数学建模选拔队员问题

数学建模选拔队员问题

【摘要】全国研究生数学建模竞赛是一项关系到学校和个人荣誉的比赛，因此一个参赛院校如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队是一个亟待解决的问题。我们建立模型解决数学建模队员选拔与组队问题。第一，队员选择模型。首先，我们将所给队员的七项基本条件指标划分为知识、能力、表现三类。运用层次分析法，建立成对比较矩阵，得到三类的权重继而得到七项条件的权重。然后采用模糊物元法，计算每位队员各项指标的联系系数，并与权重结合得到队员的联系度，依此排名，淘汰排名最后的五位队员。第二，最佳组队模型。首先对于某些互补性的条件指标，取三名队员的最大值作为整队指标；对于某些整体性的条件指标，取三名队员的平均值作为整队指标。然后结合各指标权重建立竞赛水平函数，同时对每项指标进行一定约束。最后通过Matlab软件计算，求得最佳组队队员。

【关键词】选拔队员与组队层次分析法模糊物元法竞赛水平函数

1 引言

数学建模竞赛要求以不超过三人的团队参加，其主旨为培养学生的创新意识和团队精神。

这是一项关系到学校和个人荣誉的比赛，因此一个参赛院校如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队是一个亟待解决的问题。目前，2012年浙江师范大学有26名队员准备参加竞赛,已知每位队员的平时成绩、智力水平、计算机能力、参赛经验、写作能力、协作能力、身体状况。假设所有队员接受了同样的培训,不考虑其他随机因素的影响,我们建立数学模型解决如下问题：

1. 在26名队员中选择21名优秀队员参加竞赛；

2.确定一个最佳的组队方案使竞赛技术水平最高。

2 模型假设

1.假设所有队员接受了同样的培训,不考虑其他随机因素的影响；

假设层次分析求权重带来的主观因素影响不会有太大影响；

3 符号说明

符号说明

A、B 成对比较矩阵

a表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果

ij

CI 一致性检验指标数

RI 随机一致性指标

CR 一致性比率

ω

指标权重 i M

方案 j C 特征评价指标 ji x

指标量值 max ji x

x ji 的最大值 min ji x

x ji 的最小值 ξ

关联系数

i ω

各个条件指标的权重系数

1,2,...,7k l m

i i i

a a a i =、、（）

随机取三个人,,k l m 的第i 项条件的联系系数

1,2,...,5

i p i =（）

第i 项条件联系系数的最大值 6,7i q i =（）

第i 项条件联系系数的平均值

f

竞赛水平函数

4 队员选择模型

我们在选拔数学建模队员时，一个队员的能力是可以从多方面衡量的，比如计算机能力，智力水平，写作能力等。我们采用层次分析法和模糊物元法相结合来进行多因素的排序。

4.1层次分析法求各条件指标权重

不同的条件指标对于数学建模队员选拔的影响效力是不同的，因此对于各指标需要给定权重。我们采用层次分析法。

层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

4.1.1层次结构

通过分析数学建模队员要求，我们可以发现，有的要求是针对队员的知识，如平时成绩、智力水平；有的要求是针对队员的能力，如计算机能力、参赛经历、写作能力，这些都是三人的数模团队中有人可以达到较高水平就可以的；而有的要求是针对队员的表现，如协作能力、身体状况，这些需要三个人都达到较高水平才能取得更好成绩。

基本的层次结构如下图所示：

4.1.2 构造成对矩阵，层次单排序

层次分析是一种定性分析和定量计算相结合的分析方法，根据相关文献构造各因素间的成对比较矩阵。

表1 判断矩阵元素a ij 的标度方法

尺度 含义 1 表示两个因素相比，具有同样重要性 3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 7 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 2、4、6、8 上述两相邻判断的中值 倒数 因素i 与j 比较的判断a ij ，则因素j 与i 比较的判断a ji =1/a ij

① 知识、能力和表现的成对比较矩阵。

1122

2

1211122A ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

求出矩阵A 的特征值和特征向量，并做归一化处理，得到各个因素权重：

w =（0.3108，0.4934，0.1958）

由于λ=3.0536，查表得RI=0.58，可得：

一致性指标CI=0.0268<0.1，一致性比率CR=0.0462<0.1。通过一致性检验。

② 平时成绩和智力水平的成对比较矩阵。

1

1 1

2 21

B

⎡⎤

⎢⎥=

⎢⎥⎣⎦

求出矩阵B1的特征值和特征向量，做归一化处理，通过一致性检验，得到各个因素权重：

1

w=（0.3333，0.6667）

③计算机能力、参赛经验和写作水平的成对比较矩阵。

2132 11

1

33

1

31 2

B

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

求出矩阵A的特征值和特征向量，并做归一化处理，得到各个因素权重：

2

w=（0.5278，0.1396，0.3326）

由于λ=3.0536，查表得RI=0.58，可得：

一致性指标CI=0.0268<0.1，一致性比率CR=0.0462<0.1。通过一致性检验。

④协作能力和身体状况的成对比较矩阵。

313 1

1 3

B

⎡⎤

⎢⎥=

⎢⎥⎣⎦

求出矩阵A的特征值和特征向量，做归一化处理，通过一致性检验，得到各个因素权重：

3

w=（0.75，0.25）

4.1.3 层次总排序

根据以上层次单排序，求得每项条件指标的权重，以平时成绩为例：

其权重

10.31080.33330.1036

ω=⨯=。

同样地，得其余各项条件指标的权重

i

ω。得层次总排序如下：

()

=0.1036,0.2072,0.2604,0.0689,0.1641,0.1469,0.0490

ω

4.2模糊物元法选拔队员

由于多因素关系的描述具有不确定性、随机性和模糊性，我们采用模糊物元法。

模糊物元法是在物元分析的基础上提出描述事物模糊性的一门介于数学与试验之间的科学工具。它是由一个三元有序组构成的，即由事物N，特征C 和关于模糊特征的量值V 组成的三元有序组R，R= ( N , C, V)。它比模糊数学更能给出有关模糊的定量描述和处理，使排序决策结果更具真实性和准确性。

4.2.1模糊物元多因素排序的具体过程与步骤方法

第1步：建立排序决策方案的物元；

对于排序决策方案, 将其事物、特征以及量值用有序三元组描述，即事物就是方案M i，特征评价指标C j，量值x ji构成的如下物元，即：