平面向量数量积运算专题(附答案解析)

平面向量数量积运算

题型一 平面向量数量积的基本运算

例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，

DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →

＝1，则λ的值为________.

(2)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB →

的最小值为( )

A.－4＋ 2

B.－3＋2

C.－4＋2 2

D.－3＋22

变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →

＝________.

题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角

例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22

3|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a

与b 的夹角为( )

D.π

(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π

3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹

角的余弦值等于( )

B.－1

26

D.－112

变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →

)，则

AB →与AC →

的夹角为________.

题型三 利用数量积求向量的模

例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( )

(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →

|的最小值为________.

变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1

2

.若平面向量b 满足

b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.

高考题型精练

1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →

等于( ) A.－32

a 2

B.－34

a 2

a 2 a 2

2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ，x ≥y ，

y ，x

⎪⎨

⎪⎧

y ，x ≥y ，

x ，x

向量，则( )

{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} {|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}

{|a ＋b |2

，|a －b |2

}≤|a |2

＋|b |2

{|a ＋b |2

，|a －b |2

}≥|a |2

＋|b |2

3.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2

＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →

|的最大值为( )

4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →

＝p ，则p ·(b －a )等于( )

A.－12

C.－32

5.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →

|的取值范围是

( )

A.(0，5

2

] B.(52，72] C.(

5

2

，2] D.(

7

2

，2] 6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →

等于( )

7.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，

y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值

为4|a |2

，则a 与b 的夹角为( )

8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →

＝2，则AB →·AD →

的值是________.

9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝

3

2

，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →

|＝________.

11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).当a ∥b 时，求cos 2

x －sin 2x 的值；

12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →

.

(1)求|AB →－AC →|；

(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →

，令k ＝x ·y ，求k 的最小值.