_13-2014中文第13章 收敛要求

•深入的数学分析表明，完备性对于收敛性是必 要条件，其它条件不满足并不排除收敛性。
•THE VARIATIONAL INDEX
令 m 为能量泛函 [u] 中的位移u的最高的 空间导数阶数，则m称为变分指数。
Example 1: 杆问题
[u]
L 0
1 ( u EAu qu )dx 2
检查单元行为的一个办法是看其单刚的模态
k ai i ai
(no sum on i)
•Example: Q4单元( E = 100 Pa and n = 0.3) Q4单元变形行为检查
例：用 CST 和LST单元求解悬臂梁弯曲问题
分别用3节点CST和6节点LST平面应力单元离散上面的 悬臂梁并进行有限元计算，比较端点挠度的计算精度。
•1960–1970是有限元发展迅速的阶段，例如在固 体单元，板壳单元，等参元，数值积分等方面。 但这个阶段也充满迷惑: FEM was a black cat in a dark cellar at midnight. 分片试验则第一次给地下 室投来了光亮。
按照严重程序下降的顺序，单元违例为： (coined by Irons)
Mesh generation: CST
Mesh generation: LST
sxx stress contours
CST LST
两种特殊的单元 1. 无限元(Infinite element) 很多物理问题中用到了无限元，例如:
- 航空工程: 飞行器翅膀在空气中运动
- 海洋学(Oceanography): 海水在海岛周围的 绕射(diffraction) - 土木工程: 大地提供的支撑载荷
Remark 1: 只有前两个是真正致命的。 第一个会带来 收敛性问题，也可能导致错误的结果。第二个的结果 很明显缺乏客观性。
Remark 2: 第三个(rank deficiency)与问题密切相关 (动态、静态、边界条件等)。虽然有专家在专用软件 中使用，通用软件还是要避免使用。
Remark 3: 第四个(nonconformity) 的影响在分片试验手 段建立之前是不可预测的。现在其后果是清楚的，它 是专家建立高性能单元的非常有用的工具。
A: 单元片的行为就会如同若干分离开来的单元， 试验过程就如同对每个单元进行试验，测试每个 单元的完备性。
5. Q: 单元片中能不能包含几何形状不同的单元 进行分片试验? A: 可以。 6. Q: 分片试验能不能手工完成?
A: 对于一些非常简单的一维构形，可以手工 进行，其它复杂情况只能编程进行。
•Stummel has constructed a generalized patch test, which is mathematically impeccable(无瑕的) in that it provides necessary and sufficient conditions for convergence. Unfortunately such test lacks practical side benefits of Irons’ patch test, such as element checkout by computer (either numerically or symbolically), because it is administered as a mathematically limiting process in function spaces.
Байду номын сангаас
考虑如下问题
P
x
r
infinite
有限元方法：
• • •
•
• •
对于静态分析: 可行，单计算 成本较高。 对于动态分析: 在边界上会出 现发射波，与实际不符。
a b
更好的方法: 使用无边 界的单元，从而减少 单元数目和解决边界 反射问题。
• • • •
•
Infinite element
基本思想: 同时使用两类形函数: - 标准形函数 [ N ] - 递减形函数 [ Nd ] 或递增形函数 [ Ng ]
u(x) 的最高空间导数为 du/dx, 所以m=1. Example 2: 平面欧拉梁问题
[ w]
L 0
1 ( wEIw qw) dx 2
挠度的最高空间导数为 κ = d2w/dx2, 所以m=2.
•一致性要求
(1)完备性 m-完备：在笛卡尔坐标系中单元形函数必 须包含 次数小于等于 m 的所有多项式的 项。
•物理分片试验的背后思想是:一个好的单元必 须能准确求解简单的问题，无论是使用一个单 元还是任意的单元片。
•位移分片试验(Displacement Patch Test or DPT): 给单元片施加位移边界条件，验证得到的位移 和应变是否正确。
•力分片试验(Force Patch Test or FPT): 对单元片 施加边界力，验证得到的单元应力是否正确。 •混合分片试验(mixed patch tests) 混合施加位移和 力边界。 • 位移分片试验(The Displacement Patch Test) 如果所有的位移(应变)状态都能够正确得到， 则说通过了位移分片试验，否则没有通过。
2. Q: 同一单元片中的材料及其特性能不能不相同？
A: 不能。同一单元片必须由相同特性材料组成。 3. Q: 为什么只能给单元片的外部节点施加位移?
A: 因为外部节点与周围的连续体相互作用，提 供位移边界条件；内部节点上的量由有限元方 法求解。
4. Q: 如果把单元片的所有节点上的自由度都给定， 会发生什么情况?
•分片试验 • The Black Cat 在有限元方法发展的最初阶段 (1950-1960), 人们 意识到位移有限元方法是 Rayleigh-Ritz 法的一个 变种, 其试函数(trial functions)在整个单元片上具 有局部紧支性。为保证收敛性，这些函数必须满 足：连续性( continuity), 完备性(completeness)和 稳定性(stability，即秩足够)。
•人们很快就发现了连续性要求，因为从单元位 移可以看出，单元之间既不能产生空隙也不能 相互穿透。 Melosh 在1963首先对此进行了阐 述。 •人们对完备性的理解分为两个阶段，首先是 对刚体位移模型的理解，然后是对常应变状 态的理解。
•以秩亏描述的稳定性有时会被提起，但直到 1980年之前被认为是不重要的。
为了不对单刚的秩造成亏损，nEnG 必须大于等 于 n F − n R:
nE nG ≥ n F − nR 由此可以确定高斯点数目。
(2) Jacobian Positiveness
单元的几何形状必须使单元内部的雅克比阵 行列式 J = det J 处处为正。 J > 0 要求节点必须处于正确的几何位置(保证 单元的凸性)并进行正确的编号，以便使单元 面积 A > 0。 (凸性条件)
等参元在进行数值积分时，设高斯点数为 nG, 设 nE 为应力-应变矩阵E的阶数。假定: (i) 单元满足完备性条件，形函数可以准确描述刚 体位移模态 。
(ii) 矩阵 E 是满秩的。
则每个高斯点对单刚K(e)的秩加nE，直到到达最 大值 nF − nR。于是K(e)的秩可以写为
r = min(nF − nR, nE nG)
刚体模态 (r-mode) 试验位移场: ux = 1 and uy = 0.
常应变模态 (c-mode) 试验位移场: ux = x and uy = 0, 相应的应变: exx = ∂ux/∂x = 1, 其余为零。
• 位移分片试验的 Q&A 1. Q: 单元片能否任意选取？ A: 可以。从一个连续体中切割下与单元片相同 的形状，然后把单元片填充到连续体中，单元 片应该不影响连续体中的场分布，即对力学场 而言切割前与切割后没有区别。
•Properties of the Shape Functions Property 1. Linear independence Property 2. Delta function properties Property 3. Partitions of unity property Property 4. Linear field reproduction
• 应力分片试验(The Stress Test Space)
σxx = 1, 其余为零。在单元片的边界上施加均匀 分布的面力 tx = σxx。 把分布力凝聚到节点上进 行有限元求解。 • HISTORICAL BACKGROUND
It grew up of the brilliant intuition of Bruce Irons. Initially developed in the mid-1960s at Rolls Royce and then at the Swansea group headed by O. C. Zienkiewicz, by the early 1970s the test had became a powerful and practical tool for evaluating and checking nonconforming elements.
Remark 4: 第五个的影响通常不大，但是仍需注意。最 后，第六个 (inexact integration) 有时候是有益的，所以 其出现在黑名单上有问题。
• 单元片(element patches) 单元片是连接于一个给定节点的若干单元，这 个给定的节点叫片节点(patch node)。
• 物理分片试验(THE PHYSICAL PATCH TEST) •物理分片试验最初由Irons1965年在一篇论文的 附录中提出。
计算力学 (力学系本科生)
第13章 收敛要求
(FEM Convergence Requirements)
•收敛(convergence): 随着有限元网格加密，有限 元解逐步逼近准确解。
保证收敛性的三个条件: (1)完备性(Completeness). 单元插值函数的次数必 须足够以便有限元解能够随网格加密无限逼近准确 解。 (2)协调性 (Compatibility). 形函数必须保证单元之 间的位移连续性，物理上看，即就是单元变形时 材料不能出现裂缝和重叠。
(3)稳定性 (Stability). The 有限元系统方程必须排 除单元的零能模态，防止单元畸变。
•完备性和协调性Completeness and compatibility are two aspects 是离散模型和数学模型之间一致 性 (consistency)条件的两个方面。
•满足完备性和连续性的单元称为满足一致性条件。 Lax-Wendroff 定理指出，一致性和稳定性意味着 收敛性。
(1) Rank Sufficiency 单元刚度阵除了刚体位移之外不能含有其 它的零能模态。
令 nF ----单元自由度数
nR------独立的刚体位移模态数 r------K(e)的秩 如果 r = nF −nR 单元就是秩足的(rank sufficient ), 反之如果 r < nF −nR 单元就是秩亏的。 d = (nF − nR) − r 为单元的秩亏。
Today it remains a controversial issue: accepted by many finite element developers while ignored by others, welcomed by element programmers, distrusted by mathematicians.
(2) 协调性
分片试函数(patch trial function): 形函数的组 合，把分片节点上一个自由度设为1，所有其 它自由度设为0。 分片测试函数在单元之间必须C(m−1) 连续，在 单元内部必须 Cm 分片连续。
•稳定性 稳定性不是形函数的特性，与单元几何形状 相关。它包括秩足够(rank sufficiency)和雅克 比行列为正(Jacobian positiveness)这两个要求。