机械工程控制基础 第五章 系统的稳定性

劳斯阵列第一列所有元素为正。
劳斯阵列
符号改变一次 符号改变一次
Routh 判据的特殊情况-方法一
1 某行第一个元素为零，其余均不为零。
改变一次
改变一次
方法一:
Routh 判据的特殊情况-方法二
改变一次 改变一次
劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
劳斯表某行全为零
如果系统的平衡状态
是稳定的。
从平衡状态的某个充分小的领域内出发
的状态轨线 ，当
时，收敛于
，则称
为渐近稳定。
渐进稳定
渐进稳定
5.2 Routh稳定判据
稳定判据 Routh稳定判据: 系统的特征方程为
必要条件： （1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零； （2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同的 符号。 充分条件：
P =0 R =0 Z =0
Re
大K值时是不稳定的
Im w =0-
´ -1
GH平面
P =0
R =2
w= w =-
Z =2
Re
w =0+
w =0+
设一个闭环系统具有下列
开环传递函数：
试确定该闭环系统的稳定性。
开环传递函数在s右半平面 内有一个极点( )， 奈奎斯特曲线如图示，轨迹顺时针 方向包围 点一次, 因此
乃氏图负穿越实例2
乃氏图负穿越实例2
综上所述，乃氏判据判稳时可能发生的情 况为：
（Ⅰ）不包围（-1，j0）点，若 则系统
稳定。否则，闭环系统不稳定；
（Ⅱ）逆时针包围（-1，j0）点次，若
则系统稳定。否则，闭环系统不稳定；
（Ⅲ）顺时针包围（-1，j0）点，闭环系统
不稳定。
乃氏判剧-形式Ⅱ
闭环系统稳定的充要条件是，当角频率由
在系统开环频率特性即将包围（-1，j0）点的最里
层上，且四指指尖与系统开环频率特性的方向相
同，若手背朝向（-1，j0）点，则该闭环系统稳定
， 否则不稳定。
乃氏判剧-形式Ⅴ实例
伯特图负穿越
在伯特图上，在幅值
的区域内，当角频率 增加时，相频特性 曲线 从下向上穿越 线称为正穿越；相 频特性曲线 从上向下穿越 线称为负穿 越；
相对稳定性
根据根轨迹，我们知道：对于大的K值，系统 是不稳定的。当增益减小到一定值时，系统可能稳 定。
-1
（a）
（b）
相对稳定性的概念
基于Nyquist判剧，当开环传递函数
在s平面右半部无极点时，其开环频率响应 若通过点（-1，j0），则控制系统处于临界稳定边缘
。在这种情况下若控制系统的参数发生漂移，便有可
围绕原点总圈数 等于封闭曲线 内包围的 零点数目与极点数目之差，其中， 与 是 指 在 内的零点数与极点数。
幅角定理
[s]
[F(s)]
乃氏判剧-形式Ⅰ
1 形式Ⅰ
闭环系统稳定的充要条件是，当 由 变
到时，系统的开环频率特性
按逆时针方
向包围（-1，j0）点P周，P为位于s平面右半部
的开环极点数目。否则，系统不稳定。
机械工程控制基础 第五 章 系统的稳定性
2020年4月28日星期二
机械工程控制基础
• 第一章 自动控制的一般概念 • 第二章 控制系统的数学模型 • 第三章 控制系统的时域分析法 • 第四章 频域分析法 • 第五章 控制系统的稳定性 • 第六章 控制系统的校正
第五章 系统的稳定性
• 5.1 系统稳定性的初步概念 • 5.2 Routh稳定判据 • 5.3 Nyquist稳定判据 • 5.4 Bode稳定判据 • 5.5 系统的相对稳定性
（1） 相角裕度
我们把GH平面上的单位圆与系统开环频率特性 曲线的交点频率 称为幅值穿越频率或剪切频率， 它满足：
所谓相角裕度是指幅值穿越频率所对应的相移 与 角的差值，即
对于最小相位系统，如果相角度 系统是稳定的(
下图)且 值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角
裕度 ,系统则不稳定(下图右)。当 时，系统的开
设输入信号为单位脉冲信号，则有：
从上式可看出，要想系统稳定，只有当系统的 特征根s，全部具有负实部。
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何 种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有 特征根均为负数或具有负的实数部分；即： 所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系 统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点 均在s平面的左半平面。
李亚普诺夫意义下稳定性的定义
稳定的定义
——表示求欧几里德范数 （即：表示空间距离
Baidu Nhomakorabea
。
）
则
非线性时变系统
李亚普诺夫稳定的定义
定义 对于任意给定的实数 实数满足，使
≤
，都对应存在
的任意初始状态
出发的轨线 有
≤ε （对所有 t ≥t0）
成立，则称 。
为Lyapunov意义下是稳定的
渐近稳定
Lyapunov意 义下稳定
形式Ⅰ
形式Ⅰ
[F(s)]
[GH(s)]
[s]
[GH(s)]
乃氏图负穿越
在乃氏图上，开环频率特性，从上半部
分穿过负实轴的
段到实轴的下半部
分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿
过负实轴的
段到实轴的上半部分
，称为负穿越；起始于（或终止于）
段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；
乃氏图负穿越实例1
-1
（a）
（b）
假定系统的开环放大系统由于系统参数的改变比原来 增加了50%，则图(a)中的A点移动到 点,仍在 点右侧，系统还是稳定的；而图(b)中的B点则移到
的左侧 点，系统便不稳定了。可见前者较能适 应系统参数的变化，即它的相对稳定性比后者好。
-1
（a）
（b）
稳定裕度
通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳 定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。
表明闭环系统有两个极点在右半s平面，故 系统是不稳定的。
问题讨论
1 在引入Nyquist判剧时，为什么只就开环极点在 虚轴上的分布情况进行讨论而没有就开环零点的 情况进行讨论？
2 原点处有开环极点时为什么要补作一条虚线，虚 线在实际中是否存在？补作虚线与开环传函中的那 一个环节有关系，在给出的Nyquist判剧形式Ⅰ与形 式Ⅱ中的具体关系是什么？
5.1 系统稳定性的初步概念
稳定性是控制系统最重要的问题，是系 统正常工作的首要条件。控制系统在实际运 行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动 ，例如负载或能源的波动、环境条件的改变 、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当 它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其 平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失 了，也不可能恢复原来的平衡状态。
(1) 在劳斯表的某一行中, 第一列元素为零 , 而其余各列元素均不为零, 或部分不为零;
(2) 劳斯表的某一行元素全部为零。
Routh 判据的应用
X(S) -
Y(S)
5.3 Nyquist稳定判据
幅角定理
在s平面上任选一封闭曲线 ，并使 上每
个点不包含 的零点与极点，则 映射到 平面上也是一条封闭曲线。当s顺时针沿 变化一周时， 向量端点轨迹按顺时针
线性定常系统的临界稳定条件
若线性定常系统在复平面右半平面没有极点, 但 虚轴上存在极点, 则称系统为临界稳定。在工程上, 临界稳定属于不稳定, 因为参数的微小变化就会使极 点具有正实部, 从而导致系统不稳定。
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关 。
反馈系统稳定的充要条件
对于一般的反馈系统，系统的传递函数为：
形式Ⅲ
闭环系统稳定的充要条件是，在开环对数幅
频特性
不为负值的所有频段内
，对数相频特性 与 线的正穿越与负穿
越次数差为 ，这里 是开环传递函数位于
s平面右半部的极点数目。否则，闭环系统
不稳定。
形式Ⅳ
闭环系统稳定的充要条件是，在BODE图0dB线 上方，开环频率响应的对数幅相特性对 线的
正、负穿越次数差应等于 ，其中 为s平面右
例 考虑图所示的系统, 确定使系统稳定的K的
取值范围。
控制系统框图 解 由图可知, 系统的闭环传递函数为
所以系统的特征方程为 列劳斯表如下：
根据劳斯判据, 系统稳定必须满足
因此, 使闭环系统稳定的K值范围为
当K=14/9时, 系统处于临界稳定状态。
需要指出, 在运用劳斯稳定判据分析系统稳 定性时, 有时会遇到下列两种特殊情况：
环频率特性曲线穿过
点，系统处于临界稳定状
态。
（2） 幅值裕度
把系统的开环频率特性曲线与GH平面负实轴的交 点频率称为相位穿越频率 ，显然它应满足
所谓幅值裕度Kg是指相位穿越频率 所对应的开 环幅频特性的倒数值，即
线性系统稳定的充要条件
线性系统稳定充要条件的例子
控制系统李亚普诺夫稳定性
对于非线性、时变、多输入多输出控 制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无 能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫 （A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和 研究。
A. M. Lyapunov于1892年出版专著《 运动系统稳定性的一般问题》，使得 Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最 重要的几个柱石之一。
线性定常系统传递函数的通式为
系统的特征方程式为 经过研究得出如下结论：
线性定常系统稳定的充分必要条件是, 特征方程 式的所有根均为负实根或其实部为负的复根, 即特征 方程的根均在复平面的左半平面。 由于系统特征方程的根就是系统闭环传函的极点, 因 此也可以说,
线性定常系统稳定的充分必要条件是系统闭环传 函的极点均在复平面的左半平面。
0变化到＋∞时，开环频率特性
正、
负穿越 平面负实轴上（-1，-∞ ）段的次
数差为 ，这里 是开环传递函数极点中处
于s平面右半部的数目。否则，闭环系统不
稳定。
乃氏判剧-形式Ⅱ例子：如图所示的乃氏曲线中 ，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。
解：
所以系统稳定 所以系统不稳定 所以系统不稳定
系统稳定
系统不稳定
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
改变一次
在这两种情况下, 两个大小相等符号相反的实根
表明系统在复平面内可能存在 两个共轭虚根 以虚轴对称的两对共轭复根,
此时，系统处在不稳定状态或临界稳定状态。
下面通过实例说明这时应如何排劳斯表。若遇到 第一种情况, 可用一个任意小的正数ε代替为零的元 素, 然后继续进行计算, 完成劳斯表。
系统稳定
设闭环系统的开环传递函数为，分析其稳定性。
的轨迹如图所示。 在右半s平面内没有任何极点，并且 的轨迹不包围 ，所以对于任何 的值，该系统都是稳定 的。
设系统具有下列开环传递函数:
试确定以下两种情况下，系统的稳定性： 增益K较小增益K较大。
小K值时是稳定的
Im w =0-
´ -1
GH平面
w= w =-
3 根据Nyquist判剧给出如下情况的分析： 对于P=0的开环系统，若其开环频率响应 通过（-1，j0）点，则系统处于什么状态？
乃氏判剧-形式Ⅴ
对于最小相位系统，闭环系统稳定的充要
条件是 ，
；否则不稳定。
乃氏判剧-形式Ⅵ
乃氏判据左手定则。乃氏判据左手定则的内容如 下：将左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面内 垂直且指尖向上，对于最小相位系统，将左手放
1 稳定性的初步概念
如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态， 而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态 ，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统 是不稳定的，或不具有稳定性。
小球的稳定性
稳定性的初步概念工程实例
稳定性的初步概念-正反馈加力
线性定常系统稳定的充分必要条件
线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛 性。如果线性定常系统的时域响应随着时间的推移, 是逐渐收敛的,即 系统的时域响应能最终收敛到一个 稳定状态, 则称该线性定常系统是稳定的; 反之，如 果时域响应发散, 则该线性定常系统就是不稳定的。
能使控制系统的开环频率响应包围点（-1，j0），从
而造成控制系统不稳定。因此，在Nyquist 图上，开
环频率响应 与点（ -1，j0 ）的接近程度可直接表
征控制系统的稳定程度。
图(a)和(b)所示的两个最小相位系统的开环频 率特性曲线（实线）没有包围 点，由奈氏判
据知它们都是稳定的系统，但图(a)所示系统的频 率特性曲线与负实轴的交点 A 距离点较远，图(b) 所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点 B 距离 点较近。
半部含有的开环传递函数极点的数目。否则，闭 环系统不稳定。
乃氏判剧-形式Ⅶ
若系统不稳定，系统的开环增益增加大 于原来 倍，则闭环系统稳定；否则，系 统不稳定。
乃氏判剧-形式Ⅷ
若系统不稳定，系统对频率为 的信号 的相角增加大于 ，则闭环系统稳定；否 则，系统不稳定。
5.5 系统的相对稳定性
设计控制系统，要求它必须稳定，这是控制 系统赖以正常工作的必要条件。除此之外，还要 求控制系统具有适当的相对稳定性。