北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 同步单元练习题( 教师版)

14．如图，已知等腰三角形 ABC 的底边 BC＝20 cm，D 是腰 AB 上一点，且 CD＝16 cm，BD＝12 cm. (1)求证：CD⊥AB；
(2)求该三角形的腰的长度． 解：(1)证明：在△BCD 中，因为 BD2＋CD2＝122＋162＝400＝BC2， 所以△BCD 是直角三角形，其中∠BDC＝90°.所以 CD⊥AB. (2)设 AB＝AC＝x cm，则 AD＝(x－12)cm. 因为 CD⊥AB， 所以在△ACD 中，AD2＋CD2＝AC2， 即(x－12)2＋162＝x2， 解得 x＝530.
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9．已知在△ABC 中，AB＝17，AC＝10，BC 边上的高 AH＝8，则 BC 的长是 21 或 9． 10．如图，在长方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿直线 BE 折叠后得到△GBE，延长 BG 交 CD 于点 F.若
25 AB＝6，BC＝10，则 FD 的长为 6 ．
50 所以该三角形的腰的长度为 3 cm.
15．如图，把一张长方形纸片 ABCD 折叠起来，使其对角顶点 A 与 C 重合，D 与 G 重合．若长方形的长 BC 为 8， 宽 AB 为 4，求：
(1)DE 的长； (2)阴影部分△GED 的面积．
解：(1)由折叠的性质，得∠AGE＝∠ADC＝90°，
11．如图，在长方形 ABCD 中，已知 AD＝4，DC＝3.若将△ADC 绕点 A 按逆时针方向旋转到△AEF(点 A，B，E 在 同一直线上)，连接 CF，则 CF2＝50．
12．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达 其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺， 底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺．
三、解答题 13．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，且满足 c＋a＝2b，c－a＝12b，则△ABC 是什么特殊三 角形？ 解：因为 c＋a＝2b，c－a＝12b， 所以(c＋a)(c－a)＝2b·12b. 所以 c2－a2＝b2，
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即 a2＋b2＝c2. 所以△ABC 是直角三角形，其中∠C 为直角．
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一、选择题
1．下列各组数是勾股数的是(C)
A．1，2，3
B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，10
D．5，11，12
2．满足下列条件的△ABC(a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 的对边)，不是直角三角形的是(D)
A．b2＝c2－a2 B．a∶b∶c＝3∶4∶5 C．∠C＝∠A－∠B
6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果 AB＝15，AC＝12，那么 Rt△ABC 的面积是 54．
7．如图，∠C＝∠ADB＝90°，AD＝1，BC＝CD＝2，则 AB＝3．
60 8．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝13，BC＝10，点 D 为 BC 的中点，DE⊥AB，垂足为 E，则 DE＝13．
解：(1)因为△ACE 是等腰直角三角形，∠CAE＝90°， 所以 AC＝AE. 因为 AB＝AC， 所以 AB＝AE. 所以∠ABE＝∠AEB. 因为∠BAC＝40°，∠EAC＝90°， 所以∠BAE＝40°＋90°＝130°. 所以∠AEB＝(180°－130°)÷2＝25°. (2)证明：因为 AB＝AC，D 是 BC 的中点， 所以∠BAF＝∠CAF.
18．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，以 AC 为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC＝90°，连接 BE， 交 AD 于点 F，交 AC 于点 G，连接 CF.
(1)若∠BAC＝40°，求∠AEB 的度数；
(2)求证：∠AEB＝∠ACF；
(3)求证：EF2＋BF2＝2AC2.
1
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所以 S△GED＝2GM·DE＝ 5 .
16．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c.如图 2，现将与 Rt△ABC 全 等的四个直角三角形拼成一个正方形 EFMN.
(1)根据勾股定理的知识，请直接写出 a，b，c 之间的数量关系；
(2)若正方形 EFMN 的面积为 64，Rt△ABC 的周长为 18，求 Rt△ABC 的面积．
所以(x＋2)2＝(6－x)2＋42，解得 x＝3.
所以 CG＝6－3＝3.
(2)过点 C 作 CM⊥GF 于点 M，
由(1)②，得 GE＝3＋2＝5.
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1
因为 S△GEC＝2GC·CE＝2GE·CM，
GC·CE 12 所以 CM＝ GE ＝ 5 .
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1 12 18
所以 S△FGC＝2GF·CM＝2×3× 5 ＝ 5 .
所以 AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.
又因为 AG＝AG，BG2＝AG2－AB2，FG2＝AG2－AF2，
所以 BG2＝FG2，即 BG＝FG.
所以△ABG≌△AFG(SSS)．
②因为 CD＝3DE，所以 DE＝2，CE＝4.
设 BG＝x，则 CG＝6－x，GE＝x＋2.
因为 GE2＝CG2＋CE2，
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AG＝CD＝4，GE＝DE.
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设 DE＝EG＝x，
则 AE＝8－x，
在 Rt△AEG 中，AG2＋EG2＝AE2，
所以 16＋x2＝(8－x)2，解得 x＝3，
所以 DE＝3.
(2)过点 G 作 GM⊥AD 于点 M，
1
1
因为 S△AEG＝2AG·GE＝2AE·GM，
所以 GM＝AGA·EGE＝152.
D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
3．如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D.若 AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则 BD 的长为(C)
A．4
B．5
C．6
D．8
4．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点 200 m，他在水中实际游了 520 m，那么该河的宽度为(C)
解：(1)由勾股定理，得 a2＋b2＝c2. (2)因为正方形 EFMN 的面积为 64， 所以 c2＝64.所以 c＝8. 因为 Rt△ABC 的周长为 18， 所以 a＋b＋c＝18. 所以 a＋b＝10. 的以 Rt△ABC 的面积为12ab＝14[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝9.
17．如图，在正方形 ABCD 中，CD＝6，点 E 在边 CD 上，且 CD＝3DE.将△ADE 沿 AE 对折至△AFE，延长 EF 交边 4/7
BC 于点 G，连接 AG，CF. (1)①求证：△ABG≌△AFG； ②求 GC 的长； (2)求△FGC 的面积．
解：(1)①证明：在正方形 ABCD 中，AD＝AB＝BC＝CD，
∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
因为将△ADE 沿 AE 对折至△AFE，
所以 AD＝AF，DE＝EF，
∠D＝∠AFE＝90°.
A．440 m
B．460 m
C．480 m
D．500 m
5．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕 为 DE，则 CD 的长为(D)
25 A. 2 cm
15 B. 2 cm
25 C. 4 cm
15 D. 4 cm
二、填空题
AF＝AF， 在△BAF 和△CAF 中，∠BAF＝∠CAF，
AB＝AC，
所以△BAF≌△CAF(SAS)． 所以∠ABF＝∠ACF. 因为∠ABE＝∠AEB， 所以∠AEB＝∠ACF. (3)证明：因为△BAF≌△CAF，
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所以 BF＝CF. 因为∠AEB＝∠ACF，∠AGE＝∠FGC， 所以∠CFG＝∠EAG＝90°. 所以 EF2＋BF2＝EF2＋CF2＝EC2. 因为∠EAC＝90°，AC＝AE， 所以 EC2＝AC2＋AE2＝2AC2. 所以 EF2＋BF2＝2AC2.