常微分方程发展简史—解析理论与定性理论阶段
常微分方程第三版全文
解 设t时刻时镭元素的量为R(t),
依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR dt
kR,
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少.
解之得 :
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x(a by), y(c dx)
dt
Volterra
dx
模型：
dt dy
x(a bx cy), y(d ex fy)
dt
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。
17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。
1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。
雅可比·伯努利自己解决了前者。
翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。
常微分方程的发展史毕业论文
常微分方程的发展史毕业论文常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数与其导数之间关系的数学方程。
它是应用数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
本文将介绍常微分方程的发展史，并探讨其在数学和应用方面的重要性。
常微分方程的历史可以追溯到17世纪。
当时，牛顿的《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）的出版，为微分方程的研究奠定了基础。
著名的数学家欧拉和拉普拉斯也做出了许多对微分方程的重要贡献。
19世纪，微分方程的研究取得了突破性进展。
拉格朗日、拉普拉斯和普朗克等学者提出了一些重要的微分方程理论。
其中，拉普拉斯将微分方程的理论发展为一个完整的科学，提供了定义、分类和解法。
此外，阿贝尔、亥姆霍兹和斯托克斯等学者对微分方程的特殊类型进行了深入研究。
20世纪初，随着数值计算和计算机的发展，微分方程的研究进入了一个新的阶段。
数值方法的出现使得人们能够求解更加复杂的微分方程。
例如，飞机设计需要解决空气动力学方程，而人们使用数值方法来模拟空气流动。
另一个重要的进展是变分法和泛函分析在微分方程研究中的应用，使得人们能够处理更加一般的微分方程。
随着数学和应用领域的发展，常微分方程的研究也取得了新的进展。
例如，关于常微分方程的稳定性和周期性解的研究，为深入理解动力系统的稳定性提供了理论基础。
人们还将常微分方程的方法推广到偏微分方程的研究中，为更多实际问题的建模和求解提供了工具。
在应用方面，常微分方程广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域。
物理学中的力学、电磁学和量子力学等问题都可以用微分方程来描述。
工程学中，微分方程被用于建模和控制系统的研究与设计。
而生物学中，微分方程被用于描述生物体内的生物化学反应、人口增长和疾病传播等问题。
总之，常微分方程作为数学的重要分支，在数学理论和应用研究上都有着重要的地位。
它的发展史见证了人类对于自然界的认识和技术能力的提升，为解决复杂实际问题提供了有力的工具。
常微分方程发展简史
常微分方程发展简史在17世纪初，牛顿和莱布尼茨的微积分发现为常微分方程的研究提供了基础。
他们建立了微分和积分的概念，并发展了微积分的基本原理。
这些成果为后来的常微分方程的研究奠定了基石。
在17世纪晚期，丹麦数学家欧拉（Euler）对常微分方程做出了很大贡献。
他提出了一阶常微分方程的解可以用指数函数来表示，并且解决了许多具体的微分方程问题。
欧拉还提出了欧拉方程，为后来的常微分方程研究奠定了基础。
在18世纪，数学家拉普拉斯（Laplace）和拉格朗日（Lagrange）继续推进了微分方程的研究。
他们提出了许多常微分方程的解法，如分离变量法、变换法和齐次化方法等。
这些方法为常微分方程的求解提供了有效的途径。
19世纪初，高斯（Gauss）提出了可微分曲线的理论，为微分方程的几何解释提供了基础。
同时，柯西（Cauchy）建立了常微分方程的数学理论，给出了数学上严格的解决方法。
他提出了柯西问题，即通过给定初始条件求解微分方程的问题。
这一问题成为后来微分方程理论的核心。
19世纪中期，数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和韦伊斯特拉斯（Weierstrass）进一步发展了微分方程的理论，提出了广义解和李普希茨条件等概念。
他们的工作为微分方程的研究提供了更加严密的数学基础。
20世纪初，数学家波安卡列（Poincaré）对常微分方程的稳定性和周期性做出了重要贡献。
他提出了位相空间和奇点的概念，并研究了常微分方程在位相空间中的变化规律。
这一工作为后来的动力系统理论的发展奠定了基础。
20世纪后期，随着计算机的发展，常微分方程的数值解法得到了广泛应用。
数学家和工程师利用计算机模拟和迭代求解的方法，可以更加准确地求解含有复杂边界条件的常微分方程。
这一进展使得常微分方程的应用领域得到了大大的拓展，包括物理学、工程学和经济学等。
总结起来，常微分方程的研究经历了几个重要的阶段，从17世纪初的微积分基础，到18世纪的解法发展，再到19世纪的理论建立，最后到20世纪的计算机应用。
微分方程——基本概念和常微分方程的发展史
微分⽅程——基本概念和常微分⽅程的发展史1.2 基本概念和常微分⽅程的发展史⾃变量、未知函数均为实值的微分⽅程称为实值微分⽅程；未知函数取复值或变量及未知函数均取复值时称为复值微分⽅程。
若⽆特别声明，以下均指实变量的实值微分⽅程。
1.2.1 常微分⽅程基本概念(1) 常微分⽅程和偏微分⽅程微分⽅程就是联系⾃变量、未知函数及其的关系式。
如果在微分⽅程中，⾃变量的个数只有⼀个，则称这种微分⽅程为常微分⽅程；⾃变量的个数为两个或两个以上的微分⽅程为偏微分⽅程。
⼀般的n阶常微分⽅程具有形式：F x,y,dydx,⋯,d n ydx n=0(1.38)微分⽅程中出现的未知函数最⾼阶的阶数称为微分⽅程的阶数。
此后，我们把常微分⽅程称为“微分⽅程”，有时更简称为“⽅程”。
(2) 线性和⾮线性如果⽅程(1.38)的左端为未知函数及其各阶导数的⼀次有理整式，则称(1.38)为n阶线性微分⽅程。
⼀般n阶线性微分⽅程具有形式不是线性⽅程的⽅程称为⾮线性⽅程。
例如⽅程(3) 解和隐式解如果函数y=φ(x)代⼊⽅程(1.38)后，能使它变为恒等式，则称函数y=φ(x)为⽅程(1.38)的解。
如果关系式Φ(x,y)=0决定的函数y=φ(x)是⽅程(1.38)的解，称为称Φ(x,y)=0为⽅程(1.38)的隐式解，隐式解也称为“积分”。
为了简单起见，以后我们不把解和隐式解加以区别，统称为⽅程的解。
(4) 通解和特解我们把含有n个独⽴的任意常数c1,c2,⋯,c n的解称为n阶⽅程(1.38)的通解。
为了确定微分⽅程⼀个特定的解，我们通常给出这个解所必须的条件，这就是所谓的定解条件。
常见的定解条件是初值条件和边值条件。
求微分⽅程满⾜定解条件的解，就是所谓定解问题。
当定解条件为初值条件时，相应的定解问题，就称为初值问题。
我们主要讨论初值问题。
我们把满⾜初值条件的解称为微分⽅程的特解。
初值条件不同，对应的特解也不同。
⼀般来说，特解可以通过初值条件的限制，从通解中确定任意常数⽽得到。
常微分方程发展简史—经典阶段
常微分方程发展简史—经典阶段微分方程是数学的一个重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。
常微分方程是其中的一类，它描述了一个未知函数与其导数之间的关系。
常微分方程的研究历史可以追溯到古代，但其经典阶段始于17世纪，并且在18世纪达到了高峰。
下面将简要介绍常微分方程发展的经典阶段。
17世纪是微积分学的发展时期，许多数学家开始研究微分方程。
其中最重要的是牛顿和莱布尼茨的工作，他们独立地发现了微积分的基本原理，并将其应用于物理问题的求解。
牛顿发展了牛顿运动定律，并通过微分方程的形式来描述物体的运动。
他的工作使常微分方程成为了解决物理问题的重要工具。
18世纪是常微分方程研究的黄金时期。
数学家们开始系统地研究微分方程的性质和解法。
最著名的数学家之一是欧拉，他在微分方程领域做出了巨大贡献。
他研究了线性和非线性常微分方程，并提出了解这些方程的方法。
他的工作奠定了常微分方程的基础理论，并推动了后续的研究。
欧拉之后，许多数学家对常微分方程进行了进一步的研究。
拉普拉斯、拉格朗日和傅里叶等数学家都为微分方程的理论和解法作出了贡献。
拉普拉斯提出了一种新的解微分方程的方法，即变量分离法。
这种方法被广泛应用于解常微分方程的各种形式。
拉格朗日则研究了经典力学中的变分原理，并将其应用于解微分方程。
傅里叶的贡献是将常微分方程的解表示为正弦和余弦函数的形式，这被称为傅里叶级数展开。
此外，拉普拉斯和拉格朗日还提出了一种新的方法，即变换法。
这种方法将一个复杂的微分方程转化为一个更简单的形式，从而易于求解。
这为后来的研究提供了重要的思路。
到了19世纪，常微分方程的研究越来越深入。
高斯、庞加莱和魏尔斯特拉斯等数学家在微分方程的解法和理论方面取得了重要进展。
高斯研究了二阶常微分方程的解法，提出了高斯超几何函数的概念。
这个函数在物理学和工程学中有广泛的应用。
庞加莱提出了一种新的方法，即微分方程的数值解法。
他的工作为计算机模拟和数值计算奠定了基础。
微分方程发展简史
微分方程发展简史
微分方程是数学中最重要的问题之一，它是用来描述研究物理和其他自然现象的数学工具。
微分方程的历史可以追溯到古希腊时期。
古希腊时期，欧几里德（Euclid）提出了一种特殊的微分方程，称为“微分比率”。
这种方程可以用来表示古希腊数学家的自然观念，即当一个量变化时，它的比率也会随之变化。
这种思想的萌芽就是微分方程。
17世纪，德国数学家弗朗兹·莱布尼茨开始研究微分方程，他以自己的名字为此方程命名，称之为“莱布尼茨方程”。
他证明了古代希腊人欧几里德和拉斐尔的想法，他们认为变量的导数和变量有关，并且可以用来解释自然界的微分方程。
在这之后，德国数学家弗洛伊德·勃兰特建立了一个更为精确的解微分方程的理论框架。
他提出了一种称为“勃兰特公式”的方法，通过数学建模可以更好地描述物理现象。
18世纪，法国数学家哥白尼和英国数学家拉斐尔也提出了关于微分方程的理论，但是他们没有将其完整地应用到物理学中。
然而，他们的工作为新一世纪发掘物理奥秘和解决重要物理问题提供了基础。
19世纪，法国数学家萨缪尔·不伦瑞克和德国数学家卡尔·马克斯·哈特曼在萨缪尔不伦瑞克方程中做出了重大贡献。
常微分方程知到章节答案智慧树2023年东北师范大学
常微分方程知到章节测试答案智慧树2023年最新东北师范大学绪论单元测试1.常微分方程的发展按研究内容可分为几个历史阶段？( )参考答案:定性稳定性理论阶段。
;解析理论阶段;经典阶段;适定性理论阶段2.本课程的主要教学内容有哪些？（）参考答案:定性和稳定性理论简介等。
;初等积分法;基本定理;一阶线性微分方程组，n阶线性微分方程3.常微分方程的研究方法主要有哪些？（）参考答案:各项均正确第一章测试1.下面方程中是线性方程的有（）参考答案:2.下面方程中是齐次方程的是（）参考答案:3.方程是常数解（）参考答案:4.不是所有的方程都可以用初等积分法求解。
( )参考答案:对5.通解不一定包含微分方程的所有解。
( )参考答案:对第二章测试1.存在且连续是保证方程初值解唯一的必要条件。
( )参考答案:错2.线素场中的线素不能等于0。
( )参考答案:错3.奇解也是方程的解。
( )参考答案:对4.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是（）参考答案:除去轴的平面5.方程任意解的存在区间是（）参考答案:第三章测试1.函数在区间的朗斯基行列式恒为零是它上线性相关的（）参考答案:必要条件2.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）参考答案:是其对应齐次微分方程组的解3.若的解，为其对应的齐次线性微分方程组的解，则（）的解参考答案:是4.线性齐次微分方程组的解组为基本解组的充要条件是它们的朗斯基行列式（）参考答案:错5.齐次线性微分方程的基本解组不是唯一的。
（）参考答案:对第四章测试1.阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（）维线性空间.参考答案:2.微分方程的通解中应含的独立常数的个数为（）.参考答案:33.微分方程的特解具有形式（）.参考答案:4.若和是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们没有共同零点。
（）参考答案:对5.只要给出阶线性微分方程的个特解，就能写出其通解.（）参考答案:错6.下列方程是二阶线性微分方程的是（）。
常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分
常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODEs）作为数学中重要的研究领域之一，早在古代数学家就开始研究。
然而，对于常微分方程的深入研究直到16世纪才真正开始。
定性理论阶段在常微分方程的发展历史中，定性理论阶段是一个重要的里程碑。
在17世纪，欧洲的许多数学家开始对常微分方程进行研究，并取得了一些重要的成果。
其中最著名的数学家是伯努利家族，他们的研究成果对定性理论的发展产生了巨大的影响。
定性理论的主要目标是研究常微分方程的解的性质，而不是具体的解的形式。
欧拉则提出了一种提供常微分方程解单值化的方法，通过引入无穷远点的概念，将复杂的解变为简单的解。
之后，拉普拉斯又发展了一种完全不同的方法，基于群论的观点，用幂级数来表示解，并通过对幂级数的收敛性进行分析。
解析理论阶段19世纪初，解析理论阶段开始。
拉格朗日和伽罗瓦两位法国数学家在解析理论的发展中发挥了关键的作用。
伽罗瓦则通过研究方程的对称性和置换群的理论，将求解常微分方程的问题转化为求解多项式方程的问题。
他的工作对解析理论的发展产生了深远的影响。
除了法国数学家的贡献外，俄罗斯数学家切布雪夫和德国数学家雅可比也做出了重要的贡献。
切布雪夫发展了关于常微分方程解的唯一性和存在性的理论，而雅可比则通过引入雅可比行列式，研究了常微分方程解的特征。
总结总的来说，常微分方程的发展经历了三个阶段：古代数学家的初步研究、定性理论阶段和解析理论阶段。
定性理论阶段主要是研究解的特性，而解析理论阶段则关注具体的解的形式。
这些理论的发展为后来的数学家提供了基础，也为应用数学领域的发展打下了坚实的基础。
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史古希腊时期，数学家们已经开始研究变化率的概念。
柏拉图的学派研究了一些与变化有关的问题，但没有形成完整的理论体系。
欧几里得和阿基米德的工作也涉及到变化率的概念，但不是以微分方程的形式出现。
到了17世纪，微积分的出现为常微分方程的形成奠定了基础。
众所周知，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立发现了微积分学，为数学提供了解决变化问题的新方法。
牛顿在《自然哲学的数学原理》中系统地描述了微积分学，这其中就包括了常微分方程的基本概念和方法。
在牛顿和莱布尼茨之后，许多数学家对常微分方程进行了深入研究。
欧拉和拉格朗日都做出了重要贡献。
欧拉在常微分方程的解法中独创地引入了指数函数，并建立了常微分方程的一种通用解法。
拉格朗日则提出了常微分方程的拉格朗日变换方法，使其在特定问题的求解中更加简化。
到了18世纪，高斯和拉普拉斯等数学家对常微分方程的研究取得了突破性进展。
高斯提出了“用有限项解”的概念，选取了特定形式的函数作为常微分方程的解，从而解决了一些常微分方程的特解问题。
19世纪是常微分方程研究的繁荣时期。
该时期的数学家们在解析解法、级数解、特解以及数值解的研究方法上取得了长足进展。
拉普拉斯为生物、物理和天文学中的实际问题提供了常微分方程的解析解。
波利亚和卡尔内斯则为常微分方程的级数解提供了系统的研究方法。
20世纪是常微分方程研究的极其重要时期。
在此期间，常微分方程与控制论、动力系统等领域发生了深入的交叉。
著名数学家皮卡尔引入了皮卡尔定理，研究非线性常微分方程的局部解存在性和唯一性。
此外，20世纪还出现了新的数值方法，例如欧拉法和龙格-库塔法，用于求解常微分方程的数值解。
从西蒙，泰勒爵士到费曼，众多科学家和数学家在其研究中广泛使用常微分方程。
无论是经济学、物理学、工程学，还是生物学、化学等领域，常微分方程都有着重要的应用。
总结起来，常微分方程是以微积分学为基础的数学分支，其发展历史可以追溯到古希腊时期。
从牛顿和莱布尼茨的发现开始，数学家们对常微分方程进行了深入研究并取得了重要进展。
常微分方程的起源与发展
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茨同年则在同一家 杂 志 的 另 一 篇 文 章 中 ! 称微分 方程为特征三角形 的 边 的 函 数 ! 并给出了线性方 程= " = * # I# *$ *$的通解表达式 % @ @ :O#
* ! I*= I*= # $ ! $ $ *= *$#( *$ ( * :D @# O#
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全力冲击仍不得其解 & 3 ? ! 3年法国数学家刘维尔 证明 意 大 利 数 学 家 黎 卡 提 3 $ 6 !年提出的黎卡提
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常微分方程的形成与发展
常微分方程的形成与发展常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中的一个重要分支，它描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。
常微分方程的形成与发展涉及了很多数学家的研究工作，下面将从古希腊时期的微分方程雏形开始介绍。
微分方程的雏形可以追溯到公元前250年，亚历山大的狄氏方程（Dido's equation）。
狄氏方程是腓尼基王后狄多在建立迦太基城市时遇到的一个问题。
她希望修建一条半圆形的城墙，使得城墙围起的面积最大。
经过求解，她得到了半圆的解，这是一种具有最大面积的形状。
这个问题可以用微分方程的形式表示，即通过求解方程的极值问题来获得最优解。
在17世纪，微积分的发展促进了微分方程的研究。
众多著名的数学家如牛顿、莱布尼茨、欧拉等都对微分方程进行了深入研究，使得微分方程得到了扎实的理论基础。
牛顿在其《自然哲学的数学原理》中首次提出了微分方程的概念，并利用微分方程来描述物体的运动。
他通过对运动物体的速度进行微分得到了物体的加速度。
牛顿开创性地应用微分方程来建立物理学中的数学模型。
在18世纪，欧拉对微分方程作出了重要贡献。
他通过引入复数来解决了一阶线性常微分方程的问题。
此外，欧拉还开发了许多常见的微分方程求解方法，如变量分离、积分因子等。
欧拉的工作为后来的微分方程的研究奠定了基础。
19世纪，数学家拉普拉斯和拉格朗日进一步推动了微分方程的发展。
拉普拉斯系统地研究了线性常微分方程，并加入了对边界条件的考虑，使得求解微分方程的方法更加完善。
拉格朗日则在变分计算（Calculus of Variations）中提出了最值问题的欧拉-拉格朗日方程，使微分方程研究又进了一步。
20世纪，微分方程得到了更为广泛的应用和深入的研究。
具有代表性的成果包括霍普夫林恩（Heinz Hopf）的动力系统理论、庞加莱（Henri Poincaré）的混沌理论、卡尔曼（Rudolf E. Kálmán）的控制理论等。
浅谈微分方程的起源与发展史
浅谈微分方程的起源与发展史This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020浅谈微分方程的起源与发展史摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。
这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。
引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。
比如，我们可以试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。
通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。
最后再通过微分方程求出未知函数。
关键字：微分方程起源发展史一、微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。
微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。
例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。
微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。
7.1 常微分方程发展历史
常微分方程发展历史常微分方程在微积分概念出现后即已出现，对常微分方程的研究可分为几个阶段。
发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。
莱布尼茨（Leibniz）曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题，而欧拉（Euler）则试图用积分因子统一处理，伯努利（Bernoulli）、里卡蒂（Riccati）微分方程就是在研究初等积分时提出后人以他们的名字命名的方程。
早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔（Liouville）于1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断。
加上柯西（Cauchy)初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。
首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解的存在性、唯一性等解的性质的研究。
其次，针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程，如贝塞尔（Bessel）函数、勒让德（Legendre）多项式等，这促成了微分方程与（复变）函数论结合产生微分方程解析理论。
同时，由于天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、幕级数等近似方法的研究。
19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需研究常微分方程解的大范围性态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转向“求所有解”的新时代。
首先，庞加莱（Poincare）创立了定性理论和方法研究常微分方程解的大范围性态。
由于希尔伯特（Hilbert）提出20世纪23个数学问题中关于极限环个数的第16问题，大大促进了定性理论的发展。
另一方面李雅普诺夫（Lyapunov）提出的运动稳定性理论，用于解决方程解的初值扰动不影响原方程解的趋向问题，在天文、物理及工程技术中得到广泛应用，先后在前苏联、美国受到极大重视。
同时，伯克霍夫（Birkhoff）在20世纪初在动力系统方面开辟了一个新领域，由于拓扑方法的渗入，20世纪50年代后经阿诺德(Arnold）、斯梅尔（Smale）等大数学家的参与而得到蓬勃发展。
常微分方程-定性理论
分岔理论
当系统的参数发生变化时，常微分方程的解可能会发生突 然变化，这种现象被称为分岔。分岔理论研究了分岔的产 生条件和分岔的类型。
数值解法
对于无法解析求解的常微分方程，定性理论还研究了各种 数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法等，以近似求解其解 。
稳定性是指系统在平衡点附近的动态行为，如果一个平衡点 是稳定的，那么当系统受到小的扰动时，它会回到平衡点； 反之，如果平衡点是不稳定的，那么系统会远离平衡点。
线性常微分方程
线性常微分方程是指形式为dy/dt = ay + b的常微分方程，其中a和b是 常数，y是未知函数。
VS
线性常微分方程的解可以通过求解线 性代数方程得到，其解的性质可以通 过特征值和特征向量来描述。
定性理论通过分析微分方程的解轨线 在相空间中的行为，来理解和预测系 统的动态行为。它为解决实际问题提 供了重要的数学工具和理论基础。
研究目的和意义
研究目的
常微分方程定性理论的研究目的是揭示微分方程解的内在性质和规律，理解解的动态行为，并应用于解决实际问 题。
研究意义
定性理论在数学、物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用，是解决实际问题的重要工具。通过研究常微分 方程定性理论，可以深入理解自然现象和社会现象的动态演化过程，为解决实际问题提供重要的数学方法和理论 基础。
人口动态
常微分方程可以用来描述人口的变化规律，例如 Malthus模型。
行为科学
常微分方程可以用来描述人类行为的变化规律，例如 心理动力学模型。
05 结论与展望
研究结论
稳定性理论
常微分方程课件
在经济中的应用
描述经济现象：通过常微分方程描述经济现象的变化趋势和规律 预测经济走势：利用常微分方程对经济走势进行预测和分析 优化资源配置：通过常微分方程找到最优的资源配置方案，提高经济效益 制定经济政策：利用常微分方程分析政策对经济的影响，制定合理的经济政策
在生物与工程中的应用
描述种群增长模型
常微分方程是描述函数随时间变化的数学模型。 常微分方程的性质包括解的存在性、唯一性和连续依赖性。 解的存在性是指对于给定的初值问题，存在至少一个解。 唯一性是指对于给定的初值问题，存在唯一的解。
分类与表示方法
线性微分方程： 形如y' = px + q的方程，其中p 和q是常数
非线性微分方程： 形如y' = f(y)的 方程，其中f(y) 是一个关于y的 函数
一阶微分方程： 只含有一个自变 量和一个导数的 微分方程
高阶微分方程： 含有多个自变量 和多个导数的微 分方程
求解方法简介
分离变量法 变量代换法 欧拉方法 龙格-库塔方法
03 一阶常微分方程
一阶线性微分方程
定义：形如 y'=f(x)g(y)的 一阶微分方程， 其中f和g都是
可导函数。
求解方法：通 过变量分离法、 积分因子法、 公式法等求解。
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汇报人：
分岔与混沌
分岔：当系统的参数发生变化时，系统的定性行为发生突然改变的现象。 混沌：在确定性非线性系统中，由于对初值的高度敏感性而产生的复杂运动状态。 举例：Lorenz 方程。 应用：天气预报、生态学、经济学等。
定性理论的应用与限制
应用领域：物理学、生物学、经济学等 解决实际问题：解释自然现象、预测未来趋势等 限制：定性理论无法处理某些复杂系统或非线性问题 未来研究方向：如何克服定性理论的局限性，拓展其应用范围
常微分方程1.1-1.2
赵 景 霞
问 y( x ) x 2 c1 x是方程的特解吗？
哈 尔 滨 工 程 大 学
• 初值条件/Initial Value Conditions/
有 n个 n阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示
4
3
2
赵 景 霞
积分曲线族
2 1
1
1
2
哈 尔 滨 工 程 大 学
练习题
编号 1 微分方程 自变量 未知 函数 常或偏 阶数 是否线 性
d 4s 3 s s d 4
y xy 1 ( y)2
u 2 u u 2 2 2 t x y
x
s
y
常 常
4 1 2 1
2 x 5 6 无理方程：
赵 景 霞
x y 7 方程组： x y 1
哈 尔 滨 工 程 大 学
2) 超越方程（组），其含有超越函数 三角方程：sin( x 5) cos x 指数方程： e x 2 x 5 特点：方程的解为实数（有限个或者无限个）
常 微 分 方 程
常微分方程/ODE / 在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分 方程称为常微分方程。 偏微分方程/ PDE/ 自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称 为偏微分方程。
常 微 分 方 程
赵 景 霞
d2y dy b cy f ( t ) 2 dt dt
2T T 4 2 x t
哈 尔 滨 工 程 大 学
解 热力学基本规律：1．热量总是从温度高的 物体像温度低的物体传导的； 2．Newton冷却定律：在一定的温度范围内， 一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和 其所在介质温度的差值成比例。
常微分方程发展简史
第三讲常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19 世纪19 世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。
级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18 世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特殊是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是目生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.x 2 y+ xy+ (x2 n2 )y = 0其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703 年BernoulliJacobi 给 Leibnitz 的信中就已提到, 后来 Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、 Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由 Bessel 在研 究行星运动时作出的. 对每一个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作J (x) 和nY (x) , 分别称为第一类 Bessel 函数和第二类 Bessel 函数, 它们都是特殊函数 n或者广义函数(初等函数之外的函数) . Bessel 自 1816 年开始研究此方程, 首 先给出了积分关系式J (x) = q 2j 几 cos(nu 一 x sin u)du.n 2几 01818 年 Bessel 证明了 J (x) 有无穷多个零点. 1824 年, Bessel 对整数n 给出了n递推关系式xJ (x) 一 2nJ (x) + xJ (x) = 0n +1 n n 一1和其他的关于第一类 Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家(研究天体力学的数学家)独立地得到了 Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。
常微分方程稳定性理论及其奠基人
常微分方程稳定性理论及其奠基人摘要：李雅普诺夫是切比雪夫创立的圣彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最为杰出。
本文主要介绍常微分方程稳定性理论的发展概况，以及其代表人物李雅普诺夫的卓越贡献。
关键词：常微分方程，稳定，不稳定、全局渐近稳定、李雅普诺夫函数、李雅普诺夫第二方法。
前言常微分方程稳定性理论起源于力学，最早是法国数学家拉格朗日于1788年提出关于平衡稳定性的一般定理。
但是真正这种理论的严格建立，是来自于俄国数学家李雅普诺夫所作的开创性工作。
1892年，李雅普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定系理论的基础。
事实上，稳定性理论早期默默无闻，直到冷战初期即1953至1962年，人们开始对它特别关注，前苏联数学家在李雅普诺夫工作的基础上，为稳定性理论做了大量出色的工作，主要有切达耶夫、克拉索夫斯基、卡尔曼、马尔金。
近六十年以来，我国数学家也在稳定性理论方面作出重要贡献，主要有秦元勋、王联、王慕秋、贺建勋、廖晓欣等。
自此，大量相关的研究成果和出版物开始出现，并进入控制系统的文献中。
一、李雅普诺夫生平李雅普诺夫(1857-1918)俄国数学家、力学家。
1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒于敖德萨。
1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学系学习，被著名数学家切比雪夫渊博的学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章。
19世纪以后，切比雪夫创立了圣彼得堡数学学派，使得俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始走向世界前列。
李雅普诺夫与师兄马尔科夫是切比雪夫的两个最著名最有才华的学生，他们都是彼得堡数学学派的重要成员。
1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位并成为教授。
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第三讲 常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。
（常微分方程解析理论：复域上的常微分方程理论；应用复变函数论研究微分方程的性状，以及把微分方程的解视为由方程定义的解析函数，并直接从微分方程本身研究解的性质的理论。
这是基于A.-L.柯西的基本定理,即在对微分方程作极为广泛的假设下，它的积分是复变数的解析函数。
常微分方程解析理论与复变函数理论的发展密切相关。
它的先驱性工作是由柯西、（G.F.）B.黎曼、I.L.富克斯、（J.-）H.庞加莱以及P .班勒卫等人所作。
）级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.222()0x y xy x n y '''++-=其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-⎰1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+=和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。
解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2(1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到了Legendre 多项式. 与此同时, Hermite C 研究了方程20y xy y λ'''-+=, 得到了其幂级数解,当λ为非负偶数时即为著名的Hermite 多项式. Tchebyshevy 在研究方程22(1)0x y xy p y '''--+=的解时, 得到了Tchebyshevy 多项式.1821年, Gauss 研究了Gauss 几何方程(1)[(1)]0x x y y y γαβαβ'''-+-++-=.这个方程及其级数解2(1)(1)(,,,)1112(1)F x x x αβααββαβγγγγ++=+++⋅⋅⋅+ 早已为人们所熟知了，因为它已由Euler 研究过. 此级数称为超几何级数, 包含了几乎所有的当时已知的初等函数和许多像Bessel 函数、球函数那样的超越函数. 除了证明此级数的一些性质外，Gauss 还建立了著名的关系式()()(,,,1)()()F γγαβαβγγαγβΓΓ--=Γ-Γ-. Gauss 还建立了此级数的收敛性。
记号(,,,)F x αβγ应归源于Gauss.这一时期关于常微分方程级数解和特殊函数方面的工作还有很多, 这里不一一介绍.奇点理论、自守函数19世纪中期，常微分方程的研究走上了一个新的历程。
存在性定理和Sturm-Liouville 理论都预先假设在考虑解的区域内，微分方程包含解析函数或至少包含连续函数。
另一方面，某些已经考虑过的微分方程，如Bessel 方程、Legendre 方程、Gauss 超几何方程，如果表示成具有变系数的线性齐次$n$解常微分方程且最高阶导数项系数为1时，它们的系数具有奇异性，在奇异点的邻域内级数解的形式是特别的，所以数学家们便转而研究奇点邻域内的解， 也就是一个或多个系数在其上奇异的那种点的邻域内的解。
对于这个问题，Gauss 关于超几何级数的工作指明了道路。
先导者是Riemann 和Fuchs （Weierstrass 的学生和他在柏林的继承者）。
此理论被称为线性常微分方程的Riemann-Fuchs L 奇点理论，这是19世纪常微分方程解析理论中一个非常重要的成果。
奇点邻域内的解的研究是由Briot(1866年)和Bounque(1856年)起始的，他们的关于一阶线性方程的结果很快就得到了推广，在这个新领域中，人们的注意力集中于形为()(1)1()()0n n n y p z y p z y -++⋅⋅⋅+=的线性常微分方程，其中()i p z 除在孤立奇点外是复变数$z$的单值解析函数。
此方程之所以受到重视，是因为它的解包括所有初等函数甚至某些高等函数。
这方面的重要工作还有Briot A A 和Bouquet J 的由常微分方程出发建立的椭圆函数（特殊的自守函数）的一般理论、Fuchs 和Poincare 的关于一阶非线性微分方程的理论, 最后是1882年至1884年Poincare J 的工作和Klein F 在1884年的工作由于自守函数理论而使微分方程解析理论臻于顶峰. 这样, 微分方程和自守函数建立了密切的联系.当自守函数理论还正处在创立的阶段时，天文学方面的工作激起了对一个二阶常微分方程的兴趣。
此方程源于著名的N 体问题。
N 体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N 个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。
在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。
如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。
我们知道地球和月球都在进行一种周期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念。
所以大家不难想象周期运动可能是三体问题的一种解。
1877年Hill George William （美国数学家）私人出版了关于月球近地点运动的一篇具有卓越创见性的论文。
1878年，他在AJM 上又发表了一篇关于月球运动的论文，创立了周期系数的线性齐次微分方程的数学理论。
Hill 的一个基本思想是对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解。
于是他对这个周期解变差写出方程，便得到了一个带有周期系数的四阶线性常微分方程组。
知道了某些积分后，他将此四阶方程组化简为单独一个二阶线性微分方程22()0,d x t x dtθ+= 其中()t θ为π周期的偶函数。
Hill 证明了此二阶方程存在周期解，因而证实了月球近地点的运动是周期性的，开创了周期系数方程的研究。
在他的证明中，首先将()t θ展开为Fourier 级数，然后用待定系数法确定级数解。
他的方法用到了无穷行列式和无穷线性方程组，证明不够严格，他的工作一直受人嘲笑。
1885-1886年，Poincare 证明了Hill 的证明手法的收敛性。
Poincare 对Hill 的成就的注意和完善，使Hill 和有关课题著名了。
Poincare 参与了Hill 方程的研究，在Hill 的工作的刺激下，Poincare 为支配行星运动以及行星和卫星轨道稳定性的微分方程的周期解的研究开辟了一条新的途径，开创了常微分方程定性研究的新时代。
4、常微分方程定性理论阶段：19世纪末期和20世纪初期从时间上看, 19世纪末期和20世纪初期是常微分方程发展的第三个阶段. 这个阶段常微分方程在三个方面有重大发展, 都与Poincare的工作相联系。
一是微分方程的解析理论, 前面已作论述；二是Poincare的定性理论；三是Liapunov的稳定性理论.Poincare的定性理论在代数学中，五次代数方程没有一般的根式求解公式这一事实并不防碍Sturm创立用代数方法决定实根个数的新成就。
类似地，在非线性方程一般不能求``初等解"的事实下，Poincare独立开创了常微分方程实域定性理论这一新分支。
1881-1886年, Poincare 同一标题下连续发表了四篇论文,开创了常微分方程实域定性理论. 他只求通过考察微分方程本身就可以回答的关于稳定性等问题的方法, 为微分方程定性理论奠定了坚实的基础.1892年至1898年间, Poincare刻画了天体力学系统运动的特征, 并引导到微分方程定性理论的创立. 他发现微分方程的奇点起着关键作用.他把奇点分为鞍点、结点、焦点和中心四类, 讨论了解在各种奇点附近的性态. Poincare 将他的论文定名为《论微分方程所定义的积分曲线》是突出了他所研究的主题和应用的方法。
这一新分支的内容包括奇点附近积分曲线的分布、极限环（即孤立周期解）、奇点的大范围分布、环面上的积分曲线、以及三维空间周期解附近积分曲线的情形等等。
Poincare关于常微分方程定性理论的一系列课题, 成为动力系统理论的开端.Poincare的定性理论在研究思想上成功突破了常微分方程定量求解的束缚, 其创新之处体现在以下几个方面：由复域的研究又转到实域的研究，由定量研究转向定性研究，由分析方法转为分析和几何方法的有机结合，由函数作为对象的研究转到曲线作为对象的研究，由个别解的研究转到解的集体的研究，由解的解析性质的研究转到解所定义的积分曲线的几何拓扑性质的定性研究，由应用等式转到应用不等式，由局部研究转向全局研究。