-立体几何全国卷高考真题
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2015-2017立体几何高考真题
1、(2015年1卷6题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为
1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( )
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r,则12384r ⨯⨯==163
r =,所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209,故堆放的米约为3209÷1.62≈22,故选B.
考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式
2、(2015年1卷11题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π,则r=( )
(A )1 (B)2 (C)4 (D)8
【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为
22142222
r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π,解得r=2,故选B.
考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式
3、(2015年1卷18题)如图,四边形ABCD 为菱形,∠AB C=120°,E,F 是平面ABCD同一侧的两点,BE ⊥平面A BCD,D F⊥平面AB CD,BE=2DF ,A E⊥EC.
(Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面AFC;
(Ⅱ)求直线AE 与直线C F所成角的余弦值.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF,在菱形ABCD 中,不妨设GB=1易证EG ⊥A C,通过计算可证EG ⊥FG,根据线面垂直判定定理可知E G⊥平面AFC ,由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC;(Ⅱ)以G 为坐标原点,分别以,GB GC 的方向为x 轴,y 轴正方向,||GB 为单位长度,建立空间直角坐标系G -xy z,利用向量法可求出异面直线A E与CF 所成角的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)连接BD ,设BD∩AC =G ,连接EG,FG ,EF,在菱形AB CD 中,不妨设GB=1,
由∠A BC=120°,可得AG=G
由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC 可知,AE=EC,
又∵AE ⊥EC,∴E GEG ⊥A C,
在Rt △E BG 中,可得B E,故DF=2
.
在Rt △FDG 中,可得FG=2
在直角梯形B DF E中,由B D=2,BE ,DF=
2可得E F=2, ∴222EG FG EF +=,∴EG ⊥FG ,
∵AC∩FG=G,∴EG ⊥平面A FC ,
∵EG ⊂面AEC,∴平面AFC ⊥平面AEC.
(Ⅱ)如图,以G 为坐标原点,分别以,GB GC 的方向为x 轴,y 轴正方向,||GB 为单位长度,
建立空间直角坐标系G-xyz,由(Ⅰ)可得A(0,
0),E(1,0
(-1,0
,),C(
∴AE=(1
),CF
.…10分
故cos,
3
||||
AE CF
AE CF
AE CF
⋅
<>=
=-.
所以直线AE与CF所成的角的余弦值为
3
.
考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力
4、(2015年2卷6题)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.
8
1
B.
7
1
C.
6
1
D.
5
1
【解析】由三视图得,在正方体
1111
ABCD A B C D
-中,截去四面体
111
A A
B D
-,如图所示,,
设正方体棱长为a,则
111
33
111
326
A A
B D
V a a
-
=⨯=,故剩余几何体体积为333
15
66
a a a
-=,所
以截去部分体积与剩余部分体积的比值为
5
1
,故选D.
考点:三视图.
5、(2015年2卷9题)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
【解析】如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O ABC
-的体积最大,设球O的半径为R,此时23
111
36
326
O ABC C AOB
V V R R R
--
==⨯⨯==,故6
R=,则球O的
1
表面积为24144S R ππ==,故选C .
考点:外接球表面积和椎体的体积.
6、(2015年2卷19题)(本题满分12分)如图,长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ,=10BC ,18AA =,点E ,F 分别在11A B ,11C D 上,114A E D F ==.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);
(Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:
(Ⅱ)作EM AB ⊥,垂足为M ,则14AM A E ==,
18EM AA ==,因为EHGF 为正方形,所以10EH EF BC ===.于是226MH EH EM =-=,所以10AH =.以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,则(10,0,0)A ,(10,10,0)H ,(10,4,8)E ,(0,4,8)F ,(10,0,0)FE =,(0,6,8)HE =-.设(,,)n x y z =是
平面EHGF 的法向量,则0,0,
n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =.又
(10,4,8)AF =-,故45cos ,15
n AF
n AF n AF ⋅<>==⋅.所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为4515.
考点:1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角.
7、(2016年1卷6题)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互
D D
C A E
F A B C
B