中考复习二次函数综合复习之线段问题(难)(教师版)

二次函数综合复习之线段问题

如图1，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线M ：52

12

+-=x y 经过点C(2，3)，直线y ＝kx ＋b 与抛物线相交于A ，B 两点，∠ACB ＝ 90°。 （1）探究与猜想：

①探究：取点B （6，一13）时，点A 的坐标为（一

25，8

15

），直接写出直线AB 的解析式： ； 取点B （4，－3），直接写出AB 的解析式为________________；

②猜想：我们猜想直线AB 必经过一个定点Q ，其坐标为___________________。请取点B 的横坐标为n ，验证你的猜想；

（2）如图2，点D 在抛物线M 上，若AB 经过原点O ，△ABD 的面积等于△ABC 的面积，试求出一个符合条件的点D 的坐标，并直接写出其余的符合条件的D 点的坐标。

（图1） （图2）

【例题精讲一】 二次函数代几综合之线段长度问题

例题 1、（2017江岸模三）已知抛物线2y x ＝上有两动点A ()11x y ，、B ()22x y ，（其中120x x ＜＜），过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BC ⊥x 轴于点D ，OA 的延长线交BD 于点E 。

（1）如图1，若点A 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（2，4），则点E 的坐标为 ； （2）如图2，过A 作AF ⊥BD 于F 。若BE ＝AE ，试求BF 的长。

（3）如图3，延长CA 交OB 于点H 。若13

OEH OHED S S △四边形＝，试探究12x x 与之间的数量关系，并证明你的结论。

2、（江汉模一）已知抛物线y ＝x 2的图象如图1，A (0，a )（a ＞0），直线l ：4

1

-=y ，点B 为抛物线上的任意一点且恒满足点B 到点A 的距离与点B 到l 的距离相等。 （1）求a 的值； （2）若直线l 1：y ＝kx ＋

4

1

交抛物线于C 、D 两点，过点C 作CE ⊥l 于点E ，过点D 作DF ⊥l 于点F ，点G 为EF 的中点。若点G 到直线l 1的距离为2

5

，求k 的值；

（3）平移抛物线使其顶点为H (0，－4)，平移后的抛物线交x 轴于点M 、N ，点P 是平移后的抛物线在第一象限上一点，PQ ⊥x 轴于点Q 。若PH 平分∠MPQ ，求直线PM 的解析式。

解：(1) 当B 在原点处时，OA ＝

41 ∴a ＝4

1 (2) 连接AE 、AF 由题意可知：CA ＝CE ，DA ＝DF

∵CE ∥DF ∴∠ECD ＋∠FDC ＝180° ∴∠EAF ＝90°（利用两个等腰推导） ∵G 为EF 的中点 ∴AG ＝EG ＝GF ∴∠GAE ＝∠GEA

∵∠CEA ＋∠GEA ＝90° ∴∠CAE ＋∠GAE ＝90° 即AG ⊥CD ∴AG ＝

2

5

，EF ＝5 设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2) 联立⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=2

41x y kx y ，整理得0412=--kx x ∴x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝41- ∴|x 1－x 2|＝514)(221221=+=-+k x x x x ，解得k ＝±2

(3) 平移后的抛物线解析式为y ＝x 2－4 ∴M (2，0)、N (－2，0) 设P (a ，a 2－4) 直线PH ：y ＝ax －4 过点M 作MT ⊥x 轴交PH 的延长线于T

∵∠MPH ＝∠QPH ，TQ ＝PH ∴∠MPT ＝∠T ∴MT ＝MP 当x ＝－2时，y ＝－2a －4 ∴MT ＝2a ＋4 ∴(2a ＋4)2＝(a ＋2)2＋(a 2－4)2 化简得4(a ＋2)2＝(a ＋2)2＋(a ＋2)2(a －2)2 ∵a ＞2 ∴(a －2)2＝3，32+=a

∴P (34332++，

) ∴直线PM 的解析式为：323+=x y

【课堂练习】

1、（洪山模二）已知抛物线C 1：y ＝ax 2经过（－1，1）。

（1）C 1的解析式为___________，顶点坐标为___________，对称轴为___________；

（2）如图1，直线l ：y ＝kx ＋2k －2经过定点P ，过P 的另一直线交抛物线C 1于A 、B 两点。当PA ＝AB 时，求A 点坐标；

（3）如图2，将C 1向下平移h （h ＞0）个单位至C 2，M （－2，b ）在C 2图象上，过M 作设MD 、ME 分别交抛物线于D 、E 。若△MDE 的内心在直线y ＝b 上，求证：直线DE 一定与过原点的某条定直线平行。

（图1） （图2）

解：(1) y ＝x 2，(0，0)，y 轴

(2) 当x ＝－2时，y ＝－2 ∴P (－2，－2)

设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2) ∵PA ＝PB ∴－2＋x 2＝2x 1 ① 联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=2

2

2x

y k kx y ，整理得x 2－kx －2k ＋2＝0 ∴x 1＋x 2＝k ②，x 1x 2＝－2k ＋2 ③ 由①得，3

2

1-=k x ，代入②③得，334±-=k ∴A (23-，347-)、(23--，347+)

(3) 过点M 作直线l ∥x 轴，过点D 作DF ⊥l 于F ，过点E 作EG ⊥l 于G 设D (x 1，x 12－h )、E (x 2，x 22－h )

∵△MDF ∽△MEG ∴2

)]

4()[(2)4()(222121+----=+---x h h x x h h x ，得x 1＋x 2＝4

设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+h

x b kx h

x b kx 2

22211，得k ＝x 1＋x 2＝4 ∴直线DE 一定与过原点的直线y ＝4x 平行

2、（2017江汉模三）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3)。 （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线上存在点D ，使点D 到直线AC 的距离是10，求点D 的坐标； （3）如图2，将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线C 1．若直线y ＝m 与新抛物线C 1交于P 、Q 两点，点M 是抛物线C 1上一动点，连接PM ，并将直线PM 沿y ＝m 翻折交抛物线C 1于N ，过Q 作QS ∥y 轴，求证：QS 必定平分MN 。