谈谈代数数论_代数数论百年历史回顾及分期初探_续_黎景辉

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２何用在模形式啊！
数学通报２０１３年第５２卷第６期］，４ＬｅＳｔｕｍ，ＲｉｉｄｃｏｈｏｍｏｌｏＣａｍｂｒｉｄｅ２００７．ｇｇｙｇ］，５ＫａｔｚＡｃｏｎｅｃｔｕｒｅｉｎｔｈｅａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｔｈｅｏ－ｊｒｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｕａｔｏｎｓ．Ｂｕｌｌ．Ｓｏｃ．Ｍａｔｈ．Ｆｒｙｑ（）１１０，２０３－２３９１９８２．］， “ ，６ＫｉｓｉｎＲｉｉｄｉｔＬｏｃａｌｌＳｍｍｅｔｒｉｃＶａｒｉ－ｇｙｙｙ，ｅｔｉｓｅａｎｄｔｈｅＧｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋａｔｚＣｏｎｅｃｔｕｒｅ” ．－Ｋｊ（）Ｉｎｔ．ＭａｔｈＲｅｓＮｏｔｉｃｅｓ２００９２２．我所说的代数数论的第四波是指－使用Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ的代数几何学成功地解决代数数论的问题．我们可以从以下获得菲尔兹奖的人的工作看到这一波的成就：１．Ｄｅｌｉｎｅ（１９７８年菲尔兹奖，１９８８年ｇ，，ＣｒａｆｏｏｒｄＰｒｉｚｅ２００４年ＢａｌｚａｎＰｒｉｚｅ２００８年，）：ＷＷｏｌｆＰｒｉｚｅ２０１３年ＡｂｅｌＰｒｉｚｅｅｉｌ猜想－有限域上代数簇的黎曼猜想．１９８６年菲尔兹奖）：Ｍｏｒｄｅｌｌ猜２．Ｆａｌｔｉｎｓ（ｇ）大于一的光想－在代数数域Ｋ上亏格（ｅｎｕｓｇ滑射影曲线只有有限个有Ｋ理点．３．Ｄｒｉｎｆｅｌｄ（１９９０年菲尔兹奖）：函数域上）的Ｌ的ＧＬ（２ａｎｌａｎｄｓ对应．ｇ４．Ｌａｆｆｏｒｕｅ（２００２年菲尔兹奖）：函数域ｇ（）上的ＧＬｎ的Ｌａｎｌａｎｄｓ对应．ｇ５．Ｎｏ（２０１０年菲尔兹奖）：函数域上的李ｇ代数的Ｌａｎｌａｎｄｓ基本引理．ｇ这一波的发展又常被称为算术几何学．这门学问当然不单是上面几个代表性的工作．比如还有），１Ａｒａｋｅｌｏｖ几何的工作（ＦａｌｔｉｎｓＬｅｃｔｕｒｅｓｏｎｇａｒｉｔｈｍｅｔｉｃＲｉｅｍａｎｎｏｃｈｔｈｅｏｒｅｍ，Ａｎｎａｌｓｏｆｔｈｅ－Ｒ；，ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＳｔｕｄｉｅｓＳｏｕｌｅＬｅｃｔｕｒｅｓｏｎＡｒａｋｅｌｏｖ，）ＧｅｏｍｔｒＣａｍｂｒｉｄｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔＰｒｅｓｓ．ｙｇｙ，ｉｓ丛的工作（Ｆａｌｔｉｎｓ２）ｐ进Ｈｇｇｇ（））Ａｄｖ．Ｍａｔｈ．１９８２００５．）３关于Ｈｏｄｅ理论有Ｄｅｌｉｎｅ（ＩｎｓｔＨａｕｔｅｓｇｇ，）和斋藤盛彦ｔｕｄｅｓＳｃｉ．Ｐｕｂｌ．Ｍａｔｈ．Ｎｏ．４０４４（Ｍ，Ａｏｒｉｈｉｋｏａｉｔｏｓｔ é ｒｉｓｕｅｏ．１７９－ＳＮｑ），的工作当然还有著名的１８０．．１４５－１６２ｐｐＨｏｄｅ猜想（ＣｌａＭａｈｅｍａｔｉｃｓＩｎｓｔｉｔｕｔｅＭｉｌｌｅｎｉ－ｇｙ和相关的Ｔｉｕｍａｔｅｓｃｏｎｅｃｔｕｒｅｏｎｒｉｚｅｒｏｂｌｅｍ）ｊｐｐａｌｅｂｒａｉｃｃｃｌｅｓ．ｇｙｏｎｔａｉｎｅ的周期环（Ｐｅｒｉｏｄ４）另外又有Ｆ，，见Ｐ和ＲｉｎｅｒｉｏｄｅｓａｄｉｕｅｓＡｓｔｅｒｉｓｕｅｓ２２３）－ｇｑｑｐ
２０１３年第５２卷第６期数学通报
１
谈谈代数数论 — 代数数论续）百年历史回顾及分期初探（
）黎景辉（Ｋ．Ｆ．Ｌａｉ
（美国耶鲁大学）
４第四波Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ（１９６６年菲尔兹奖）－交换环范畴上的代数几何学．这样我们便可以从域上的代数簇跑到环上的概形．我们可以从整数环Ｚ上的黎曼 ζ 函数跑到，Ｆ概形的 ζ 函数（见Ｓｅｒｒｅａｃｔｅｕｒｓｌｏｃａｕｘｄｅｓ，Ｓｆｏｎｃｔｉｏｎｓｚｅｔａｄｅｓｖａｒｉｅｔｅｓａｌｅｂｒｉｕｅｓｅｍｉ－ｇｑ，ｎａｉｒｅＤｅｌａｎｅ－Ｐｉｓｏｔ－Ｐｏｉｔｏｕｔｏｍｅ１１，（１９６９ｇ）［）我们甚至可以定ｗｗｗ．ｎｕｍｄａｍ．ｏｒ．－１９７０ｇ］义概形的Ｌ函数，于是便有Ｔａｔｅ的ａｌｅｂｒａｉｃｃ－ｇｙ，见Ｔｃｌｅｓ猜想（ａｔｅＡｌｅｂｒａｉｃｃｃｌｅｓａｎｄｏｆｏｌｅｓｇｙｐ，，ｚｅｔａｆｕｎｃｔｉｏｎｓＡｒｉｔｈｍｅｔｉｃＡｌｅｂｒａｉｃＧｅｏｍｅｔｒｇｙ，ＨＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅＰｒｏｃｅｅｄｉｎｓａｒｅｒａｎｄＲｏｗ，Ｎｅｗｇｐ，）Ｙｏｒｋ１９６５．．最后便有挂了奖（ＣｌａＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＩｎｓｔｉｔｕ－ｙ）：的椭圆曲线题目ｒｉｚｅｒｏｂｌｅｍｔｅＭｉｌｌｅｎｉｕｍｐｐＢｉｒｃｈａｎｄＳｗｉｎｎｅｒｔｏｎ－Ｄｅｒ（ＢＳＤ）猜想（ｈｔ－ｙ／／／／）ｔｗｗｗ．ｃｌａｍａｔｈ．ｏｒｍｉｌｌｅｎｎｉｕｍ．Ｓｗｉｎ－ｐ：ｙｇｎｅｒｔｏｎｅｒ是Ｗｅｉｌ的学生．－Ｄｙ事实上在Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ的手上代数几何已和代数数论不分家了！有了基础的代数几何学如（，有ＥＧＡ－ＥｌｅｍｅｎｔｓｄｅＧｅｏｍｅｔｒｉｅＡｌｅｂｒｉｕｅｇｑ）中文翻译Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ告诉我们Ｇａｌｏｉｓ群是基；基本群是代数拓扑学的第一个本群（ＳＧＡ１）概念．从几何来看基本群的表示是局部系（ｌｏｃａｌ，，见ｓｓｔｅｍＳｔｅｅｎｒｏｄＨｏｍｏｌｏｗｉｔｈｌｏｃａｌｃｏｅｆ－ｙｇｙ，Ａ）ｆｉｃｉｅｎｔｓｎｎａｌｓｏｆＭａｔｈ．４３（１９４２）－这是代数拓扑学的第二个概念．Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ把局部系转化成ｅ他希望这个理论体ｔａｌｅ上同调（ＳＧＡ４）．，Ａ现Ｗｅｉｌ的上同调假想（Ｓ．Ｋｌｅｉｍａｎｌｅｂｒａｉｃｇ
，ｃｃｌｅｓａｎｄｔｈｅＷｅｉｌｃｏｎｅｃｔｕｒｅｓｉｎＤｉｘＥｘｏｓｅｙｊｐ，，）ｓｕｒｌａｃｏｈｏｍｏｌｏｏｒｔｈＨｏｌｌａｎｄ１９６８．ｇｙＮ）一个交换簇（的ｅａｂｅｌｉａｎｖａｒｉｅｔｔａｌｅ上同调ｙ这是代数数论的一个非常重群是它的ｐ可除群．， “ 要的中心概念．最早的文章是Ｔａｔｅｄｉｖｉｓｉｂｌｅ－ｐ ” ，（ｒｏｕｓ．ｉｎＰｒｏｃ．Ｃｏｎｆ．ＬｏｃａｌＦｉｅｌｄｓＤｒｉｅｂｅｒ－ｇｐ），；， “ １９６６ＳｒｉｎｅｒＳｅｒｒｅＧｒｏｕｅｓｄｉｖｉｓｉｂｌｅｓｅｎ，－ｐｇｐｇｐ（），，ｄａｒ è ｓＪ．ＴａｔｅＥｘ．３８１” Ｓ é ｍｉｎａｉｒｅＢｏｕｒｂａ－ｐｐ，中段有Ｂｋｉ．ｅｒｔｈｅｌｏｔＴｈｅｏｒｉｅｄｅＤｉｅｕｄｏｎｎｅＣｒｉｓ－ｔａｌｌｉｎｅⅡ，ＳｒｉｎｅｒｌｅｃｔｕｒｅＮｏｔｅｓ９３０；和Ａ．Ｊ．ｄｅｐｇ，ＪｏｎＢａｒｓｏｔｔｉａｔｅａｎｄｃｒｓｔａｌｓＰｒｏｃｅｅｄｒｏｕｓ－Ｔ－ｇ，ｙｇｐ（），．２５９－２６５．ｉｎｓＩＣＭ１９９８Ｂｅｒｌｉｎｖｏｌｕｍｅ Ⅱ，ｐｐｇ，Ｔ最新的介绍见ＭｅｓｓｉｎｒａｖａｕｘｄｅＺｉｎｋ，ｇ／Ｓ é ｍｉｎａｉｒｅｏｕｒｂａｋｉ００５２００６，ｅｘ．９６４，Ｂ２ｐ）；／／和ＥＡｓｔ é ｒｉｓｕｅ３１１（２００７）ｉｋｅＬａｕ（ｈｔｔｑｐ：／／）还有相关的书Ｒａｒｘｉｖ．ｏｒａｂｓ１００６．２７２０．ａ－ｇｐ，ｏｏｒｔＺｉｎｋ，Ｐｅｒｉｏｄｓａｃｅｓｆｏｒｄｉｖｉｓｉｂｌｅｒｏｕｓ－－ｐｐｐｇｐ；，和ＡＰｒｉｎｃｅｔｏｎｎｄｒｅＰｅｒｉｏｄｍａｉｎｓａｎｄｄｉｆｆｅｒ－ｐｐｇ，Ｍｅｎｔｉａｌｅｕａｔｉｏｎｓａｔｈ．Ｓｏｃ．ＪａａｎＭｅｍｏｉｒｓ１２ｑｐ（）２００３．Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ从开始就留意到ｍｏｄｕｌｉｓａｃｅｐ（模参数空间）的重要性．在ＥＧＡ之前他写了一，部叫Ｆ有现代版ＦＧＡ的讲义（ａｎｔｅｃｈｉＦｕｎｄａ－，ｍｅｎｔａｌａｌｅｂｒａｉｃｅｏｍｅｔｒＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｇｇｙＡＭＳ，他讨论ａｎｄＭｏｎｏｒａｈｓｖｏｌｕｍｅ１２３）．Ｓｕｒｖｅｓｇｐｙ了模参数空间两个基本的概念：Ｈｉｌｂｅｒｔｓｃｈｅｍｅ（和Ｐ当我们看到ＤｉｃａｒｄｆｕｎｃｔFra Baidu bibliotekｏｒ．ｅｌｉｎｅＳｅｍｉｎａｉｒｅｇ，３５５，ＳｒｉｎｅｒＬｅｃｔｕｒｅＮｏｔｅｓ１７９）ＢＯＵＲＢＡＫＩｐｇ的Ｒ便了解这些概ａｍａｎｕａｎ猜想的证明的时候，ｊ念在数论的应用－我们需要模参数空间这个结构才可以给出模形式的几何定义，才可以把代数几