如何挖掘数学题中的隐含条件
例谈数学解题中对隐含条件的挖掘
河北理 科教 学研 究
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例 谈 数 学 解 题 中对 隐 含 条 件 的 挖 掘
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数学 能力 的体 现归 根结底 是数 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解 题 能
力 的高与低 ， 些学 生 的解题 能力 差 ， 多情 一 很 况下 源于 “ ” 看 不到那 些 虽然存 在 于试题 之 中 但不 能直 观看 到 的条件 ， 也就 是 隐含条 件 ． １ 隐含在 题设 的数 据 里
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初中数学解题教学如何充分挖掘隐含条件
初中数学解题教学如何充分挖掘隐含条件作者：付先荣来源：《速读·上旬》2018年第04期摘要：如今是信息爆炸的时代，为了更好的适应社会的发展，学好数学、培养数学思维是必不可少的。
本文通过举例来论证数学教学中的解题策略，引导学生看懂初中数学中隐含条件的背后意义，拓展学生的思维，优化教学环节，解决学生在初中数学中遗留的问题。
所以，在初中数学的教学过程中，相比于教会学生单纯解答题目更重要的是注重解题思路的培养。
关键词：初中数学；隐含条件；解题教学；解题策略本文将通过举例论证初中数学中的解题策略、初中数学解题教学中的隐含条件的应用和初中数学解题教学中隐含条件的意义三个方面来论述初中数学解题教学如何充分挖掘隐含条件这篇文章。
一、初中数学解题教学中的解题策略数学是一门集思维、逻辑、实际运用于一体的学科，想要掌握初中数学中所有知识点，不但要求牢记基本公式，学会运用基本公式解决简单变式型的问题。
还要学会把不同的数学知识融会贯通，学会举一反三。
避免掉进初中数学题目中隐含条件的陷阱里，形成正确的解题策略意识。
（一）学会正确的理解题意相信大家都经历过的一种情况就是因为没有正确理解题意，导致做错题。
这是学生的通病。
教师要引导学生在解题之前养成认真审题的好习惯。
审题时解答出初中数学题目的第一步，也是关键的一步。
审题包括对数学题目的意思的分析、内在隐含条件的分析，每一句话之间背后的联系。
合理的将自己分析所得出的结果运用到解题中去。
（二）仔细认真的读懂题目教师在进行数学解题教学中要对知识点的疏导和引导作用提起重视，充分发挥学生的主观能动性。
顺应新教学理论：学生是主体，教师是主导。
在读题目时可以让学生读两遍或者多遍更或者每读一句就写出相应的条件。
采用这样的读题方法可以避免漏掉题目或者理解偏离主题。
二、初中数学解题教学中隐含条件的应用（一）挖掘隐含条件—代数公式“数学”—数和学，数字和学问。
从开始接触数学，我们就学习列竖式。
高中数学解题中隐含条件的挖掘方法和技巧
高中数学解题中隐含条件的挖掘方法和技巧隐含条件，是指在数学问题中没有直接给出的条件，这些条件需要解题的学生自己去挖掘。
在解题时，学生需要具备挖掘隐含条件的意识，即在审题时，就要意识到“题目中是不是包含了隐含条件？”接下来，就要能够从题目的特征中分析出题目可能存在哪些隐含条件，然后应用挖掘隐含条件的技巧来挖掘出隐含条件。
1结合习题中的概念和性质挖掘隐含条件有些题目没有直接给出隐含条件，然而这些条件包含在概念或性质中，只有挖掘出这些隐含条件，才能够正确的确定一些数值的取值范围。
在审题时，学生就需要关注概念和性质中有没有隐含条件。
例1：无穷数列中，时，则此数列的各项和为，请完成命题的证明。
解：分析数列通项，可将数列视为分段函数，这是一个隐含条件。
数列是一种特殊的函数，它的自变量是自然数构成的集合，它的值域为自然数组成的分数。
并且当n=3k-1时，即n被3除不足1时，该项将以的形式呈现，否则，当时，该项将以的形式呈现，那么将数列呈现的形式表达出来，它将以的方式呈现。
从数列的概念和性质中挖掘出题目包含的隐含条件，可以缩小无穷数列的范围，得到三个首项不同，而公比相同的三个“无穷递缩等比数列”（1）（2）（3）结合隐含条件完成证明：在解题时，需要分析数学问题的定义与性质，找出题目中可能存在的隐含条件，比如较为常见的数学问题定义和性质中包含的隐含条件为：一元二次方程的二次项系数不为零，指数函数的底数是非1正数等。
只有正确分析隐含条件，才能够正确界定变量的取值范围。
2挖掘出数学图形中呈现的隐含条件在解题时，有些隐含条件在文字中难以呈现出来，而如果忽略这些隐含条件，则解题会出现条件不足的问题。
然而如果抽象化的文化转化为直观化的图形，便会发现图形中包含着隐含条件能够呈现出。
当发现习题的条件不充分时，可以思考把文字转化为图形，挖掘图形中的隐含条件。
图1例2：已知正方形，边长为4，，F分别是AB，AD的中点，平面ABCD且GC=2，求B点到平面EFG的距离。
浅谈数学问题中的隐含条件
浅谈数学问题中的隐含条件所谓隐含条件是指题中若明若暗、含蓄不露的已知条件。
它们常是巧妙地隐蔽在题设的背后,不易为人们所觉察。
发掘隐含条件,实质上就是要使题设条件明朗化、完备化和具体化,以便明确解题方向,寻求解题思路。
从总体上说,发掘隐含条件,需要扎实的基础知识,熟练的基本技能,灵活的思想方法,严谨的思维能力。
通常可以从数学题所及的概念、题设、图形等方面的具体特征入手,通过分析、比较、观察、联想等方法,逐步探索和转化。
一、根据概念特征挖掘隐含条件有些数学题,可以从分析概念的本质特征入手,挖掘隐含条件,发现解题契机。
例12+x 与()21-y 互为相反数，求代数式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222481433 的值。
分析 本题的隐含条件是互为相反数的两数和为零。
由2+x 是一个非负数，()21-y 也是一个非负数，并且2+x 与()21-y 是互为相反数的。
由互为相反数的意义，得到12=-=y x ， ，这样就创造了代入求值的条件。
解： ∵ 2+x 与()21-y 互为相反数 ∴ 2+x ()012=-+y ∴ 02=+x ，()012=-y ∴ 12=-=y x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222481433y x xy xy y x xy y x 2222421433---+-=xy xy y x 2341022--= 当12=-=y x ，原式()()()1223124121022⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯= 3840++= 51=所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222481433 的值为51。
二、从题设条件中挖掘隐含条件有些数学问题中，只要分析题设中的条件，挖掘出隐含的条件，就能达到“柳暗花明又一村”的效果。
高中数学解题中隐含条件的挖掘
㊀㊀㊀解题技巧与方法１３７㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３２高中数学解题中隐含条件的挖掘高中数学解题中隐含条件的挖掘Һ尹秀香㊀（宁夏银川一中，宁夏㊀银川㊀７５０００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学在高中阶段是非常重要的科目之一，对高中生的学业及生活都起到十分关键的作用．从高中生的角度来看，数学的学习任务相对繁重，需对掌握许多知识点，所学习的内容也较为庞多和杂乱．因此，高中数学能够对大部分的高中生产生阻碍．对高中生而言，要想把数学学好，就须将高中数学的知识点融会贯通，对高中数学题中具有的隐含条件进行挖掘，从而发现解题的思路，使数学问题能够得到顺利解决．本文旨在探讨如何通过对高中数学解题中隐含条件的挖掘，发现解题方法．ʌ关键词ɔ高中数学；解题；隐含条件；挖掘数学问题的完整性通常包括条件与目标两个方面．问题条件主要具有显性条件与隐含条件以及干扰项．显性条件在解答方面能够提供非常直接的帮助；隐含条件普遍都受忽视，因此需要学生独立挖掘；干扰项使题目难度增加，对学生的思考设置产生影响．在解题的过程中，学生只要对显性条件进行确认，对隐含条件进行挖掘，对干扰项进行排除，才可以使解题的效率得到提升．一㊁意㊀义有些数学问题即使表面上看比较有难度，但是若是能够把数学题内存在的隐含条件挖掘出来，就可以使解题步骤得到快速简化，将题中具有的数量关系理清，使解决数学问题的效率提高［１］．二㊁方㊀法（一）已知条件方面解决高中数学问题的过程，本质就是对学生逻辑思维的考查过程．分析题中存在的隐含条件就是通过逻辑思维进行的．在学习高中数学知识的过程中，虽然教师的讲解十分重要，但是学生进行练习也是十分关键的．学生进行数学的日常练习时，基本上都会把教师在课堂上传授的知识进行变形或者拓展，属于将知识进行延伸．所以，学生在练习时，题目难度就会变大．学生在进行具体题目的解决时，若是想得到其中存在的隐含条件，就需要全面分析与研究已知条件，对已知定理或者设定进行透彻理解与分析，准确找到题目条件所包含的定义与公式，再利用公式变形将题中存在的隐含条件找出．例如：已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（ｘ＋１）（ａ＞０，且ａʂ１），ｇ（ｘ）＝ｌｏｇａ（４－２ｘ）．求使函数ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）的值为正数的ｘ的取值范围．题目自身较为复杂，学生在表象认识方面存在困难．学生第一眼看到此题目时，会认为此题所给的条件不够，无法解答．有些学生还会被禁锢于题目呈现的简单条件之中，这时若是想在其中发现隐含的条件就非常困难了．因此，学生在做题时，必须将题面上所给的全部已知内容都找到，且在其中找到需要解决的问题与高中数学内一些定理的相似之处［２］．解析：令ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＞０，得ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ），即ｌｏｇａ（ｘ＋１）＞ｌｏｇａ（４－２ｘ）．当ａ＞１时，可得ｘ＋１＞４－２ｘ，解得ｘ＞１．因为－１＜ｘ＜２，所以１＜ｘ＜２；当０＜ａ＜１时，可得ｘ＋１＜４－２ｘ，解得ｘ＜１，因为－１＜ｘ＜２，所以－１＜ｘ＜１．综上所述，当ａ＞１时，ｘ的取值范围是（１，２）；当０＜ａ＜１时，ｘ的取值范围是（－１，１）．由解析所表达的内容可以清晰地看到，本题的解题关键在于通过已知条件进行转化，从而找到该题目的解题核心即 令ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＞０，得ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ） ．在找到解题关键后，该题由已知条件不完整，变成了一道简单的不等式问题，这在极大程度上降低了解题难度．同时，在上述的题目解析中可以发现，高中数学问题的条件通常不会直接呈现给解题者，而是需要解题者在利用平时课堂上所学内容的基础上，合理运用逻辑思维在题干中找到解题关键．因此我们可以说，高中阶段的数学题目正是为了有效考察学生的逻辑思维，并以此锻炼学生的思维能力．（二）推理方面学生在进行高中数学的学习时，只需对方法有一定的掌握就能够使题目难度得到明显降低．题目内具有的隐含条件是将数学问题彻底解决的重要内容．学生只有不断推理和探究题目，才能发现解决问题的方法，发现解题时需要的实质内容．但是一部分题目非常复杂，很难挖掘其中存在的隐含条件，只有利用具有严密性的逻辑推理与求证，才能够将隐含条件推导出来，最终将问题解决［３］．例如：已知Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，求证：ｔａｎ２Ａ２＋ｔａｎ２Ｂ２＋ｔａｎ２Ｃ２ȡ１．学生在看到此题时，第一反应就是题目中条件不够，没有办法解题．但是若是经过较为严密的推理就可以将此题中存在的隐含条件找到．解析：利用基本不等式ａ２＋ｂ２ȡ２ａｂ，同向不等式相加，可以得到ｔａｎ２Ａ２＋ｔａｎ２Ｂ２＋ｔａｎ２Ｃ２ȡｔａｎＡ２ｔａｎＢ２＋ｔａｎＣ２ｔａｎＢ２＋ｔａｎＡ２ｔａｎＣ２；然后只需证明ｔａｎＡ２ｔａｎＢ２＋ｔａｎＣ２. All Rights Reserved.㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２１ ３２ｔａｎＢ２＋ｔａｎＡ２ｔａｎＣ２＝１即可．由两角和的正切公式的变形可得ｔａｎα＋ｔａｎβ＝ｔａｎ（α＋β）（１－ｔａｎαｔａｎβ），结合三角形内角的关系可得ｔａｎＣ２＝ｃｏｔ（Ａ＋Ｂ）２，至此即可求出结果．证明：因为ｔａｎ２Ａ２＋ｔａｎ２Ｂ２ȡ２ｔａｎＡ２ｔａｎＢ２，ｔａｎ２Ｃ２＋ｔａｎ２Ｂ２ȡ２ｔａｎＣ２ｔａｎＢ２，ｔａｎ２Ａ２＋ｔａｎ２Ｃ２ȡ２ｔａｎＡ２ｔａｎＣ２，所以将三个不等式相加可得：ｔａｎ２Ａ２＋ｔａｎ２Ｂ２＋ｔａｎ２Ｃ２ȡｔａｎＡ２ｔａｎＢ２＋ｔａｎＣ２ｔａｎＢ２＋ｔａｎＡ２ｔａｎＣ２＝ｔａｎＡ２ｔａｎＢ２＋ｔａｎＣ２ｔａｎＡ２＋ｔａｎＢ２()＝ｔａｎＡ２㊃ｔａｎＢ２＋ｃｏｔＡ＋Ｂ２ｔａｎＡ＋Ｂ２１－ｔａｎＡ２ｔａｎＢ２()＝１，即ｔａｎ２Ａ２＋ｔａｎ２Ｂ２＋ｔａｎ２Ｃ２ȡ１．由上述题目解析可知，仅凭题干的已知条件进行证明是无法直接解开此题的，需要学生进一步利用自身的知识积累来找到题中的隐含条件．类似于上述形式的数学题目，在高中阶段的 出镜率 较高，并且具有一定的难度．但是通过上述解题过程不难发现，该类题目的出题意图在于考察学生的知识储备，学生只有掌握固定的不等式关系，才能满足上述题目的解题要求．同时，学生在解题过程中，依旧需要将自身积累的数学知识运用于解题过程中，从而为题目 凑齐 解题条件．而这种思维在学生未来进行科学或学术研究时，能够为其起到一定的支撑作用．在学术研究过程中必须通过已知的知识来求证未知知识，在条件不满足的情况下，科研人员一定要具有上述的 拼凑 思维，巧妙且合理地将所有知识及条件汇聚在一起，才能解开未知的谜题．因此，学习与练习数学题目能够在一定程度上培养学生的思考能力，为其日后的工作及学习奠定良好的基础．（三）定义方面定义和性质是数学解题过程中的着手处，属于浅显的隐含条件，但若是不够重视就会成为非常隐蔽的隐含条件．例如，一元二次方程中的二次项系数不能是０，指数函数中底数必须是不是１的正数，等等．例如：已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝３，前ｎ项和Ｓｎ＝１２（ｎ＋１）㊃（ａｎ＋１）－１．求证：数列｛ａｎ｝是等差数列．解析：由Ｓｎ＝１２（ｎ＋１）（ａｎ＋１）－１，得Ｓｎ＋１＝１２（ｎ＋２）㊃（ａｎ＋１＋１）－１，两式相减后整理可得ｎａｎ＋１＝（ｎ＋１）ａｎ－１，则（ｎ＋１）ａｎ＋２＝（ｎ＋２）ａｎ＋１－１，两式相减整理后利用等差中项公式可判断．证明：因为Ｓｎ＝１２（ｎ＋１）（ａｎ＋１）－１，所以Ｓｎ＋１＝１２（ｎ＋２）（ａｎ＋１＋１）－１，所以ａｎ＋１＝Ｓｎ＋１－Ｓｎ＝１２［（ｎ＋２）（ａｎ＋１＋１）－（ｎ＋１）（ａｎ＋１）］，整理可得，ｎａｎ＋１＝（ｎ＋１）ａｎ－１，①所以（ｎ＋１）ａｎ＋２＝（ｎ＋２）ａｎ＋１－１，②②－①可得，（ｎ＋１）ａｎ＋２－ｎａｎ＋１＝（ｎ＋２）ａｎ＋１－（ｎ＋１）ａｎ，所以２（ｎ＋１）ａｎ＋１＝（ｎ＋１）（ａｎ＋２＋ａｎ），所以２ａｎ＋１＝ａｎ＋２＋ａｎ，所以数列｛ａｎ｝为等差数列．通过上述题目解析可知，在进行数学题目解答时，学生需要准确掌握使数学概念成立的充分与必要条件．在高中阶段的数学学习过程中，很多定理的存在与成立都需要一定的固有基础，同时根据定理又能得到相应的固有结论．因此，在一般的数学题目中，既定的充要条件通常不会直接呈现，学生需要通过自身对于定理的熟练掌握在解题过程中自行进行补充，从而满足题目的解题需求．因此，教师在日常的数学教学中，需要对学生在该方面进行强调，并在讲解新定理的过程中要求学生对定理的结论及条件进行记忆．但需要注意的是，教师在课程中对学生提出定理记忆要求时，需要直接配合上述类型的题目要求学生进行练习，从而使学生直观感受到记忆定理的作用．（四）联系方面在单独地㊁孤立无援地对已知条件进行审视时，能够在已知条件的联系中发现新的隐含条件．例如：锐角α，β满足条件ｓｉｎ４αｃｏｓ２β＋ｃｏｓ４αｓｉｎ２β＝１，求证：α＋β＝π２．证明：由已知可设ｓｉｎ２αｃｏｓβ＝ｃｏｓθ，ｃｏｓ２αｓｉｎβ＝ｓｉｎθ，则ｓｉｎ２α＝ｃｏｓθｃｏｓβ，①ｃｏｓ２α＝ｓｉｎθｓｉｎβ，②①＋②得：ｃｏｓ（θ－β）＝１⇒θ－β＝２ｋπ，所以θ＝２ｋπ＋β（ｋɪＺ），所以ｓｉｎ２α＝ｃｏｓθｃｏｓβ＝ｃｏｓ２β，ｃｏｓ２α＝ｓｉｎθｓｉｎβ＝ｓｉｎ２β，因为α，β为锐角，所以ｓｉｎα＝ｃｏｓβ＝ｓｉｎπ２－β()，所以α＝π２－β，即有α＋β＝π２．由上述类型的题目及对应解析可知，学生在进行数学习题解答的过程中，需要充分认识到题干中所存在的固有关系，而该类固有关系正是题目的隐含条件，学生只有及时发现该类隐含关系才能有效解开该类题目．此类题目在发. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１３９㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３２现隐含条件后的整体运算并难，故需要教师在日常练习过程中帮助学生进行解答，并指导学生进行相应的积累．其中在要求学生进行积累时，教师要有所侧重的为学生指出解题重点，意在培养学生发现隐含条件的思维能力，切忌放任学生死记硬背．（五）认知动因方面在数学教学活动中，不但具备将认知动因进行激活的策略，也具备将认知内容和方法进行激活的策略，前面的内容依据联想，后面的内容依据类比［４］．解题的过程不仅是联想的过程也是类比的过程．例如：在等比数列中，若Ｓ３０＝１３Ｓ１０，Ｓ１０＋Ｓ３０＝１４０，则Ｓ２０等于多少？分析：这是一道关于等比数列的题目，要回忆等比数列的前ｎ项和的公式．首先，由已知条件可得ｑʂ１，Ｓ１０＝１０，Ｓ３０＝１３０，接下来就可以利用等比数列的前ｎ项和公式将其进行变形，进而得到关于ｑ的方程，即可求出ｑ１０的值，然后利用等比数列的前ｎ项和公式进行解答就可以了．解：因为Ｓ３０＝１３Ｓ１０，且数列为等比数列，所以ｑʂ１．因为Ｓ３０＝１３Ｓ１０，Ｓ１０＋Ｓ３０＝１４０，所以Ｓ１０＝１０，Ｓ３０＝１３０，所以ａ１（１－ｑ１０）１－ｑ＝１０，且ａ１（１－ｑ３０）１－ｑ＝１３０，所以ｑ２０＋ｑ１０－１２＝０，所以ｑ１０＝３，所以Ｓ２０＝ａ１１－ｑ２０１－ｑ＝Ｓ１０（１＋ｑ１０）＝１０ˑ（１＋３）＝４０．从该类题目的解题过程中可以看出，此类题目能够很好地检验学生对题干的拆解能力，教师在为学生讲解过题目后，一定要重点对其隐含条件 ｑʂ１ 及等比数到的特征进行总结，其目的在于吸引学生对题干的注意力，从而在后续解题过程中能够发现题干中的隐藏条件．（六）图形方面一位法国数学家曾经说过，代数和几何一旦分道扬镳，那么它们的发展范围就会变得十分缓慢，它们在应用方面就十分狭窄，但是把它们相互结合㊁相互联系，它们就能相辅相成㊁互相影响，就能够加快发展的步伐，变得更加完善．例如：已知点Ａ（１，２），Ｂ（３，－５），Ｐ为ｘ轴上一动点，求Ｐ到Ａ，Ｂ的距离之差的绝对值最大时Ｐ点的坐标．分析：从题中能够看出，若不通过数形结合，则很难算出Ｐ到Ａ，Ｂ的距离之差的绝对值最大时Ｐ点的坐标，因此，可以利用数形结合的方式进行解题，如下图所示．易得当Ｂᶄ，Ａ，Ｐ三点共线时，｜ＰＡ－ＰＢ｜最大，设直线ＡＢᶄ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，利用待定系数法即可求得直线ＡＢᶄ的解析式，点Ｐ即是此函数与ｘ轴的交点坐标．解：设Ｂ关于ｘ轴的对称点为Ｂᶄ，连接ＰＢᶄ，ＡＢᶄ，则Ｂᶄ（３，５），ＰＢᶄ＝ＰＢ，所以｜ＰＡ－ＰＢ｜＝｜ＰＡ－ＰＢᶄ｜ɤＡＢᶄ，则Ｂᶄ，Ａ，Ｐ三点共线时，｜ＰＡ－ＰＢ｜最大．设直线ＡＢᶄ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则有２＝ｋ＋ｂ，５＝３ｋ＋ｂ，{可得ｋ＝３２，ｂ＝１２，ìîíïïïï所以直线ＡＢᶄ的解析式为ｙ＝３２ｘ＋１２．令ｙ＝０，可得ｘ＝－１３，所以符合题意的点Ｐ的坐标为－１３，０()．数形结合不仅是数学发展历史中的重要发现，也是当下高中数学题目中隐藏条件的最好手段．因此，教师需要充分培养学生将图形与函数进行联系的能力，往往题干中的隐藏条件就存在于图形与函数之间．此外，高中数学的教学内容中包含了多种函数形式，并进一步提升了学生对于函数的理解要求．故教师要重视在日常教学中加强学生于函数的理解，并在适当时间要求学生自行进行函数图像的描绘，或通过建立函数图像来要求学生写出对应的函数表达式．三㊁结㊀语学生在学习高中数学知识时，需要把所学的知识不断运用，这样才可以实现学习的目的．学生在解题时挖掘题中蕴含的隐含条件，并采取与之相关的定义将问题解决，对解题效率的提高有很大的帮助．ʌ参考文献ɔ［１］任运生．分析高中数学解题中隐含条件的挖掘［Ｊ］．中学生数理化，２０２０（０４）：１３．［２］刘九华．高中数学解题中隐含条件的挖掘分析［Ｊ］．中学生数理化，２０１９（１２）：１７．［３］毕小岩．高中数学解题中如何挖掘隐含条件：以三角函数为例［Ｊ］．高中数理化，２０１９（０８）：１－２．［４］钱玮．挖掘数学隐含条件，找到解题突破关键［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０１）：１２７．. All Rights Reserved.。
如何发掘数学题中的隐含条件
如何发掘数学题中的隐含条件作者：庄明勇来源：《考试周刊》2013年第40期发掘并利用题中，含而不露的隐含条件，是解数学题的关键，对提高学生解题能力具有重要的意义.发掘隐含条件，通常可以从数学题所涉及的概念、图形、结构等方面的特征入手，通过分析、比较、观察、联想等方法进行探索.常见的途径有以下几种.一、从概念特征发掘隐含条件有些数学题，一部分已知条件隐含于概念之中，可以从分析概念的本质特征着手，发掘隐含条件，探明解题思路.二、从结构特征发掘隐含条件有些数学题，已知条件由这样或那样的关系式给出，部分条件巧妙地隐含于这些关系式中.这时，可以从关系式的结构特征上发掘隐含条件.观察PB、PA、OA、OO′四线段所处的位置，若BO′∥PO，则可得到上述比例式.发现了上述隐含条件，原题就不难证出.四、从结构中发掘隐含条件有些数学证明题，部分条件隐含于结论之中.在这种情况下，可以从分析结构入手，通过适当变形把某些条件从结构中分离出来.例4：已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.思考方法：可以先根据结论，在BC边上找一点E使BE=BD，再证明AD=EC.即把隐于结论中的一部分条件从结论中分离出来，使证明方向比较明确，便于作进一步证明.五、从相关知识发掘隐含条件有些数学题，其内容涉及物理、化学等其他学科的知识.解题时只有充分注意相关知识的特点和性质，才能顺利发现隐含条件，获取解决问题的方法.例5：在△ABC中，D在BC上，使BD∶DC=3∶2，E在AD上，且使AE∶ED=5∶6，若BE与AC相交，交点为P，求BE∶EP.思考方法：本题若用平面几何方法求解，则需作辅助线，且过程比较复杂.如果能注意到应用杠杠平衡原理，把线段之比转化为受力之比，则不需添加辅助线，便可巧妙、简捷地解决.故有EA=6，所以ED=EA+EC=9.故BE∶EP=ED∶EB=9∶2.以上讨论了发掘隐含条件的一些常用途径，在实际解题时，这些途径可以而且必须结合起来运用.只有这样，才能收到好的效果.。
例谈数学题中隐含条件的挖掘
例谈数学题中隐含条件的挖掘标签：数学教学；隐含条件；挖掘从某种意义上讲，解数学题是一个从题目所列条件中不断地挖掘并利用其中的隐含条件，进行推理和运算的过程.本文结合教学中的几个典型例子，剖析解题时导致错误产生的原因以及如何注意挖掘题目中的隐含条件。
一、挖掘隐含集合元素的条件例1 已知集合A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A∩B={3，7}，求实数a的值.正解：∵A={2，3，a2+4a+2}，A∩B={3，7}.∴a2+4a+2=7，解得a=1或a=-5.当a=1时，A={2，3，7}，B={0，7，3，1}，符合条件.当a=-5时，A={2，3，7}，B={0，7，3，7}，不符合集合元素互异性这一条件，应舍去.∴实数a的值为1.分析：这道题容易出错的原因是学生忽视挖掘集合元素的条件，即互异性和无序性，所以在解得a=1或a=-5后，不去检验集合B是否成立.二、挖掘隐含某一变量的条件例2 已知x≥0，y≥0，且x+2y=1，试求x2+y2的取值范围.错解：由x+2y=1，得x=1-2y.则x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+.∵y≥0，∴5（y-）2+≥.即x2+y2≥，∴x2+y2的取值范围为[，+∞].分析：导致错误的原因是已知条件中给出了两个变量的范围，又给出了两个变量的等量关系，要运用此等量关系将所求式子转化为某个变量的二次函数式，还隐含了要利用此等量关系求得某个变量的范围.正解：∵x≥0，∴x=1-2y≥0 ，解得y≤，又∵y≥0 ，∴0≤y≤.x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+，当0≤y≤时，≤5（y-）2+≤1 .∴≤x2+y2≤1. ∴x2+y2的取值范围为[，1].三、挖掘隐含函数奇偶性的条件例3 已知函数f（x）=ax5+bsin3x+10，且f（3）=5，求f（-3）的值.正解：设g（x）=ax5+bsin3x，则g（x）为奇函数，f（x）=g（x）+10.所以f （-3）=g（-3）+10=-g（3）+10=-[f （3）-10]+10=15 .分析：这道题容易出错的原因是忽视挖掘函数奇偶性这一条件.通常求函数值应有确切的函数解析式，本题是涉及两个参数a，b的解析式，只给出f （3）=5这一条件，无法求得参数a，b的值.仔细观察由f （3）=5，求f （-3）的值，启发我们联想函数的奇偶性，不难发现解析式中隐含着g（x）=ax5+bsin3x是奇函数这一条件，于是问题迎刃而解.四、挖掘隐含向量夹角是锐角的充要条件例4 已知向量=（1，2），=（1，m），试确定实数m的取值范围，使得与的夹角为锐角.错解：∵·=1+2m>0，与的夹角为锐角.∴·>0，即1+2m>0，解得m>-.∴实数m的取值范围是（-，+∞）.分析：导致错误的原因是忽视隐含向量夹角是锐角的充要条件.对两个非零向量与，如与的夹角θ为锐角，则·>0，反之，则不一定成立.这是因为当·=cosθ>0时，与的夹角θ也可能为0.因此与的夹角θ为锐角的充要条件是·>0且与不同向，这样在上述m的取值范围（-，+∞）中应除去与的夹角为0的情况.∵与的横坐标都是1，∴当m=2时，与同向.∴实数m的取值范围是（-，2）∪（-2，+∞）.。
谈初中数学解题中隐含条件的分析及应用
谈初中数学解题中隐含条件的分析及应用初中数学解题中的隐含条件是指在题目中没有直接给出的条件，但却是解题过程中必须考虑和运用的条件。
这些隐含条件往往需要通过对问题的分析和理解来找到，并在解题过程中巧妙地运用和应用。
本文将对初中数学解题中的隐含条件进行分析，并探讨其在解题过程中的应用。
一、隐含条件的分析1. 对问题进行仔细分析在解题过程中，首先要对问题进行仔细的分析，理解清楚题目所给出的条件和要求。
有些条件可能并不是直接给出的，而是需要通过对问题的理解和分析来找到。
在一个几何问题中，题目中可能并没有直接给出所有的角度关系，但我们可以通过分析图形，利用几何知识找到这些隐含的角度关系。
2. 推理和假设在找到隐含条件之后，需要进行推理和假设，确定这些条件的正确性和适用范围。
有些隐含条件可能是基于题目所给出的条件得出的，需要通过逻辑推理来验证其正确性。
有些隐含条件可能只在特定情况下成立，需要通过假设来确定其适用范围。
3. 确定隐含条件的重要性有些隐含条件在解题过程中可能并不是必须考虑和运用的，但有些隐含条件却是解题的关键所在。
在分析隐含条件时，需要确定这些条件的重要性，看其是否对问题的解法和答案产生影响。
1. 利用隐含条件解决问题在解题过程中，经常需要利用隐含条件来解决问题。
有一道题目给出了一个等边三角形，要求计算其面积。
虽然题目中并没有直接给出三角形的高，但我们可以通过对问题的分析和利用隐含条件（等边三角形的高是边长的一半乘以根号3）来计算得出正确的结果。
3. 运用隐含条件解决复杂问题在解决一些复杂的数学问题时，隐含条件经常发挥着重要的作用。
在解决一些几何问题时，题目中给出的条件可能并不充分，需要通过对问题的分析和利用隐含条件来得出正确的结论。
在这种情况下，需要灵活地运用隐含条件，结合数学知识和逻辑推理来解决问题。
数学解题教学中隐含条件的有效发掘探究
数学解题教学中隐含条件的有效发掘探究丘荣华摘要：善于分析和解答数学问题是学生有效掌握数学知识的主要体现。
但在实际解题中，有的学生不认真读题，忽略题目中的隐含条件，找不到题目中的关键解题信息。
文章以数学解题教学为研究对象，探讨、分析隐含条件的含义、价值以及如何在数学解题中有效挖掘隐含条件，以引导学生正确解答数学题目。
关键词：初中数学;解题;隐含条件;信息;含义;价值;策略有效挖掘数学题目中的隐含条件有利于学生正确、高效解题。
但是，隐藏在数学题目背后的条件不易被学生发现、利用。
尤其是比较粗心、不爱审题的学生更容易忽略题目中的隐含条件，从而影响到解题效果。
因此，在数学解题教学中，教师有必要指导学生掌握挖掘题目中隐含条件的方法，让学生从题目中挖掘到有用的隐含条件，从而正确、高效解题。
一、隐含条件的含义隐含条件是指隐藏在题目背后的条件。
题目不会直接给出隐含条件，需要学生从题干或已知信息中分析、推理、转换，让其变得清晰、可用，从而为解题提供有效帮助。
二、隐含条件的价值解答数学问题单靠题目中的显性条件是不够的，尤其是一些复杂的数学题目，不仅需要学生分析题目中的显性条件，还需要学生对题目中存在的关键词、涉及的公式进行重点分析。
这样才能将题目中的各种信息挖掘出来，并运用于问题的解答中。
另外，挖掘题目中隐含条件的过程也是锻炼学生思维能力的过程，可以让学生积累分析、理解、构建关系的方法和经验。
这有利于提升学生的学习能力，促使学生多角度思考问题。
三、数学解题教学中隐含条件的有效挖掘策略1.从数学题目涉及的概念中挖掘隐含条件不同的数学题目涉及的数学概念不同，而这些数学概念经常隐藏可用的解题条件。
因此，在数学解题教学中，教师可以从数学题目涉及的概念着手，引导学生利用其中的概念信息挖掘隐含条件。
当学生得到隐含条件之后，就可以综合运用各种显性和隐性的条件，解答数学问题。
以下面這道数学三角形证明题为例。
在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，求证：AB+BD=AC。
例谈数学习题中隐含条件的挖掘
学生有效 的从面对 的情境 中发现 问题 、分 析问题 、 形成解 决问题 的意识 ，习惯和 能力．在课 堂教学 中， 精 心创设 问题情 境 ，激发与 引导学 生思维 是能调动
学 生学习积极性和 提高成绩的．
参考 文献 … 王道俊 ，扈 中平．教育 学原理．福州 ：福建教育
出版 社，１９ ９３ ［】 ２张大均．教 育心理学． 北京 ：人 民教育 出版 社 ．
考 ，望有所收益．
２一 ｍ
分析 这 里 口 ＝ ， 口 √ ， ｂ ＝ 一 ， ＝ ２ ｍ ｂ √ ： ．（ ： ！ ｂ ： ２ ｍ： ，一 １ 口 一 ２ ｍ一 ＋ ２ ２ ２， ”
所谓 隐含 条件是指 题 目中没有给 出但 隐含在题 意中的那 些条件 ，或题 目中虽 给出但弄不 明显 ，对 于 前者需要根 据题设挖 掘隐含 在题意 中的条件 ，对
到一 定步骤 时，学生肯 定放弃 ，必然 想利用 均值求 极值 ，然而 隐含 的条件若 没有挖掘 ，就 前功尽弃 了． 例 ４（ ０ ２ 年全 国卷 ，理 ｌ ２０ ９）设点 Ｐ 到点 （ １ ０ Ｎ（， ） 一 ，）， １ ０ 距离之 差为 ２ ，到 Ｘ轴 ， ｙ ｍ 轴 的距 离之比为 ２ ，求 的取值范围． 解
ｌ ２＝ ２ ｙ
＿
定点Ｅ ｌ０ ， ｆ，１ 向量 ，
一
在向量 方向上的投
影分别为 。 ｒ。且 ． ＝一 ｍ ｌ ７ ｎ，动点 尸满足 Ｏ ＋ Ｐ： ，（） １求点 Ｐ的轨迹 Ｃ的方程 ；（ 设 ２） 过点 的直线 ， Ｃ交于 两个不 同点 、 Ⅳ ，求 与 Ｆ ． Ｎ 的取值范 围． Ｍ Ｅ
总之 ， 当今世界 将进入知识 经 济时代 ，知识 总 量的迅猛膨 胀 ，更新 周期 的缩 短 ，使广大 教师和学
例谈数学问题隐含条件的挖掘
＝。 ｓ一 ＝ｉ－） ， ｓ， ｉ 了 （ｙ ｉ一 ２ ｓ 一 ｎ ， ｎ
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ｌ ｎ ｌ一 卜１ ｙ’ ＜ ． Ａ ， １ ２ ，
正解： ｉ ∈ 一 ， ，口 ｓｙ ［ １１， 又ｓｘ ［ １１ 且÷一ｉ ∈ 一 ， ｎ ］ ｎ ］
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同理设 一 ＜ ＜ 】 ０则 ； ＜ ． １ ｌ ＜ ， 一 ０
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Байду номын сангаас
ｉ ＋ 一 １ １ ２ Ａ ０．Ａ ４ ＋ ２ Ａ＞ ＋ ＋ 一 ．． ≤ ． ＞ Ｉ ・
当 Ａ≤４时 ， ） （一∞， ） （ 在 一１ 上是 减 函数 ．
＋ ＋２ 一Ａ ＜１＋１＋２一Ａ≤ ｏ． ４． ・ Ｉ ．Ａ＞
仍 可追 溯到 单调 函数定 义的逆 用 问题 ． 在 大 容量 大题 量 训 练量 的背景 下 ， 律 的揭 示 规
关 系式 进行 化简 、 变形 之外 ， 还应 考虑到此 关 系中可 能还 隐含 着某个 变 元 的范 围 ， 只有 这样 处 理 问题 才
全 面．
例 ３ 在 ０ ｙ平 面上 给定 曲线 ｙ ２＝２ ， 点 Ａ ｘ设
和等于 订 两边之和大于第三边 ， ， 任意一个内角都在 （ ， ） 锐角三角形中任意两个 内角的和大于 ９ 。 ０ 叮 内， 『 ０ 等等 ， 这些都是隐性 的条件， 解题时要充分地挖掘 ， 要 能灵活应 用．
（， ） 口ＥＲ， ＣＯ ， 曲线上 的点 到点 Ａ的距 离 的最小值 为 ｌ ，
口， ）求 ａ 的函数表达式． ） 解 ： Ｍ（ Ｙ 为 曲线 ｙ ＝２ 设 ，） ２ ｘ上任意 一点 ，
综述初中数学题隐含条件的挖掘
综述初中数学题隐含条件的挖掘1 分式中分母不为零的隐含条件在分式方程的这类数学题目的求解过程中学生可能经常会忘记分母不等于0这一隐含条件，最终导致求得的结果是错误的。
例如：问当X为什么值时，分式的值为零？对于这个问题可能学生的第一印象就是分式中分母不为0 ，要想整个分式为0必有分子解得：，最终就高兴的将这个作为正确的答案了，可是我们反过来验证可以得到当时，分母的值为0。
这个题目之所以求解错误的原因，就是学生在求解题目，没有对最终答案进行验证，一个答案并不符合题目的隐含条件。
该题的正确求解方式应该是在求出之后，对答案进行验证有时，分母不符合条件，所以正确的答案为时，原分式的值为0。
通过上面的例子我们可以看到，如果学生忽略的分式的分母不等于0的条件，会使题目的解不止一个，并且在通常情况下会存在一个错误的解，这往往会导致学生在实际的考试过程中感觉题目自己都会做，并且也感觉自己已经都作对了，可是最终考试成绩确实出乎意料的差。
2 偶数次根式的被开方数应该是非负的隐含条件在初中数学题中经常会有这么一类题目就是根式的化简问题，对于这类问题经常会遇到的一个问题就是，学生会忽略掉偶数次根式中被开放数应该非负的这一隐含条件，最终导致求解结果出现错误。
例如这样一道题目：将进行化简。
目前普遍存在的一种错误的解法就是：解：原式= = 分析可以发现在求解这个题目时，学生忘记了偶数次根式下被开方数不为负的隐含条件，如果有意义，那么毕竟有，因此上面的求解方法中的错误就是没有意义。
对于这个题目的正确求解方法应该是：解原式=3图形中的隐含条件对于数学中的一些几何问题，通过我们平时做题发现，给出的题目中的条件往往对这道题不能够进行解答，但是，题目中会有一些隐含条件，这些条件是不明显地存在题目中的。
有的隐含条件对于解答一些数学几何题目时有着很关键的作用，只有我们深入观察和分析几何图形中的特点，只有这样有可能为解答这道题时提供明确的方向。
初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用
初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用1. 引言初中数学作为学生学习的基础学科之一，是培养学生逻辑思维的重要途径。
在数学解题过程中，常常会涉及到一些隐含条件，而挖掘并应用这些隐含条件往往是解题的关键之一。
本文将就初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用进行探讨，希望能够帮助学生更好地理解数学知识，并提高解题能力。
2. 隐含条件的概念及意义隐含条件指的是在问题描述中并未直接提及，但对问题的解答却至关重要的条件。
在数学解题中，很多问题都存在隐含条件，如果能够正确地挖掘和应用这些隐含条件，往往可以事半功倍。
培养学生发现并应用隐含条件的能力，对于他们的数学学习至关重要。
3. 如何发现隐含条件在解决数学问题的过程中，如何发现隐含条件成为了关键。
一般来说，通过对问题进行分析和归纳，可以帮助我们找到隐含条件。
多做一些题目，在实践中培养对隐含条件的敏感度也是很重要的。
4. 隐含条件的应用一旦发现了隐含条件，正确地应用它也是至关重要的。
在实际解题中，有时候隐含条件可以帮助我们缩小解题范围，找到更加有效的解题方法。
培养学生灵活运用隐含条件的能力也是十分必要的。
5. 个人观点及总结在初中数学解题中，隐含条件的挖掘及应用是一个需要强调和重视的能力。
通过不断练习和思考，相信学生可以逐渐提高对隐含条件的发现和应用能力，从而在数学学习中取得更大的进步。
结语通过本文的探讨，希望读者能够对初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用有所了解，并在实际学习中加以运用。
隐含条件的发现和应用不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，也可以提高解题的效率和准确性。
希望学生们能够在今后的学习生活中不断提高这一能力，取得更好的成绩。
隐含条件在数学解题中起着重要的作用，它有时能够帮助我们找到解题的关键，缩小解题范围，甚至直接导致解题的成功。
培养学生发现和应用隐含条件的能力是十分必要的。
对于发现隐含条件，学生可以通过分析题目、归纳问题的特点来发现隐含条件。
在解决代数问题时，有时候方程中的未知数之间存在着某种关系，这种关系在题目中可能并未直接给出，但是如果能够发现并应用这种关系，往往会事半功倍。
谈初中数学解题中隐含条件的分析及应用
谈初中数学解题中隐含条件的分析及应用数学是一门抽象而又具体的学科，对于很多初中生来说，数学的解题过程往往是一个繁琐而又困难的过程。
在解题的过程中，很多时候我们会发现一些隐含的条件，这些条件对于问题的解决至关重要。
本文将从初中数学解题中隐含条件的分析及应用展开讨论，希望能够帮助同学们更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
一、隐含条件是什么？在数学解题中，隐含条件指的是在问题描述中没有明确提到，但却对问题的解决起到决定性作用的条件。
简单来说，就是隐藏在问题中的重要信息。
这些信息可能是直接的，也可能是间接的，需要我们通过一定的推理和分析才能够找到。
举个例子，有一道题目是这样描述的：“小明手中有一些铅笔，如果两个人平均每人分3支，还剩下2支；如果平均每人分4支，还差2支。
问小明手中至少有几支铅笔？”在这个问题中，虽然并没有明确提到“两个人”，但是我们通过分析可以得出这样一个隐含条件：小明至少要有4支铅笔才能够满足问题的要求。
这个条件就是隐含条件的典型例子。
二、隐含条件的分析方法在解题过程中，我们应该如何去找出这些隐含条件呢？我们需要仔细阅读问题，将问题描述中的每一个细节都理解清楚。
我们需要对问题进行分析，考虑问题的可能情况和限制条件。
我们需要通过逻辑推理和数学运算找出问题的答案，同时确认我们找出的条件是否满足问题的要求。
以一道典型的例题来说：“甲、乙两地相距480千米，甲地到乙地开车比乙地到甲地多1小时到达。
甲地到乙地开车的速度比乙地到甲地的速度多20千米/小时，甲、乙两地到达时间分别是多少？”在这个问题中，我们可以通过分析得出以下隐含条件：甲地到乙地开车时间 t1 、速度 v1 ，那么乙地到甲地开车时间 t2 、速度 v2 那么有480=v1*t1,480=v2*t2,由题目得到 t2=t1+1 ,v1=20+v2 然后可通过方程组解题。
三、隐含条件的应用隐含条件在数学解题过程中的应用至关重要，它往往能够帮助我们理清问题的思路，从而更加高效地解决问题。
例谈数学解题中隐含条件的挖掘
例谈数学解题中隐含条件的挖掘每道数学都可以分为“条件”和“结论”两部分，条件是命题中的已知事项，而结论是从命题中提出条件经过推理而得到的事项，多数命题的条件和结论是明确的，但有的简单命题就不明确点明，它的条件是隐蔽的。
隐蔽在题设中的已知条件我们称之为“隐含条件”。
它们常常巧妙隐蔽在题设的背后，不易被人们发现。
这些隐含条件对解题影响很大，一道数学题是否解得迅速、合理、正确，关键在于要引导学生充分挖掘和利用好隐含条件，部分学生解决某些数学问题，常因疏漏隐含条件，要么使解题无法进行，要么就得出错误的结论。
究其原因，主要是对那些问题中所隐含的条件不清楚，没能充分应用到位。
那么怎样才能引导学生充分挖掘和利用隐含条件？笔者多年从事数学教学实践，认为教师应从以下4方面入手：1. 从数学概念、定义中挖掘隐含条件数学概念、定义中的某些部分较为隐蔽，如不注意，就容易错误或被疏漏，造成解题的失误。
应从仔细审题入手，积极探明题目思路，注意分析概念、定义的实质，挖掘出隐含条件，使解题做到快而准。
例1：在实数范围内解方程：|（x+y）（x-y）-15|+4-xy=0。
分析：注意在此方程中含有绝对值和平方根，可从概念入手，挖掘隐含条件。
在实数范围内求解时，此方程的第一部分表示实数的绝对值，第二部分表示实数的算术平方根，它们在数量上的共同特征是表示非负数。
即（x+y）（x-y）-15=04-xy=0x1=4y1=1，x2=-4y2=-1例2：求C25-n2n+C2n9+n（n∈N）的值。
分析：若采用组合的计算公式Cmn=n！m！（n-m）！来求值很繁琐，但从组合数特定的概念中挖掘隐含条件nm0，m、n ∈N，问题显然易解。
解：由组合的定义知：2n25-n0（n∈N）9+n2n0得：813n9且n∈N，所以n = 9故原式= C1618+C1818=C218+1=1542. 从基本初等函数的定义域、值域中去挖掘隐含条件函数的定义域、值域是函数的主要组成部分，有些重要的条件往往隐含在定义域、值域中，这不但需要教师注重培养学生的观察能力，还要求学生熟练地掌握基本技能，仔细分析、勤于联想，这样才能提高挖掘隐含条件的能力。
如何挖掘数学题中的隐含条件
中学 数 学月 刊
・ ９・ ４
如 何 挖 掘 数 学 题 中 的 隐含 条件
杨 花 （ 苏省 溧 阳 中学 江 ２ ３５ ） １ ３ ７
数 学高 考题 往往 灵活 多 变 ， 重 对 能力 的考 偏 查 ， 少学生在解题 时， 往 会产生“ 件不足” 不 往 条
客 观存 在 的条 件 ， 因而 易 被 解题 者 忽 视 ． 实 ， 其 只 要 我们 仔细 分析 和深 入 挖掘题 目所提 供 的信息 条
件 ， 不难 发现 ， 就 在题 目的字里 行 间或示 意 图 中隐
可｛ 得
Ｔ２ Ｃ 一
所 一 以 ．
・ ＿ ｚ， 以 ａ ＿一 所 一 ．
件 ， 常是 指一 种 在 题 目中 未 明确 表 达 出来 而 又 通
致 使许 多 学 生 无 从 下 手 ， 觉 “ 件 不 足 ” 实 际 感 条 ． 上 ， 据组 合数 的概 念 “ 中字 母 ， 应 满 足条 根 ｃ 件 ≤ ， ∈ Ｎ， ∈ Ｎ” 那 么 问题 将迎 刃 而解 ． ， 解 因为 ａ 一ｃ 。 Ａ 一 ， ｛． ・ 由组合 数 的意义
解 题 时常用 的一 把钥 匙 ． 有些 数学 问题 ， 分 已知 部
条 件就 隐含 在数 学概 念 、 定义 中 ， 中可 以挖掘 出 从 解 题需 要 的最 为本 质 的 条 件 ， 得 解 题 过 程 变 得 使 简捷．
候 只要 考虑 定 义域 ， 问题 便很快 可 以得 到解决 ； 同 样 不要 忽 略 同一 函数 在不 同定 义域 下 的值 域 所带
解 设 Ｐ（ ） Ｆ （ ６ Ｏ ， ２ ６ ０ ，则 ｘ， ， １ 一 ， ） Ｆ （ ， ）
它们 之 间的关 系． 优先 注意 函数 的定 义域 ， 函 若 则
挖掘数学隐含条件,找到解题突破关键
JIETI JIQIAOYUFANGFA解题技巧与方法-------------------------------------M2'挖掘数学隐含条P，找到解题突破关鍵◎钱玮（江苏省南通市启东市吕四中学，江苏启东226200)数学 主要是指数学问题中那些含而不露，忽明忽暗的 ，它可能 在几何图形中，也可能 ：在数学 定义中，还可能 在 的联系中％因此，在高中数学解题中，同学们要 数学-条件，找到解题突 ，从而使问题迎刃而解.一、定义性质，从数学概 解题隐含条件数学 是构成数学 的，也是数学解题的出发点.在求解数学题时，同学们要注意 审题，联数学定 ，从 中，进而找到解题的突破口，使问题得以有效获解.，常数 *>0， 4 = (0，*)，5= (1，0)，经过原点 > 以4 +A5为方向向量的直线与经过定点2(0，*)，以5-2A c为方向向量的直线相交于点7,其中！/ *，是否存在两个定点@，.，使得+ 17.为定值？若存在，求出@，.的坐标，若不存在，说明理由.分析对此题，由+ 17.为定值可以联想椭圆的定义，这问题就巧妙地转化为求点7的轨迹问题;而的方向问题，可以联 线的 ，这样就很快能 线的方程，问题自然迎刃而解了.解•••5' (1，0)，4= (0，*)，X c+ A5= (A，*)，i —2Ac= (1，—2A*)，X直线>7与27的方程分别为A+ ' 和+ - * '-2Aa%•消去参数A，得点7(%，+)的坐标满足方程+(+-*) = -2A*%•消去参数A，得点7(%，+)的坐标满足方程+(+-*) =-2*2%2，整理可得! +:__2①Y* >0，.•.当* = y时，方程①表示圆，故不存在符合题意的定点@和.当* >f时，方程①表示椭圆，焦点@0,(*+~2~,*2 —+))和.0,(*—~2~,*2 —士))为符合题 意要求的两个定点;当0_ * < ~2~时，焦点~2—*2，了)和卩(—m*1，f)为符合题意要求的两个定点.评注:有些数学问题的 在数学 、定理、中，同学们要注意回归定义，从数学 中挖掘解题 ，从而巧妙求解.二、细审已知条件，从系解题隐含条件在数学解题中，同学总是倾 独、地审视每一个 ，致使解题 阔，过程 ，或从.此时若能将几个机联 ，仔细审问题，容找到问题的，从而化繁为简，使解题 简化•比如，3Q:4%-3+-1=0，Q:4%-3+ - 4 = 0，求与两直线相切且过点2 (1，1)的圆的方程.分析 所 的平行直线，多数同学在解题时 会想到利用这两个直线方程 Q，Q之间的距离•部分同学会想到与Q，Q相切并过点2(1，1)，即挖掘出的 隐含条件是该圆的直径为1，从而得出半径r=1，再设所求圆14*-31-11 =丄的圆心为(*，1)，进而得 5212(* - 1)2+ (1- 1)2 = (j)，但这种解题方法过 ，解.此时，不妨联系问题的几个已知条件，审视其隐含条件，不难发现，2(1，1)在直线 Q上，可得圆与直线Q的切点就是2(1，1)，接着再运用切线的性质计算:11=-f，化简为:3*+41=7;①再根据已知条件，可得到丨4*-31-4丨艮P8*-61= -3,②联立①②式，可以求出*=f，i=y0,故该圆的方程为(%-+)、(+-13)评注：是解题的重要依据，同学们在求解时要仔细审视问题的 ，利用 之间的内在联系，从而找到解题切入点，有效解决问题.三、认真图形，从数形结合 解题隐含条件在求解某些几何图形问题时，同学们要注意仔细观察 图形，找 的数 ，通过数形结合，实现数与形的相互转化，从而找到解题的思想和方法.例如，如图所示，正方形的两个相邻顶点坐标分别为2( 1，2)，R(3，-5)，此正方形另外两个顶点坐标•分析通过仔细观察图形，不难发现，此题若 用点到直线的距离或两点之间的距离求解，解题过程繁，.此时，若 数 ，以数形结合的方法，将到化难为易的目的.将M顺时针旋转，即-(辱向量2T A将 益逆时针旋转，即乘〖则可以得到向量2T解 >2，>R所对应的复数分别为1 +25,3 - 55,数 的几何意义，易知T点所对应的复数为[(3-55) -(1 +2i)]i+ (1 +25) = 8 +45 或"（3 - 55) — (1 + 25)] (—)+(1+25) = -6,所以T点的坐标为（8,4)或（-6, 0)•同时，可 C点所对应的复数为[(1+25)-(3-55)]5 + (3-55) = -4-7f•或[(1 +25) —(3 - 55)]( -5) + (3 -55) = 10 -35,所以 C点的坐标为（10, -3)或（-4,- 7)•所以此正方形另外两个顶点坐标为（8，4)，（10，- 3)或 (_6，0)，（ _4，_7).总之，是数学解题的 所在.在平时数学解题学习和 中，同学们要注意 审题，明确题意要，从题设中不断 和利用 ，从而顺利解题，提升数学 和解题能力.数学学习与研究2019. 1。
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如何挖掘数学题中的隐含条件
浙江省奉化中学 楼许静 孙伟奇 315500
有的题目中隐含着一些条件，这些题目常使学生感到困惑。
究其原因，主要是学生不知如何抓住问题的实质，挖掘出隐含条件，为解题打开切入点和突破口。
那么隐含条件应当从那几方面去挖掘呢？
一、回归定义
数学的定义是推导公式、定理的依据，也是解题常用的一把钥匙，它能为解题挖掘出最本质的条件，使解题简捷明快。
例1、解方程1010610622=+-+++x x x x
思路：用通常的办法，需要两次平方才能将原方程化为有理方程．注意到原方程就是 ,101)3(1)3(22=+-+++x x
联想到解析几何中椭圆的定义，令,12y =有
,10)3()3(2222=+-+++y x y x 这是以点)0,3(),0,3(21F F -为焦点，长轴之长为
10的椭圆方程,即.116
252
2=+y x （隐含条件） 从而当12=y 时,就有154
5±
=x . 二、细查结构 发掘隐含条件往往需要运用感知，敏锐地观察，大胆运用直觉思维，迅速作出判断，从隐蔽的数学关系中找到问题的实质。
而仔细观察，抓住结构特征，往往能有效地挖掘隐含条件．
例2、已知二次方程)(0)()(2c b b a x a c x c b ≠=-+-+-有相等的实数根，
求证：c a b +=2
分析：常规方法是由判别式0=∆，经过因式分解得到0)2(2=--c a b ，但跨越这一步是比较繁难的．若转向观察题设方程的特点入手，迅速发掘出该方程系数为0
条件，则立刻可知该方程的相等实数根为1，于是由韦达定理得,1=--c
b b a 问题简捷获证．
三、结合已知
当单独、孤立地审视已知条件已经达到“山重水腹疑无路”时，将几个已知条件联系起来审视，就可以出现“柳暗花明又一村”的新境界，从而挖掘出隐含条件．
例3、在锐角三角形中，C B A tan ,tan ,tan 成等差数列，若
)cos()2(cos A C B C f -+=，试求函数)(x f 的表达式． 分析：一方面由第一个已知条件得出)tan (tan 2
1tan C A B +=，另一方面由诱导公式得出,1tan tan tan tan )tan (tan tan -+=+-=C A C A C A B 以上二方面结合得出),1tan )(tan tan (tan )tan (tan 22
tan tan 1tan tan tan tan -+=+⇒+=-+C A C A C A C A C A C A ⇒-=⇒1tan tan 2C A 隐含条件.tan 3tan C
A = C C C C A A A A A C
B 222222tan 9tan 91)tan 3(1)tan 3(
1tan 1tan 2cos )2cos()cos(+-=+-=+-=-=-=-+π 这样第二个已知条件转化为C
C C C f 2222tan 9tan 9)tan 1tan 1(+-=+-用变量替换法求函数的表达式，令.5445119119)(11tan tan 1tan 1222++=+-++--
=⇒+-=⇒+-=x x x x x x
x f x x C C C x 四、借助直观
有些数学题所给的条件往往不能直接为解题服务，而能够直接为解题服务的一
些有效因素却隐蔽在题目所蕴含的图形的几何性质中，此时，若能以数思形，借助图形直观分析，就可以迅速获得隐含条件，使问题形象、简明地解决．
例4、点),(b a A 是已知圆D ：02222=+--+f ey dx y x 内的一个定点，弦BC 与点A 组成一个直角三角形︒=∠90BAC ．求弦BC 中点P 的轨迹方程．
解：设弦BC 中点),(y x P ，因为︒=∠90BAC ，所以||||||PC PB PA ==；又因为,||||||222CD PC PD =+则有
f e d b y a x e y d x -+=-+-+-+-222222)()()()(，化简得
.0)(2
1)()(2222=++++-+-+f b a y b d x a e y x 这里，画出草图就可揭露出条件||||PC PA =，把PCD Rt ABC Rt ∆∆与联系起来问题就迎刃而解．
五、转换表述
数学语言的抽象表述常会给我们理解题意带来困难．为此，在解题中，要善于追溯问题的实际背景，注意转换数学语言，尽量使题目表述通俗化，使隐含条件明朗化．
例5、记函数)(x f 的定义域为D ，若存在,0D x ∈使00)(x x f =成立，则称),(00y x 为坐标的点是函数)(x f 图象上的“不动点”，若函数a
x x x f +-=
13)(的图象上有且仅有两个相异的“不动点”．试求实数a 的取值范围．
分析：本题是一类新概念题，但是其语言表述却是我们所不熟悉的，为了解决这个问题，我们可设两个不动点的坐标为))(,(),,(212211x x y x P y x P ≠，于是有“不动
点”就被我们用这样的语言去表述：⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-0
1)3(01)3(131
3222121222111x a x x a x x a
x x x a x x ),(21a x x -≠
从而也就挖掘出隐含条件21,x x 是一元二次方程01)3(2=+-+x a x 的两个不等于a
-的相异实根，于是很容易就得到解题的方法：⎪⎩⎪⎨⎧≠+--+->--=∆0
1))(3()(04)3(22a a a a ， 解得：).,5()1,3
1()31,(+∞⋃-⋃--∞∈a 六、巧妙赋值
通过对题目中的字母的恰当赋值，往往能获得对该问题具有启发意义的隐含条件
例6、下面的表甲是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变．改变的规则是按照英文字母的顺序，每个英文字母变成它的下一个字母（即A 变成B ，B 变成C …，最后Z 变成A ）．问能否经过若干次操作使表甲变为表乙？如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由．
S O B R K B D S
T Z F P H E X G
H O C N R T B S
A D V X C F Y A
表甲 表乙
分析：本题直接入手，有一定难度．我们将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A 用1，B 用2，…，Z 用26代替）．这样表甲和表乙变分别变成了表丙和表丁．
19 15 2 18 11 2 3 19
20 26 6 16 8 5 24 7
8 15 3 4 18 20 2 19
1 4 2
2 24
3 6 25 1
表丙 表丁
这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换：1→2，2→3，…，25→26，26→1．这样我们就挖掘出隐含条件：每次操作不改变这16个数字的和的奇偶性．但表丙这16个数字的和为213，表丁的16个数字的和为184，它们的奇偶性不同．故表丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙．
七、有效增补
有些立体几何题给出的问题背景很简略，难以察觉题中的线面关系或数量关系．但是，将所给的图形进行适当的增补，使之变成一个更特殊、更完整的几何体，那么题中所隐含的一些线面关系和数量关系就会显露出来，问题也就迎刃而解了．
例7、如图，ABC C B A -111是直三棱柱，过点11,,C B A 的平面与平面ABC 的交线记作l ，（1）判断直线11C A 和l 的位置关系，并加以证
明；（2）若,90,3,4,11︒=∠===ABC BC AB A A 求顶点1
A 到直线l 的距离．
简析略解：此题中平面11BC A 与平面ABC 的交线l 的位置不很明朗，难以看到问题的本质．而将所给的直三棱柱ABC C B A -111补成直平行六面体,1111ABCD D B C A -则即可显露出隐含关系：交线l 就是BD ，于是易知直线11C A 和l 平
行（证明略），再根据三垂线定理及勾股定理易求得1A 到直线l 的距离是5
13（解答略）． 由上可知，善于挖掘题目中的隐含条件，可以迅速揭开问题的实质，简缩思维过程，优化解题思路．因此在教学中教师除了要求生具备扎实过硬的基础知识和基本技能外，还要帮助学生掌握严谨的思维方法，养成良好的审题习惯．。