-立体几何全国卷高考真题

2015-2０１7立体几何高考真题

1、（2015年１卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺。问：积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为

1.6２立方尺，圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有（ ）

（A)1４斛 (B)２2斛 (C)36斛 （D)66斛

【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r,则12384r ⨯⨯==163

r =,所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯＝3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选Ｂ.

考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式

２、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为ｒ)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则ｒ=( )

（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8

【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为ｒ，圆柱的高为２r,其表面积为

22142222

r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=1６ + 20π，解得ｒ=2，故选Ｂ.

考点：简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式

３、(201５年１卷１８题)如图，四边形ＡBCD 为菱形，∠AB Ｃ=120°，Ｅ,F 是平面ＡＢＣＤ同一侧的两点，BE ⊥平面A ＢCD,D Ｆ⊥平面AB ＣＤ，BE=2DF ，A Ｅ⊥EC.

(Ⅰ）证明:平面AEC ⊥平面AFC;

(Ⅱ)求直线AE 与直线C Ｆ所成角的余弦值．

【解析】

试题分析:(Ⅰ)连接BD,设ＢD∩AC=G，连接ＥG,FG,EF,在菱形ABCD 中,不妨设GB=１易证EG ⊥A Ｃ,通过计算可证EG ⊥ＦＧ，根据线面垂直判定定理可知E Ｇ⊥平面ＡFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC;（Ⅱ)以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G －xy ｚ,利用向量法可求出异面直线A Ｅ与ＣF 所成角的余弦值.

试题解析：(Ⅰ)连接BD ，设BD∩ＡC ＝G ，连接ＥG,FG ，EF,在菱形AB ＣD 中，不妨设GB=1，

由∠A ＢC=1２0°,可得AG=Ｇ

由ＢE ⊥平面ＡBCD ，AB=ＢC 可知,AE=ＥＣ，

又∵AE ⊥EC,∴E ＧEG ⊥A Ｃ,

在Rt △E ＢG 中，可得B Ｅ，故DF=2

．

在Rt △FDG 中，可得FG=2

在直角梯形B ＤF Ｅ中，由B Ｄ＝2,BE ，ＤF=

2可得E Ｆ=2， ∴222EG FG EF +=,∴EG ⊥FG ，

∵AC∩FG＝Ｇ,∴ＥG ⊥平面A ＦC ，

∵EG ⊂面ＡEC,∴平面AFC ⊥平面AEC.

（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点,分别以,GB GC 的方向为x 轴,y 轴正方向,||GB 为单位长度,

建立空间直角坐标系Ｇ－xｙｚ,由(Ⅰ)可得A（0，

0),E（1,０

（－１,0

，），C（

∴AE＝（1

)，CF

．…１０分

故cos,

3

||||

AE CF

AE CF

AE CF

⋅

<>=

=-.

所以直线ＡE与CF所成的角的余弦值为

3

．

考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

4、（20１５年２卷6题)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ）

A.

8

1

B.

7

1

C．

6

1

Ｄ．

5

1

【解析】由三视图得，在正方体

1111

ABCD A B C D

-中，截去四面体

111

A A

B D

-,如图所示，,

设正方体棱长为a,则

111

33

111

326

A A

B D

V a a

-

=⨯=,故剩余几何体体积为333

15

66

a a a

-=,所

以截去部分体积与剩余部分体积的比值为

5

1

,故选D.

考点:三视图．

5、(2015年2卷9题）已知A，B是球O的球面上两点,∠AOＢ＝90,C为该球面上的动点,若三棱锥Ｏ－ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ）

Ａ.3６π B．64π C．144π Ｄ．２56π

【解析】如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O ABC

-的体积最大，设球O的半径为R，此时23

111

36

326

O ABC C AOB

V V R R R

--

==⨯⨯==，故6

R=,则球O的

1

表面积为24144S R ππ==，故选C ．

考点:外接球表面积和椎体的体积.

６、（２01５年2卷1９题)（本题满分１2分)如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ,=10BC ,18AA =，点E ,F 分别在11A B ,11C D 上,114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由）；

（Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．

【解析】（Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图：

(Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ,则14AM A E ==，

18EM AA ==,因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===.于是226MH EH EM =-=，所以10AH =．以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ,(10,4,8)E ,(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =,(0,6,8)HE =-.设(,,)n x y z =是

平面EHGF 的法向量,则0,0,

n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =.又

(10,4,8)AF =-,故45cos ,15

n AF

n AF n AF ⋅<>==⋅.所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为4515.

考点:1、直线和平面平行的性质；２、直线和平面所成的角．

7、（２016年1卷6题）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互

D D

C A E

F A B C

B