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函数极限的归结原理应用
函数极限的归结原理应用1. 什么是函数极限的归结原理函数极限的归结原理，也称为函数极限的替换原理，是数学分析领域的基本理论之一。
它是一种用来确定函数在某一点的极限值的方法。
归结原理的核心概念是，如果函数在某一点处的极限存在，并且在该点附近的所有邻域内，函数与另一个函数的差的绝对值可以任意小，则这两个函数具有相同的极限值。
2. 函数极限的归结原理的应用范围函数极限的归结原理在数学分析的各个领域都有广泛的应用。
以下是一些应用范围的例子：•极限计算：函数极限的归结原理是计算极限值的重要工具。
通过将给定函数与一个已知函数的差化为极限较为容易计算的形式，可以简化极限计算的过程。
•导数计算：在微分学中，导数是一个函数在某一点处的变化率。
函数极限的归结原理可以用于计算导数。
通过将函数化为极限的形式，可以得到函数在该点的导数。
•积分计算：在积分学中，积分是计算函数面积的一种方法。
函数极限的归结原理可以用于计算积分。
通过将函数化为极限的形式，可以得到函数的积分。
•级数求和：在级数学中，级数是一系列数的无穷和。
函数极限的归结原理可以用于求和级数。
通过将级数拆分为两个或多个级数的差，可以简化级数的求和计算。
3. 函数极限的归结原理的实例应用为了更好地理解函数极限的归结原理的应用，以下是一些实例应用的情况。
3.1 极限计算问题描述计算函数 f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) 在 x = 1 处的极限。
解决方法首先，我们可以将函数化简为以下形式：f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) = (x + 1)(3x + 1) / (x - 1)接下来，我们可以通过函数极限的归结原理来计算极限。
我们选择一个与函数中的 (x - 1) 相同的函数 g(x) = x - 1，并进行化简：f(x) = ((x + 1)(3x + 1) / (x - 1)) * (g(x) / g(x))化简后得到：f(x) = ((x + 1)(3x + 1) * g(x)) / ((x - 1) * g(x))在 x = 1 处，g(x) = 1 - 1 = 0，而分子 ((x + 1)(3x + 1) * g(x)) 在 x = 1 处等于 2，分母 ((x - 1) * g(x)) 在 x = 1 处等于 0。
02-归结反演课件
第3章确定性推理方法琳31推理的基本概念龍32自然演绎推理帳33谓词公式化为子句集的方法辍34鲁宾逊归结原理晞35归结反演5635归结反演将待证明的结论表示为谓词公式0并否定得到0
第3章确定性推理方法
琳3.1推理的基本概念 龍3.2自然演绎推理 帳3.3谓词公式化为子句集的方法
辍3.4鲁宾逊归结原理
谚证明：定义谓词
brother ( x,y ) : x 是y 的兄弟 sister ( x, y ) : x 是 y 的姐妹 woman ( x ) : x 是女性
3.5归结反演
股 证明：将规则与事实用谓词公式表示： (1) (Vx)(\/yy) ^^woman(x))
— (2) (Vx)(Vy)(sister(x,y) woman(x))
晞3.5归结反演 ■ 3.6应用归结反演求解问题
归 结 演 绎 推 理
56
3.5归结反演
稀 应用归结原理证明定理的过程称为归结反演。
強 用归结反演证明的步骤是：
(1) 将已知前提表示为谓词公式户。
「 (2) 将待证明的结论表示为谓词公式0 并否定得到「0。
(3) 把谓词公式集｛兄
Q｝化为子句集S。
「 J(2) P(A) v P(B) v P(C)
(3)「P(B)vP(C) y
「 ■(4) P(C)
59
3.5归结反演
-应用归结原理进行归结:
60
3.5归结反演
髪例3.10已知： 规则L任何人的兄弟不是女性；
规则2：任何人的姐妹必是女性。 事实：Mary是Bill
的姐妹。
求证：Mary不是Tom的兄弟。
58
3.5归结反演
•证明：公司的想法用谓词公式表示：P ( X )：录取x ■(1)P(A) V P(B) V P(C)
第3章确定性推理方法
琳3.1推理的基本概念 龍3.2自然演绎推理 帳3.3谓词公式化为子句集的方法
辍3.4鲁宾逊归结原理
谚证明：定义谓词
brother ( x,y ) : x 是y 的兄弟 sister ( x, y ) : x 是 y 的姐妹 woman ( x ) : x 是女性
3.5归结反演
股 证明：将规则与事实用谓词公式表示： (1) (Vx)(\/yy) ^^woman(x))
— (2) (Vx)(Vy)(sister(x,y) woman(x))
晞3.5归结反演 ■ 3.6应用归结反演求解问题
归 结 演 绎 推 理
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3.5归结反演
稀 应用归结原理证明定理的过程称为归结反演。
強 用归结反演证明的步骤是：
(1) 将已知前提表示为谓词公式户。
「 (2) 将待证明的结论表示为谓词公式0 并否定得到「0。
(3) 把谓词公式集｛兄
Q｝化为子句集S。
「 J(2) P(A) v P(B) v P(C)
(3)「P(B)vP(C) y
「 ■(4) P(C)
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3.5归结反演
-应用归结原理进行归结:
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3.5归结反演
髪例3.10已知： 规则L任何人的兄弟不是女性；
规则2：任何人的姐妹必是女性。 事实：Mary是Bill
的姐妹。
求证：Mary不是Tom的兄弟。
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3.5归结反演
•证明：公司的想法用谓词公式表示：P ( X )：录取x ■(1)P(A) V P(B) V P(C)
第3.3节--谓词逻辑的归结原理PPT课件
辖域扩展
x y z w ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R ( z ))
辖域扩展
4）求 skolem 标准型
x y z w ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R ( z ))
x z w ( P ( a , x , f ( x )) Q ( w , b ) R ( z ))
2008-2009学年第1学期
.
1515
求mgu的步骤
① 令W={F1, F2}，k=0，W0=W，σ0={ }； ② 若Wk已合一，停止，σk就是mgu；否则找不一
致集Dk； ③ 若Dk存在vk和tk，且vk不出现于tk，转④；否则
不可合一； ④ 令σk+1= σk·{tk/vk}，Wk+1=Wk{tk/vk} ⑤ k=k+1，转②。
2） 深入到量词后，得：
x yP ( a , x , y ) x ( yQ ( y , b ) R ( x ))
3）求前束范式，得：
x yP ( a , x , y ) z ( wQ ( w , b ) R ( z ))
换名
x yP ( a , x , y ) z w ( Q ( w , b ) R ( z ))
Q(a, y)∨R(b, z)
2008-2009学年第1学期
.
1919
归结式的合理性
∵{C1, C2} R ∴{C1, C2} {C1, C2, R} 但是，若R＝□，则意味着C1和C2是互否定的，{C1, C2}
是不可满足的。
归结使子句集不断增大，一旦归结出“□”，则子句集中 有互否定的单元子句存在，从而整个子句集是不可满足 的。
2008-2009学年第1学期
应用归结原理例-共21页文档
练习：“快乐学生”问题 假设：任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的；
任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试； 张不肯学习但他是幸运的； 任何幸运的人都能获奖。 证明：张是快乐的。
定义谓词 Pass(x,y):x通过考试y;Win(x):x获奖;Happy(x):x快乐；
7 Study(x):x肯学习; 4/26L/20u20cky(x):x幸运。
定义谓词：
Man(x)：x是男人； Pompeian(x)：x是庞贝人；
Roman(x):x是罗马人; Ruler(x):x是统治者;
Loyalto(x,y):x忠于y; Hate(x,y):x仇恨y;
Tryassassinate(x,y):x试图暗杀y。
6
4/26/2020
应用归结原理进行定理证明 -习题4
5
4/26/2020
应用归结原理进行定理证明-习题3
练习： (1)马科斯(Marcus)是男人；(2)马科斯是庞贝人； (3)所有庞贝人都是罗马人；(4)恺撒(Caesar)是一位统治者； (5)所有罗马人忠于或仇恨恺撒；(6)每个人都忠于某个人； (7)男人们只想暗杀他们不忠于的统治者；(8)马科斯试图暗杀恺撒。 证明：马科斯仇恨恺撒。
例. 任何兄弟都有同一个父亲，
John和Peter是兄弟，且John的父亲是David，
问:Peter的父亲是谁？
解 第一步：将已知条件用谓词公式表示出来，并化成子 句集，那么要先定义谓词。
（1） 定义谓词：
设Father(x,y)表示x是y的父亲。
Brother(x,y)表示x和y是兄弟。
11
4/26/2020
=x (D(x) Q(x))
--- D(b) Q(b) 因此，公式A1A2～B的子句集为 S＝｛P(a),～D(y)L(a,y),～P(x)～Q(y)～L(x, y),D(b),Q(b)｝
任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试； 张不肯学习但他是幸运的； 任何幸运的人都能获奖。 证明：张是快乐的。
定义谓词 Pass(x,y):x通过考试y;Win(x):x获奖;Happy(x):x快乐；
7 Study(x):x肯学习; 4/26L/20u20cky(x):x幸运。
定义谓词：
Man(x)：x是男人； Pompeian(x)：x是庞贝人；
Roman(x):x是罗马人; Ruler(x):x是统治者;
Loyalto(x,y):x忠于y; Hate(x,y):x仇恨y;
Tryassassinate(x,y):x试图暗杀y。
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应用归结原理进行定理证明 -习题4
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应用归结原理进行定理证明-习题3
练习： (1)马科斯(Marcus)是男人；(2)马科斯是庞贝人； (3)所有庞贝人都是罗马人；(4)恺撒(Caesar)是一位统治者； (5)所有罗马人忠于或仇恨恺撒；(6)每个人都忠于某个人； (7)男人们只想暗杀他们不忠于的统治者；(8)马科斯试图暗杀恺撒。 证明：马科斯仇恨恺撒。
例. 任何兄弟都有同一个父亲，
John和Peter是兄弟，且John的父亲是David，
问:Peter的父亲是谁？
解 第一步：将已知条件用谓词公式表示出来，并化成子 句集，那么要先定义谓词。
（1） 定义谓词：
设Father(x,y)表示x是y的父亲。
Brother(x,y)表示x和y是兄弟。
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=x (D(x) Q(x))
--- D(b) Q(b) 因此，公式A1A2～B的子句集为 S＝｛P(a),～D(y)L(a,y),～P(x)～Q(y)～L(x, y),D(b),Q(b)｝
谓词演算与消解(归结)原理_图文
否定与全称量词、存在量词之间的关系 。 对于谓词 P, Q, 变元 X, Y有： ~彐X P(X) ＝ X ~P(X) ~ X P(X) ＝ 彐X ~P(X) 彐X P(X) ＝ 彐Y P(Y) X Q(X) ＝ Y Q(Y) X (P(X)∧Q(X) ) ＝ X P(X)∧ Y Q(Y) 彐X (P(X)∨Q(X) ) ＝ 彐X P(X)∨彐Y Q(Y)
2.savings (adequate)∧income (adequate ) => investment (stocks).
3. Savings (adequate)∧income (inadequate) => investment (combination).
4. X amountsaved (X)∧彐Y(dependents (Y)∧ greater (X, minsavings (Y))) => savings (adequate).
3.2 谓词演算
原子命题：是一个n元谓词，后跟n个项，用括号括起来
并用逗号分开。 常元符
例：
号
谓词符号
likes (george, kate). likes (X, george).
likes (george, susie). likes (X, X).
likes (george, sarah, tuesday).
谓词演算的字母表组成： （1）英文字母组合，包括大写与小写 （2）数字集合0,1,…,9 （3）下划线 如：George fires bill xxxx
3.2 谓词演算
谓词演算符号包括： 1.真值符号 true 和 false。 2.常元符号,第一个字符为小写字母的符号表达式。 3.变元符号,第一个字符为大写字母的符号表达式。 4.函词符号,第一个字符为小写字母的符号表达式, 函 词有一个元数, 指出从定义域中映射到值域中的每个元 素。
2.savings (adequate)∧income (adequate ) => investment (stocks).
3. Savings (adequate)∧income (inadequate) => investment (combination).
4. X amountsaved (X)∧彐Y(dependents (Y)∧ greater (X, minsavings (Y))) => savings (adequate).
3.2 谓词演算
原子命题：是一个n元谓词，后跟n个项，用括号括起来
并用逗号分开。 常元符
例：
号
谓词符号
likes (george, kate). likes (X, george).
likes (george, susie). likes (X, X).
likes (george, sarah, tuesday).
谓词演算的字母表组成： （1）英文字母组合，包括大写与小写 （2）数字集合0,1,…,9 （3）下划线 如：George fires bill xxxx
3.2 谓词演算
谓词演算符号包括： 1.真值符号 true 和 false。 2.常元符号,第一个字符为小写字母的符号表达式。 3.变元符号,第一个字符为大写字母的符号表达式。 4.函词符号,第一个字符为小写字母的符号表达式, 函 词有一个元数, 指出从定义域中映射到值域中的每个元 素。
应用归结原理例-讲课
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应用归结原理进行定理证明-习题5
练习--“激动人心的生活” 练习 激动人心的生活”问题 激动人心的生活 假设： 假设： 所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 那些看书的人是聪明的； 那些看书的人是聪明的； 李明能看书且不贫穷； 李明能看书且不贫穷； 快乐的人过着激动人心的生活。 快乐的人过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。 定义谓词： 定义谓词： Poor(x):x贫穷； Smart(x):x聪明； Happy(x):x快乐； 贫穷； 聪明； 快乐； 贫穷 聪明 快乐 Read(x):x看书； Exciting(x):x过着激动人心的生活。 看书； 过着激动人心的生活。 看书 过着激动人心的生活
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12/19/2011
应用归结原理进行定理证明-习题2
练习：设有下列知识： 练习：设有下列知识： F1：自然数都是大于等于零的整数； ：自然数都是大于等于零的整数； F2：所有整数不是偶数就是奇数； ：所有整数不是偶数就是奇数； F3：偶数除以 是整数。 是整数。 ：偶数除以2是整数 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。 定义谓词： 定义谓词： N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；GZ(x):x大于等于零 是自然数； 是整数； 大于等于零; ： 是自然数 ： 是整数 大于等于零 E(x)：x是偶数 是偶数; O(x)：x是奇数。 是奇数。 ： 是偶数 ： 是奇数 定义函数f(x)：x除以 。 除以2。 定义函数 ： 除以
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12/19/2011
（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤： 利用归结原理求取问题答案的步骤： （1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， ）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S 设该子句集的名字为 1。 （2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定， 并 ）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定， 与一谓词ANSWER构成析取式 。 谓词 构成析取式。 与一谓词 构成析取式 谓词ANSWER是一个专为求 是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。 解问题而设置的谓词 ，其变量必须与问题公式的变量完全一致。 （3）把（2）中的析取式化为子句集，并把该子句集与 1合并构成 ） ）中的析取式化为子句集，并把该子句集与S 子句集S。 子句集 。
人工智能 一般搜索原理---归结原理
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
例8 S={p∨q, ∼p∨q, p∨ ∼ q, ∼p∨∼q}
解:选顶子句C0= p∨q (1)p∨q 归结式: (2)∼p∨q (5) q (1)(2) (3) p∨∼q (6) p (3)(5) (4) ∼p∨∼q (7) ∼q (4)(6) (8) nil (6)(7)
第八讲一般搜索原理----归结原理
1.归结推理规则 设有两子句:c1=p∨c1’ c2= ~ p∨c2’ 从中消去互补对p和~ p,所得的新子句: R(c1, c2)= c1’ ∨ c2’ 称为子句c1,c2的归结式.
第八讲一般搜索原理----归结原理
例子: 假言推理:s={p, ~ p∨q} 归结式: q 合并推理 : s={p ∨q, ~ p∨q} 归结式: q 重言式: s={p ∨q, ~ p∨ ~ q} 归结式: p ∨ ~ p q∨~q 空子句: s={p, ~ p} 归结式: nil 三段式: s={~ p ∨q, ~ q∨r} 归结式: ~ p ∨r p→r
归结反演树
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
三.归结反演求解
从归结反演中求取对某个问题的解答称反演求解. 若把归结反演过程用一棵反演树表示,答案求取需要将 一棵根部有nil的反演树变换为在根部带有可用作答案 的某一个语句的一棵证明树. 步骤:
(1)把由目标公式的否定产生的每个子句添加到目标公式否定之否 定的子句中. (2)按照反演树,执行和以前相同的归结,直到在根部得到某个子句 为止. (3)用根部的子句作为一个回答语句.
第九讲一般搜索原理----归结反演求解
例2 如果无论John到哪里去,Fido也就去哪里,那 么如果John在school,Fido在school吗? 解: 前提公式集 ∀(x)[AT(John,x)→AT(Fido,x)] 化为子句:∼ AT(John,x) ∨ AT(Fido,x) AT(John,school) 目标公式∃(x)AT(Fido,x) 否定目标: ∼ AT(Fido,x)
第 4 讲 归结原理2
8 f(b))} 1={a/x, f(b)/y} (唯一) W={P(x,y)，P(x,f(b))} 1={a/x, f(b)/y} (不唯一) 2={b/x, f(b)/y}
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三、最一般合一子
mgu(most general unifier) 一个对集合{E1，…，En}的合一子是最 一般合一子，如果对E的每个合一子， 都存在一个置换，使得=。
5
令={t1/x1,…, tn/xn}, ={u1/y1,…, um/ym}是两个置换. 则与的复合是一个置换, 记为. (先后)
构成{t1/x1,…, tn/xn , u1/y1,…, um/ym}; 如果yj{x1,…, xn}, 则删除uj/yj ; 如果tk=xk, 则删除tk/xk ; ={t1/x1, t2/x2}={f(y)/x, z/y} ={u1/y1, u2/y2 , u3/y3}={a/x, b/y, y/z} ={t1/x1, t2/x2 , u1/y1, u2/y2 , u3/y3} 删除{a/x, b/y}; 删除{y/y};
没有元素组成的置换称为空置换，记为； {a/x, w/y, f(s)/z}, {g(x)/x}是置换； {x/x}, {y/f(x)}不是置换；
2
例子：
实例(instance)
置换的结果称为实例； 定义： 令={t1/v1,…, tn/vn}是一个置换。E是 一个表达式。则E是一个同时用项ti代替E中变 量vi所得到的表达式(1in)。E称为E的实例。 表达式：
25
例：
例：
C1: ~PQ C2: ~PR C1与C2没有互补对，所以没有归结式！ C1: PQ C2: ~P~Q C3: Q~Q / P~P C3不能为空！
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三、最一般合一子
mgu(most general unifier) 一个对集合{E1，…，En}的合一子是最 一般合一子，如果对E的每个合一子， 都存在一个置换，使得=。
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令={t1/x1,…, tn/xn}, ={u1/y1,…, um/ym}是两个置换. 则与的复合是一个置换, 记为. (先后)
构成{t1/x1,…, tn/xn , u1/y1,…, um/ym}; 如果yj{x1,…, xn}, 则删除uj/yj ; 如果tk=xk, 则删除tk/xk ; ={t1/x1, t2/x2}={f(y)/x, z/y} ={u1/y1, u2/y2 , u3/y3}={a/x, b/y, y/z} ={t1/x1, t2/x2 , u1/y1, u2/y2 , u3/y3} 删除{a/x, b/y}; 删除{y/y};
没有元素组成的置换称为空置换，记为； {a/x, w/y, f(s)/z}, {g(x)/x}是置换； {x/x}, {y/f(x)}不是置换；
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例子：
实例(instance)
置换的结果称为实例； 定义： 令={t1/v1,…, tn/vn}是一个置换。E是 一个表达式。则E是一个同时用项ti代替E中变 量vi所得到的表达式(1in)。E称为E的实例。 表达式：
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例：
例：
C1: ~PQ C2: ~PR C1与C2没有互补对，所以没有归结式！ C1: PQ C2: ~P~Q C3: Q~Q / P~P C3不能为空！
归结原理
2.6 利用归结原理求取问题的答案
求解答案的基本思想和定理证明类似。其求解步骤如下： （1）把前提条件用谓词公式表示出来，并且化为相应 的子句集S。 （2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，其中含 有欲求解的变元。 （3）另设一个特殊的一元谓词ANSWER，其变元和求 解问题公式中的变元相同。 （4）把求解公式和ANSWER谓词“或”起来构成析取 式，把此析取式化成子句集后并入条件子句集S中形成新子 句集S'。 （5）对S'用归结原理进行归结。 （6）若归结的结果是ANSWER，则其已实例化的变元 就是问题的答案。
o
o
定义2-32 子句C1和C2的归结式是下列 定义 二元归结式之一： （1）C1与C2的二元归结式 （2）C1与C2的因子的二元归结式 （3）C1的因子与C2的二元归结式 （4）C1的因子与C2的因子的二元归结式
例如，有两个子句 C1=P(x)∨P(f(y))∨R(g(y)) C2= ～ P(f(g(a)))∨Q(b)) （1）子句C1中有可合一的文字 {P(x) ,P(f(y))} ， 它们的最一般合一是σ1={f(y)/x} C1的因子是C1σ1 =P(f(y))∨R(g(y)) , C （2）又由于P(f(y))和～ P(f(g(a)))是可合一的文字，它们的最 一般合一是θ={g(a)/y} 所以C1σ1和C2有二元归结式R(g(g(a))) ∨ Q(b) 它就是C1和C2的归结式。
程序常用的方法是水平浸透法，它的做法如下： （a）把S0中的子句排序； （b）在S0中顺序地考虑两个子句的归结式：即第一个子句和其 后各子句归结，然后第二个子句和其后各子句归结，第三个子 句再和其后各子句归结，…，直至倒数第二个子句和最后一个 子句归结，得到子句集S1： S1={C12 | C1∈S0，C2∈S0} 检查S1中是否有空子句，如有空子句，则归结结束，否则继 续步骤（c）； （c）将S1并入S0得S0∪S1。再顺序地考虑子句集S0∪S1和S1 的归结式，即一个子句来自子句集S0∪S1，另一个子句来自 S1，得到子句集S2： S2={C12 | C1∈S0∨S1，C2∈S1} 检查S2中是否有空子句，如无空子句则还要重复上述过程…
消解(归结)原理58页PPT
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
消解(归结)原理
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 ห้องสมุดไป่ตู้罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
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（3） 将它们化成子句集得：
S1={～Brother(x,y)∨～Father(z,x)∨Father(z,y),
Brother(John,Peter), Father(David,John)}
2
12/3/2020
应用归结原理进行定理证明-习题1
例.已知:某些病人喜欢所有的医生， 没有一个病人喜欢任意一个骗子。
证明: 任意一个医生都不是骗子。 证明: 知识表示：令
P(x)：x是病人 D(x)：x是医生 Q(x)：x是骗子 L(x, y)：x喜欢y
A1: x (P(x) y(D(y)L(x, y))) A2: x(P(x) y(Q(y) ～L(x, y))) B: x(D(x) ～Q(x)) 我们要证明B是A1和A2的逻辑结果，即公式A1A2～B是不可满足的。
定义Байду номын сангаас词：
Man(x)：x是男人； Pompeian(x)：x是庞贝人；
Roman(x):x是罗马人; Ruler(x):x是统治者;
Loyalto(x,y):x忠于y; Hate(x,y):x仇恨y;
Tryassassinate(x,y):x试图暗杀y。
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应用归结原理进行定理证明 -习题4
练习：设有下列知识： F1：自然数都是大于等于零的整数； F2：所有整数不是偶数就是奇数； F3：偶数除以2是整数。 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。
定义谓词：
N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；GZ(x):x大于等于零;
E(x)：x是偶数; O(x)：x是奇数。
定义函数f(x)：x除以2。
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（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤：
（1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S1。
（2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定，并 与一谓词ANSWER构成析取式。谓词ANSWER是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。
（3）把（2）中的析取式化为子句集，并把该子句集与S1合并构成 子句集S。
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（4）对子句集S应用归结原理进行归结，在归 结的过程中，通过合一，改变ANSWER中的 变元。
（5）如果得到归结式ANSWER，则问题的答案 即在ANSWER谓词中。
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利用归结原理求取问题答案-习题1
(4) D(b)
(5) Q(b)
(6) L(a, b)
由(2)、(4) mgu:{b/y}
(7) ～Q(y) ～L(a, y) 由(1)、(3) mgu:{a/x}
(8) ～L(a, b)
由(5)、(7) mgu:{b/y}
(9)
由(6)、(8)
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应用归结原理进行定理证明-习题2
练习：“快乐学生”问题 假设：任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的；
任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试； 张不肯学习但他是幸运的； 任何幸运的人都能获奖。 证明：张是快乐的。
定义谓词 Pass(x,y):x通过考试y;Win(x):x获奖;Happy(x):x快乐；
8 Study(x):x肯学习; 12/3L/20u20cky(x):x幸运。
例. 任何兄弟都有同一个父亲，
John和Peter是兄弟，且John的父亲是David，
问:Peter的父亲是谁？
解 第一步：将已知条件用谓词公式表示出来，并化成子 句集，那么要先定义谓词。
（1） 定义谓词：
设Father(x,y)表示x是y的父亲。
Brother(x,y)表示x和y是兄弟。
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应用归结原理进行定理证明-习题5
练习--“激动人心的生活”问题 假设：
所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 那些看书的人是聪明的； 李明能看书且不贫穷； 快乐的人过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。
定义谓词：
Poor(x):x贫穷； Smart(x):x聪明； Happy(x):x快乐； Read(x):x看书； Exciting(x):x过着激动人心的生活。
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A1=x (P(x) y(～D(y) L(x, y))) =x y (P(x) (～D(y) L(x, y)))
--- y (P(a) (～D(y) L(a, y))) A2=x(P(x) y(～Q(y) ～L(x, y)))
=x(～P(x) y(～Q(y) ～L(x, y))) =xy (～P(x) ～Q(y) ～L(x, y)) ～B=～(x(D(x) ～Q(x)))
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应用归结原理进行定理证明-习题3
练习： (1)马科斯(Marcus)是男人；(2)马科斯是庞贝人； (3)所有庞贝人都是罗马人；(4)恺撒(Caesar)是一位统治者； (5)所有罗马人忠于或仇恨恺撒；(6)每个人都忠于某个人； (7)男人们只想暗杀他们不忠于的统治者；(8)马科斯试图暗杀恺撒。 证明：马科斯仇恨恺撒。
（2） 将已知事实用谓词公式表示出来。
F1 ：任何兄弟都有同一个父亲。 xyz (Brother(x,y)∧Father(z,x)→Father(z,y))
F2：John和Peter是兄弟。 Brother(John,Peter)
F3： John的父亲是David。 Father(David, John)
=x (D(x) Q(x))
--- D(b) Q(b) 因此，公式A1A2～B的子句集为 S＝｛P(a),～D(y)L(a,y),～P(x)～Q(y)～L(x, y),D(b),Q(b)｝
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S不可满足的归结演绎序列为：
(1) P(a)
(2) ～D(y) L(a, y)
(3) ～P(x) ～Q(y) ～L(x, y)
应用归结原理例-2014
（一）应用归结原理进行定理证明
应用归结原理进行定理证明的步骤： 设要被证明的定理表示为： A1∧A2∧…∧An B
(1)首先否定结论B，并将否定后的公式～B与前提公式集组成如下形 式的谓词公式： G= A1∧A2∧…∧An∧～B
(2) 求谓词公式G的子句集S。 (3) 应用归结原理，证明子句集S的不可满足性。