2022届高考数学统考一轮复习第9章统计与统计案例第1节随机抽样教师用书教案理新人教版.doc

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高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第九章 统计、成对数据的统计分析第1节 随机抽样、统计图表

高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第九章 统计、成对数据的统计分析第1节 随机抽样、统计图表
第5行 42372 53183 51546 90385 12120 64042 51320 22983
解析:(2)最先读到的4袋牛奶的编号是614,593,379,242,向右读得
到203,722,104,再下一个数是887,887大于850,故舍去,再下一个
数是088.
考点二
分层随机抽样
角度一
条形图和
直观描述不同类别或分组数据的
直方图
折线图
频数和频率
描述数据随时间的变化趋势
4.频率分布直方图的制作步骤
(1)求极差:极差为一组数据中 最大值
与最小值的差.
(2)决定组距与组数:当样本量不超过100时,常分成 5~12
组,
一般取等长组距,并且组距应力求“取整”.
(3)将数据分组.
(4)列频率分布表:一般分四列,即分组、 频数累计、频数、 频率 .
A.0.61
B.0.675
)
C.0.74
D.0.8

解析:(2)由分层抽样可得高三(1)班抽取的人数 n1=

×10=6,
+
高三(2)班抽取的人数 n2=
于是总的样本平均数 =

×10=4,
+
×+×.

=1.2,
所以总的样本方差
2

2

2
s = ×[1+(1-1.2) ]+ ×[0.35+(1.5-1.2) ]=0.8.故选 D.
容量为20的一个样本,则每个个体被抽到的概率为(

A.

B.

C取到的概率是


.故选D.
=

2022年 《高三数学 第一节 随机抽样》优秀教案

2022年 《高三数学 第一节 随机抽样》优秀教案

第一节随机抽样教学目标知识与技能:正确理解随机抽样的概念;会利用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解分层抽样和系统抽样的方法.过程与方法:在解决统计问题的过程中,感知应用数学知识解决实际问题的方法。

情感态度与价值观:通过数学活动,感受数学对实际生活的需要,体会现实世界和数学知识的联系。

[备考方向要明了]1.简单随机抽样(1)简单随机抽样的概念设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的时机都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法.2.系统抽样的步骤假设要沉着量为N的总体中抽取容量为n的样本.(1)先将总体的N个个体编号.(2)确定分段间隔k,对编号进行分段,当Nn是整数时,取k=Nn.(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k).(4)按照一定的规那么抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l+k,再加k得到第3个个体编号l+2k,依次进行下去,直到获取整个样本.3.分层抽样(1)分层抽样的概念在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是分层抽样.(2)当总体是由差异明显的几个局部组成时,往往选用分层抽样的方法.(3)分层抽样时,每个个体被抽到的时机是均等的.[例1] 伦敦大学为效劳2021伦敦奥运会从报名的24名学生中选6人组成外宾接待效劳人员.请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.[自主解答] 抽签法第一步:将24名学生编号,编号为1,2,3, (24)第二步:将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签;第三步:将24个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀;第四步:从盒子中逐个抽取6个号签,并记录上面的编号;第五步:所得号码对应的学生,就是效劳小组的成员.随机数法第一步:将24名学生编号,编号为01,02,03, (24)第二步:在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数;第三步:凡不在01~24中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依次记录下得数;第四步:找出号码与记录的数相同的学生组成效劳小组.[冲关锦囊]1.一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀,一般地当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.2.用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性,个体间无固定间距.[巧练模拟]1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是( D )A.在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品,称其重量是否合格C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验2.(2021·福州模拟)某年级文科班共有4个班级,每班各有40位学生(其中男生8人,女生32人).假设从该年级文科生中以简单随机抽样抽出20人,那么以下选项中正确的选项是( D ) A.每班至少会有一人被抽中B.抽出来的女生人数一定比男生人数多C.小文是男生,小美是女生,那么小文被抽中的概率小于小美被抽中的概率D.假设学生甲和学生乙在同一班,学生丙在另外一班,那么甲、乙两人同时被抽中的概率跟甲、丙两人同时被抽中的概率一样[例2] (1)(2021·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.那么抽到的人中,做问卷B的人数为( C ) B.9 C.10 D.15(2)某班共有学生54人,学号分别为1~54号,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,3号、29号、42号的同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是( B ) A.10 B.16 C.53 D.32[自主解答] (1)从960人中用系统抽样方法抽取32人,那么每30人抽取一人,因为第一组抽到的号码为9,那么第二组抽到的号码为39,第n组抽到的号码为a n=9+30(n-1)=30n-21,由451≤30n-21≤750,得23615≤n≤25710,所以n=16,17,…,25,共有25-16+1=10人.(2)该系统抽样的抽样间距为42-29=13,故另一同学的学号为3+13=16.[冲关锦囊]1.当总体容量较大,样本容量也较大时,可用系统抽样法.2.在利用系统抽样时,经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况,这时可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除.[巧练模拟]3.(2021·泉州模拟)一个年级有12个班,每个班的同学从1至50排学号,为了交流学习经验,要求每班学号为14的同学留下进行交流,这里运用的是( D )A.分层抽样 B.抽签抽样 C.随机抽样 D.系统抽样4.(2021·皖南八校联考)某班级有50名学生,现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这50名学生随机编号1~50号,并分组,第一组1~5号,第二组6~10号,……,第十组46~50号,假设在第三组中抽得号码为12的学生,那么在第八组中抽得号码为____37____的学生.解析:易知组距为5,因为在第三组中抽得号码为12,所以在第八组中抽得号码为12+(8-3)×5=37.[例3] (1)(2021·福建高考)一支田径队有男女运发动98人,其中男运发动有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运发动中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运发动人数是________.(2)(2021·天津高考)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取____________所学校,中学中抽取____________所学校.[自主解答] (1)应抽取女运发动的人数为:98-5698×28=12.(2)根据分层抽样的特点求解.从小学中抽取30×150150+75+25=18所学校;从中学中抽取30×75150+75+25=9所学校. [答案] (1)12 (2)18 9[冲关锦囊]进行分层抽样时应注意以下几点(1)分层抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原那么是:层内样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠;(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层中每个个体被抽到的可能性相同;(3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样;(4)抽样比=样本容量总体容量=各层样本数量各层个体数量. [巧练模拟]5.(2021·莆田模拟)某全日制大学共有学生5 600人,其中专科生有1 300人,本科生有3 000人,研究生有1 300人,现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的样本为280人,那么应在专科生,本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )A .65人,150人,65人B .30人,150人,100人C .93人,94人,93人D .80人,120人,80人解析:选A 设应在专科生,本科生与研究生这三类学生中分别抽取x 人,y 人,z 人,那么5 600280=1 300x =3 000y =1 300z.所以x =z =65,y =150,所以应在专科生,本科生与研究生这三类学生中分别抽取65人,150人,65人.6.(2021·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本,其中甲种产品有18件,那么样本容量n =___90_____.解析:由18n =33+5+7⇒n =90. 板书设计教学反思。

2022版高考数学一轮复习 考案(9理+9文)第九章 算法初步 统计、统计案例综合过关规范限时检测

2022版高考数学一轮复习 考案(9理+9文)第九章 算法初步 统计、统计案例综合过关规范限时检测

第九章综合过关规范限时检测(时间:120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(2021·贵州黔东南州模拟)某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛,现将他们最近集训的10次成绩(单位:秒)的平均数与方差制成如下表格:甲乙丙丁平均数59575957方差12121010A.甲B.乙C.丙D.丁[解析]100米仰泳比赛的成绩是时间越短越好的,方差越小发挥水平越稳定,故丁是最佳人选,故答案为D.2.(2019·课标Ⅱ,5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分。

7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( A )A.中位数B.平均数C.方差D.极差[解析]根据中位数特征可知,去掉最高分和最低分后,只有中位数一定不会变化.故选A.3.(2020·江西省赣州市期末)下图是相关变量x、y的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数据,得到线性回归方程:错误!=b1x+a1,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,32),根据剩下数据,得到线性回归方程:错误!=b2x+a2,相关系数为r2;则( A )A.0<r1〈r2〈1 B.0〈r2<r1<1C.-1<r1<r2<0 D.-1〈r2〈r1〈04.(2021·河南郑州名校联考)总体由编号为01,02,…,39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表(如表)第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( B )60 64 66 44 2166 06 58 05 6261 65 54 35 0242 35 48 96 3214 52 41 52 4892 66 22 15 8676 63 75 41 9958 42 36 72 24A.23 B.21C.35 D.32[解析]随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6,所以从这两个数字开始,由左向右依次选取两个数字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在编号01,02,…,39,40内的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重复的第5个编号为21.故选B。

2024版新教材高考数学全程一轮总复习第九章统计与成对数据的统计分析第一节随机抽样用样本估计总体课件

2024版新教材高考数学全程一轮总复习第九章统计与成对数据的统计分析第一节随机抽样用样本估计总体课件
axn+b的方差为a2s2.
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有
关,第一次被抽到的可能性最大.( × )
(2)在分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有
关.( × )
(3)一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也有相同的结
的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n,第1层和第2层的
样本平均数分别为തx,തy,样本平均数为w,则

M
N
m
n
w=

xത +
yത =
xത +
yത .
M+N
M+N
m+n
m+n
2.在频率分布直方图中:
(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数;
(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的;
②决定________与________.
组距
组数
③将数据________.
分组
④列频率分布表.
⑤画频率分布直方图.
(2)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图.
4.总体百分位数的估计
(1)第p百分位数的定义
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中
p%
至少有________的数据小于或等于这个值,且至少有__________的数
(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]
区间内的学生依次记为A,B,C三个组,用分层随
机抽样的方法从这三个组中抽取6人,求这三个组
分别抽取的学生人数;

2022版高考一轮总复习数学(理)习题 第9章 统计、统计案例及算法初步 9-1 Word版含答案

2022版高考一轮总复习数学(理)习题 第9章 统计、统计案例及算法初步 9-1 Word版含答案

(时间:40分钟)1.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3答案 D解析随机抽样包括:简洁随机抽样,系统随机抽样和分层随机抽样.随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率相等.2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n=( )A.54 B.90C.45 D.126答案 B解析依题意得33+5+7×n=18,解得n=90,即样本容量为90.3.某工厂平均每天生产某种机器零件10000件,要求产品检验员每天抽取50件零件,检查其质量状况,接受系统抽样方法抽取,将零件编号为0000,0001,0002,…,9999,若抽取的第一组中的号码为0010,则第三组抽取的号码为( )A.0210 B.0410C.0610 D.0810答案 B解析将零件分成50段,分段间隔为200,因此,第三组抽取的号码为0010+2×200=0410,选B.4.为了调查老师对微课堂的了解程度,某市拟接受分层抽样的方法从A,B,C三所中学抽取60名老师进行调查,已知A,B,C三所学校中分别有180,270,90名老师,则从C学校中应抽取的人数为 ( ) A.10 B.12C.18 D.24答案 A解析依据分层抽样的特征,从C学校中应抽取的人数为90180+270+90×60=10.5.接受系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组接受简洁随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间的人做问卷A,编号落入区间的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的人数为( )A.7 B.9C.10 D.15答案 C解析接受系统抽样方法从960人中抽取32人,将整体分成32组,每组30人,即l=30,则k组的号码为30(k-1)+9,令451≤30(k-1)+9≤750,而k∈Z,解得16≤k≤25,则满足16≤k≤25的整数k有10个,故答案应选C.6.某校高一班级有900名同学,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该班级同学中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________.答案25解析设男生抽取x人,则有45900=x900-400,解得x=25.7.200名职工年龄分布如图所示,从中随机抽取40名职工作样本,接受系统抽样方法,按1~200编号分为40组,分别为1~5,6~10,…,196~200,第5组抽取号码为22,第8组抽取号码为________.若接受分层抽样,40岁以下年龄段应抽取________人.答案37 20解析将1~200编号分为40组,则每组的间隔为5,其中第5组抽取号码为22,则第8组抽取的号码应为22+3×5=37;由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%=100,设在40岁以下年龄段中应抽取x人,则40200=x100,解得x=20.8.利用随机数表法对一个容量为500,编号为000,001,002,…,499的产品进行抽样检验,抽取一个容量为10的样本,选取方法是从随机数表第12行第5列、第6列、第7列数字开头由左到右依次选取三个数字(下面摘取了随机数表中的第11行至第12行),依据下表,读出的第3个数是________.18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 0526 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71答案 114解析 最先读到的数据的编号是389,向右读下一个数是775,775大于499,故舍去,再下一个数是841,舍去,再下一个数是607,舍去,再下一个数是449,再下一个数是983,舍去,再下一个数是114.故读出的第3个数是114.9.海关对同时从A ,B ,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ,B ,C 各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.解 (1)由于样本容量与总体中的个体数的比是50+150+100=50,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50×150=1,150×150=3,100×150=2,所以A ,B ,C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ,B ,C 三个地区的样品分别为:A ;B 1,B 2,B 3;C 1,C 2, 则抽取的这2件商品构成的全部基本大事为:{A ,B 1},{A ,B 2},{A ,B 3},{A ,C 1},{A ,C 2},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 1,C 1},{B 1,C 2},{B 2,B 3},{B 2,C 1},{B 2,C 2},{B 3,C 1},{B 3,C 2},{C 1,C 2},共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本大事的消灭是等可能的.记大事D :“抽取的这2件商品来自相同地区”,则大事D 包含的基本大事有{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 2,B 3},{C 1,C 2},共4个. 所以P (D )=415,即这2件商品来自相同地区的概率为415.10.某校进入高中数学竞赛复赛的同学中,高一班级有6人,高二班级有12人,高三班级有24人,现接受分层抽样的方法从这些同学中抽取7人进行采访.(1)求应从各班级分别抽取的人数;(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解. ①列出全部可能的抽取结果;②求抽取的2人均为高三班级同学的概率.解 (1)由于高一,高二,高三的人数比为6∶12∶24=1∶2∶4,用分层抽样的方法从这些同学中抽取7人,则高一,高二,高三抽取的人数分别为1,2,4.(2)①若抽取的7人中高一同学记为a ,高二的两个同学记为b ,c ,高三的四个同学记为A ,B ,C ,D ,则抽取2人的结果是(a ,b ),(a ,c ),(a ,A ),(a ,B ),(a ,C ),(a ,D ),(b ,c ),(b ,A ),(b ,B ),(b ,C ),(b ,D ),(c ,A ),(c ,B ),(c ,C ),(c ,D ),(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(B ,C ),(B ,D ),(C ,D ),共21种.②抽取的2人均为高三班级同学的有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(B ,C ),(B ,D ),(C ,D ),共6种. 则抽取的2人均为高三班级同学的概率P =621=27.(时间:20分钟)11.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02,…,33的33个个体组成,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从随机数表第1行的第10列和第11列数字开头由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为( )A .23 C .02 D .17答案 C解析 从随机数表第1行的第10列和第11列数字开头由左到右依次选取两个数字,则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02,故选出的第6个红色球的编号为02.12.从编号为001,002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应当为 ( )A .480B .481C .482D .483 答案 C解析 依据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列,令a 1=7,a 2=32,d =25,所以7+25(n -1)≤500,所以n ≤20,最大编号为7+25×19=482.13.一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号挨次平均分成10个小组,组号依次为1,2,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定假如在第1组随机抽取的号码为m ,那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m +k 的个位数字相同.若m =6,则在第7组中抽的号码是________.答案 63解析 由题设知,若m =6,则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同,而第7组中数字编号顺次为60,61,62,63,…,69,故在第7组中抽取的号码是63.14.某大路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n 个人参与市里召开的科学技术大会.假如接受系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,假如参会人数增加1个,则在接受系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求n .解 总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n 时,由题意知,系统抽样的间隔为36n ,分层抽样的比例是n 36,抽取的工程师人数为n36×6=n6,技术员人数为n36×12=n3,技工人数为n36×18=n2,所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12,18. 当样本容量为(n+1)时,总体容量剔除以后是35人,系统抽样的间隔为35n+1,由于35n+1必需是整数,所以n只能取6,即样本容量n=6.。

2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第9章 随机抽样、用样本估计总体

2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第9章 随机抽样、用样本估计总体
方差不变.( √ )
题组二 教材改编
2.某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35~49岁的有280人,
50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,
则应在这三个年龄段分别抽取人数为
A.33,34,33
√B.25,56,19
C.20,40,30
D.30,50,20
解析 设在不到 35 岁的员工中抽取 x 人,则150000=12x5,所以 x=25, 同理可得这三个年龄段抽取人数分别为25,56,19.
3.某射击小组有20人,教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格,则 这组数据的众数和中位数分别是
环数 5 6 7 8 9 10
人数 1 2 7 6 3 1
A.7,7
A.10
√B.18
C.20
D.36
解析 因为直径落在区间[5.43,5.47]内的频率为0.02×(6.25+5.00)=0.225, 所以个数为0.225×80=18.
思维升华
(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系. (2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据,因 此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势. (3)由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方 图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据, 没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本 容量较大时,作图较烦琐.
第九章 统计与统计案例
大一轮复习讲义
考试要求
1.理解随机抽样的必要性和重要性,会用简单随机抽样方法从总体 中抽取样本,了解分层抽样和系统抽样的方法.
2.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估 计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.

新教材高中数学第九章统计9.1随机抽样9.1.1简单随机抽样学案

新教材高中数学第九章统计9.1随机抽样9.1.1简单随机抽样学案

9.1.1 简单随机抽样【学习目标】(1)了解简单随机抽样的含义.(2)掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法.(3)了解样本均值与总体均值的关系,会计算样本均值.题型 1全面调查与抽样调查【问题探究1】为了解我校高一学生的体重指数,对全校1 000名高一学生进行调查分析,测量其身高和体重,计算其体重指数.(1)像这样,对每一名学生都进行调查的方法称为什么?(2)全校1 000名高一学生和每一名学生分别称为什么?(3)如果从全校1 000名高一学生中抽取200名进行身高和体重测量登记,计算其体重指数,并以此估计全校高一学生的体重指数,这种调查方法称为什么?(4)在(3)中抽取的200名高一学生称为什么?数字200又是什么?例1 一名交警在高速公路上随机观测6辆车的行驶速度,然后做了一份报告,调查结果如下:(1)交警采取的是________调查方式.(2)为了强调调查目的,这次调查的样本是________________,个体是________________.学霸笔记:一般地,如果调查对象比较少,容易调查,则适合普查;如果调查对象较多或者具有破坏性,则适合抽样调查.跟踪训练1 (多选)下列调查方式不合适的是( )A.为了了解某型号炮弹的杀伤力,采用普查的方式B.为了了解全国中学生的睡眠状况,采用普查的方式C.为了了解人们保护水资源的意识,采用抽查的方式D.对“神舟十号”零部件的检查,采用抽查的方式题型 2简单随机抽样【问题探究2】假设口袋中有红球和白球共1 000个,除颜色外,小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗?例2 下面的抽样方法是简单随机抽样吗?为什么?(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本;(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验,在抽样过程中,从中任取一种玩具检验后再放回;(3)国家跳水队挑出最优秀的10名跳水队员,备战2024年法国巴黎奥运会;(4)一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出7个号签.学霸笔记:判断一个抽样方法是否属于简单随机抽样,只需要对简单随机抽样的4个特征(有限性、逐一性、不放回性、等可能性)进行验证,若全部满足,则该抽样方法为简单随机抽样,若有其中一条不满足,则不是简单随机抽样.跟踪训练2 下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是( )A.某学校有学生1 320人,卫生部门为了了解学生身体发育情况,准备从中抽取一个容量为300的样本B.为了准备省政协会议,某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查C.从全班30名学生中,任意选取5名进行家访D.为了解某地区癌症的发病情况,从该地区的5 000人中抽取200人进行统计题型 3简单随机抽样的方法【问题探究3】3月15日是国际消费者权益日,有人举报某个体经商户出售的某品牌的节能灯是假的,工商局的质检员对该个体经商户出售的某品牌的节能灯进行检测.(1)上述检测用什么方法比较好?(2)在上述的事例中,质检人员在对某个体经商户所销售的节能灯进行抽检和对生产厂家所生产的节能灯进行抽检采取的方式一样吗?例3 某卫生单位为了支援抗震救灾,要在50名志愿者中选取10人组成医疗小组去参加救治工作,请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案.题后师说1.利用抽签法抽取样本的步骤2.利用随机数法抽取样本的步骤(1)编号:将每个个体编号,各号数的位数相同.(2)选起始号码:任取某行、某组的某数为起始号码.(3)确定读数方向:一般从左到右读取.跟踪训练3 (1)下列抽样试验中,适合用抽签法的是( )A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验(2)国家高度重视青少年视力健康问题,指出要“共同呵护好孩子的眼睛,让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况,决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生,将每一名学生从01到50编号,从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始,每次从左向右选取两个数字,则选取的第三个号码为( ) 随机数表如下:0154 3287 6595 4287 53467953 2586 5741 3369 83244597 7386 5244 3578 6241A.13 B.24C.33 D.36题型 4 用样本平均数估计总体平均数【问题探究4】在某地居民家庭年均收入调查中,小芳和小丽分别独立进行了简单随机抽样调查,小芳调查的样本平均数为4万,样本量为200;小丽调查的样本平均数为3.6万,样本量为500,你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计?例4 某工厂人员及工资构成如下:(1)求该工厂所有人员的平均工资.(2)工资的平均数能反映该厂的工资水平吗?为什么?学霸笔记:(1)在简单随机抽样中,我们常用样本均值去估计总体均值;(2)总体均值是一个确定的数,样本均值具有随机性;(3)一般情况,样本容量越大,估计值越准确.跟踪训练4 在某次测量中,甲工厂生产的某产品的AB样本数据恰好是由A样本数据中的每个数都增加5后得到的,则B样本的均值为________.据此,可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为________.随堂练习1.以下问题不适合用全面调查的是( )A.调查某班学生每周课前预习的时间B.调查某中学在职教师的身体健康状况C.调查全国中小学生课外阅读情况D.调查某校篮球队员的身高2.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性( )A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性大一些B.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等C.与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性要大些D.与第几次抽样无关,每次都是等可能地抽取,但各次抽取的可能性不一定3.某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛,制作了11个形状、大小相同的签,抽签中确保公平性的关键是( )A.制签B.搅拌均匀C.逐一抽取 D.抽取后不放回4.从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛,每人投10次,统计出该10名学员投篮投中的次数,4个投中5次,3个投中6次,2个投中7次,1个投中8次.试估计该训练营投篮投中的比例为________.课堂小结1.全面调查和抽样调查.2.简单随机抽样及其方法(抽签法、随机数法).3.用样本平均数估计总体平均数.9.1.1 简单随机抽样问题探究1 提示:(1)全面调查,又称普查.(2)总体,个体.(3)抽样调查.(4)样本,样本量.例1 解析:(1)交警采取的是抽样调查,调查对象的指标是车的行驶速度.(2)这次调查的样本是6辆车的行驶速度,个体是每一辆车的行驶速度.答案:(1)抽样(2)6辆车的行驶速度每一辆车的行驶速度跟踪训练1 解析:了解炮弹的杀伤力,采用普查方式就全销毁了,只能采用抽查方式;了解全国学生睡眠状况,采用普查方式费时费力,也是不必要的,应采用抽查方式;了解人们保护水资源的意识,采用普查方式费时费力,也是不必要的,应采用抽查方式;对于航天器零部件的检查,必须做到万无一失,应当采用普查的方式.故选ABD.答案:ABD问题探究2 提示:我们可以从袋中随机地摸出一个球,记录颜色后放回,摇匀后再摸出一个球,如此重复,即可用红球出现的频率估计出红球的比例,也可以采用不放回地摸球去估计红球的比例.例 2 解析:(1)不是简单随机抽样,因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.(2)不是简单随机抽样,因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取.(3)不是简单随机抽样,因为这10名跳水队员是挑选出来的(最优秀的),每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能性”的要求.(4)是简单随机抽样,因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样.跟踪训练2 解析:对于A,不同年级的学生身体发育情况差别较大,适合用分层抽样,A不是;对于B,总体容量较大,并且各村庄人口、地域、发展等方面的差异,不宜用简单随机抽样,B不是;对于C,总体容量较小,个体之间无明显差异,适宜用简单随机抽样;对于D,总体容量较大,不同年龄的人癌症的发病情况不同,不宜用简单随机抽样,D不是.故选C.答案:C问题探究3 提示:(1)由于个体经商户购进的节能灯数量不会很多,可以采取抽签法抽取产品进行检测.(2)不一样,个体经商户销售的节能灯数量较少,可用抽签法(抓阄法),而生产厂家生产的节能灯太多,可用计算机按生产批号进行抽取.例3 解析:抽签法:第一步,将50名志愿者编号,号码为01,02,03, (50)第二步,将号码分别写在相同的纸条上,揉成团,制成号签.第三步,将得到的号签放到一个不透明的盒子中,充分搅匀.第四步,从盒子中依次不放回地取出10个号签,并记录上面的编号.第五步,与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员.随机数法:(1)将50名志愿者编号,号码为01,02,03, (50)(2)准备10个大小,质地均匀的小球,小球上分别写上数字0,1,2, (9)(3)把小球放入一个不透明的容器中,搅拌均匀,从容器中有放回地抽取2次,并把第一次、第二次抽到的小球上的数字分别作为十位、个位数字,这样就生成了一个随机数,如果这个随机数在1~50范围内,就代表了对应编号的志愿者被抽中,否则舍弃编号.(4)重复抽取随机数,直到抽中10名志愿者为止.跟踪训练3 解析:(1)A中总体容量较大,样本量也较大,不适宜用抽签法;B中总体容量较小,样本量也较小,可用抽签法;C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别,不能用抽签法;D中虽然样本量较小,但总体容量较大,不适宜用抽签法.故选B.(2)根据随机数表的读取方法,第2行第4列的数为3,每次从左向右选取两个数字,所以第一组数字为32,作为第一个号码;第二组数字58,舍去;第三组数字65,舍去;第四组数字74,舍去;第五组数字13,作为第二个号码;第六组数字36,作为第三个号码,所以选取的第三个号码为36,故选D.答案:(1)B (2)D问题探究4 提示:样本量越大,样本平均数就越接近总体的平均数,所以我们选用小丽调查的平均数作为总体的平均数.例4 解析:(1)所有人员的平均工资=≈3 697.(2)不能,因为大部分人员的工资不到平均工资,基本在平均工资以下.跟踪训练4 解析:B样本数据的均值为A样本数据的均值加上5;即=+5,=(43+50+45+55+60)+5=55.6,所以B样本数据的均值为55.6,用B样本数据的均值估计乙工厂生产的该产品的总体均值,所以乙工厂生产的该产品的总体均值为55.6.[随堂练习]1.解析:由于C中全国中小学生人数众多,全面调查费时费力,不适合全面调查,但ABD中的某班学生、某中学在职教师、某校篮球队员人数不多可进行全面调查.故选C.答案:C2.解析:在简单随机抽样中,每一个个体被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关,故A,C,D不正确,B正确.故选B.答案:B3.解析:确保公平性要保证每个签抽到是等概率的,因此抽签法要做到搅拌均匀,才具有公平性.故选B.答案:B4.解析:10名学员投中的平均次数为=6,所以投中的比例约为=0.6.。

2025届高考数学一轮复习教案:统计与成对数据的统计分析-随机抽样

2025届高考数学一轮复习教案:统计与成对数据的统计分析-随机抽样

第一节随机抽样【课程标准】1.知道获取数据的基本途径.2.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.3.通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法,会计算样本均值和样本方差,了解样本与总体的关系.4.通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.5.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.【考情分析】考点考法:高考命题常以抽样为载体,考查抽样方法.简单随机抽样、分层随机抽样以及分层随机抽样中的抽样数值、均值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算、数据分析【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.总体、个体、样本调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体,组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体,在抽样调查中,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.2.简单随机抽样抽签法和随机数法是比较常用的两种简单随机抽样的方法.3.总体平均数与样本平均数(1)总体平均数①总体中有N 个个体,它们的变量值分别为Y 1,Y 2,…,Y N ,则称=1+2+…+=N ii 11Y =∑N 为总体平均数.②如果总体的N 个变量值中,不同的值共有k (k ≤N )个,不妨记为Y 1,Y 2,…,Y k ,其中Y i出现的频数f i (i =1,2,…,k ),则总体均值还可以写成加权平均数的形式=ki i i 11f Y =∑N .(2)样本平均数如果从总体中抽取一个容量为n 的样本,它们的变量值分别为y 1,y 2,…,y n ,则称=1+2+…+=为样本平均数.4.分层随机抽样(1)定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.(2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A.在简单随机抽样中,每个个体被抽到的机会与先后顺序有关B.抽签法和随机数法都是简单随机抽样C.在比例分配的分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关D.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的【解析】选BD.由简单随机抽样、分层随机抽样的概念可知:选项A错误,选项C 错误,选项D正确;由抽签法和随机数法的概念可知:选项B正确.2.(必修第二册P189习题6改编)已知数据x1,x2,x3,…,x n的平均数为5,则数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2x n+1的平均数为()A.3B.5C.10D.11【解析】选D.每个数据都变成原数据的2倍再加1的形式,所以平均数也变成原来平均数的2倍再加1,即11.3.(必修第二册P189习题5改编)某单位有200名职工,其中女职工有60名,男职工有140名,现要从中抽取30名进行调研座谈,如果用比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样,则应抽女职工________名.【解析】设应抽女职工x名,则60200=30,解得x=9.答案:94.(不会读数导致错误)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标,现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将500支疫苗按000,001,…,499进行编号,若从随机数表第7行第7列的数开始向右读,则抽取的第3支疫苗的编号为__________.(下面摘取了利用R统计软件生成的随机数表的第7行至第11行) 84421753315724550688770415776721763350258392120676 6301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【解析】由题意,从随机数表第7行第7列的数开始向右读,对应的编号依次为533,157,245,506,887,704,157,767,217,…,超出499的和重复的都不符合条件,故符合条件的前三个编号依次是157,245,217,故抽取的第3支疫苗的编号是217.答案:217【核心考点·分类突破】考点一简单随机抽样[例1](1)(多选题)下列抽取样本的方式,是简单随机抽样的是()A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B.盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验C.从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查D.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛【解析】选BC.A不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个体数是无限的,而不是有限的;B是简单随机抽样;C是简单随机抽样,因为“一次性”抽取与“逐个”抽取是等价的;D不是简单随机抽样,因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的,不具有随机性,不是等可能的抽样.(2)(2023·聊城模拟)国家高度重视青少年视力健康问题,指出要“共同呵护好孩子的眼睛,让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况,决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生,将每名学生从01到50编号,从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始,每次从左向右选取两个数字,则选取的第三个号码为()015432876595428753467953258657413369832445977386524435786241A.13B.24C.33D.36【解析】选D.根据随机数表的读取方法,第2行第4列的数为3,每次从左向右选取两个数字,所以第一组数字为32,即为第一个号码;第二组数字58,舍去;第三组数字65,舍去;第四组数字74,舍去;第五组数字13,即为第二个号码;第六组数字36,即为第三个号码,所以选取的第三个号码为36.(3)某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查,经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查,发现有20名同学上次被抽到过,估计这个学校高一年级的学生人数为()A.180B.400C.450D.2000【解析】选C.设这个学校高一年级的学生人数为x,则90=20100,所以x=450.【解题技法】抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个数较少的情况,随机数法适用于总体中个数较多的情况.(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.【对点训练】1.有一批计算机,其编号分别为001,002,003,…,112,为了调查这批计算机的质量问题,打算抽取4台入样.现在利用随机数法抽样,在下面随机数表中选第1行第6个数“0”作为开始,向右读,那么抽取的第4台计算机的编号为()537970762694292743995519810685019264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814A.072B.021C.077D.058【解析】选B.依次可得到需要的编号是076,068,072,021,故抽取的第4台计算机的编号为021.2.某市在创建文明城市期间,对某小区的居民按分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本进行问卷调查.在这n个个体的样本中,任取1人,抽取到未成年人的概率为0.2,成年人共80人,则n=________(用数字作答).【解析】由题可得,n·(1-0.2)=80,n=100.答案:100考点二样本的均值[例2](1)某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小,得到如表数据:直径(单位:cm)121314频数12344估计这50个零件的直径为__________cm.【解析】12×12+13×34+14×450=12.84(cm).答案:12.84(2)已知数据x1,x2,x3,…,x200的平均数是6,数据y1,y2,y3,…,y300的平均数是20,则∑ +∑ 500=()A.13B.14.4C.15D.15.4【解析】选B.由已知得∑ +∑ 500=200×6500+300×20500=14.4.【解题技法】数据平均数的求法(1)观察所给数据,选择计算公式.(2)代入公式进行计算,注意数据的个数.【对点训练】1.(2020·江苏高考)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是______.【解析】由4+2r(3-)+5+65=4可知a=2.答案:22.一组5个数据中,前4个数据的平均数是20,全部5个数据的平均数是19,则第5个数据是__________.【解析】设5个数据分别为a,b,c,d,e,因为前4个数据的平均数是20,所以rrr4=20,则a+b+c+d=80①,全部5个数据的平均数是19,所以rrrr5=19,所以a+b+c+d+e=95②,②-①得,e=15.答案:15【加练备选】现有某地一年的GDP(亿元)数据,第一季度GDP为232亿元,第四季度GDP 为241亿元,四个季度的GDP逐季度增长,且中位数与平均数相同,则该地一年的GDP为________亿元.【解析】设第二季度GDP为x亿元,第三季度GDP为y亿元,则232<x<y<241,因为中位数与平均数相同,所以r2=232+rr2414,所以x+y=473,所以该地一年的GDP为232+x+y+241=946(亿元).答案:946考点三抽样比的应用[例3](1)某学校高一年级1800人,高二年级1600人,高三年级1500人,现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为()A.35,33,30B.36,32,30C.36,33,29D.35,32,31【解析】选B.因为高一年级1800人,高二年级1600人,高三年级1500人,所以三个年级的人数所占比例分别为1849,1649,1549,因此,各年级抽取人数分别为98×1849=36,98×1649=32,98×1549=30.(2)(多选题)杭州亚运会共设40个竞赛大项,其中31个奥运项目,9个非奥运项目.为了调查高中生对各个项目的了解情况,在某高中3000名学生中,按照高一、高二、高三学生人数的比例用分层随机抽样的方法,抽取一个容量为150的样本,所得数据如表:项目高一高二高三只对31个奥运项目全部了解50444540个项目全部了解0110则下列判断正确的是()A.该校高一、高二、高三的学生人数比为10∶9∶11B.该校高三学生的人数比高一人数多50C.估计该校高三学生对40个项目全部了解的人数为200D.估计该校学生中对40个项目全部了解的人数不足8%【解析】选ACD.由题表可知,50+44+1+45+10=150,所以该校高一、高二、高三的学生人数比为50∶45∶55,即10∶9∶11,A正确;高三学生人数为3000×55150=1100(人),高一学生人数为3000×50150=1000(人),故高三学生的人数比高一人数多1100-1000=100(人),B错误;高三学生对40个项目全部了解的人数约为3000×10150=200(人),C正确;该校学生中对40个项目全部了解的人数约为11150≈7.33%,D正确.【解题技法】1.按比例分配的分层随机抽样的步骤(1)将总体按一定标准分层.(2)计算各层的个体数与总体数的比,按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本量.(3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).2.在比例分配的分层随机抽样中的抽样比抽样比=样本容量总体容量=各层样本容量各层个体总量.【对点训练】(多选题)某学校有体育特长生25人,美术特长生35人,音乐特长生40人,用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取40人,则()A.抽取的体育特长生为10人B.抽取的美术特长生为15人C.抽取的音乐特长生为16人D.抽取的体育特长生和美术特长生共25人【解析】选AC.抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生分别为2525+35+40×40=10(人),3525+35+40×40=14(人),4025+35+40×40=16(人).【加练备选】某市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类.某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况,对辖区内的居民进行比例分配的分层随机抽样调查.已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人,若在老年人中的抽样人数是35,则在青年人中的抽样人数是()A.20B.40C.60D.80【解析】选B.由题可知抽取的比例为k=35700=120,故青年人应该抽取的人数为800×120=40.考点四分层抽样样本均值的计算[例4]某高中的高一、高二、高三这三个年级学生的平均身高分别为,,,若按年级采用分层抽样的方法抽取了一个600人的样本,抽到高一、高二、高三的学生人数分别为100,200,300,则估计该高中学生的平均身高为() A.16+13+12B.rr2C.12+13+16D.rr3【解析】选A.设该高中的总人数为m,由题意知,高一、高二、高三的学生人数分别为6,3,2,所以估计该高中学生的平均身高为6·r3·r2·=16+13+12.【解题技法】分层抽样样本均值的求法在比例分配的分层随机抽样中,如果层数分为两层,第一层的样本量为m,均值为;第二层的样本量为n,均值为,则样本的均值为B+B r.【对点训练】在调查某中学的学生身高时,利用比例分配的分层随机抽样的方法抽取男生20人,女生15人,得到了男生身高的均值为170cm,女生身高的均值为165cm,估计该中学所有学生的平均身高为________cm(结果精确到0.1).【解析】20×170+15×16520+15≈167.9(cm),即该中学所有学生的平均身高约为167.9cm.答案:167.9【加练备选】在比例分配的分层随机抽样中,总体共分为2层,第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2层的样本量为30,样本平均数为8,则该样本的平均数为________.【解析】2020+30×3+3020+30×8=6.答案:6。

高考数学一轮总复习第九章概率与统计 1随机抽样与用样本估计总体课件

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解:因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率,样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为 ,故A正确.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为 ,故B正确.
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为 ,故D正确.由对称性(以7.5为对称轴),并进行割补,可知平均值超过7(大致在7.5附近),故C错误(或直接计算:该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 (万元),超过了6.5万元,故C错误).故选C.
最多
平均值
平均数
中位数
众数
(4)总体离散程度的估计. ①方差、标准差的定义:一组数据,, ,,用 表示这组数据的平均数,则这组数据的方差为_____________ ____________,标准差为_ ______________. ②方差、标准差的特点:标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度______;标准差越小,数据的离散程度______.在刻画数据的分散程度上,方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中,一般多采用标准差.
(4)一组数据的众数可以是一个或几个,中位数也具有相同的结论. ( )
×
(5)在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众数. ( )

2.【多选题】(教材题改编)某城市收集并整理了该市2023年1月份至10月份每月最低气温与最高气温(单位: )的数据,绘制了如图所示的折线图.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系,则( )
A. B. C.估计该样本数据的平均数为74D.估计全校社会实践时间在 以上的学生约为180人

2024版高考数学一轮复习教材基础练第九章统计与成对数据的统计分析第一节随机抽样统计图表教学课件

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A.2020年各月的PPI在逐月增大
B.2020年各月的PPI均高于2019年同期水平
C.2021年1月—2021年11月各月的PPI在逐月减小
D.2021年1月—2021年11月各月的PPI均高于2020年同期水平
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答案
2.ABC 对于A,2020年前5个月的PPI月度环比增长均为负值,即在逐月减小,故A错误;对于B,2020年2月之后各月的
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多维变式,夯基础
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1. 习近平总书记在党史学习教育动员大会上提出:“全党同志要做到学史明理、学史增信、学史崇德,学史力行”.某
单位对200名党员进行党史知识测试,将成绩分成6组:[70,75),[75,80),[80,85),
[85,90),[90,95),[95,100],得到如图所示的频率分布直方图,则a=
坚强领导下,各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情,构建新发展格局,实现了“十四五”良好开局.2021年,全国
居民人均可支配收入和消费支出较上一年均有所增长,结合如下统计图,下列说法错误的是
A.2017—2021年全国居民人均可支配收入逐年递增
B.2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比高于医疗保健占比
310
211
310 211
有量占新能源汽车保有量的比值为381,2018年为261,计算得381>261,故相比2018年,2019年纯电动汽车保有量占新能
源汽车保有量的比值增加了,D错误.故选D.
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5. 2021年7月,中国青年报社社会调查中心通过问卷网,对2 047名14~35岁青少年进行的专项调查显示,对于神舟十
象核心素养指标值为3,故B正确.对于C,甲的六大数学核心素养指标值均为4或5,乙的六大数学核心素养指标值有

高考数学统考一轮复习第9章统计与统计案例第1节随机抽样教师用书教案理新人教版

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第9章统计与统计案例全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制1~2道小题或者1道解答题.分值占5~22分.2.考查内容统计与统计案例的命题以一道小题或一道大题的形式考查,难度中等.主要以生活中的实际问题为背景,考查随机抽样与样本估计总体、线性回归方程的求解与运用、独立性检验问题.随机抽样[考试要求] 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法.4.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.1.简单随机抽样(1)定义:设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法. 2.系统抽样的步骤 假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本. (1)先将总体的N 个个体编号.(2)确定分段间隔k ,对编号进行分段,当N n 是整数时,取k =N n ,当N n不是整数时,随机从总体中剔除余数,再取k =N ′n(N ′为从总体中剔除余数后的总数). (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k ).(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l +k ,再加k 得到第3个个体编号l +2k ,依次进行下去,直到获取整个样本.3.分层抽样(1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样.(2)分层抽样的应用范围当总体由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.[常用结论]1.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.2.系统抽样一般也称为等距抽样,入样个体的编号相差分段间隔k 的整数倍.3.分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.( ) (2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样. ( )(3)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.( ) (4)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×二、教材习题衍生1.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000名居民的阅读时间的全体是( )A .总体B .个体C .样本的容量D .从总体中抽取的一个样本A [由题目条件知,5 000名居民的阅读时间的全体是总体;其中1名居民的阅读时间是个体;从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本,样本容量是200.]2.某学校为了了解高中一年级、二年级、三年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )A .抽签法B .系统抽样法C .分层抽样法D .随机数法C [总体由差异明显的几部分组成,故最合理的抽样方法是分层抽样法.故选C .]3.某班共有52人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知3号,29号,42号学生在样本中,那么样本中还有一个学生的学号是( )A .10B .11C .12D .16D [由题意可知,分段间隔k =524=13, ∴样本中还有一个学生的学号为3+13=16,故选D .]4.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.18 [∵样本容量总体个数=60200+400+300+100=350, ∴应从丙种型号的产品中抽取350×300=18(件).]考点一 简单随机抽样1.简单随机抽样的四个特点(1)被抽取样本的总体的个体数有限;(2)逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取. 2.简单随机抽样的适用范围简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本; ②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.A .0B .1C .2D .3A [①不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的;②不是简单随机抽样,因为它是有放回抽样;③不是简单随机抽样,因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取;④不是简单随机抽样,因为不是等可能抽样.故选A .]2.总体由编号为01,02,03,…,49,50的50个个体组成,利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为( )66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 9057 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 83 20 37 90A .05B .09C .11D .20B [从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,符合条件的编号有14,05,11,05,09,因为05出现了两次,所以选出来的第4个个体的编号为09.故选B .]3.利用简单随机抽样,从n 个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为13,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( ) A .14 B .13 C .514 D .1027C [根据题意得,9n -1=13,解得n =28.故每个个体被抽到的概率为1028=514.] 考点二 系统抽样(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大. (2)使用系统抽样的方法抽取样本时,若总体容量不能被样本容量整除,则应先从总体中随机地剔除几个个1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生(2)采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,将他们随机编号1,2,…,1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A ,编号落入区间[401,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为( )A .12B .13C .14D .15(1)C (2)A [(1)∵从1 000名学生中抽取一个容量为100的样本,∴系统抽样的分段间隔为1 000100=10,∵46号学生被抽到,则根据系统抽样的性质可知,第一组随机抽取一个号码为6,以后每个号码都比前一个号码增加10,所有号码数是以6为首项,10为公差的等差数列,设其数列为{a n },则a n =6+10(n -1)=10n -4,当n =62时,a 62=616,即在第62组抽到616.故选C .(2)根据系统抽样的特点可知,所有做问卷调查的人的编号构成首项为8,公差d =1 00050=20的等差数列{a n },∴通项公式a n =8+20(n -1)=20n -12,令751≤20n -12≤1 000,得76320≤n ≤2535,又∵n ∈N *,∴39≤n ≤50,∴做问卷C 的共有12人,故选A .]点评:系统抽样又称作等间隔抽样,其样本编号成等差数列,因此有关抽样号码的问题常借助等差数列通项公式求解,如本例(2).[跟进训练]1.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3,…,80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本,如果抽出的产品中有一个产品的编号为13,则抽到产品的最大编号为( )A .73B .78C .77D .76B [样本的分段间隔为8016=5,所以13号在第三组,则最大的编号为13+(16-3)×5=78.]2.某电视台为了解观众对某综艺节目的意见,准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈,现用系统抽样的方法完成这一抽样,则在进行分组时,需剔除 个个体,抽样间隔为 .2 10 [把502名观众平均分成50组,由于502除以50的商是10,余数是2,所以每组有10名观众,还剩2名观众,采用系统抽样的方法抽样时,应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众,这2名观众不参加座谈;再将剩下的500名观众编号为1,2,3,…,500,并均匀分成50段,每段含50050=10(个)个体.所以需剔除2个个体,抽样间隔为10.] 考点三 分层抽样分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.[典例2] (1)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .(2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )图甲 图乙A .100,10B .100,20C .200,10D .200,20(1)分层抽样 (2)D [(1)因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异,所以需按年龄进行分层抽样,才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.(2)由题得样本容量为(3 500+2 000+4 500)×2%=10 000×2%=200,抽取的高中生人数为2 000×2%=40人,则近视人数为40×0.5=20人,故选D .] 点评:进行分层抽样的相关计算时,常用到的两个关系(1)抽样比=样本容量n 总体的个体数N =该层抽取的个体数该层的个体数. (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.[跟进训练]1.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A .101B .808C .1 212D .2 012B [甲社区每个个体被抽取的概率为1296=18,样本容量为12+21+25+43=101,所以四个社区中驾驶员的总人数N =10118=808.] 2.为了了解高一、高二、高三学生的身体状况,现用分层抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本,三个年级学生人数之比依次为k ∶5∶3,已知高一年级共抽取了240人,则高三年级抽取的人数为 .360 [因为高一年级抽取学生的比例为2401 200=15,所以k k +5+3=15,解得k =2,故高三年级抽取的人数为1 200×32+5+3=360.]。

新高考数学一轮教师用书:第9章 第1节 随机抽样

新高考数学一轮教师用书:第9章 第1节 随机抽样

第⼀节随机抽样[考点要求] 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会⽤简单随机抽样⽅法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样.4.会⽤随机抽样的基本⽅法解决⼀些简单的实际问题.(对应学⽣⽤书第173⻚)1.简单随机抽样(1)定义:设⼀个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样⽅法叫做简单随机抽样.(2)最常⽤的简单随机抽样的⽅法:抽签法和随机数法.2.分层抽样(1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照⼀定的⽐例,从各层独⽴地抽取⼀定数量的个体,将各层取出的个体合在⼀起作为样本,这种抽样⽅法叫做分层抽样.(2)分层抽样的应⽤范围当总体由差异明显的⼏个部分组成时,往往选⽤分层抽样.[常⽤结论]1.不论哪种抽样⽅法,总体中的每⼀个个体⼊样的概率都是相同的.2.分层抽样是按⽐例抽样,每⼀层⼊样的个体数为该层的个体数乘抽样⽐.⼀、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)简单随机抽样是⼀种不放回抽样.()(2)在抽签法中,先抽的⼈抽中的可能性⼤.()(3)在简单随机抽样中,某⼀个个体被抽到的可能性与第⼏次抽取有关,第⼀次被抽到的可能性最⼤.()[答案](1)√(2)×(3)×⼆、教材改编1.在“世界读书⽇”前夕,为了了解某地5000名居⺠某天的阅读时间,从中抽取了200名居⺠的阅读时间进⾏统计分析.在这个问题中,5000名居⺠的阅读时间的全体是()A.总体B.个体C.样本的容量D.从总体中抽取的⼀个样本A[由题⽬条件知,5000名居⺠的阅读时间的全体是总体;其中1名居⺠的阅读时间是个体;从5000名居⺠某天的阅读时间中抽取的200名居⺠的阅读时间是从总体中抽取的⼀个样本,样本容量是200.]2.利⽤简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取⼀个容量为4的样本,则总体中每个个体被抽到的概率是()A .12B .13C .16D .14A [由抽样中每个个体被抽取的等可能性可知,所求概率P =48=12,故选A.]3.福利彩票“双⾊球”中红球的号码可以从01,02,03,…,32,33这33个⼆位号码中选取,⼩明利⽤如表所示的随机数表选取红⾊球的6个号码,选取⽅法是从第1⾏第15列和第16列的数字开始从左到右依次选取两个数字,则第四个被选中的红⾊球号码为()81472368639317901269868162935060913375856139850632359246225410027849821886704805468815192049A.12B .32C .06D .16B [结合题意可知,前4个数字分别为:12,33,06,32.故选B.]4.某⼯⼚⽣产甲、⼄、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现⽤分层抽样的⽅法从以上所有的产品中抽取60件进⾏检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.18[∵样本容量=60200+400+300+100=350,∴应从丙种型号的产品中抽取350×300=18(件).](对应学⽣⽤书第174⻚)考点1简单随机抽样(1)简单随机抽样需满⾜:①被抽取样本的总体的个体数有限;②逐个抽取;③是不放回抽取;④是等可能抽取.(2)简单随机抽样常有抽签法(适⽤于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适⽤于个体数较多的情况).1.下列抽取样本的⽅式属于简单随机抽样的个数为()①从⽆限多个个体中抽取100个个体作为样本;②盒⼦⾥共有80个零件,从中选出5个零件进⾏质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出⼀个零件进⾏质量检验后再把它放回盒⼦⾥;③从20件玩具中⼀次性抽取3件进⾏质量检验;④某班有56名同学,指定个⼦最⾼的5名同学参加学校组织的篮球赛.A .0B .1C .2D .3A [①不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个数是⽆限的,⽽不是有限的;②不是简单随机抽样,因为它是有放回抽样;③不是简单随机抽样,因为这是“⼀次性”抽取,⽽不是“逐个”抽取;④不是简单随机抽样,因为不是等可能抽样.故选A.]2.总体由编号为01,02,03,…,49,50的50个个体组成,利⽤随机数表(以下选取了随机数表中的第1⾏和第2⾏)选取5个个体,选取⽅法是从随机数表第1⾏的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为()66674067146405719586110565096876832037905716001166149084451175738805905283203790A .05B .09C .11D .20B [从随机数表第1⾏的第9列和第10列数字开始由左向右读取,符合条件的编号有14,05,11,05,09,因为05出现了两次,所以选出来的第4个个体的编号为09.故选B.]3.利⽤简单随机抽样,从n 个个体中抽取⼀个容量为10的样本.若第⼆次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为13,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为()A .14B .13C .514D .1027C [根据题意得,9n -1=13,解得n =28.故每个个体被抽到的概率为1028=514.]应⽤简单随机抽样应注意的问题(1)⼀个抽样试验能否⽤抽签法,关键看两点:⼀是抽签是否⽅便;⼆是号签是否易搅匀.⼀般地,当总体容量和样本容量都较⼩时可⽤抽签法.(2)在使⽤随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某⾏某列的数字计起,每三个或四个作为⼀个单位,⾃左向右选取,将超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.考点2分层抽样分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的⽐例计算.(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按⽐例抽样,列⽐例式进⾏计算.(3)确定是否应⽤分层抽样:分层抽样适⽤于总体中个体差异较⼤的情况.(1)(2018·全国卷Ⅲ)某公司有⼤量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较⼤差异.为了解客户的评价,该公司准备进⾏抽样调查,可供选择的抽样⽅法有简单随机抽样和分层抽样,则最合适的抽样⽅法是________.(2)(2019·洛阳⼀模)已知某地区中⼩学⽣⼈数和近视情况分别如图甲和图⼄所示.为了了解该地区中⼩学⽣的近视形成原因,⽤分层抽样的⽅法抽取2%的学⽣进⾏调查,则样本容量和抽取的⾼中⽣近视⼈数分别为()图甲图⼄A .100,10B .100,20C .200,10D .200,20(1)分层抽样(2)D [(1)因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较⼤差异,所以需按年龄进⾏分层抽样,才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.(2)由题得样本容量为(3500+2000+4500)×2%=10000×2%=200,抽取的⾼中⽣⼈数为2000×2%=40⼈,则近视⼈数为40×0.5=20⼈,故选D.]进⾏分层抽样的相关计算时,常⽤到的两个关系(1)抽样⽐=样本容量n =该层抽取的个体数.(2)总体中某两层的个体数之⽐等于样本中这两层抽取的个体数之⽐.情况,对甲、⼄、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总⼈数为N ,其中甲社区有驾驶员96⼈.若在甲、⼄、丙、丁四个社区抽取驾驶员的⼈数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总⼈数N 为()A .101B .808C .1212D .2012B [甲社区每个个体被抽取的概率为1296=18,样本容量为12+21+25+43=101,所以四个社区中驾驶员的总⼈数N =10118=808.]2.为了了解⾼⼀、⾼⼆、⾼三学⽣的身体状况,现⽤分层抽样的⽅法抽取⼀个容量为1200的样本,三个年级学⽣⼈数之⽐依次为k ∶5∶3,已知⾼⼀年级共抽取了240⼈,则⾼三年级抽取的⼈数为________.360[因为⾼⼀年级抽取学⽣的⽐例为2401200=15,所以k k +5+3=15,解得k =2,故⾼三年级抽取的⼈数为1200×3=360.]2+5+3。

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第9章统计与统计案例全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制1~2道小题或者1道解答题.分值占5~22分.2.考查内容统计与统计案例的命题以一道小题或一道大题的形式考查,难度中等.主要以生活中的实际问题为背景,考查随机抽样与样本估计总体、线性回归方程的求解与运用、独立性检验问题.随机抽样[考试要求] 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法.4.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.1.简单随机抽样(1)定义:设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法. 2.系统抽样的步骤 假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本. (1)先将总体的N 个个体编号.(2)确定分段间隔k ,对编号进行分段,当N n 是整数时,取k =N n ,当N n不是整数时,随机从总体中剔除余数,再取k =N ′n(N ′为从总体中剔除余数后的总数). (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k ).(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l +k ,再加k 得到第3个个体编号l +2k ,依次进行下去,直到获取整个样本.3.分层抽样(1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样.(2)分层抽样的应用范围当总体由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.[常用结论]1.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.2.系统抽样一般也称为等距抽样,入样个体的编号相差分段间隔k 的整数倍.3.分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.( ) (2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样. ( )(3)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.( ) (4)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×二、教材习题衍生1.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000名居民的阅读时间的全体是( )A .总体B .个体C .样本的容量D .从总体中抽取的一个样本A [由题目条件知,5 000名居民的阅读时间的全体是总体;其中1名居民的阅读时间是个体;从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本,样本容量是200.]2.某学校为了了解高中一年级、二年级、三年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )A .抽签法B .系统抽样法C .分层抽样法D .随机数法C [总体由差异明显的几部分组成,故最合理的抽样方法是分层抽样法.故选C .]3.某班共有52人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知3号,29号,42号学生在样本中,那么样本中还有一个学生的学号是( )A .10B .11C .12D .16D [由题意可知,分段间隔k =524=13, ∴样本中还有一个学生的学号为3+13=16,故选D .]4.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.18 [∵样本容量总体个数=60200+400+300+100=350, ∴应从丙种型号的产品中抽取350×300=18(件).]考点一 简单随机抽样1.简单随机抽样的四个特点(1)被抽取样本的总体的个体数有限;(2)逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取. 2.简单随机抽样的适用范围简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本; ②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.A .0B .1C .2D .3A [①不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的;②不是简单随机抽样,因为它是有放回抽样;③不是简单随机抽样,因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取;④不是简单随机抽样,因为不是等可能抽样.故选A .]2.总体由编号为01,02,03,…,49,50的50个个体组成,利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为( )66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 9057 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 83 20 37 90A .05B .09C .11D .20B [从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,符合条件的编号有14,05,11,05,09,因为05出现了两次,所以选出来的第4个个体的编号为09.故选B .]3.利用简单随机抽样,从n 个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为13,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( ) A .14 B .13 C .514 D .1027C [根据题意得,9n -1=13,解得n =28.故每个个体被抽到的概率为1028=514.] 考点二 系统抽样(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大. (2)使用系统抽样的方法抽取样本时,若总体容量不能被样本容量整除,则应先从总体中随机地剔除几个个1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生(2)采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,将他们随机编号1,2,…,1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A ,编号落入区间[401,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为( )A .12B .13C .14D .15(1)C (2)A [(1)∵从1 000名学生中抽取一个容量为100的样本,∴系统抽样的分段间隔为1 000100=10,∵46号学生被抽到,则根据系统抽样的性质可知,第一组随机抽取一个号码为6,以后每个号码都比前一个号码增加10,所有号码数是以6为首项,10为公差的等差数列,设其数列为{a n },则a n =6+10(n -1)=10n -4,当n =62时,a 62=616,即在第62组抽到616.故选C .(2)根据系统抽样的特点可知,所有做问卷调查的人的编号构成首项为8,公差d =1 00050=20的等差数列{a n },∴通项公式a n =8+20(n -1)=20n -12,令751≤20n -12≤1 000,得76320≤n ≤2535,又∵n ∈N *,∴39≤n ≤50,∴做问卷C 的共有12人,故选A .]点评:系统抽样又称作等间隔抽样,其样本编号成等差数列,因此有关抽样号码的问题常借助等差数列通项公式求解,如本例(2).[跟进训练]1.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3,…,80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本,如果抽出的产品中有一个产品的编号为13,则抽到产品的最大编号为( )A .73B .78C .77D .76B [样本的分段间隔为8016=5,所以13号在第三组,则最大的编号为13+(16-3)×5=78.]2.某电视台为了解观众对某综艺节目的意见,准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈,现用系统抽样的方法完成这一抽样,则在进行分组时,需剔除 个个体,抽样间隔为 .2 10 [把502名观众平均分成50组,由于502除以50的商是10,余数是2,所以每组有10名观众,还剩2名观众,采用系统抽样的方法抽样时,应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众,这2名观众不参加座谈;再将剩下的500名观众编号为1,2,3,…,500,并均匀分成50段,每段含50050=10(个)个体.所以需剔除2个个体,抽样间隔为10.] 考点三 分层抽样分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.[典例2] (1)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .(2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )图甲 图乙A .100,10B .100,20C .200,10D .200,20(1)分层抽样 (2)D [(1)因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异,所以需按年龄进行分层抽样,才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.(2)由题得样本容量为(3 500+2 000+4 500)×2%=10 000×2%=200,抽取的高中生人数为2 000×2%=40人,则近视人数为40×0.5=20人,故选D .] 点评:进行分层抽样的相关计算时,常用到的两个关系(1)抽样比=样本容量n 总体的个体数N =该层抽取的个体数该层的个体数. (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.[跟进训练]1.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A .101B .808C .1 212D .2 012B [甲社区每个个体被抽取的概率为1296=18,样本容量为12+21+25+43=101,所以四个社区中驾驶员的总人数N =10118=808.] 2.为了了解高一、高二、高三学生的身体状况,现用分层抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本,三个年级学生人数之比依次为k ∶5∶3,已知高一年级共抽取了240人,则高三年级抽取的人数为 .360 [因为高一年级抽取学生的比例为2401 200=15,所以k k +5+3=15,解得k =2,故高三年级抽取的人数为1 200×32+5+3=360.]。

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