鲁东大学2014-2015-1学期高等数学A(1)卷A
高等数学(A)A卷
南京邮电大学2009/2010学年第一学期《高等数学A 》期末试卷（A ）院(系) 班级 学号 姓名一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、当0→x 时，下列无穷小量关于2x 等价的是（ ） (A ) )1l n(3x x + (B ) x 3cos 1- (C ) 2sin )1(x e x - (D )1212-+x2、的是则设)(0,)1(||sin )(2x f x xx x x f =-=（ ）(A ) 可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 3、已知2)3(='f ，则=--→hf h f h 2)3()3(lim（ ）(A ) 1 (B ) -2 (C ) -1 (D ) 04、方程x x x x cos sin 2+=的实数根的个数为 （ ）(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 45、微分方程x y y sin 2='+''的特解*y 的形式为 （ ）(A ) )si n cos (x b x a e x+ (B ) )si n cos (x b x a x + (C ) x a sin (D ) x b x a sin cos +二、填空题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、曲线xxe y =的拐点坐标为 。
2、曲线⎪⎩⎪⎨⎧==te y te x ttcos 2sin 在点)1,0(处的切线方程为。
装 订线 内 不 要 答 题自 觉遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊3、设C x x dx x f +++=⎰)1ln()(2，则=')(x f 。
4、=⎰+∞dx xx e2ln1 。
5、微分方程032=+'y x y 的通解为 。
三、计算下列极限 (每题7分，共14分) 1、21)2343(lim +∞→+-x x x x 2、)1ln(1limx x x e xx +--→四、计算下列各题(每题7分，共21分)1、⎰dx x )cos(ln2、⎰-22221dx xx3、设)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求曲线)(x y y =在点)1,1(处的切线方程，并求)(x y y =在1,1==y x 处的二阶导数。
2014年高考山东卷数学(文)真题试题试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学试题卷（文史类）一、选择题1.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若2a i bi +=-，则()2bi a +=（ ）A.i 43-B.i 43+C.i 34-D.i 34+2.设集合{}{},41,022≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A （ ）A.(]2,0B.()2,1C.[)2,1D.()4,1 3.函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（ ）A.(0,2)B.(0,2]C.),2(+∞D.[2,)+∞4.用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A.方程02=++b ax x 没有实根 B.方程02=++b ax x 至多有一个实根 C.方程02=++b ax x 至多有两个实根 D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数,x y 满足(01)xy a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A.33xy > B.sin sin x y > C.22ln(1)ln(1)x y +>+ D.221111x y >++ 6.已知函数log ()(a y x c a =+，c 为常数，其中0,1)a a >≠ 的图象如右图，则下列结论成立的是（ ） A 1,1ac >> B.1,01a c ><<C.01,1a c <<>D.01,01a c <<<< 7.已知向量(1,3)a =，(3,)b m =.若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（ ）A.C.0D.8.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进 行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa) 的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)， [16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一 组，第二组，…，第五组.右图是根据试验数据制 成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20 人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有 疗效的人数为（ ）A.6B.8C.12D.18kPa9.对于函数)(x f ，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f -=，则称)(x f 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ） A.x x f =)( B.2)(x x f = C.x x f tan )(= D.)1cos()(+=x x f10.已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ）A.5B.4D.2 二、填空题11.执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n12.函数2sin 2cos 2y x x =+的最小正周期为 .13.一个六棱锥的体积为32，其底面是边长为2的正六边形， 侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .14.圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .15.已知双曲线12222=-by a x （0a b >>）的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为c 2，且FA c =，则双曲线的渐近线方程为__________. 三、解答题16.（本小题满分12分）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测．地区 A B C 数量50150100（1）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．17.（本小题满分12分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =3，A cos =36，2π+=A B ．（1）求b 的值； （2）求△ABC 的面积．18.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AD BC AB 21==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BEF ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ．19.（本小题满分12分） 在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+++-，求n T ．ABCDPFE20.（本小题满分13分） 设函数1()ln 1x f x a x x -=++，其中a 为常数． （1）若0=a ，求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调性．21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>y x =被椭圆C 截得的． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．（i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； （ii ）求OMN ∆面积的最大值．2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）参考答案一、选择题1．A [解析] 因为a ＋i=2－b i ，所以a =2，b =－1，所以(a ＋b i)2=(2－i)2=3－4i. 2．C [解析] 因为集合A ={x |0＜x ＜2}，B ={x |1≤x ≤4}，所以A ∩B ={x |1≤x ＜2}. 3．C [解析] 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.4．A [解析] 方程“x 2＋ax ＋b =0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b =0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b =0没有实根”．5．A [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以x 3>y 3恒成立．6．D [解析] ∵该函数是减函数，∴0＜a ＜1．∵x =0，y >0，∴0＜c ＜1． 7．B [解析] 由题意得cos π6＝a ·b |a ||b |＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m29＋m 2，解得m ＝3．8．C [解析] 因为第一组与第二组共有20人，并且第一组与第二组的频率之和是0.4，所以志愿者总人数为50，所以第3组人数为18，所以第三组中有疗效的人数是18－6=12.9．D [解析] 因为f (x )=f (2a －x )，所以函数f (x )的图像关于x =a 对称．A 选项中，函数f (x )=x 没有对称性；B 选项中，函数f (x )=x 2关于y 轴对称，与a ≠0矛盾；C 选项中，函数f (x )=tan x 也没有对称性；D 选项中，函数f (x )=cos(x ＋1)的图像是由函数g (x )=cos x 的图像向左平移一个单位后得到的，又函数g (x )=cos x 的图像关于x =k π(k ∈Z )对称，所以函数f (x )=cos(x ＋1)的图像关于x =k π－1(k ∈Z )对称．10．B [解析] 画出关于x ，y 的不等式组表示的可行域．z =ax ＋by 在A (2，1)点处取得最小值，即25=2a ＋b ，所以a 2＋b 2=a 2＋(25－2a )2=5a 2－85a ＋20，显然当a =455时，a 2＋b 2取最小值4.又解：直线2a ＋b=25上的点到原点的距离为22，a 2＋b 2的最小值为4. 二、填空题11．3 [解析] x ＝1满足不等式，执行循环后x =2，n =1；x =2满足不等式，执行循环后得x =3，n =2；x =3满足不等式，执行循环后得x =4，n =3；x =4不满足不等式，结束循环，输出n =3. 12．π [解析] 因为y =32sin2x ＋1＋cos 2x 2=sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T =2π2=π. 13．12 [解析] 设该六棱锥的高是h ．根据体积公式得，V =13×12×2×3×6×h ，解得h =1，则侧面三角形的高为1＋（3）2=2，所以侧面积S =12×2×2×6=12.14．(x －2)2＋(y －1)2=4 [解析] 因为圆心在直线x －2y =0上，所以可设圆心坐标为(2b ，b )．又圆C 与y 轴的正半轴相切，所以b >0，圆的半径是2b ．由勾股定理可得b 2＋(3)2=4b 2，解得b =1，所以圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2=4.15．y =±x [解析]抛物线的焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y =－p2．因为FA c =，所以⎝⎛⎭⎫p 22＋a 2=c 2，即22()2pb =．联立⎩⎨⎧y ＝－p2，x 2a 2－y2b 2＝1，消去y 得x =±a 2＋a 2p 24b2，即x =±2a ．又因为双曲线截抛物线的准线所得的线段长为2c ，所以22a =2c ，即2a =c ，所以b =a ，双曲线的渐近线方程为y =±x . 三、解答题16．解：（Ⅰ）因为样本容量与总体中的个数的比是615015010050=++，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：150150⨯=，1150350⨯=，1100250⨯=， 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2．（Ⅱ）设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；1B ，2B ，3B ；1C ，2C ． 则从这6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：123{,},{,},{,}A B A B A B ,12{,},{,}A C A C ,1213111223{,},{,}{,},{,};{,}B B B B B C B C B B , 2122313212{,},{,},{,},{,},{,}B C B C B C B C C C ,共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有：12132312{,},{,}{,},{,}B B B B B B C C ，共4个，所以4()15P D =，即这2件商品来自相同地区的概率为415．17．解：（Ⅰ）在ABC∆中，由题意知sin A ==， 又因为2BA π=+，所以sin sin()cos 2B A A π=+==由正弦定理，得3sin sin a Bb A=== （Ⅱ）由2B A π=+，得cos cos()sin 2B A A π=+=-=． 由A B C π++=，得()C A B π=-+，所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(=+13=． 因此ABC ∆的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=． 18．解：（Ⅰ）设ACBE O =，连结OF ，EC ．由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==， 所以//AE BC ，AE AB BC ==．因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，因此在PAC ∆中，可得//AP OF ． 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF ． （Ⅱ）由题意知，//,ED BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形，因此//BE CD ． 又AP ⊥平面PCD ，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE AC ⊥． 又APAC A =，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ．19．解：（Ⅰ）由题意知2111()(3)a d a a d +=+， 即2111(2)(6)a a a +=+，解得12a =， 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =． （Ⅱ）由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+，所以122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+．因为12(1)n n b b n +-=+， 可得，当n 为偶数时，12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+48122n =++++(42)22nn +=(2)2n n +=；当n 为奇数时，ABCDPFEO1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-． 所以2(1),2(2)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数,，为偶数. 20．解：（Ⅰ）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+． 此时'22()(1)f x x =+．可得'1(1)2f =，又(1)0f =， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=． （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．2'222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++=+=++． 当0a ≥时，'()0f x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++， 由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，①当12a =-时，0∆=，2'21(1)2()0(1)x f x x x --=≤+，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． ②当12a <-时，0,()0g x ∆<<，'()0f x <，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． ③当102a -<<时，0∆>，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则1x =，2x =．由1x =0=>，所以1(0,)x x ∈时，'()0,()0g x f x <<，函数()f x 单调递减；12(,)x x x ∈时，'()0,()0g x f x >>，函数()f x 单调递增；2(,)x x ∈+∞时，'()0,()0g x f x <<，函数()f x 单调递减．综上可得：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当102a -<<时，()f x在，)+∞上单调递减，在上单调递增．21．解：（Ⅰ）由题意知2a =，可得224a b =． 椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=．将y x =代入可得5x =±55=2a =． 因此1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）（ⅰ）设1111(,)(0)A x y x y ≠，22(,)D x y ，则11(,)B x y --． 因为直线AB 的斜率11AB y k x =， 又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-． 设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(14)8440k x mkx m +++-=． 所以122814mk x x k +=-+，因此121222()214my y k x x m k+=++=+． 由题意知，12x x ≠-，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+．所以直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+， 令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x ，可得1212y k x =-． 所以1212k k =-，即12λ=-． 因此存在常数12λ=-使得结论成立．（ⅱ）直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+， 令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -． 由（ⅰ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393||||||||248S x y x y =⨯⨯=．因为221111||||14x x y y ≤+=，当且仅当11||||2x y ==时等号成立， 此时S 取得最大值98，所以OMN ∆的面积的最大值为98．。
鲁东大学2014-2015-1学期高等数学A(1)卷A
（ ）.(A) ()a a ϕ ; (B) -()a a ϕ ; (C) ()a ϕ- ; (D) ()a ϕ.2、下列函数在区间[-1, 1]上满足罗尔定理条件的是 ）. （A ）x y e =; （B ）1||y x =+; （C ）21y x =-; （D ）11y x=-. 3、函数sin()2y x π= 的一个原函数是( ).（A ）cos2y π=-; （B ）cos22y x ππ=-;（C ）2cos2y x ππ=-; （D ）2cos2y x ππ=.4、函数sin y x =在x [0,]π∈上的平均值是 ( ). （A ）π; （B ）π-; （C ）2π; （D ）2π. 5、设0'()f x 存在，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆ ( ). （A ）0'()f x ; （B ）0'()f x -; （C ） 02'()f x ; （D ）02'()f x -.6、方程32220x x x -++= 在区间()内至少有一个实根.（A ）（-2, 1）; （B ）（-2, -1）; （C ）（0, 1）; （D ）(1, 2).三、计算题：本题共 6小题，满分51 分。
1、求极限（8分） （1）0x → (4分) （2）200cos lim .xx t dt x→⎰ （4分）2、求由方程1sin 02x y y -+=所确定的隐函数的一阶和二阶导函数. (6分) 3、求由方程cos sin x a ty b t=⎧⎨=⎩确定的函数的一阶和二阶导数.（6分）4、求下列积分 （15分）（1）d x⎰. (5分 （2）2224cos d ππθθ-⎰. (5分)（3）若ln x x 是()f x 的一个原函数, 求()xf x dx '⎰. (5分)6、求函数3226187y x x x =---的单调区间, 凹凸区间及极值和拐点.（8分） 四、综合题：本题共 2 小题，满分 13分。
14-15-1学期-《线性代数A》B卷-答案
鲁东大学2014—2015学年第1学期2013级物理类、计算类、电子类、软件本、电气本、能源本专业本科卷B 参考答案与评分标准 课程名称 线性代数A课程号（2190050） 考试形式（闭卷笔试） 时间（120分钟）一、判断题：本大题共5个小题，每小题4分。
共20分。
如果命题成立，则在题后（ ）内划“√”，否则划“×”。
1. √;2. ×;3. × ;4. √ ;5.√. 二、填空题 本题共5小题，满分15分。
1、 CB ；2、010⎛⎫ ⎪± ⎪ ⎪⎝⎭；3、3 ；4、 01020315k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5、 0 .三、选择题 本题共5小题，满分15分。
1、C ;2、D ;3、A;4、B ;5、B. 四 、计算题 本题共4小题，满分60分。
1、（12分）计算行列式6427811694143211111=D ＝4818401262032101111---------------（5分）＝481841262321---------------（3分）＝3610062321=600620321=12---------------（4分）注： 解法不是唯一的，根据解题情况适当给分．2、（14分）求解矩阵方程X A AX +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010312022A 。
解：把所给方程变形为A X E A =-)(，而由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010110312302022021)(A EA ---------------------（3分）经初等行变换，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----312100302010622001~)(A EA ---------------------（6分）所以，得E A -可逆，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-312302622)(1A E A X ---------------------（5分）（也可以按照公式法求解）3、（14分）求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=++-11511322326417532432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解：对增广矩阵)(b A 进行初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000811100211610231~)(b A ---------------------（8分）所以方程组的特解为T)0,0,0,21(=η ---------------------（2分）导出组的基础解系为：TT)16,22,0,1(,)0,0,2,3(21-==ξξ ---------------------（2分） 方程组的通解为R c c c c x ∈++=212211,,ηξξ ---------------------（2分）4、（20分）把实二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++---用正交变换x Py =化二次型为标准形，求出所用正交变换以及所得到的标准形.解：二次型对应的矩阵为A=124242421--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦………………… （3分） 则2124242(4)(5)0421I A λλλλλλ--=-=+-=- ………………… （4分）特征值分别为234,51λλλ=-== ………………… （1分） （1）当4A+4E X=0λ=-时，解方程组（）由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=+5242824254E A 初等行变换⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0002110101，得一特征向量T p )2,1,2(1= …………………（3分）（2）当5A-5E X=0λ=时，解方程组（）由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-4242124245E A 初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000001211，得两个特征向量Tp )0,2,1(2-=，T p )1,2,0(3-=． ………………… （3分）利用施密特正交化方法确定正交矩阵为231315203P ⎡-⎢⎢⎢⎢=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，…………………（5分） 则1455P AP --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即标准形为222123123(,,)455q y y y y y y =-++。
(完整word版)2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案,推荐文档.docx
2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合 A={ x| x 22 x3 0 } ， － ≤ ＜ ＝，则A B =B={ x | 2 x 2A .[-2,-1]B .[-1,2 ）C .[-1,1]D .[1,2 ）(1 i )32.(1 i )2=A .1 iB . 1 iC . 1 iD . 1 i3.设函数 f ( x) ， g(x)的定义域都为R，且 f (x) 时奇函数， g( x) 是偶函数，则下列结论正确的是A . f (x) g (x) 是偶函数B .| f ( x) | g( x) 是奇函数C . f (x) | g ( x) |是奇函数D .| f (x) g( x) |是奇函数4.已知 F 是双曲线 C ： x 2my 23m( m 0) 的一个焦点，则点F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3B .3C . 3mD . 3m5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率A . 1B . 3C .5D .7888 86.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0,]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的a, b, k 分别为 1,2,3 ，则输出的 M =A .20B .16C . 7D .15352 88.设(0,)，(0,) ，且 tan 1 sin，则cos22A . 32B . 22C .3D . 2229.不等式组x y 1的解集记为 D .有下面四个命题：x 2 y4p1： ( x, y) D , x 2 y 2 ，p2： ( x, y) D , x 2y 2 ,P( x, y) D , x 2 y 3，p4 ：( x, y) D , x 2 y1.3 ：其中真命题是A .p2，p3B .p1，p4C .p1，p2D .p1，p310.已知抛物线C：y28x 的焦点为F，准线为l，P是l上一点， Q 是直线PF与C的一个焦点，若uuur uuurFP4FQ ，则 | QF |=75C .3D .2A .B .2211.已知函数f ( x) = ax33x21，若 f ( x) 存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则 a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A . 6 2B . 4 2C .6D .4第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
海南大学2015高数A1(上)(试卷1及答案)
海南大学2015-2016学年度第1学期试卷科目：《高等数学A1》（上）试题(A卷)姓名：学号：学院：专业班级：成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）大题号一二三四五六七八总分得分阅卷教师： 2016年月日考试说明：本课程为闭卷考试，可携带。
一、填空题（每题3分，共15分,在以下各小题中画有____处填上答案)1、计算极限____________；2、设函数处连续，则=___________；3、设，且可导，则____________________；4、等边双曲线在点处的曲率为___________________；5、设函数（），则。
二、选择题（每题3分，共15分选择正确答案的编号，填在各题的括号内）1、设是的（）.(A) 可去间断点, (B) 跳跃间断点,(C) 第二类间断点, (D) 连续点.2、函数在上使得拉格朗日中值定理结论成立的是（）.(A), (B),(C), (D).3、设函数在点处可导，且，则等于（）．(A)， (B)，(C)， (D).4、曲线的拐点个数为（）.(A) 0, (B)1,(C) 2, (D) 3.5、设是的一个原函数，则等于（ ).(A), (B),(C), (D).三、计算题（每小题7分，共42分）1、计算极限.2、求由方程所确定的函数的二阶导数.3、求不定积分.4、计算定积分.5、由方程，确定为的函数，求.6、已知求.四、证明题（每小题7分，共14分）下：1、证明数列，，，的极限存在，并求出其极限。
2、设为满足的实数, 证明多项式在内至少有一个零点。
五、应用题（每小题7分，共14分）1、要制造一圆柱形油罐，体积为，问底半径和高各等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？2、计算由摆线，相应于的一拱，直线所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积。
2015年《高等数学A1》(上)试题（A卷参考答案）一、填空题（每题3分，共15分在以下各小题中画有_______处填上答案）1、计算极限____________；2、设函数在连续，则=_____3______；3、设，且可导，则___________；4、等边双曲线在点处的曲率为___________________；5、设函数（），则。
最新离散数学2014-2015第一学期期末试卷及参考答案
华东交通大学2014—2015学年第一学期考试卷试卷编号： （ A ）卷离散数学 课程 课程类别：必修 考试日期： 月 日 开卷(范围：可带含课程内容的手写的不超过A4大小的纸一张）注意事项：1、本试卷共 8 页（其中试题4页），总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、所有答案必须填在答题纸上，写在试卷上无效；3、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、单项选择题（2分×10=20分）1．下列语句是命题的有[ ]。
A. 122>+y x ；B. 2010年的国庆节是晴天；C. 青年学生多么朝气蓬勃呀！D. 学生不准吸烟!2．若一个代数系统是独异点（含幺半群），则以下选项中一定满足的是[ ]。
A. 封闭性，且有零元;B. 结合律，且有幺元；C. 交换性，且有幺元;D. 结合律，且每个元素有逆元.3．Z是整数集合，下列函数都是Z→Z的映射，则[ ]是单射而非满射函数。
A．ϕ (x) =0B．ϕ (x) =x2C．ϕ (x) =2x D．ϕ (x) =x4. 与命题p ∧ (p∨q)等值的公式是[ ]。
A. p；B. q；C. p∨q；D. p∧q.5. 设M={a,b,c}，M上的等价关系R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<b,c>,<c,b>}确定的集合M的划分是[ ]。
A.{{a},{b},{c}}B.{{a,c},{b,c}}C.{{a,c},{b}}D.{{a},{b,c}}6. 设D：全总个体域，F(x)：x是花，M(x) ：x是人，H(x,y)：x喜欢y ，则命题“每个人都喜欢某种花”的逻辑符号化为[ ]。
A. ))xFMy∃y∀；∧x→(y()(()x,(HB. ))yFyHM→∃x→∀；x)(,(((y()xC. ))yFyxH→∃x∧∀；M)(,(((y()xD. ))xyFMy→∀x∧∃.()(,()xH(y(7. 下列图中，不是哈密顿图的为[ ]。
鲁东大学官网考试题及答案
鲁东大学官网考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10题）1. 鲁东大学的校训是什么？A. 求实创新B. 厚德博学C. 笃学力行D. 明德至善答案：C2. 鲁东大学位于哪个城市？A. 北京B. 上海C. 青岛D. 济南答案：C3. 鲁东大学成立于哪一年？A. 1906年B. 1912年C. 1947年D. 1958年答案：D4. 鲁东大学的主要学科门类包括哪些？A. 文学、理学、工学B. 法学、经济学、管理学C. 教育学、历史学、艺术学D. 以上都是答案：D5. 鲁东大学图书馆藏书量超过多少万册？A. 100万B. 200万C. 300万D. 400万答案：B二、多项选择题（每题3分，共5题）1. 以下哪些是鲁东大学的特色专业？A. 汉语言文学B. 计算机科学与技术C. 化学工程与工艺D. 法学答案：ABCD2. 鲁东大学在哪些方面取得了显著成就？A. 教学改革B. 科研创新C. 国际交流D. 社会服务答案：ABCD3. 鲁东大学提供的学位类型包括哪些？A. 学士B. 硕士C. 博士D. 博士后答案：ABC4. 鲁东大学的学生可以参与哪些类型的国际交流项目？A. 交换生项目B. 双学位项目C. 短期访学项目D. 国际会议答案：ABCD5. 鲁东大学在哪些领域设有研究所或研究中心？A. 环境科学B. 生物技术C. 新材料D. 人工智能答案：ABCD三、简答题（每题5分，共2题）1. 简述鲁东大学的办学理念。
答：鲁东大学秉承“厚德博学、笃学力行”的校训，致力于培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，坚持教学与科研并重，注重学术创新和社会服务，努力建设成为国内一流、国际知名的高水平大学。
2. 描述鲁东大学校园的地理位置和环境特点。
答：鲁东大学位于风景秀丽的海滨城市青岛，校园依山傍海，环境优美，气候宜人。
学校占地面积广阔，拥有现代化的教学楼、实验室、图书馆、体育场馆等设施，为师生提供了良好的学习和生活环境。
高等数学A(一)2013-2014(B)
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2013 — 2014 学年第一学期期末考试《 高等数学A （一）》（B 卷） （本次考试不能使用计算器）班级 学号 姓名 总分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)1、当x →0时，()2cos 1x -是sin 2x 的 （ ）。
(A)高阶无穷小; (B)同阶无穷小;但不等价; (C)等价无穷小; (D)低阶无穷小xx D x x x x C x x x x e B x x e A y x x e y 222222csc sec cot csc tan sec cot csc tan sec 11csc sec 11csc sec arctan 2++++++++-='-+=． ．． ．）（，则、设 也无水平渐近线无铅直渐近线又有水平渐近线，有铅直渐近线无水平渐近线）有铅直渐近线无铅直渐近线，有水平渐近线）渐近线的正确结论是（、关于曲线,)(,)(,(,)(1cos 32D C B A xxy +=⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-202022sin 2)( 0)(sin )(sin )(sin 224ππππππxdxD C xdxB xdx A x x y 、 、 、 、 ）轴围成图形的面积为（与上的曲线，、在--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 6 页5、曲面22y x z +-=是（ ）（A ）zox 平面上曲线z x =绕z 轴旋转而成的旋转曲面;（B ）zoy 平面上曲线y z -=绕z 轴旋转而成的旋转曲面; （C ）zox 平面上曲线z x =绕x 轴旋转而成的旋转曲面; （D ）zoy 平面上曲线y z -=绕y 轴旋转而成的旋转曲面.二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、处的法线方程为曲线在设曲线方程为1,sin sin 122=⎪⎩⎪⎨⎧+=++=x tt y tt x 2、='⋅⋅+⎰x x f x f x x xx f d )()( , sin 1sin )(则的一个原函数为已知3、设a b c ,,均为非零向量，且a b c b c a c a b =⨯=⨯=⨯,,b ++=4、⎰-=223_______________cos ππxdx三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、之值。
14高数A期末一真题与答案
淮 海 工 学 院13 – 14学年第 二 学期 高等数学A （2） 期末试卷（A 闭卷）1．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1,0)，而点B 的坐标为(0,1,2)，则c o s AOB ∠= --------------------------------------------------------------------（A ）（A ）15 （B ）13 （C （D 2．2232(,)tan [(2)]f x y x y xy =-+，则(2,2)yy f =----------------------------------（D ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3. 3x yu ez +=-在点(0,0,3)-处的梯度为----------------------------------------------（B ）（A ）i j k +- （B ）3i j k +- （C ）3i j k ++（D ）33i j k ++ 4．二次积分4011(,)xdx f x y dy -⎰⎰的另一种积分次序为-----------------------（D ） （A ） 110(,)y dy f x y dx -⎰⎰（B）11(,)y dy f x y dx -⎰⎰（C ）1410(,)y dy f x y dx -⎰⎰（D ）1100(,)y dy f x y dx -⎰⎰5．2224()x y x y ds +=+=⎰-------------------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） 4π （C ）8π （D ） 16π 6．设n u =则级数-------------------------------------------------------------------（C ）（A ）1nn n u ∞∞==∑与（B ）∑∞=1n nu与n ∞=都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而1n ∞=发散 （D ）∑∞=1n n u 发散，而n ∞=收敛7．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为,0(),0x x f x x x πππ--<≤⎧=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(7)Sπ=------（C ） （A ）π-（B ）2π- （C ）2π （D ）π 8．x y y e -'=的通解为---------------------------------------------------------------------------（A ）（A ）x y e e C -= （B ）C e e y x =+- （C ）C e e y x =+-（D ）C e e yx =+ 二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设(,)z f x y y x =，其中(,)f u v 可微，求,x y z z 以及x y xz yz +.解：12x u v z y f x yf --=----------------------------------------------------------------------------321y u v z xy f x f --=-+------------------------------------------------------------------------2 0x y xz yz +=.--------------------------------------------------------------------------------22．设D 由,y x y ==y 轴所围成，求D.解: :042D r πθπ≤≤≤≤----------------------------------------2 则原式221241)d r rdr ππθ-=+⎰--------------------------------------22120(1)(1)8r d r π-=++4π=.----------------------------------------33．取L 为2231x y +=的顺时针方向，用格林公式求3322()(23)3L x y dx x y dyx y -+++⎰.解：原式33()(23)Lx y dx x y dy =-++⎰------------------------------------------------------22231(21)Greenx y d σ+≤=-+⎰⎰----------------------------------------------------------------322313x y d σ+≤=-=⎰⎰.------------------------------------------------------------24．求11x y y x x '-=+的通解. 解： 11[]'1dx dx x xx ye e x--⎰⎰=+，则1()'1y x x =+----------------------------------------------4有ln(1)yx C x=++，-----------------------------------------------------------------------2 故[ln(1)]y x x C =++.---------------------------------------------------------------------1三、计算证明题（本大题8分）求曲面222236x y z ++=上点()1,1,1P --处的切平面I 的方程，并证明直线3:15x L y z -==+在切平面I 内. 解：记()222,,236F x y z x y z =++-，则(),,2x F x y z x '=，(),,4y F x y z y '=，(),,6z F x y z z '=-------------------------------2于是曲面在点P 处的法线向量为()()()(,,)(2,4,6)x y z n F P F P F P '''==----------1则切平面方程为()()()2141610x y z --+-+=，即2360x y z ---=，------ ---2直线L 的方向向量为(5,1,1)s =，由0n s ∙=，知n s ⊥，--------------------------------2 又直线L 上的点(3,0,1)-∈I ，则L 在切平面I 内.------------------------------------------1四、计算题（本大题８分）和建制造，乐在共享。
2014-15-2高等数学(2-2)第一阶段考试答案
2014—2015学年第二学期《高等数学（2-2）》第一阶段考试卷参考答案( 工科类 )专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2015年4月 19 日题号一二三四五六七总分本题满分12 18 14 22 10 12 12本题得分阅卷人注意事项：1．本试卷共七道大题，包括基础达标题（第一到四题），综合提高题（第五、六题），应用拓展题（第七题），满分100分；2．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；3. 本试卷正文共7页；试卷本请勿撕开，否则作废。
一、（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯”；如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明.1．设0ρρ≠a ，已知c a b a ρρρρ⋅=⋅且c a b a ρρρρ⨯=⨯，则必有c b ρρ=. （√）……（2分） 证明：由c a b a ρρρρ⋅=⋅得0)(=-⋅c b a ρρρ，故)(c b a ρρρ-⊥；由c a b a ρρρρ⨯=⨯得0)(ρρρρ=-⨯c b a ，故a ρ∥)(c b ρρ-；又0ρρ≠a ，故0ρρρ=-c b ，即c b ρρ=. ……（2分）2．若函数),(y x f 在),(00y x 处沿任何方向的方向导数都存在， 则),(y x f 在),(00y x 处的偏导数也存在.（⨯）……（2分） 例如：函数22),(y x y x f +=在)0,0(沿任何方向的方向导数为10)()(lim 220=-∆+∆=∂∂→ρρy x l fρ，但是xx x x f x x x ∆∆=∆-∆='→∆→∆020lim)(lim)0,0(不存在，同理)0,0(y f '也不存在。
……（2分） 3．若点),(y x 沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00y x 时，函数),(y x f 都趋向于某一个常数A ，则有A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00. （⨯）……（2分）例如：yx xyy x f +=),(，虽然当),(y x 沿着直线kx y =)1(-≠k 趋向于)0,0(时， ),(lim 0y x f kx y x →=→kx x kx x +=→20lim 01lim 0=+=→k kxx ；但是当),(y x 沿着 x x y -=2 趋向于)0,0(时，),(lim02y x f x x y x →-=→x x x x x x -+-=→2230lim 1)1(lim 0-=-=→x x .故 二重极限),(lim 00y x f y x →→不存在. …（2分）或例如：,),(422y x xy y x f +=虽然),(lim 00y x f kx y x →=→4220)()(lim kx x kx x x +=→01lim 2420=+=→x k x k x ， 但),(lim 002y x f y x y →=→.21)(lim 422220=+⋅=→y y y y y 故 二重极限),(lim 00y x f y x →→不存在.或例如：,),(263y x y x y x f +=虽然),(lim 00y x f kx y x →=→2630)(lim kx x kxx x +⋅=→,0lim 2420=+=→k x kx x但),(lim 003y x f x y x →=→.21)(lim 236330=+⋅=→x x x x y 故 二重极限),(lim 00y x f y x →→不存在.二、（共3小题，每小题6分，共计18分）1. 求与向量k j i a ρρρρ32--+=共线且满足28-=⋅x a ρρ的向量x ρ.解：设}3,,2{λλλλ--==a x ρρ，……（2分） 又2894-=++=⋅λλλx a ρρ，……（2分） 即2-=λ.故}6,2,4{-=x ρ.……（2分）2．求过直线132211-+=-=-z y x 且垂直于平面0523=--z y 的平面方程. 解：直线的方向向量为}1,2,1{-=s ρ，已知平面的法向量为}2,3,0{-=n ρ，则所求平面的法向量为：}3,2,1{230121-=--=⨯=*kj i n s n ρρρρρρ……（4分）已知平面过点)3,2,1(-，故所求平面方程为：0)3(3)2(2)1(=++-+--z y x 即：0632=---z y x . ……（2分） 3．求由曲面222y x z +=及223y x z --=所围成的立体在xOy 坐标面上的投影区域.解:两曲面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧--=+=222232yx z yx z ，消去z 得到交线关于xOy 坐标面的投影柱面：222=+y x ，……（3分）交线在xOy 坐标面上的投影曲线为：⎩⎨⎧==+0222z y x ， ……（2分）立体在xOy 坐标面上的投影区域为：⎩⎨⎧=≤+0222z y x . ……（1分）三、（共2小题，每小题7分，共计14分） 1.求曲线⎩⎨⎧=+=++zy x z y x 222226在点)2,1,1(处的切线方程和法平面方程. 解：对方程组每个方程两边分别关于x 求导得,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++0220222dx dz dx dy y x dx dz z dx dy y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+x dxdz dx dy y x dx dz z dx dy y 22,……（2分） 当0≠--=⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=yz y y z yJ 212时yz y xz x yz y x z xdx dy 22212--+=--⎥⎦⎥⎢⎣⎢---=，0222=--⎥⎦⎥⎢⎣⎢--=yzy x y x y dx dz . ……（2分）曲线在点)2,1,1(处的切向量为}0,1,1{},,1{)2,1,1(-==→dxdzdx dy T ，……（1分） 故所求切线方程为：021111-=--=-z y x ，……（1分） 法平面方程为：0)2(0)1(1=-⋅+---z y x ，即：0=-y x . ……（1分）2. 求直线⎩⎨⎧=+-+=-+-01012z y x z y x 在平面02=-+z y x 上的投影直线的方程.解：设过直线的平面束方程为0)1()12(=+-++-+-z y x z y x λ 即：.0)1()1()1()2(=-+-+-++λλλλz y x ……（2分） 又因为该平面垂直于已知平面02=-+z y x ，故.0)1()1(2)1(1)2(=-⋅-+⋅-+⋅+λλλ……（2分）解得41=λ.……（1分） 因此得到投影柱面：.013=-+-z y x所求直线的投影曲线为：.02013⎩⎨⎧=-+=-+-z y x z y x ……（2分）四、计算题（共3小题，前两小题每题7分，第3小题8分，共计22分）1.设)sin ,2(x y y x f z -=，其中f 具有连续的二阶偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,. 解：x y f f xzcos 221⋅'+⋅'=∂∂……（3分）()212cos 2f x y f yy x z '+'∂∂=∂∂∂ ()()x f f x y f x x f f sin )1(cos cos sin )1(2222121211⋅''+-⋅''+'+⋅''+-⋅''=……（3分） ()2221211cos 2sin 21cos sin 22f x f x y f x y x f '+''+''-+''-=……（1分） 2.已知0)(=z x z y -ϕ，其中ϕ为可微函数，求yz y x z x ∂∂+∂∂. 解：设zxzyz y x F -)(),,(ϕ=，则z F x 1-='，z z y F y 1)(⋅'='ϕ，22)()(z x z y z y F z +-⋅'='ϕ.…（3分）当0≠'z F 时，)(z y y x z F F x z z x ϕ'-=''-=∂∂，)()(zy y x z y z F F y z z y ϕϕ'-'-=''-=∂∂. …… (2分) 于是z yzy x z x=∂∂+∂∂.（2分） 3. 设n ρ为曲面632:222=++∑z y x 在点)1,1,1(P 处指向外侧的法向量，求： (1) 函数z e u xy ln +=在点)1,1,1(P 处的梯度；(2) 函数z e u x yln +=在点)1,1,1(P 处沿方向n ρ的方向导数.解：（1）x ye x y x u 2-=∂∂，x ye x y u 1=∂∂, zz u 21=∂∂，……（2分） }21,,{,,)1,1,1()1,1,1(e e z u y u x u gradu -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=. ……（2分）(2) }2,6,4{}2,6,4{)1,1,1(==z y x n ρ，}141,143,142{0=n ρ……（2分） 14222141143)(1420ee e n gradu n u +=⋅+⋅+-⋅=⋅=∂∂11ρρ.……（2分）五、（本题10分） 已知b a ρρ⊥，1||=a ρ，2||=b ρ，设b a c ρρρ+=2，b a k d ρρρ-=. 问：(1)k 为何值时，d c ρρ⊥；(2)k 为何值时，以c ρ与d ρ为邻边的平行四边形的面积为6.解：(1)要使d c ρρ⊥，需要0=⋅d c ρρ而2222)()2(b b a k b a a k b a k b a d c ρρρρρρρρρρρ-⋅+⋅-=-⋅+=⋅……（1分） 因为b a ρρ⊥，所以0=⋅b a ρρ.故042222=-=-=⋅k b a k d c ρρρρ……（2分）得2=k .……（1分）(2)b a k b b a b k b a a a b a k b a d c ρρρρρρρρρρρρρρρ⨯--=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯+=⨯)2(22)()2(.……（2分）以c ρ与d ρ为邻边的平行四边形的面积为k b a b a k b a k d c S +=∠+=⨯--=⨯=22),(sin 22ρρρρρρρρ……（2分）故622=+=k S ，解得1=k 或-5.……（2分）六、（本题12分）讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=00),(222222y x y x yx xy y x f在)0,0(点处的连续性、偏导数存在性和可微性；并写出多元函数的连续性、偏导数存在性和可微性之间的相互关系. 解：(1) 因为,0210002222−−→−+≤+≤→→y x y x y x xy ……（2分） 故),0,0(0lim),(lim 2200f yx xyy x f y x y x ==+=→→→→ 即),(y x f 在点)0,0(连续；……（1分）(2) ,00lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆=∆-∆+='→∆→∆xx f x f f x x x同理，0)0,0(='y f ；……（2分） (3) ,)()()0,0()0,0(22y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆……（1分）由(2)知，0)0,0(='x f ，0)0,0(='y f ，22000)()(lim])0,0()0,0([limy x yx y f x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆⋅'+∆⋅'-∆→∆→∆→ρρ……（2分）当x k y ∆=∆时，此时222201)()()(lim k kx k x x k x +=∆+∆∆→∆，故二重极限不存在，因此),(y x f 在点)0,0(不可微.……（2分）多元函数在一点处可微，则函数在该点处连续、偏导数存在；反之不成立。
工商大学2014 2015学年第一学期考试试卷A
工商大学2014 /2015学年第一学期考试试卷A课程名称： 高等数学 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名：一、填空（每小题3分，满分15分）：1．268x ＝ ．2．函数()(1)(2)(99)f x x x x x =+++，则(0)f '= ．3．函数19yx =+， 则(20)y = ． 4．设x k x f tan )(=的一个原函数是x cos ln 32,则=k ．5．微分方程x y xy-=+e d d 的通解为 ．二、单项选择（每小题3分，满分15分）：1．当∞→x 时，若cbx ax ++21～11+x ，则c b a ,,的值一定是( ) 。
A ．1,1,0===c b aB ．为任意常数c b a ,1,0==C ．为任意常数c b a ,,0=D ．均为任意常数c b a ,,2．曲线cos ,22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭ 与x 轴所围成的图形，绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ( ) 。
A ．2πB ．πC ．22πD ．2π3．曲线32()5f x x ax bx =+++有拐点520(,)327，则a =( ) 。
A ． 3- B. 3+ C. 5- D. 5 4．下列广义积分中，收敛的积分是（ ）。
A. ⎰11dx xB. ⎰∞+11dx xC. ⎰+∞sin xdx D. ⎰-1131dx x 5．当0→x 时，变量x x1sin 12是（ ）。
A. 无穷小 B. 无穷大C. 有界的，但不是无穷小D. 无界的，但不是无穷大 三、 计算下列各题（每小题6分，满分36分）：1.求0x →2.求210)sin (lim x x xx →．3. 求由方程()()y x y x x y -⋅-=-ln 2所确定的函数)(x y y =的微分d y ．4. 当x 为何值时，函数⎰-=xt t t x I 0d e )(2在),(∞+-∞上有极值，并求极值．5.求不定积分2ln(1)d x x +⎰．6.计算121sin d 1x x x -⎫+⎪+⎭⎰．四、应用题（每小题9分，满分27分）：1. 已知⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=01sin 0)1ln()(23x x x x x x f ，，，，求)(x f '．2.求微分方程x y y y e 223=+'-''的通解．3.计算抛物线22yx =与直线4y x =-所围成图形的面积A ．五、证明题（本题满分7分）：设)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内二阶可导，过两点))0(,0(f 与))1(,1(f 的直线与曲线)(x f y =相交于点),10))((,(<<c c f c 求证:在)1,0(内至少存在一点ξ,使0)(=ξ''f ．参考答案与评分标准一、填空：1．8。
2015级高数(上)试卷A及问题详解(1)
(A) (B) (C) (D)
3、曲线 的渐近线有（）条。
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
4、设函数 在 二阶可导，且 ，则（）。
(A) 不 的极值点；
(C) 是 的驻点，且是 的极小值点；
(D) 是 的驻点，且是 的极大值点。
得分
三、求解下列各题（本题共8小题，每小题7分）
1、若 在 的某邻域内连续，求
2、求由方程 确定的隐函数 的二阶导数
3、函数 由参数方程 确定，求
4、求不定积分
5、求反常积分
6、若 是 上周期为4的可导函数， ，且 ，求曲线上
点 处的切线方程。
7、已知 ，求 在 内的表达式。
8、已知 ，其中 为实数，问 为何值时，函数 恰有三个零点。
增
又 ，。。。。。。。。。。5分
所以当 时， 恰有三个零点。……..7分
四、解：抛物线与 轴的交点坐标为 （这里 ）……..2分
则 …………….5分
令 得唯一驻点 且取极小值，故当 时，平面图形
的面积最小，为 ……..8分
五、证明：（1）设 ，则 在[0,2]上连续，在(0,2)上可导。由拉格朗
日定理可知： ，使
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
姓名
学号
专业班级
学院
武汉理工大学考试试卷（A卷）
2015~2016学年1学期高等数学A（上）课程任课教师
题号
一
二
三
四
五
合计
满分
15
15
56
8
6
100
2014-2015高数A(I)试卷A(1)
石家庄铁道大学2014-2015学年第一学期二0一四 级本科班期末考试试卷（A ）课程名称： 高等数学（A ）I 考试日期： 1月 日 考试时间： 120 分钟 考试性质（学生填写）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（）一、单选题和填空题，（每小题3分，共30分）请将下列各题答案填到下面的表格内，否则不得分！．下列四对函数中，是相同函数的是 (A) 2ln(1sin )()x f x e+=与2()1sin g x x =+(B) 2()x f x x=与()g x x =(C) 2()ln(1)f x x =+与()2ln(1)g x x =+(D) ()f x =()g x x = 2．下列哪个极限不存在．．．(A) 1sin sin1lim 1x x x →-- (B) 10lim x x e →(C) 201lim sin x x x → (D) 11lim(1)xx x→+——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————班级： 学号： 姓名：3．设由1y y xe =+确定了y 是x 的隐函数，则下列结果正确的是(A)y dy e dx = (B) y y dy e xe dx=+ (C) 2ydy e dx y=- (D) 222y y d y e xe dx =+ 4．设()f x 在[1,1]-上可导，且2()(0)1lim(sin )2x f x f x →-=，则(0)f 是()f x 的 (A) 最大值 (B) 最小值 (C) 极大值 (D) 极小值 5．下列四个积分结果正确的是(A) 545sin 0x xdx -=⎰ (B) 141sin 01x x e xdx e -=+⎰(C)10-=⎰(D)201400π=⎰6．函数11()(1)xx f x e --=-的两个间断点x =0，1的类型(A) 都是第一类 (B) x =0是第一类，x =1是第二类 (C) 都是第二类 (D) x =0是第二类，x =1是第一类7．若函数21()1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在x =1处可导，则(,)a b =8．设()f x 在0x x =处可导，且0001lim(2)()4h h f x h f x →=--，则0()f x '=9．星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎪⎨=⎪⎩（a >0，t 为参数）的全长= 10．若lim ()x af x →=∞，则称x a =是函数()y f x =的图像的垂直渐近线；若lim ()x f x b →∞=，则称y b =是函数()y f x =的图像的水平渐近线；若lim[()]0,0x f x kx b k →∞--=≠，即()lim,lim[()]x x f x k f x kx b x→∞→∞=-=，则称y kx b =+是函数()y f x =的图像的斜渐近线.函数2(3)()4(1)x f x x -=-有几条渐近线二、解答下列各题（每小题7分，共42分）1．求极限 030(tan )lim sin xx x x x dx x e x→-⎰2．求由参数方程23230sin 10tx t t y e t ⎧---=⎨-++=⎩所确定的函数()y f x =的微分dy .3．已知3ln y x x =，求(4)y——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效———————4．求定积分0⎰5．设()f x 的一个原函数为2()xe F x x=，求2(1)xf x dx +⎰6．已知0(),(0)00xe xf x x λλλ-⎧≥=>⎨<⎩，求()xf x dx +∞-∞⎰三、解答下列各题（每小题9分，共18分）1．讨论2(3)()4(1)x f x x -=-的单调性，极值，凹凸性，拐点.列表表示结果.2．求由曲线,x x y e y e -==及直线2y e =所围成平面图形的面积A ，及该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V .——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————四、证明题（每小题5分，共10分）1．02(),0(),0x tf t dt x F x x C x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰，其中()f x 是连续函数且(0)0f =， 若()F x 在x =0处连续，则C =0.2．达布定理：设函数()f x 在[,]a b 上可导，且()()0f a f b +-''<，则至少存在一点(,)c a b ∈使得()0f c '=. 利用达布定理证明：若函数()f x 在[,]a b 上可导，η是介于()f a +'与()f b -'之间的一个数，则至少存在一点(,)c a b ∈使得()f c η'=.。
2014-2015高等数学(上)期末考试(A1卷)
河北科技大学理工学院2014--2015学年第一学期高等数学（上）期末考试试题（A1卷） 考试日期： 2015.1 说明：1、将所有答案写在答题纸相应位置上，否则无效.2、考试结束后将试卷和答题纸分开交给监考老师.一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．已知函数()f x 在点0x =处连续,且00()lim 1x f x x→+=,则( ). (A) (0)0f =且(0)f -'存在; (B) (0)1f =且(0)f -'存在;(C) (0)0f =且(0)f +'存在; (D) (0)1f =且(0)f +'存在.2．设()f x 的导函数()(1)(21)f x x x '=-+,则在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内, ()f x 单调( ). (A) 增加，曲线()y f x =为凹的; (B) 减少，曲线()y f x =为凹的;(C) 减少，曲线()y f x =为凸的; (D) 增加，曲线()y f x =为凸的.3．函数()f x 在0x x =处导数存在的充要条件是（ ）.(A) ()f x 在0x 处连续; (B) ()f x 在0x 处可微分;(C) ()f x 在0x 处有界; (D) 0lim ()x x f x →'存在. 4．设()()C f x dx F x =+⎰,则(e )x x e f dx --=⎰（ ）.(A) (e )C x F +; (B) (e )C x F --+; (C) (e )C x F -+; (D) (e )C x x e F --+.5．设()()df x dg x =⎰⎰，则下列各式中不一定成立的是（ ）.(A)()()f x g x =; (B)()()f x g x ''=; (C)()()df x dg x =; (D)()()d f x dx d g x dx ''=⎰⎰.二、填空题（每小题3分，共15分）1．极限011lim sin lim 1+x x x x x x -→→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .2．极限033lim x xx x-→-= .3．积分()121sin x x x dx -+=⎰ . 4．设函数21,1()0,12,1ax x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪>⎩在点1x =处的极限存在，则a = .5．当0x →时，()f x 为无穷小且()f x 是比2x 高阶的无穷小，则20()lim sin x f x x→= . 三、计算下列各题（每小题7分，共28分）1．求21e ⎰2．求函数20()x t x te dt -Φ=⎰的极值.3．求曲线ln cos tx y t π⎧=⎪⎨⎪=⎩上对应于点2t π=处的切线方程.4．设函数()y y x =由方程1x y e xy +-=确定,求()0y '.四、解答下列各题（每小题9分，共36分）1．求函数11()1x xf x e -=-的间断点，并指出间断点的类型.2．求微分方程()52211y y x x '-=++的通解.3．设平面图形D 由曲线x y e =,x y e -=和直线1x =所围成，求（1）D 的面积S ；（2）D 绕x 轴旋转一周所形成的立体的体积V .4．设函数sin ,0()1,0x x x f x x ⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩，求20()f x dx ππ-⎰.五、请在下面两道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.1.（6分）证明不等式：当0x >时，ln(1)1x x x<++. 2．（6分）设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(1)0f =，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()=0f f ξξξ'+.。
2014-2015-1工科高数(2-1)期末考试A卷参考答案
2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证 设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（2分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------（2分）.141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------（2分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------（2分） ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------（2分） 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------（2分）1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- （3分 ） 当0=x 时，0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------（3分）)(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------（2分） .212C e x += ----------------------------------------------------------------------（1分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------（2分） ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（2分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（2分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（1分）解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------（2分）+=0dx x 2111-+⎰-（上半单位圆的面积）-------------------------------（3分）2π=.-------------------------------------------------------------------------------------（1分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------（1分）.12-=e------------------------------------------（3分） （2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------（2分）xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得m dtkv mg dv =- ， 两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）。
高数 大一 下册期末考试复习试卷
高等数学A2 试卷（ A 卷） 适用专业： 全校本科一年级1、过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是（ ） A. 37540x y z -+-= B. 37550x y z -+-= C. 375100x y z -+-= D. 375110x y z -+-=2、直线124x y z x y z -+=-⎧⎨++=⎩与平面2340x y z --+=的位置关系是（ ）A. 相交但不垂直B. 直线在平面内C. 平行D. 垂直 3、函数3226z x y x =+-的极小值点为（ ）A. ()1,0-B. ()1,0C. ()2,0-D. ()2,04、级数()11112n n n n∞--=-∑ 的收敛性是 ( )A .条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 不能确定 5、二次积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰的次序可以转化为（ ）A. 101(,)xdx f x y dy ⎰⎰B. 011(,)xdx f x y dy -⎰⎰C.11(,)xdx f x y dy ⎰⎰D.11(,)xdx f x y dy -⎰⎰6、设2I zdxdy ∑=⎰⎰，∑是长方体{}(,,)01,02,03x y z x y z Ω=≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧，则I =（ ）A . 0 B. 10 C. 12 D. 14 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）. 1、函数ln z xy y =的全微分dz = .2、函数u xyz =在点()5,1,2处由点()5,1,2到点()9,4,14方向的方向导数为 .3、设2ln z u v =，而u x y =+，32v x y =-，则zy∂=∂ . 4、微分方程x dyy e dx-+=的通解是 . 5、周期为2π的函数()f x 在[,)ππ-的表达式为1,0()1,0x f x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩，它的傅里叶（Fourier ）展开式中系数n b = . 6、对弧长的曲线积分()22Lxy ds +=⎰ ，其中L 是圆周cos x a t =，sin y a t = ()02t π≤≤.三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）. 1、已知微分方程20y y y '''++=， （1）求出20y y y '''++=的通解； （2）求出满足02x y ==，01x y ='=的特解.2、设z y x z y x 32)32sin(-+=-+，求yz x z ∂∂+∂∂3、求曲线23121y x z x ⎧=-⎨=-⎩在点(1,2,1)处的切线方程和法平面方程.4、计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由三条坐标平面及平面 1x y z ++=所围成的区域.5、利用格林公式，计算曲线积分()536Lydx y x dy ++-⎰，其中L 为上半圆周22(1)1x y -+=，0y ≥沿逆时针方向.6、已知幂级数21121n n x n -∞=-∑，（1）求出收敛域（先求收敛半径，再讨论端点）；（2）求出幂级数的和函数（先求导、后积分）.四、应用题（本题共2小题，每小题8分，共16分）1、求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.（利用拉格朗日乘数法求解）2、计算抛物面226z x y =--和锥面z =.高等数学A2 试卷（ A 卷）参考答案及评分标准一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1. ()ln 1ln dz y ydx x y dy =++2. 98133. 22()2()ln(32)32x y x y x y x y ++---4. ()x e x C -+5. 2[1(1)]n n π-- 或4,1,3,5,......0,2,4,6,.....n n n π⎧=⎪⎨⎪=⎩ 6. 32a π三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）1、计算微分方程20y y y '''++=满足初值条件02x y ==，01x y ='=的特解。
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（ ）.
(A) ()a a ϕ ; (B) -()a a ϕ ; (C) ()a ϕ- ; (D) ()a ϕ.
2、下列函数在区间[-1, 1]上满足罗尔定理条件的是 ）. （A ）x y e =; （B ）1||y x =+; （C ）21y x =-; （D ）11y x
=-. 3、函数sin()2
y x π
= 的一个原函数是( ).
（A ）cos
2
y π
=-; （B ）cos
2
2
y x π
π
=-
;（C ）2
cos
2
y x π
π
=-
; （D ）2
cos
2
y x π
π
=
.
4、函数sin y x =在x [0,]π∈上的平均值是 ( ). （A ）π; （B ）π-; （C ）
2
π
; （D ）
2
π
. 5、设
0'()f x 存在，则000()()
lim
x f x x f x x
∆→-∆-=∆ ( ). （A ）0'()f x ; （B ）0'()f x -; （C ） 02'()f x ; （D ）02'()f x -.
6、方程32
220x x x -++= 在区间(
)内至少有一个实根.
（A ）（-2, 1）; （B ）（-2, -1）; （C ）（0, 1）; （D ）(1, 2).
三、计算题：本题共 6小题，满分51 分。
1、求极限（8分） （1）0
x → (4分) （2）20
0cos lim .x
x t dt x
→⎰ （4分）
2、求由方程1
sin 02
x y y -+
=所确定的隐函数的一阶和二阶导函数. (6分) 3、求由方程cos sin x a t
y b t
=⎧⎨
=⎩确定的函数的一阶和二阶导数.（6分）
4、求下列积分 （15分）
（1）
d x
⎰
. (5分 （2）
22
2
4cos d ππθθ-
⎰
. (5分)
（3）若ln x x 是()f x 的一个原函数, 求()xf x dx '⎰
. (5分)
6、求函数3226187y x x x =---的单调区间, 凹凸区间及极值和拐点.（8分） 四、综合题：本题共 2 小题，满分 13分。
1、当0sin tan 22
x x x x π
<<
+>时，.（5分）
2、计算由抛物线2y x =与直线2y x =所围平面图形的面积. 并求此平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. （8分）。