《实数指数幂及其运算法则》ppt课件
合集下载
《实数指数幂及其运算法则》课件
《实运算法则的定义和性质，以及指数函数和对数 函数的相关概念和图像。掌握这些知识有助于理解实际问题中的应用。
实数指数幂的定义
• 真数指数幂的概念及特点 • 如何计算实数指数幂
同底数幂的乘法运算法则
• 解释同底数幂的乘法运算法则 • 举例演示同底数幂的乘法运算
同底数幂的除法运算法则
• 介绍同底数幂的除法运算法则的原理 • 通过实例演示同底数幂的除法运算
幂的乘法运算法则
• 解释幂的乘法运算法则的规则 • 提供实际的例子演示幂的乘法运算
幂的除法运算法则
• 说明幂的除法运算法则的概念 • 使用具体案例演示幂的除法运算
幂的幂的运算法则
• 讲解幂的幂的运算法则的原理 • 通过实际问题演示幂的幂的运算
指数函数的定义
• 描述指数函数的概念和定义 • 提供指数函数的数学表达式
指数函数的图像
• 展示指数函数的特点和图像形态 • 比较不同指数函数的图像
实数指数幂的定义
• 真数指数幂的概念及特点 • 如何计算实数指数幂
同底数幂的乘法运算法则
• 解释同底数幂的乘法运算法则 • 举例演示同底数幂的乘法运算
同底数幂的除法运算法则
• 介绍同底数幂的除法运算法则的原理 • 通过实例演示同底数幂的除法运算
幂的乘法运算法则
• 解释幂的乘法运算法则的规则 • 提供实际的例子演示幂的乘法运算
幂的除法运算法则
• 说明幂的除法运算法则的概念 • 使用具体案例演示幂的除法运算
幂的幂的运算法则
• 讲解幂的幂的运算法则的原理 • 通过实际问题演示幂的幂的运算
指数函数的定义
• 描述指数函数的概念和定义 • 提供指数函数的数学表达式
指数函数的图像
• 展示指数函数的特点和图像形态 • 比较不同指数函数的图像
实数指数幂及其运算法则PPT课件
x 6 r 4
1 1
64
64
1
x6 1
r4 x6
r4
（2x）3
23 x3
1 8x3
0.000110 4
a2
b c2.
a2b2c1
6
有理数指数幂
a0,bo,a、b为有理数
运算法则:
（ 1 ） apaqap q
（ 2）a（ p） qapq
（ 3） (ab )p apbp
.
7
练习2
3
2
① 8585
（2）（ am） na mn
（
3）a a
m n
amn （ mn， a0）
（ 4）（ a） bm a bm. m
3
由 a m = amn （ mn， a0）
an
a0
1 a a 3
a3
a 33
0
a3 a5
a 35
a2
1 a2
将正整数指数幂推广到整数指数幂
.
4
规定：
a 0 1 （a 0）
a n
.
12
• 作业： • 课本P77 习题4.1A 组 1、 2
.
13
.
14
32
85 5 8
2
②
83
1
（83）2 22 4
③ 3 33 36 3
111
332 33 36
1 1 1 1
3 2 3 6
32
9
21
2
1
3
④（ a 3 b 4 ）3 （a3） （ 3 b4） 3a2b4
.
8
1
⑤（a 2
1
1
b2）（a 2
实数指数幂及其运算课件
1 a
m n
(a 0, m, n N *,且n 1)
4.有理指数幂的运算性质
（1）ar•as=ar+s(a>0,r,s∈Q)
3. 0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0。 （2）(ar)s=ar•s(a>0,r,s∈Q) 0的负分数指数幂无意义。（3）(a•b)r=ar•br(a>0,b>0,r∈Q)
16 2 （ ） ＝（ ） 81 3
－
3 4
3 4 （－ ） 4
2 －3 27 ＝（ ） ＝ 。 3 8
练习:求值：
1 9 ， 64 , ( ) 32
1 2
2 3
1 5
例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：
a 2 a , a 3 3 a 2 , a a (式中a 0)
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。 解：
1 2 1 2 2 5 2
a a a a a
2 2
a ;
2 3
a a a a a
3 3 2 3
1 1 2 2
2 3
3
a ;
3 4
11 3
a a (a a ) (a ) a .
3 1 2 2
a ?
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6
b
1 1 5 2 3 6
4ab 4a
10 5 12 3
复习：（口算） 1 ） 32
4 2） 81 5
3
a10 5 (a 2 ) 5 a 2 a a12 3 (a 4 ) 3 a 4 a
3
实数指数幂运算法则课件
B
考勤点名
上节课重点学习的2个换算公式（分数指数幂与根式）：
a
m n
n
a
m
a
m n
1
3
1
n
am
练习：1、 将下列各根式写成分数指数幂的形式：
2
一个非零数的负指数 幂等于它的正指数幂 的倒数
73 7
3 2
a2
a
2 3
2
2、将下列各分数指数幂写成根式的形式： 2 5 1 3 5 3 25
3 6 3 (3 2) 解： 1 1 3 3 9 2 (32 ) 3 2 3
3 1 2
1 3
3 3 2 3 2
2 3 1 3
1 2
1 3
1 3
1、化根式为分数指数幂 2、遇乘积化同底或同指 数幂
1 6
3
1 1 2 2 3 3
2
1 1 3 3
3 20 3
例1 计算下列各式的值
(1)0.125
1 3
1 3
2、底化成a n形式
1、小数化分数
1
q 3、运用（a p） a pq计算
解： 0.125
1 1 3 1 3 （ ） ( 2 3 ) 3 2 3 8
2 1
1 4、化负指数为正指数 2
33 6 ( 2) 3 9 3 2
(2)(a b )(a b )
1 2 1 2 1 2 1 2
提示： (a b)(a b) a 2 b 2
1 2 2 1 2 2
解： (a b )(a b ) (a ) (b ) a
实数指数幂及其运算(56张PPT)高一数学人教B版必修第二册
根式
当 有意义的时候， 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数．
注意，虽然我们不知道 等的精确的小数形式（计算器和计算机上给出的值都是近似值），但是按照定义，我们知道 的一些性质，比如 等.
尝试与发现
现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂).一般情况下，当 s 与 t 都是有理数时，有运算法则：
例如，________.
3
（2）如果 x3＝a，则 x 称为 a 的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数 a 有且只有一个立方根，记作．
例如，＝______
2
n次方根
一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 xn＝a，则 x 称为 a 的 n 次方根．
例如，因为方程 x4＝81 的实数解为 3 与－3，因此 3 与－3都是 81 的 4 次方根；因为 25＝32，而且 x5＝32只有一个实数解，所以 32 的 5 次方根为 2 .
用信息技术求实数指数幂
实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得．在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“^”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值．如图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果．
练习提升
C
B
C
B
C
C
根据方程 xn＝a 解的情况不难看出：（1）0 的任意正整数次方根均为 0，记为．（2）正数 a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 a 的 n 次算术根，记为，负的方根记为 ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 a＜0 且 n 为偶数时，在实数范围内没有意义．（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
当 有意义的时候， 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数．
注意，虽然我们不知道 等的精确的小数形式（计算器和计算机上给出的值都是近似值），但是按照定义，我们知道 的一些性质，比如 等.
尝试与发现
现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂).一般情况下，当 s 与 t 都是有理数时，有运算法则：
例如，________.
3
（2）如果 x3＝a，则 x 称为 a 的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数 a 有且只有一个立方根，记作．
例如，＝______
2
n次方根
一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 xn＝a，则 x 称为 a 的 n 次方根．
例如，因为方程 x4＝81 的实数解为 3 与－3，因此 3 与－3都是 81 的 4 次方根；因为 25＝32，而且 x5＝32只有一个实数解，所以 32 的 5 次方根为 2 .
用信息技术求实数指数幂
实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得．在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“^”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值．如图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果．
练习提升
C
B
C
B
C
C
根据方程 xn＝a 解的情况不难看出：（1）0 的任意正整数次方根均为 0，记为．（2）正数 a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 a 的 n 次算术根，记为，负的方根记为 ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 a＜0 且 n 为偶数时，在实数范围内没有意义．（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
《实数指数幂》课件
定义，以及实数指数幂的运算性质。
幂的运算法则
02
包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方以及积的乘方等运算法
则。
无穷大与无穷小的概念
03
理解无穷大和无穷小的概念，掌握其在实数指数幂中的应用。
常见错误解析
混淆不同底数指数幂的运算
01
例如，将a^m * a^n误算为a^(m+n)，而不是正确
的a^(mn)。
实数指数幂的引入
实数指数幂的定义
实数指数幂表示一个数与一个实数的乘方。例如，$a^{m/n}$ 表示 $a$ 的 $m$ 次方再 开 $n$ 次方根。
实数指数幂的引入背景
实数指数幂的引入是为了解决一些数学问题，特别是在处理连续函数和积分时，实数指数 幂提供了更灵活和实用的工具。
实数指数幂的性质
实数指数幂具有一些重要性质，如 $a^{mn} = (a^m)^n$，$a^{m/n} = sqrt[n]{a^m}$ ，以及 $(ab)^n = a^n times b^n$。这些性质在数学和物理中有广泛的应用。
《实数指数幂》ppt课件
目录
• 引言 • 实数指数幂的性质 • 实数指数幂的运算 • 实数指数幂的性质与运算的应用 • 总结与回顾
01
引言
幂的定义与性质
幂的定义
幂是乘方运算的结果，表示一个 数连续与一个相同的数相乘的次 数。例如，$a^m$ 表示 $a$ 连 续乘以自身 $m$ 次。
幂的性质
幂具有一些基本性质，如 $a^{m+n} = a^m times a^n$ ，$(a^m)^n = a^{mn}$，以及 $a^{-m} = frac{1}{a^m}$。
，从而更好地理解和求解问题。
课件 5： 3.1.1 实数指数幂及其运算
＝a96－36＋76－163＝a0＝1.
【名师点评】 (1)当化简的式子中既有根式又有分数指数幂时，一般先 统一为分数指数幂或根式再化简．
(2)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数 幂写出，然后再用运算法则进行化简．
(3)注意运算过程中不能随意扩大或缩小底数的范围．
变式训练
1
1
(2)原式＝
a3（a－8b）
1
11
1
× 1 a3
11
1×a3b3
（2b3）2＋2a3b3＋（a3）2 a3－2b3
1
＝a3（aa－－88bb）×a13×a13b13＝ab13.
题型三 条件求值问题 例4 (本题满分 12 分)已知 a12＋a－12＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)aa2213－－aa－－1232.
3.1.1 实数指数幂及其运算
学习目标
新知初探
1.整数指数幂 (1)正整数指数幂的运算法则
①am·an＝__a_m＋__n___；②(am)n__a_m_n____；
③aamn ＝__a_m－__n__(m>n，a≠0)；④(ab)m＝__a_m_b_m__． (2)零指数幂和负整数指数幂
1
①a0＝__1___(a≠0)；②a－n＝__a_n__(a≠0，n∈N＋)．
【解】 (1)将 a12＋a－12＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9， 即 a＋a－1＝7.(4 分) (2)将 a＋a－1＝7 两边平方，有 a2＋a－2＋2＝49. ∴a2＋a－2＝47.(8 分)
(3)由于 a32－a－32＝(2213－－aa－－1232＝（a21－a－12）（ a12－a＋a－a－121＋a21·a－12）＝a＋a－1＋1＝8.(12 分)
【名师点评】 (1)当化简的式子中既有根式又有分数指数幂时，一般先 统一为分数指数幂或根式再化简．
(2)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数 幂写出，然后再用运算法则进行化简．
(3)注意运算过程中不能随意扩大或缩小底数的范围．
变式训练
1
1
(2)原式＝
a3（a－8b）
1
11
1
× 1 a3
11
1×a3b3
（2b3）2＋2a3b3＋（a3）2 a3－2b3
1
＝a3（aa－－88bb）×a13×a13b13＝ab13.
题型三 条件求值问题 例4 (本题满分 12 分)已知 a12＋a－12＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)aa2213－－aa－－1232.
3.1.1 实数指数幂及其运算
学习目标
新知初探
1.整数指数幂 (1)正整数指数幂的运算法则
①am·an＝__a_m＋__n___；②(am)n__a_m_n____；
③aamn ＝__a_m－__n__(m>n，a≠0)；④(ab)m＝__a_m_b_m__． (2)零指数幂和负整数指数幂
1
①a0＝__1___(a≠0)；②a－n＝__a_n__(a≠0，n∈N＋)．
【解】 (1)将 a12＋a－12＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9， 即 a＋a－1＝7.(4 分) (2)将 a＋a－1＝7 两边平方，有 a2＋a－2＋2＝49. ∴a2＋a－2＝47.(8 分)
(3)由于 a32－a－32＝(2213－－aa－－1232＝（a21－a－12）（ a12－a＋a－a－121＋a21·a－12）＝a＋a－1＋1＝8.(12 分)
实数指数幂及其运算 PPT课件
2n = a xn =a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根,其中n>1,且
n∈N*.
即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32 27=128
16的4次方根是±2.
示a在实数范围内唯一的一个n次方根.
当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无意义. n a (a ≥ 0)表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 n a (a ≥ 0)
( n a ) n a
(1) 5 25 2, 3（ 2）3 2. 结论:an开奇次方根,则有 n an a. (2) 32 3, (3)2 3, (3)2 3.
(6)0的七次方根是_____0_.
点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
23=8
8的3次方根是2. 记作：3 8 2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(-2)3=-8
-8的3次方根是-2. 记作：3 8 2.
(-2)5=-32 27=128
-32的5次方根是-2.记作：5 32 2. 128的7次方根是2. 记作：7 128 2.
-32的5次方根是-2. 2是128的7次方根.
【1】试根据n次方根的定义分别求出下
列各(数1)的25n的次平方方根根. 是___±___5_;
(2)27的三次方根是____3_; (3)-32的五次方根是_-_2__; (4)16的四次方根是_±___2_; (5)a6的三次方根是___a_2_;
的平方根.
22=4 (-2)2=4
人教B版高中数学必修第二册4.1.1 实数指数幂及其运算【课件】
)
4
2
A． −3 ＝－3
B． 4 ＝a
3
3
3
C．( −2) ＝－2
D． −2 3 ＝2
答案：ABD
解析：由于
4
−3 2 ＝3， a4 ＝|a|,
3
−2 3 ＝－2，故选项A、B、D错误．
4．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是(
1
2
A．－ ＝ − (x≥0)
3
−4
C． ＝
1 3
(x>0)
答案：C
解析：(1)
x·
3
x2
6
·
1 2
x2 ·x3
1
x·x6
＝
1
2
＝x
6
1 2
1
+
−1−
2 3
6
＝x0＝1.
1
6
1
3
(2)－ x＝－x (x>0)； 2 ＝ y 2 ＝－y (y<0)；
3
−
4
x ＝ x −3
1
4
=
4
)
1
1
3 1
1 3
1 3
−3
(x>0)；x ＝
＝ (x≠0)．
x
x
x
题型3 分数指数幂的运算与化简
则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表
示．
跟踪训练3 计算：
1
(1)
1 −2
4
·
4 −1
3
1
0.1−2 · 3 −3 2
1
1
−
2
2
(a>0，b>0)；
4
2
A． −3 ＝－3
B． 4 ＝a
3
3
3
C．( −2) ＝－2
D． −2 3 ＝2
答案：ABD
解析：由于
4
−3 2 ＝3， a4 ＝|a|,
3
−2 3 ＝－2，故选项A、B、D错误．
4．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是(
1
2
A．－ ＝ − (x≥0)
3
−4
C． ＝
1 3
(x>0)
答案：C
解析：(1)
x·
3
x2
6
·
1 2
x2 ·x3
1
x·x6
＝
1
2
＝x
6
1 2
1
+
−1−
2 3
6
＝x0＝1.
1
6
1
3
(2)－ x＝－x (x>0)； 2 ＝ y 2 ＝－y (y<0)；
3
−
4
x ＝ x −3
1
4
=
4
)
1
1
3 1
1 3
1 3
−3
(x>0)；x ＝
＝ (x≠0)．
x
x
x
题型3 分数指数幂的运算与化简
则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表
示．
跟踪训练3 计算：
1
(1)
1 −2
4
·
4 −1
3
1
0.1−2 · 3 −3 2
1
1
−
2
2
(a>0，b>0)；
实数指数幂及其运算 PPT课件 1 人教课标版
1 4 6 r x 6 1 x r4
0 .0001 10 4
a 2 2 1 a b c 2 b c
2
2 分数指数
2
若 x a ，则 x叫 a 的平方根（或二次方根 ）
a 0 时，两个平方根： a， a a 0时，有一个平方根： 0 a 0时，无实根
3
若 x a ，则 x叫 a 的立方根（或三次方根 ）
a 根式
n 根指数
n
正 数 a 的 正 n 次 方 根 叫 做 a 的 n 次 算 术 方 根
根式性质
( 1 )( a ) a ( n 1 , n N )
n n
a
(2) a
n n
当n为奇数时
|a |
当n为偶数时
练习1
①( 5)
4 4
5
3
②（ 5 ）
a 只有一个立方根
方根
n 若 存 在 实 数 x ， 使（ x = a aR ? ，， n1 n ? N ） ， +
则 xan 叫 的 次 方 根 。
求a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方 ,称作开方运算
偶次方根 奇次方根
n
实 a 0 n a 数 a a 0 不存在
n
a 0 a 0
（ 3 ）（ ab ） a b
转
练习2
① 8 8 ② 8
2 3
3 5
2 5
1 3 2
8
3 2 5 5
8
（ 8） 2 4
2
③ 3 3
2 3
3
3
6
3
2 33
3 3 3 3 3
《实数指数幂及其运算法则》ppt课件
$(ab)^n = a^n times b^n$
$(uv)^n = u^n times v^n$
积的运算性质
$(u^n)v = u times u times ldots times u times v$（共n个u相乘）
积的运算性质2
$(u^n)v = u times (u^n)v$
积的运算性质3
$(ab)^{-n} = frac{1}{(ab)^n} = frac{1}{a^n times b^n}$
积的运算性质
$frac{a^m}{b^m} = (a/b)^m$
商的指数运算性质
$frac{a^m}{b^{-m}} = (a/b)^{m-n} = frac{a^{m-n}}{b^{m-n}}$
总结与回顾
卑鄙！只要 your question mark keeps track of keeping your work. OMRC
Cited from: "https://www.bokephases"
总结与回顾
* "
" 输入: 6th Party View : 尾声 (疏影)
# 2nd Party View
幂运算在数学、物理、工程等领域有广泛应用。
幂的应用
积运算可以用于计算多个数的乘积，简化计算过程。
在统计学中，积运算可以用于计算样本方差、标准差等统计量。
在物理学中，积运算可以用于计算多个物理量的乘积，如力矩、功等。
积的应用
商的应用
商运算可以用于计算两个数的比值，用于比较大小、排序等。
在经济学中，商运算可以用于计算成本效益比、投资回报率等。
尾声 (疏影): 6th Party View : 尾声 (疏影)
$(uv)^n = u^n times v^n$
积的运算性质
$(u^n)v = u times u times ldots times u times v$（共n个u相乘）
积的运算性质2
$(u^n)v = u times (u^n)v$
积的运算性质3
$(ab)^{-n} = frac{1}{(ab)^n} = frac{1}{a^n times b^n}$
积的运算性质
$frac{a^m}{b^m} = (a/b)^m$
商的指数运算性质
$frac{a^m}{b^{-m}} = (a/b)^{m-n} = frac{a^{m-n}}{b^{m-n}}$
总结与回顾
卑鄙！只要 your question mark keeps track of keeping your work. OMRC
Cited from: "https://www.bokephases"
总结与回顾
* "
" 输入: 6th Party View : 尾声 (疏影)
# 2nd Party View
幂运算在数学、物理、工程等领域有广泛应用。
幂的应用
积运算可以用于计算多个数的乘积，简化计算过程。
在统计学中，积运算可以用于计算样本方差、标准差等统计量。
在物理学中，积运算可以用于计算多个物理量的乘积，如力矩、功等。
积的应用
商的应用
商运算可以用于计算两个数的比值，用于比较大小、排序等。
在经济学中，商运算可以用于计算成本效益比、投资回报率等。
尾声 (疏影): 6th Party View : 尾声 (疏影)
课件7： 3.1.1 实数指数幂及其运算
3.1.1 实数指数幂及其运算
在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——西萨·班·达依 尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里放1粒 麦子，第2个小格里放2粒麦子，第3个小格里放4粒麦子，以后每一小格的麦粒数都比 前一个小格增加一倍．请您把摆满棋盘上所有64格的麦子，都赏给仆人吧！”国王觉 得这个要求太容易满足了，就命令下属给他这些麦子．
新的特征：如(a±a－1)2＝a2±2＋a－2，(a12
1
＋b2
1
)(a2
1
－b2
)＝a－b，
a＋b＝(a31
＋b13
2
)(a3
－a13
1
b3
＋b32
)，
3
3
1
1
11
a2 －b2 ＝(a2 －b2 )(a＋a2 b2 ＋b)等．
2．常用的变换方法 (1)小数化分数，根式化为分数指数幂．(2)若指数是负数，则对调底数的分子和 分母并将负指数变为正指数．(3)把分数指数幂、负指数幂看做一个整体，借助 有理式中的乘法及因式分解的公式进行变形．
1
误解中忽略了题中有(－a)2
，即－a≥0，a≤0，则[(a－1)－2]12
≠(a－1)－1.
[正解]
1
∵(－a)2
1
存在，∴－a≥0，故 a－1<0，原式＝(1－a)(1－a)－1(－a)4
1
＝(－a)4 .
指数式运算的常用技巧及变换方法
1．巧用公式
引入分数指数幂后，初中学习的平方差公式、立方差公式、完全平方公式有了
＝(
2)－1＝
2 2.
3
6
3．( 6 a9)4·( 3 a9)4 的结果是 ( C )
在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——西萨·班·达依 尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里放1粒 麦子，第2个小格里放2粒麦子，第3个小格里放4粒麦子，以后每一小格的麦粒数都比 前一个小格增加一倍．请您把摆满棋盘上所有64格的麦子，都赏给仆人吧！”国王觉 得这个要求太容易满足了，就命令下属给他这些麦子．
新的特征：如(a±a－1)2＝a2±2＋a－2，(a12
1
＋b2
1
)(a2
1
－b2
)＝a－b，
a＋b＝(a31
＋b13
2
)(a3
－a13
1
b3
＋b32
)，
3
3
1
1
11
a2 －b2 ＝(a2 －b2 )(a＋a2 b2 ＋b)等．
2．常用的变换方法 (1)小数化分数，根式化为分数指数幂．(2)若指数是负数，则对调底数的分子和 分母并将负指数变为正指数．(3)把分数指数幂、负指数幂看做一个整体，借助 有理式中的乘法及因式分解的公式进行变形．
1
误解中忽略了题中有(－a)2
，即－a≥0，a≤0，则[(a－1)－2]12
≠(a－1)－1.
[正解]
1
∵(－a)2
1
存在，∴－a≥0，故 a－1<0，原式＝(1－a)(1－a)－1(－a)4
1
＝(－a)4 .
指数式运算的常用技巧及变换方法
1．巧用公式
引入分数指数幂后，初中学习的平方差公式、立方差公式、完全平方公式有了
＝(
2)－1＝
2 2.
3
6
3．( 6 a9)4·( 3 a9)4 的结果是 ( C )
4.1.1实数指数幂及其运算课件(人教B版)(1)
（1）若x 4=a，则称x为a的四次方根 I）当a=0时，a的四次方方根只有一个0，记作 4 0=0； II）当a＞0时，a有两个四次方根，他们互为相反数，正的四次 方根为 4 a,负的四次方根为- 4 a； II）当a＜0时，在实数范围内没有四次方根。
（2）若x 5=a，则称x为a的五次方根 在实数范围内，任意实数a有且只有一个五次方根，记为 5 a
2. 根式：
根指数
（1）定义：当 n a有意义的时候， n a 称为根式，读作“n次根号a”
被开方数
何时 n a 有意义时？n a 的意义是什么呢？
概念深化
（2）根式的性质：
I）：（n a）n=a
II）：当n为奇数时，n an =a
n
；当n为偶数时：
an
=|a|
性质应用
例1 化简下列各式
- 8 3 （1）
52
3
125
3 3
典例解析
例3：化简下列各式
x y 5 2 3
1 2
x y x y （1）
1 4
1
1 2
5 6
1 3பைடு நூலகம்
1 6
m m 1 2
m m （2）
1
1
2
2
8 尝试与发现 课堂小结：
1.本节课了解整数指数幂 分数指数幂 无理数指数幂 的拓展，感受到了数学的发展和应用价值。
实数指数幂
2.重点：根式的性质，根式与分数指数幂的转化，分数指数幂的概念和运算分 数指数幂的理解。
（2）对于
m，n∈N
*且
m n
为既约分数，规定：
（ ）（ ） am n=
1m
m
n
a
= n a = n am
（2）若x 5=a，则称x为a的五次方根 在实数范围内，任意实数a有且只有一个五次方根，记为 5 a
2. 根式：
根指数
（1）定义：当 n a有意义的时候， n a 称为根式，读作“n次根号a”
被开方数
何时 n a 有意义时？n a 的意义是什么呢？
概念深化
（2）根式的性质：
I）：（n a）n=a
II）：当n为奇数时，n an =a
n
；当n为偶数时：
an
=|a|
性质应用
例1 化简下列各式
- 8 3 （1）
52
3
125
3 3
典例解析
例3：化简下列各式
x y 5 2 3
1 2
x y x y （1）
1 4
1
1 2
5 6
1 3பைடு நூலகம்
1 6
m m 1 2
m m （2）
1
1
2
2
8 尝试与发现 课堂小结：
1.本节课了解整数指数幂 分数指数幂 无理数指数幂 的拓展，感受到了数学的发展和应用价值。
实数指数幂
2.重点：根式的性质，根式与分数指数幂的转化，分数指数幂的概念和运算分 数指数幂的理解。
（2）对于
m，n∈N
*且
m n
为既约分数，规定：
（ ）（ ） am n=
1m
m
n
a
= n a = n am
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.负数的偶次方根没有意义；
3.正数a的奇次次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数 都表示为
n
a， （n为奇数）
4.0的任何次方根都是0，记作n 0 0.
①( 5)
2
2 3 3
5 ②( 5) 5③( 5) 5 ④ 6 6 ⑤ （ 6 ） 6 ⑥（ 6 ） 6 ⑦ （ 6 ） 6
一、（1）化负指数为正指数，
（2)化根式为分数指数幂， （3）化小数为分数 (4)遇乘积化同底或同指数幂
二、对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，
但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分 母又含有负指数。
方法规律： n （1）先把被开方数化为 a 的形式 ( a ) a （2）再利用运算法则 计算（底数不变 ，指数相乘）
回顾旧知识
整数指数幂的概念:
指数 幂 底数
正整数指数幂的概念:
a a a ......a
n
n个a
(n N
规定：
a 1
1 n a an
0
(a 0)
1 an
( a 0, n N )
导入新课题
问题：我国农业科学家在研究某农作物的生长状况时 ，得到该作物的生长时间x周（从第1周到12周）与植 x 株高度ycm之间的关系 y= . 4
r s rs
r r r
(ab) a b (a 0, b 0, r Q
课后作业
课本P71练习1、2、3题
求值
27 ， 100
2 3
-
1 2
1 -3 ，（ 4 ） ，
2 3 3 2
16 - 4 （ ） 81
3
27
2 3
－
（ 3 } 3
3
1 2 2 － 1 2
2 3
3 9
1 2 （－ ） 2
拓展2：
0.064
1 3
（1 ）
7 2 8
0
4 3 3
160.75 0.01
a 2、把下列根式也能写成分数指数形式。
2 3
3 5
a a
2
a
4
=a
4 5
a =a
1 2
整数指数幂的运算则
a a a
m n
m n
m n
mn
n
(a )=a
(ab)n =
m n
(a ) a (a 0, r, s Q)
rs
mn (m,n z)
n n
a b (n Z )
(ab) a b (a 0, b 0, r Q)
r r r
应用知识：
例 （ 1） （ 3） 8 8 2 2 解 (1)8 3 (23 ) 3
展示问题 例1（1） （2） 例1（3） 例2（1） （2） 例2（3） 例3（1） 例3（2） 展 示 位 置 展示小 组 点评 小组
目标：
（1）点评对错、规 范(布局、书写)、思 路分析（步骤、易错 点），总结规律方法 用彩笔, （2）其它同学认真 倾听、积极思考,重 点内容记好笔记。有 不明白或有补充的要 大胆提出。 （3）力争全部达成 目标，A层多拓展、 质疑,B层注重总结， C层多整理，记忆。 科研小组成员首先要 质疑拓展。
.......
n
方根定义： n 若存在实数x，使x a
若x a，则x叫a的n次方根。
（a R，n 1 ，n N ），
求a的n次方根的运算，叫做开方运算
则x叫a的n次方根。
根式
n
a 有意义的条件是什么？
1.正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正、负偶次方根 分别表示为
n
a， - n a （n为偶数）
课堂小结：
a
n am 1.分数指数幂的定义： m 1 n a
m
m n
(a 0, m, n N 且 n 1）
有 理 指 分数指数幂 数 r s 幂 aa 、有理指数幂的运算法则： 2、整数指数幂
﹜
an
a
r s
(a 0, r, s Q)
(a ) a (a 0, r, s Q)
（ a 0 ， m, n 均为正整数） 。 这就是正数的分数指数幂的意义。 规定： a
m n
1 a
m n
（ a 0 ， m, n 均为正整数） 。
规定：0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义,0的零次幂没有意义
巩固知识
计算：
1、
4 4
2
4
2、 3、
x x
3
精彩点评（15分钟）
练一练 用分数指数幂表示下列各式：
3
x
1
3
2
a
1 a 3
3
3
x3
2
4
(a b) a b 4
x y2
3
x
2 2 y 3 1
有理数指数幂的运算则：
整数指数幂的运算则
m n
a a a
r s
r s
r s
(a 0, r, s Q)
；
a a = a m n(m,n z)
100 ＝（ 10 ） ＝ 10
1 ＝ 10 ＝ ； 10
－1
1 －3 －2 －3 （－2） （－3） 6 （ ） ＝（2 ） ＝2 ＝2 ＝64； 4 3 3 － 4 （－ ） 16 4 2 2 －3 27 4 （ ） ＝（ ） ＝（ ） ＝ 。 81 3 3 8
有理数指数幂运算：方法规律总结
1 2 1 3 1 6
(4)3 3 3 3 6 3 3 3 3 3
3
1 1 1 1 2 3 6
32 9
巩固知识：
练一练： 1、 3、
27
2 3
2、
2 2 6 2
( x 2 y )6
1 3
方法： n ( a ) a 1、被开方数化为a 的形式，再用运算法则 计算（底数不变，指数相乘） 2、化根式为分数指数幂，再用法则 注：计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，但结果 不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有 负指数。
12 4 a观察 =a 3
5
a a , a a
10 2 3
1.正分数指数幂的定义：
规定的：
a a (a 0, m, n N , 且n 1)
n m
m n
2.负分数指数幂的定义：
1 a : (a 0, m, n N , 且n 1) 问题 如何定义负分数指数幂？ m an 1 n a 为什么大于零? a an
(m,n z)
(m,n z)
(a ) a
(ab)
n
a b (n Z )
n
正整数指数幂的运算法则
(a ) a
m n
m n
mn
a a a m a mn a (m n, a 0) n a m m m (ab) a b
m n
若x 2 a，则x叫a的平方根（或二次方根） 若x3 a，则x叫a的立方根（或三次方根）
2 2
1 (5)要使式子 4 +(x 2 )0 - 5 3x-5 有意义， 2x 4
正分数指数幂的定义：
a
n
1 n
m
n
n
a ( a 0)
(a 0, m, n N *,
a
m n
)
m m m (a n ) n a n (a 0, m, n N *, n
)
思考：为什么a>0?为什么m/n是既约分数
3
当该农作物生长4周、8周、12周时植株的高度（单 3 2 3 位 cm) ，分别表示为 、 、 —— —— —— 当指数为分数时，应该如何定 当该农作物生长1周、3周、5周时植株的高度（单位 义？又该如何计算？ 3 5 1
3 3
4 4 4 3 3 3 cm)，分别表示为——、——、——
分数指数幂
5 3 5
82
2 3
（ 2）
8 ( ) 27
2 3
3 6 3 3 3 3 （ 4）
8 3 (2)( ) 27
2
2 2 3 3 ( 3 )
2
3
2 3
2 2 3( 3 ) ( 2 ) 2 9 ( )
2 2=4
3
3
4
3 2 3 2 1 5 5 5 5 8 (3)8 8 8 8
4
m n
注意:
例如 :
(2) 3
无意义
0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义
试一试
1、你能把下列分数指数幂用根式表示出来吗？
1、
2、
1 72
最简分数
72
3
4
4 3、 3 5
5
4 6
5
3
1 35
5 124来自56534
分数指数幂化成根式的方法：分数指数幂的指数的分子做 根式的被开方数的指数，分母做根式的根指数
探究知识
根指数
n
3
a
2 2
3
根式 被开方数
5 5 2 5
a的n次方根,（n﹥1且n∈N+）
5
2
10
（ 2 ） 2
5 5 2
5 10
3
a ( a ) a =a
a
12
2
10 5
（ a＞0）