曾谨言量子答案11

第十一章 量子跃迁

11—1）荷电q 的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动）。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为()ωρ，波长较长。求：（a ）跃迁选择定则；（b ）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。

11—2）氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用()()t t δεε0=。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率（取0ε沿z 轴方向来计算）。 解：令()

()()∑-=

n

t iE n

n

n e

r t C t r

ψ

ψ, （6）

初始条件（5）亦即 ()10n n C δ=- （5） 用式（6）代入式（4），但微扰项ψ'H 中ψ取初值1ψ（这是微扰论的实质性要点！）即得

()t z e H e

dt

dC i n

t iE n

n

n δψεψψ

101'

==∑

-

以*n ψ左乘上式两端并全空间积分，得

()

t iE n n

n e

t z e dt

dC i -=δε

10

再对τ积分，由00>→=-t t ，即得

()10n n z i e t C

ε=

()1≠n （7）

因此0>t 时（即脉冲电场作用后）电子已跃迁到n ψ态的几率为[可直接代入 P291式（23）、P321式（15）而得下式]

()

212

02

n n n z e t C P ⎪⎭

⎫

⎝⎛== ε （8） 根据选择定则()0,1=∆=∆m l ，终态量子数必须是

()()10n nlm =

即电子只能跃迁到各np 态()1=l ，而且磁量子数0=m 。 跃迁到各激发态的几率总和为

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡

-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=∑∑

∑

n

n n

n n

n z z e z e P 2

11

2

1

2

02

1

'

2

0'

εε （9）

其中 01111==ψψz z （z 为奇宇称）

∑

∑

=

n

n

n

n

n z z z 112

1

ψψ

ψ

ψ2

12112

13

1a r z ==

=ψψψψ （10）

a 为Bohr 半径，代入式（9）即得

2

0'

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑

a e P n

n ε （11）

电场作用后电子仍留在基态的几率为

2

0'

11⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-

∑

a e P n

n ε （12）

11—3）考虑一个二能级体系，Hamilton 量0H 表为（能量表象）

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=21

00

0E E H , 21E E < , 设0=t 时刻体系处于基态，后受微扰'H 作用，

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=βγ

γα'

H , 求t 时刻体系处于激发态的几率。

解：0≥t 时，体系'

0H H H += ，其矩阵表示（0H 表象）为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛++=+=βγ

γ

α21'

0E E H H H （1） 设H 的本征函数为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⇒+=21

2

211C C C C E

ψ

ψψ

（2） 代入本征方程 E

E

E H ψ

ψ= （3）

得到

()()⎩⎨

⎧=-++=+-+00

221

211C E E C C C E E βγγα （4） 上式存在非平庸解的条件为

()()02

2121=--+-+=-+-+γ

βαβγ

γ

αE E E E E

E E

E

由此解出 ()±

=⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡

+--+±+++=

E E E E E E 2

2

12

21421γ

α

ββα （5）

令

αω+=

11E ，

βω+=

22E ，12ωωω-= （6）

式（5）可以写成 []2

2

2

21

42

γ

ω

ωω

+±

+=±E （5’）

当+=E E ，由式（4）求得

()1

2

2

2242C

C

γ

ωωγ

++=

取11=C ，即得相应的能量本征函数（未归一化）为

()

22

2

2142ψγ

ωωγ

ψψ

+++

=+

E （7）

当-=E E ，类似可求得

()

22

2

2142ψγ

ωωγ

ψψ

+-+

=-

E （8）

0=t 时，体系的初始状态为

()-

+

Ω

+Ω+

Ω

-Ω=

==E E t ψ

ωψ

ωψψ2201 （9）

其中 2

2

2

4 γ

ω+=Ω （10）

因此0≥t 时波函数为

()

t iE E t iE E e

e t --

++

--Ω

+Ω+

Ω

-Ω=

ψ

ωψ

ωψ22 （11）

以式（5’）、（7）、（8）代入上式，即得

()()()t

i

t i

e

t i e

t i t t 212122212sin 22sin

2cos ωωωωωγψωψψ+-+-⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

Ω-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

ΩΩ+Ω= （12） 体系处于2ψ态的几率为

()

2

sin 22

2

2

2t t Ω⎪⎭

⎫ ⎝⎛Ω= γψψ （13）

11—4）自旋为21的粒子，磁矩为u ，处于沿z 轴方向的常磁场0B 中，初始时刻粒子自旋向下()1-=z

σ

。后来加

上沿x 轴方向的常磁场1B ()0B << 。求t 时刻粒子测得自旋向上的几率。（磁矩算符σu u =，与外磁场的的作用().01'

z x B B B u H σσμ+-=⋅-= ）

解：粒子的磁矩算符可表示成 σu u = （1） σ为泡利算符，磁场对粒子的作用势为

().01'

z x B B B u H σσμ+-=⋅-= （2）

在z σ表象中，H 的矩阵表示为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=01

10

0110

0101

10

B B B B u uB uB H （2’）