第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理

解：设=50， =10，X～N(50,102)
P(X 70) 1 P(X 70) 1Φ(70 50) 1Φ(2) 10
1 0.97725 0.02275
P(40 X 60) Φ(60 50) Φ(40 50) Φ(1) Φ(1) 2Φ(1) 1
10
10
2 0.8413 1 0.6826
和 对正态曲线的影响
f(x)
=1/2
B
=1
A
C
x
1
2
正态分布的概率
概率是曲线下的面积!
φ(x)
b
P(a b) a (x)dx ?
x ab
正态分布曲线下面的面积
➢变量取值在区间[μ-σ，μ+σ]之间的概率： P( ) 0.6827 ➢变量取值在区间[μ-2σ，μ+2σ]之间的概率： P( 2 2 ) 0.9545
P
3
5
1.67
(1.67)
0.9525
(2)
P(2
10)
P
2
5 3
5 3
10 5 3
P
1
3
5
1.67
(1.67) (1) 0.7938
正态分布
(例题分析)
【例】假定某公司职员每周的加班津贴服从均值为50元、标准差为10元的正态 分布，那么全公司中有多少比例的职员每周的加班津贴会超过70元，又有多少比 例的职员每周的加班津贴在40元到60元之间呢？
3. 对于负的 x ，可由 (-x)1 x得到
4. 对于标准正态分布，即ξ~N(0,1)，有
▪ P (a ξ b) b a ▪ P (|ξ| a) 2 a 1
5. 对于一般正态分布，即ξ~N( , )，有
P(a
b)
b
a
标准化的例子P(2.9ξ7.1)
一般正态分布
Z 2.9 5 .21 10
➢变量取值在区间[μ-3σ，μ+3σ]之间的概率： P( 3 3 ) 0.9973
φ(x)
68.27% 95.45% 99.73%
μ-3σ μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ x
标准正态分布的重要性
1. 一般的正态分布取决于均值和标准差
2. 计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己的正态概率 分布表，这种表格是无穷多的
(4) P(| ξ | 2) = P(-2 ξ| 2)= (2)- (-2) = (2)- [1-(2)]=2 (2)- 1=0.9545
正态分布（实例）
【例】设ξ~N(5，32)，求以下概率
(1) P(ξ 10) ； (2) P(2< ξ <10)
解： (1)
P(
10)
P
5 3
10 5 3
Z 7.1 5 .21 10
标准正态分布
= 10
=1
.1664
2.9 5 7.1 X
.0832 .0832
-.21 0 .21 Z
正态分布（实例）
【例】设ξ~N(0，1)，求以下概率： (1) P(ξ <1.5) ；(2) P(ξ >2)； (3) P(-1< ξ 3) ； (4) P(| ξ | 2)
3. 若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率 时只需要查一张表
4. Z分数（标准正态变量）
标准正态分布
1. 标准正态分布的概率密度函数
(x)
1
x2
e2
,
x
2
2.标准正态分布的分布函数
x
x
(x) (x)dt
1
t2 -
e 2 dt
2
3.随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布
也是分布的中位数和众数
2. 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值的 标准差来确定。 决定正态分布曲线的位置，决定曲
线的平缓程度，即胖瘦。
3. 当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个 尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交
4. 正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的 面积给出，而且其曲线下的总面积等于1
标准正态分布与一般正态分布
φ(x)
68.27% 95.45% 99.73%
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 Z
φ(x)
μ-3 95.45% 99.73%
μ μ+σ μ+2σ μ+3σ x
标准正态分布表的使用
1. 将一个一般的转换为标准正态分布 2. 计算概率时 ，查标准正态概率分布表
卡方分布
卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联 表 检验。
➢变量取值在区间[-1， +1]之间的概率：P(1 Z 1) 0.6827
➢变量取值在区间[-2，+2]之间的概率： P(2 Z 2) 0.9545 ➢变量取值在区间[-3， +3]之间的概率：P(3 Z 3) 0.9973
φ(x)
68.27% 95.45% 99.73%
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 Z
第五章 正态分布、常用统计分布和极限定理
常见的连续型随机变量的概率分布
连续型随机变 量的概率分布
正态分布 χ2分布 t-分布
F-分布
正态分布 正态分布的重要性
1. 由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)作为 描述误差相对频数分布的模型而提出
2. 描述连续型随机变量的最重要的分布 3. 可用于近似离散型随机变量的分布
解：(1) P(ξ <1.5) = (1.5)=0.9332
(2) P(ξ >2)=1- P(ξ 2)=1-0.9973=0.0227 (3) P(-1< ξ 3)= P(ξ 3)- P(ξ <-1)
= (3)- (-1)= (3) – [1-(1)]
= 0.9987-(1-0.8413)=0.8354
一般正态分布的表示
标准正态分布的表示
标准正态分布
一般正态分布1
一般正态分布2
Z
标准正态分布
x
1
Z
x
标准化的例子
P(5 X 6.2)
Z X 6.2 5 0.12
10
一般正态分布
=10
标准正态分布
=1
.0478
=5 6.2 X
0 0.12 Z
标准正态分布曲线下面的面积
▪ 例如: 二项分布 φ(x)
4. 统计推断的基础
x
概率密度函数
(x)
1
x 2
e 2 2
2
, x
φ(x) = 随机变量 ξ 的密度函数 = 方差
= 均值
=3.14159; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- < x < )
正态分布函数的性质
1. 图形是关于x= 对称的钟形曲线，且峰值在x= 处，