1(3)极限运算法则
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
1.3 极限运算法则
解 先用 x 3去除分子分母，再求极限
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
2 . 7
5 x3 1 3 x
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§1.3 极限运算法则
例3
2x 3 求 lim 2 . x 3 x x 1
( x) a
取 min 0 , 1 , 则当 0 x x0 时 0 ( x) a u a 因此
x x0
f ( u) A ,
故 lim f [ ( x )] A.
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§1.3 极限运算法则
lim( x 2 3 x 2) lim x 2 lim 3 x lim 2
x 1 x 1 x 1 x 1
(lim x )2 3lim x 2 12 3 1 2 6 0,
x 1 x 1
lim( x 1) x 1 11 1 x 1 lim 2 . 2 x 1 x 3 x 2 lim( x 3 x 2) 6 3
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§1.3 极限运算法则
思考练习
在自变量同一变化过程中，若 f ( x ) 有极限，g( x )无极限，那么 f ( x ) g( x )是 否有极限？为什么？
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§1.3 极限运算法则
思考练习
解答
没有极限．
假设 f ( x ) g( x ) 有极限， f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知：
g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) 必有极限，
与已知矛盾，故假设错误．
求极限的四则运算法则
求极限的四则运算法则
1 极限的四则运算
极限的四则运算是数学中一个重要的概念，也是分析数学的核心
内容之一。
在极限的四则运算中，有很多的规则，它们是数学计算的
基础，能够帮助我们理解与解决有关数学问题的答案。
2 极限的四则运算法则
1.加法定义和原则：极限加法定义了两个极限相加，要求其结果
具有相同的极限值。
2.减法定义和原则：极限减法定义了两个极限相减，其结果等于
以极限值来减去另一个极限值。
3.乘法定义和原则：两个极限相乘，它们的结果是其乘积的极限值。
4.除法定义和原则：两个极限相除，它们的结果是其商的极限值。
3 极限的四则运算的应用
极限的四则运算能够用在更多的应用场合，比如说，它可以帮助
我们估算不可知的函数式极限值。
此外，极限的四则运算还可用于估
算有限函数极限值，以及定义数量级大小等等。
4 总结
综上所述，极限的四则运算是数学中一个重要的概念，它提供了加减乘除四种极限运算的规则，能够帮助我们估算不可知的函数式极限值及有限函数极限值，起到重要的作用。
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
第四节 极限的运算法则
a0 b , 当n m , 0 m m 1 a0 x a1 x a m lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂 除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.
. 解: x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大
先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
3
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim 2 x 7 x 4 x 1 x 4 7 x
(无穷小因子分出法)
5 3 x 2. 7 1 3 x
小结: 当a 0 0, b0 0, m 和n为非负整数时有
x2 2
x2
x2
小结: 1. 设 f ( x ) a x n a x n 1 a , 则有 0 1 n
x x0
lim f ( x ) a 0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
a0 x0 a1 x0
lim P ( x )
二、求下列各极限:
1 1 1 1、 lim(1 ... n ) n 2 4 2
( x h) 2 x 2 2、 lim h 0 h
1 3 3、 lim( ) 3 x 1 1 x 1 x
1 x 3 4、 lim x 8 2 3 x
5、 lim ( x x x x )
0
n
x x0
n 1
a n f ( x 0 ).
x x0
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )
《应用高等数学》极限的四则运算法则
《应用高等数学》极限的四则运算法则应用高等数学中的极限的四则运算法则是指在计算数列或函数极限时，可以利用四则运算的运算规则进行运算，以便更方便地求出极限值。
四则运算法则主要包括极限和、极限差、极限积和极限商四种情况。
1.极限和法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的和函数[f(x)+g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的和，即：lim (x→a) [f(x) + g(x)] = lim (x→a) f(x) + lim (x→a) g(x) 2.极限差法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的差函数[f(x)-g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的差，即：lim (x→a) [f(x) - g(x)] = lim (x→a) f(x) - lim (x→a) g(x) 3.极限积法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的积函数[f(x)*g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的积，即：lim (x→a) [f(x) * g(x)] = (lim (x→a) f(x)) * (lim (x→a)g(x))4.极限商法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且g(x)≠0，则它们的商函数[f(x)/g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的商，即：lim (x→a) [f(x) / g(x)] = (lim (x→a) f(x)) / (lim (x→a) g(x))需要注意的是，上述四则运算法则只适用于函数在点x=a处极限存在的情况，且在使用这些法则时应保持合理性，并且注意避免除以零等错误操作。
这些四则运算法则在高等数学中被广泛应用于求解各种极限问题，通过利用这些法则，可以更简洁、方便地求出函数的极限值，从而帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
1-4极限的运算法则
内, 则有 （证略 P20）
极限的变量代换
例7.求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 =
6 6
1 6
例.求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
例1. 求
解:
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是
的渐近线 .
y sin x x
二、 极限的四则运算法则
定理 3 . (1) 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 极限的变量代换
注意使用条件
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 矛盾.
x0 x( x 1 1) x0
1
1
x11 2
例.
求极限
lim x1
x
1 1
2 x2
1
解:原式＝lim ( x 1) 2 lim 1 1 x1 ( x 1)( x 1) x1 x 1 2
三、 复合函数的极限
定理4. 设在邻域 又
高等数学极限运算法则
x ＋2 ＋ax b) 2, 求a、b. 例6 设 lim( x x 1
2
2
解
x 2 axx 1 bx 1 左边 lim x x 1 2 1 a x a b x 2 b lim x x 1
商的极限存在，必须
a0 b , 当n m , 0 m m 1 a0 x a1 x a m lim 0, 当 n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
无穷小分出法:以分子、分母中自变量的最高次 幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.
解 所以 lim f ( x ) 1. 此外，易求得
1 3 1 2 3 x 2 3 x 1 x x x 0, lim f ( x ) lim lim 3 x x x 1 x 1 1 3 x lim f ( x ) . lim ( x 1 ) x x
解
所以 lim f ( x ) 1. 此外，易求得
x 0
x 1 , x 0 2 例 10 已知 f ( x ) x 3 x 1 , , x 0 3 x 1 求 lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ). x 0 x x
lim
x 0
1 1 x2 1
1 2
x3 a 例12 求 lim 3 . x a xa
3
解:
x a ( x a) 原式 lim 3 3 2 2 3 x a x a ( x ax a )
3 2
lim
x a
3 3 2
( x a)
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。
极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。
下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。
1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。
1.3极限的运算法则和性质
例如,
lim sin x 0 , 函数 sin x 是当 x 0时的无穷小
x 0
.
lim
1 x
x
0,
n
函数
1 x
是当 x 时的无穷小
n
.
lim
( 1) n
n
0 数列 { ,
( 1) n
}是当 n 时的无穷小
.
又如： 当 x 1时 ， x 1是 穷 量 无 小 ；
3
) lim
x x 1 3
2
x 1
2
1 x
x 1
3
3
( x 1) ( x 2)( x 1) lim 2 x 1 ( x x 1)( x 1) x2 1. lim 2 x 1 x x 1
x 1 3
lim
x x2
lim
x
m n
a0 b0
lim x
x
mn
x
x
b0 0,
,
n m; n m; n m.
,
总结：(1)有理函数在无穷远的极限
—无穷小因子分出法
a0
lim
Pm( x ) Qn( x )
x
lim
a0 x a1 x b0 x b1 x
n
m
m 1 n 1
22/22
2
函数极限的性质
定理4(唯一性定理) 如果函数在某一变化过程中
有极限，则其极限是唯一的．
定理5(有界性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限存在，
则必存在x0的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界． 定理6(保号性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限为A， 且A>0(或A<0),则在x0的某一去心邻域内，恒有
高等数学极限的运算法则与性质
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim( x3 1)
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
0,当n m,
,当n m,
7
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铃
例4
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
13
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3. 函数极限的局部保号性
如果lim f (x) A, 且A 0(或A 0),那么 x x0
存在常数 0, 使得当0 x x0 时，有
f (x) 0(或f (x) 0).
14
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铃
问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
1.3极限的性质与运算法则
一.一. 极限的四则运算法则 极限的性质与四则运算法则
例1 求 lim(5 x 2 + 3 x − 1) .
x →1
解 由极限的四则运算法则 原式 = lim 5 x
x →1 2
+ lim 3x − lim1
x →1 x →1
和的极限 = 5 lim x 2 + 3 lim x − 1 = 5(lim x) 2 + 3 × 1 − 1 =极限的和 极限的和 x →1 x →1 x →1 常数因子可提到 极限符号之前
ESC
课堂练习
1.求下列函数的极限 . (1) xlim sin x (2) xlim arctan x x →∞ x →∞
(3) lim(x2 + x)cos 1 x
设 lim f (x) = A ,
lim g ( x) = B , 则
f (x) (3) 若 limg( x) = B ≠ 0 ,商的极限 lim 存在, 商的极限 存在 且 g(x)
f (x) lim f (x) A lim = = . g(x) lim g(x) B
要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！ 法则使用的前提条件！
= 5 × 12 + 3 × 1 − 1 = 7.
由该题计算结果知， 由该题计算结果知，对多项式
有
Pn(x) = a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an (a0 ≠ 0) ,
x → x0
lim P (x) = a0 x0 + a1 x0 n
n
n−1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 x0 + an
1-5极限的运算法则
o
1
x
小结
1.极限的四则运算法则及其推论;
2.求极限的多种方法：
(1) 多项式与分式函数代入法求极 限 ; 消去零因子法求极限; (2) (3) 无穷小因子分出法求极限; (4) 利用无穷小运算性质求极限; (5) 利用左右极限求分段函数极限.
思考题
若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 在某个过程中，
lim Pn ( x ) Pn ( x ) x x0 lim R( x ) lim x x0 x x0 P ( x ) lim Pm ( x ) m x x0 Pn ( x0 ) R( x0 ). Pm ( x0 ) 若Pm ( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
2 3 n 1 例 求 lim n2 n2 n2 . n n 2
解： 当 n 时, 是无穷多个无穷小之和．
先变形再求极限.
2 n 1 2 n 1 lim 2 2 2 lim 2 n n n n n n 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim 1 . 2 n n 2 n n 2
0 0
二、求极限方法举例
例
x3 1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 x2
2 lim x 3 x lim 5 解: lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2
(lim x )2 3lim x lim 5
x2 x2 x2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
例
x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
极限运算法则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x) lim g( x) A B;
例: lim( x 2 ln x ) lim x 2 lim ln x 4 ln 2
h( x )
A
f ( x)
g( x )
O
x
夹逼准则 sin x 例:试用夹逼准则证明 lim 0 x x 1 sin x 1 1 sin x 1 x x x 1 1 sin x lim lim 0 lim 0 x x x x x x
5x 4x 1 例求: lim x 2 x 10 5 x 2
10 2
mn mn mn
5x 4x 2 例求: lim x x 1
3 2
极限运算法则
2x 3x 1 例求: lim x (2 x 1)2
3
3 x4 3 例求: lim x (2 x 2)4 (2 x 1)30 (3 x 2) 20 思考: lim x (2 x 1)50
lim g( x ) u0 , lim f ( u) A,
u u0
且在 x0 的某去心邻域内有 g(x) ≠ u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A.
u u0
复合函数求极限法则
例: lim e
x
1 x
求 解 顺 序
eu 1 u x
例: lim(2 x ln x 1) lim 2 x lim ln x 1 3
2 2 x 1 x 1 x 1
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1 (6) 2
(2) lim arcsin x2 x x x
6
5n 2n
1
(3)
limn5n14n15lim
x0
4
1
2 ex
不存在
1 2x5 1 5x2
(4) lim x0
x2 x5
15
(5) lim arctan x x x
0
15
极限运算法则
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法:
(1)参加运算的是有限个函数; (2)它们的极限都存在; (3)商的极限要求分母的极限不为0.
不要随便参加运算, 因为 不是数, 它是 表示函数的一种性态.
5
极限运算法则
二、求极限的方法举例
例1 求 例2 求
lim
x x0
a0 xn
a1xn1
lim a0 xm a1xm1 xx0 b0 xn b1xn1
解 不满足每一项极限都存在的条件,不能直接
应用四则运算法则.
分子有理化
原式 lim
3x 1
(型)
x x2 3x x2 1
lim x
3 1 x
1 3 x
1
1 x2
3 2
“根式转移”法 化为 型
10
极限运算法则
定理3 (复合函数的极限运算法则)
设函数 y f [g(x)]是由函数 y f (u)与函数
sin x
x
x lim
x0
有界函数 sin x 0 1
x0 x
lim x 0
x0
利用无穷 小的性质
?
2.
lim
sin
x
lim
x
sin
x
0
?
x x
lim x
x
3. lim x sin 1 lim x limsin 1 0 ?
x0
x x0 x0 x
8
极限运算法则
例
求
1 lnim1 3
对某些不能直接利用四则运算法则的极限, 有时可采用下述方法: (1) 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系; (2) 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的 性质; (3) 消去零因子法; (4) 无穷小因子分出法;
第三节 极限四则运算
极限运算法则
求极限方法举例
小结 思考题
第一函章数与函极限数与极限
1
极限运算法则
一、极限运算法则 lim f (x)泛指任一种极限
定理1 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则
(1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B;
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极限运算法则
注意:
条件: 当x U (x0,0 )时, 有 g(x) u0,
很重要,否则结论不成立.
如,
3, u 1
1, x 0
f (u) 0,
, u 1
g(x) 2,
x0
则
f
(g(x))
0, 3,
x0 x0
从而
lim f (g(x)) lim f (u)
x0
u1
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极限运算法则
3
极限运算法则
定理2 设有数列{ xn }和{ yn }, 如果
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B,
那末
(1)
lim(
n
xn
yn )
A
B;
(2)
lim
n
xn
yn
A
B;
(3) 当yn 0n 1,2,且B 0时,
lim xn A . n yn B
4
极限运算法则
注意 应用四则运算法则时,要注意以下条件:
注意:
若没有条件:
当x U (x0,0 )时,
有
g(x) u0,
则条件:
lim
uu0
f [u]
A
应加强为:
lim
u u0
f [u]
f (u0 )
结论仍然成立.
u g(x)
lim f [g(x)]
x x0
x x0时 u u0
f
lim g(x)
uu0
f (u0)
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极限运算法则
例 求极限
u g(x) 复合而成, y f [g(x)]
在U (x0 )
有定义, 若
lim
x x0
g( x)
u0 ,
lim
uu0
f (u)
A,
且存在 0
0,
当x U (x0,0 )时, 有 g(x) u0, 则
u g(x)
lim f [g(x)]
x x0
x x0时, lim f [u] A u u0 uu0 u u0
(3) lim f ( x) A ,其中B 0 . g(x) B
证 (1) 因为lim f (x) A, lim g( x) B.
所以无, f穷(x小) 与A函数,g极( x限) 的 B关系.
其中 0, 0.
2
极限运算法则
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B;
f (x) g(x) [A][B ] [ A B] [ ]
x
lim
x
loga
tan
2
2
推论 若lim f ( x) A, lim g( x) B 0,
则 lim g( x) f ( x) B A .
例 lim asin x asin x0 a 0 . x x0
例
lim
x x0
x
x0
x0 0.
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极限运算法则
课堂练习 计算下列极限.
(1) lim x2 x x x
由无穷小运算法则,得 0
所以 lim[ f (x) g(x)] A B lim f ( x) lim g( x)
(2) 的特例是 lim[ Cf ( x)] C lim f ( x)
即常数因子可以提到极限符号外面.
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n n是正整数.
an am bn
A B
m,
n为正整数,
b0
xn 0
b1x0n1
bn
0.
商的极限 公式
例3 求 lim x 3 x3 x2 9
0 0 约去公因式
6
极限运算法则
例4
求
lim
x1
x2
2x 3 5x
4
A 0
先求倒数 的极限
例5 证明:
lim x 1 ,
x1 x 1
R
0 0
1 35
(2n
1 1)(2n
1)
解 和式的项数随着n在变化,不能用运算法则.
方 法 先作恒等变形, 使和式的项数固定,
再求极限.
原式=
lim
n
1 2
1
1 3
1 3
1 5
1 2n
1
1 2n
1
lim 1 1 1 1 n 2 2n 1 2
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极限运算法则
例 求 lim ( x2 3x x2 1) ( 型) x
lim
x
例6 设
a0 xm b0 xn
a0
a1xm1 b1xn1
0,
b0
0,
am bn
m,
n为正整数, 证明 :
a0 0b,0
,
mn mn
, m n
分子分母同除以x的最高次幂.
7
极限运算法则
例7 求
lim
x2
x
1
2
12 x3 8
先通分
问:
例8 求 lim x 1. lim sin