离散数学14真值表与等价公式
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五、公式置换
在一命题公式中，如果用公式置换命题的 某个部分，一般地会产生某种新的公式， 例如Q→（P∨（P∧Q））中以（ ┐P →Q）取代 （P∧Q），则Qwenku.baidu.com（P∨ （ ┐P →Q））就与原 式不同。为了保证取代后的公式与原式等 价（即真值相同），需要对置换作出一些 规定。
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五、公式置换
定义 1-4.3 如果X是合式公式A的一部分， 且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的子公式。 定理 1-4.1 设X是合式公式A的子公式，若 X Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到 公式B与公式A等价，即A B。 证明 书P16 *满足定理1-4.1条件的置换称为等价置换（等 价代换）
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本节小结
公式层次 命题公式分量指派 真值表 公式等价 公式置换 等值演算
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课后作业
复习课本例题 P18 （7）a)、c)、e)、f)、h) (使用等值 演算方法证明） 补充:（使用等值演算方法或真值表证明） (1) ┐(P ∨ Q ) ∨ (┐ P ∧Q) ┐P (2) (P∧Q) →R(P→R)∨(Q →R) (3) P→(Q→R)(P∧┐R) → ┐Q
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(┐P∧Q)→R，(┐(P→┐Q))∧((R∨S)┐P)分 别为3层和4层公式。
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三、真值表
公式(2)是含2个命题变项的3层合式公式，它的真值表如表2 所示。
表2 (P∧┐P) (Q∧┐Q)的真值表
从表2可以看出，该公式的4个赋值全是成真赋值，即无成
假赋值。
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一、公式的层次
公式的层次（补充）定义： (1)若公式A是单个的命题变元，则称A为0层公式。 (2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一： (a)A＝┐B，B是n层公式； (b)A＝B∧C，其中B，C分别为i层和j层公式，且n＝
max(i，j)； (c)A＝B∨C，其中B，C的层次及n同(b)； (d)A＝B→C，其中B，C的层次及n同(b)； (e)A＝BC，其中B，C的层次及n同(b)； (3)若公式A的层次为k，则称A是k层公式。 易知，
四、公式等价
根据真值表，有些命题公式在分量的不同 指派下，其对应的真值与另一命题公式对 应的真值完全相同，如表（P14 1-4.5)：
P Q P→Q
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P Q ┐P ┐ P ∨ Q
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P→Q
┐P∨Q
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四、公式等价
又如(P14 表1-4.6)
P
Q
P Q （P ∧ Q） ∨ （┐P ∧ ┐Q）
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P Q 与（P ∧ Q）∨（┐P ∧ ┐Q）
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四、公式等价
定义1-4.2 给定两个公式A和B，设P1， P2 ，……， Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1， P2 ，……， Pn任一组真值指派，A和B的真值都相 同，则称A和B是等价的或逻辑相等，记作AB。 例5：证明 PQ （P→Q）∧（Q→P） 书P15，列出真值表证明 注意：定义中给出的符号不是联结词，它是用来 说明A与B等值的一种记法，因而是元语言符号。 此记号在下文中频繁出现，千万不要将它与混为 一谈，同时也要注意它与一般等号=的区别。
五、公式置换
在一命题公式中，如果用公式置换命题的 某个部分，一般地会产生某种新的公式， 例如Q→（P∨（P∧Q））中以（ ┐P →Q）取代 （P∧Q），则Qwenku.baidu.com（P∨ （ ┐P →Q））就与原 式不同。为了保证取代后的公式与原式等 价（即真值相同），需要对置换作出一些 规定。
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五、公式置换
定义 1-4.3 如果X是合式公式A的一部分， 且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的子公式。 定理 1-4.1 设X是合式公式A的子公式，若 X Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到 公式B与公式A等价，即A B。 证明 书P16 *满足定理1-4.1条件的置换称为等价置换（等 价代换）
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本节小结
公式层次 命题公式分量指派 真值表 公式等价 公式置换 等值演算
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课后作业
复习课本例题 P18 （7）a)、c)、e)、f)、h) (使用等值 演算方法证明） 补充:（使用等值演算方法或真值表证明） (1) ┐(P ∨ Q ) ∨ (┐ P ∧Q) ┐P (2) (P∧Q) →R(P→R)∨(Q →R) (3) P→(Q→R)(P∧┐R) → ┐Q
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(┐P∧Q)→R，(┐(P→┐Q))∧((R∨S)┐P)分 别为3层和4层公式。
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三、真值表
公式(2)是含2个命题变项的3层合式公式，它的真值表如表2 所示。
表2 (P∧┐P) (Q∧┐Q)的真值表
从表2可以看出，该公式的4个赋值全是成真赋值，即无成
假赋值。
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一、公式的层次
公式的层次（补充）定义： (1)若公式A是单个的命题变元，则称A为0层公式。 (2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一： (a)A＝┐B，B是n层公式； (b)A＝B∧C，其中B，C分别为i层和j层公式，且n＝
max(i，j)； (c)A＝B∨C，其中B，C的层次及n同(b)； (d)A＝B→C，其中B，C的层次及n同(b)； (e)A＝BC，其中B，C的层次及n同(b)； (3)若公式A的层次为k，则称A是k层公式。 易知，
四、公式等价
根据真值表，有些命题公式在分量的不同 指派下，其对应的真值与另一命题公式对 应的真值完全相同，如表（P14 1-4.5)：
P Q P→Q
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P Q ┐P ┐ P ∨ Q
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四、公式等价
又如(P14 表1-4.6)
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P Q （P ∧ Q） ∨ （┐P ∧ ┐Q）
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P Q 与（P ∧ Q）∨（┐P ∧ ┐Q）
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四、公式等价
定义1-4.2 给定两个公式A和B，设P1， P2 ，……， Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1， P2 ，……， Pn任一组真值指派，A和B的真值都相 同，则称A和B是等价的或逻辑相等，记作AB。 例5：证明 PQ （P→Q）∧（Q→P） 书P15，列出真值表证明 注意：定义中给出的符号不是联结词，它是用来 说明A与B等值的一种记法，因而是元语言符号。 此记号在下文中频繁出现，千万不要将它与混为 一谈，同时也要注意它与一般等号=的区别。