， ∴15y+35x=1，∴3x +4y ＝（3x +4y ）（15y+35x）=135+3x 5y +4y 5x ×3≥135+2√3x 5y ⋅12y5x=5， 当且仅当3x5y=12y 5x即x ＝2y ＝1时取等号，故答案为：5．17．定义：对于非空集合A ，若元素x ∈A ，则必有（m ﹣x ）∈A ，则称集合A 为“m 和集合”．已知集合B ＝{1，2，3，4，5，6，7}，则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有 15 个． 解：①含有1个元素的“8和集合”：{4}；②含有2个元素的“8和集合”：{1，7}，{2，6}，{3，5}；③含有3个元素的“8和集合”：{1，4，7}，{2，4，6}，{3，4，5}；④含有4个元素的“8和集合”：{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}；⑤含有5个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，4}，{1，7，3，5，4}，{2，6，3，5，4}； ⑥含有6个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5}； ⑦含有7个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5，4}．18．若使集合A ＝{x |（kx ﹣k 2﹣8）（x ﹣1）＞0，x ∈Z }中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是 [﹣4，﹣2] ． 解：由题意知：①当k ＝0时，A ＝{x |﹣8（x ﹣1）＞0，x ∈Z }＝{x |x ＜1，x ∈Z }， 此时集合A 中的元素个数为无限个，故舍去； ②当k ＞0时，（kx ﹣k 2﹣8）（x ﹣1）＞0， 等价于{kx −k 2−8＞0x −1＞0或{kx −k 2−8＜0x −1＜0，∴{x ＞k +8k x ＞1或{x ＜k +8kx ＜1，∴x ＞k +8k或x ＜1，∴A ＝{x |x ＞k +8k 或x ＜1，k ∈Z }，此时集合A 中的元素个数为无限个，故舍去； ③当k ＜0时，（kx ﹣k 2﹣8）（x ﹣1）＞0， 等价于{x ＜k +8k x ＞1或{x ＞k +8k x ＜1， ∵k +8k＜1，∴k +8k＜x ＜1， ∴A ＝{x |k +8k＜x ＜1，x ∈Z }，此时集合A 中的元素个数为有限个，且k +8k的值越大，集合A 中的元素就越少， ∵k +8k≤−4√2，且﹣6＜−4√2＜−5，∴当﹣6≤k +8k＜−5时，即﹣4≤k ≤﹣2时，集合A 中的元素个数最少． 故答案为：[﹣4，﹣2]． 三、解答题（共60分）19．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣5x ≤0}，B ＝{x |t ＜x ＜t +6}，其中t ∈R ． （1）当t ＝1时，求A ∩B 和A ∪B ； （2）若A ⊆B ，求t 的取值范围．解：（1）当t ＝1时，B ＝{x |t ＜x ＜t +6}＝{x |1＜t ＜7}， A ＝{x |x 2﹣5x ≤0}＝{x |0≤x ≤5}，故A ∩B ＝{x |1＜x ≤5}，A ∪B ＝{x |0≤x ＜7}． （2）∵A ⊆B ， ∴{t ＜0t +6＞5，解得﹣1＜t ＜0，故t 的取值范围为（﹣1，0）．20．（12分）已知函数f(x)=1−x 22x．（Ⅰ）求f(−13)；（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并加以证明； （Ⅲ）求证：函数在（0，+∞）上单调递减．解：（Ⅰ）f(−13)=1−(−13)22×(−13)=1−19−23=89−23=−43．（Ⅱ）函数的定义域为{x|x≠0}，则f（﹣x）=1−x2−2x=−f（x），则f（x）是奇函数．（Ⅲ）证明：f（x）=12x−12x，设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=12（1x1−x1−1x2+x2）=12[（x2﹣x1）+x2−x1x1x2]=12（x2﹣x1）（1+1x1x2），∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数在（0，+∞）上为减函数．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[0，3]上是单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值．解：（I）根据题意，函数f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a．函数f（x）为二次函数，且其开口向下，对称轴为x ＝a，因为函数f（x）在区间[0，3]上是单调函数，所以函数f（x）在区间[0，3]上是增函数或减函数，所以a≤0或a≥3．（Ⅱ）f（x）对称轴为x＝a，当a≤0时，函数f（x）在区间[0，1]上是减函数，则f（x）max＝f（0）＝1﹣a＝3，即a＝﹣2；当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[0，a]上是增函数，在区间[a，1]上是减函数，则f（x）max＝f（a）＝a2﹣a+1＝3，解得a＝2或﹣1，不符合题意；当a≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上是增函数，则f（x）max＝f（1）＝﹣1+2a+1﹣a＝3，解得a＝3；综上所述，a＝﹣2或a＝3．22．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=a−2xb+2x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若存在t∈[0，4]，使f（k+t2）+f（4t﹣2t2）＜0成立，求k的取值范围．（1）解：由题意知，f（0）＝0=a−1b+1，所以a＝1，所以f（x）=1−2xb+2x，因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以1−2−xb+2−x =−1−2xb+2x，化简得2x−1b⋅2x+1=2x−1b+2x，所以b•2x+1＝b+2x，即b（2x﹣1）＝（2x﹣1），所以b＝1．（2）证明：f（x）在R上单调递减，证明过程如下：由（1）知，f（x）=1−2x1+2x=2−(1+2x)1+2x=21+2x−1，任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=21+2x1−1−21+2x2+1=2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)，因为x1＜x2，所以2x2−2x1＞0，1+2x2＞0，1+2x1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上单调递减．（3）解：因为f（x）是奇函数，所以不等式f（k+t2）+f（4t﹣2t2）＜0可化为f（k+t2）＜﹣f（4t﹣2t2）＝f（2t2﹣4t），又f（x）在R上单调递减，所以k+t2＞2t2﹣4t，即k＞t2﹣4t，原问题等价于存在t∈[0，4]，使k＞t2﹣4t，设g（t）＝t2﹣4t，是开口向上，对称轴为t＝2的二次函数，所以g（t）在[0，2）上递减，在（2，4]上递增，所以g（t）min＝g（2）＝4﹣8＝﹣4，所以k＞﹣4，故k的取值范围为（﹣4，+∞）．23．（12分）对于函数y＝f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0，则称函数y＝f（x）为“P函数”．（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围．解：（1）若y1=(x−1)2，x∈R是“P函数”，则满足(a−1)2=(b−1)2=2(a+b2−1)2，∴{a 2−b 2−2a +2b =0a 2−b 2−2ab +4b −2=0，两式相减得﹣2a +2ab +2b ﹣4b +2＝0，即ab ﹣a ﹣b +1＝0． ∴（b ﹣1）（a ﹣1）＝0，则b ＝1或a ＝1，与f （a ）＝f （b ）≠0矛盾，故y 1=(x −1)2，x ∈R 不是“P 函数”；（2）y 2=|2x−k|，x ∈(0，n)是“P 函数”．①若k ≤0，则2x −k ＞0，则y 2=|2x −k|=2x −k 在x ∈（0，n ）上单调递减， 故不满足存在实数a 、b 满足b ＞a ＞1且f （a ）＝f （b ），不合题意；②若k ＞0，∵g （x ）=2x −k ，x ∈（0，n ）单调递减，且g （2k ）＝0， 故x ∈（0，2k ）时，f （x ）＝|2x −k |单调递减，x ∈（2k ，+∞）时，f （x ）＝|2x −k |单调递增， 故a ∈（0，2k ），b ∈（2k ，+∞）， ∴f （a ）=2a −k =f （b ）＝k −2b =2f （a+b 2），则k =1a +1b ， ∴f （a ）=2a −1a −1b =1a −1b ，则2f （a+b 2）＝2|4a+b −k |＝2|4a+b −(1a +1b )|． 若2[4a+b −(1a +1b )]=1a −1b ，则8a+b =3a +1b =3b+a ab，整理可得a 2+3b 2﹣4ab ＝0， 得a ＝3b ，不合题意；若2[4a+b −(1a +1b )]=1b −1a ，则8a+b =3b +1a =3a+b ab ，整理可得3a 2+b 2﹣4ab ＝0，得b ＝3a ，故k =1a +1b =43a ，2k =3a 2，a =43k ． 由（0，n ）中存在实数a 、b 满足b ＞a ＞1且f(a)=f(b)=2f(a+b 2)≠0，n 的最小值为5， 故在（0，5）中存在a 满足f （a ）＝f （3a ）＝2f （2a ），且4≤3a ＜5，故4≤k 4＜5，得45＜k ≤1． 综上所述，实数k 的取值范围是（45，1]．。
2019-2020学年北京汇文中学高一期中考试数学试卷(PDF版不含答案)
北京汇文中学2019-2020学年度第一学期期中考试高一年级数学一、选择1.若集合{}0124A =，，，，{}123B =，，，则A B ⋂=A.{}0,1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}0,4 D.{}32.下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是A.1y x = B.()21y x =- C.2x y -= D.2log (1)y x =+3.设2log a π=，12log b π=，2c π-=，则A.a b c >>B.b a c>> C.a c b >> D.c b a >>4.设,a b 为实数，则"1"ab <是1"0a b <<的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.函数1,01,0x x x x y -≥⎧⎨-<=⎩的值域是A.R B.[0,)+∞ C.[1,)-+∞ D.(1,)-+∞6.已知函数()f x ax b =+的图像如右图所示，则函数()x g x a b =+的图像可能是A. B. C. D.7.已知函数()()g x f x x =-是偶函数，且(3)4f =，则(3)f -=A.4- B.2- C.0 D.48."0"x >是2221""x x ≥+的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知实数0a ≠，函数22(1),1,x a x x x f x ⎧+<⎨-≥=⎩，若(1)(1)f a f a -≥+，则实数a的取值范心有多大，舞台就有多大围是A.[2,1](0,)--⋃+∞B.[2,1]--C.(,0)-∞D.(0,)+∞10.已知函数()2211,(,)21ln 1,[,)2()x x x x x f x +⎧∈-∞-⎪⎪⎨⎪+∈-+∞⎩=⎪2()44g x x x =--，设b 为实数，若存在实数a ，使得()()0f a g b +=，则b 的取值范围为A.[1,5]- B.(,1][5,)-∞-⋃+∞ C.[1,)-+∞ D.(,5]-∞二、填空11.函数y =____________.12.函数2lg ,0,0,)4,(x f x x x x ⎧⎨-<>=⎩的零点是____________.13.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数，若()(2)f m f >，则实数m的取值范围是____________.14.方程3221x x +=的解的个数为___________。
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北京汇文中学2019-2020学年度第一学期期中考试
高一年级
数学
一、选择
1.若集合{}0124A =，，，，{}123B =，，，则A B ⋂=A.{}0,1,2,3,4 B.{}1,2 C.{}0,4 D.{}
32.下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是A.1
y x = B.()
21y x =- C.2x y -= D.2log (1)y x =+3.设2log a π=，12log b π=，2c π-=，则
A.a b c >>
B.b a c
>> C.a c b >> D.c b a >>4.设,a b 为实数，则"1"ab <是1"0a b <<的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数1,01,0x x x x y -≥⎧⎨-<=⎩的值域是A.R B.[0,)+∞ C.[1,)-+∞ D.(1,)-+∞
6.已知函数()f x ax b =+的图像如右图所示，则函数()x g x a b =+的图像可能是
A. B. C. D.
7.已知函数()()g x f x x =-是偶函数，且(3)4f =，则(3)f -=
A.4
- B.2- C.0 D.48."0"x >是22
21""x x ≥+的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知实数0a ≠，函数22(1
),1,x a x x x f x ⎧+<⎨-≥=⎩，若(1)(1)f a f a -≥+，则实数a 的取值范
围是
A.[2,1](0,)--⋃+∞
B.[2,1]--
C.(,0)-∞
D.(0,)
+∞10.已知函数()2211,(,)21ln 1,[,)2
()x x x x x f x +⎧∈-∞-⎪⎪⎨⎪+∈-+∞⎩=⎪2()44g x x x =--，设b 为实数，若存在实数a ，使得()()0f a g b +=，则b 的取值范围为
A.[1,5]
- B.(,1][5,)-∞-⋃+∞ C.[1,)-+∞ D.(,5]
-∞二、填空
11.
函数y =____________.
12.函数2lg ,0,0,)4,(x f x x x x ⎧⎨-<>=⎩的零点是____________.13.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数，若()(2)f m f >，则实数m 的取值范围是____________.
14.方程3221x x +=的解的个数为___________。
若有解，则将其解按四舍五入精确到个位，得到的近似解为___________.
15.定义在R 上的偶函数2()ax b f x x c +=+的图像如图所示，则实数a b c 、、的大小关系是___________.
16.设函数2,1,()4()(2), 1.
x f x x a x a x x a =--≥⎧-<⎨⎩①若1a =，则()f x 的最小值为_________.
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_________.
三、解答（共30分）
17.（6分）已知集合{|37}A x x =≤≤，{|0}B x x a =<<.
(1)若5a =，求A B ⋃和A B ⋂；
(2)若A B ⋂≠∅，求a
的取值范围。
18.（7分）
(1)证明：函数4()f x x x =+在(0,2]上是减函数；(2)设常数(1,9)a ∈，求函数()a f x x x
=+在[1,3]x ∈上的最大值和最小值19.（8分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：“对于区间(0,)+∞上的任意,a b 都有()()f a b f b +>成立”
(1)求(0)f 的值，并指出()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；
(2)用增函数的定义证明：函数()f x 是(,0)-∞上的增函数；
(3)判断()f x 是否为R 上的增函数，如果是，请给出证明；如果不是请举出反例。
20.（9分）定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：①对任意x R ∈，有(2)()2f x f x +≥+；
②对任意x R ∈，有(3)()3f x f x +≤+，设()()g x f x x =-，
(1)证明：(3)()(2)g x g x g x +≤≤+；
(2)若(4)5f =，求(2020)f 的值。