(整理)正余弦定理综合应用
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3．（1） ；（2） .
【解析】分析：（1）由正弦定理即可；
（2）由已知可得 ，从而可得 ，再利用余弦定理即可.
详解：（1）在 中，∵ ，∴ ，
∴ .
由正弦定理得 ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ .
（2）∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
在 中
∵
，
∴ .
点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.
（1）判断△ABC的形状；
（2）若 ，求 的取值范围．
6．如图：在 中， ，点 在线段 上，且 .
（Ⅰ）若 ， ．求 的长；
（Ⅱ）若 ，求△DBC的面积最大值．
7．在 中，角 的对边分别为 ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 的外接圆直径为2，求 的取值范围.
8．在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
参考答案
1．(1) ;(2) .
【解析】分析：（1）由正弦定理将边化角得 ，进而得 ；
（2）由内切圆的性质得 ，由余弦定理得 ，进而得 ，化简得 ， 或 ，又 ，所以 ，从而得当 时， 的最小值为6，进而得面积.
详解：（1）由正弦定理得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ .
（2）
由余弦定理得 ，
由题意可知 的内切圆半径为1，
如图，设圆 为三角形 的内切圆， 为切点，
可得 ，
则 ，
于是 ，
化简得 ，
所以 或 ，
又 ，所以 ，即 ，
当且仅当 时， 的最小值为6，
此时三角形 的面积 .
点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.
2．（1） （2） （3）
【解析】分析：（1）由 利用正弦定理得： ， ，利用两角和的正弦公式化简可得 ，从而可得结果；（2）直接利用正弦定理可得结果；（3）由余弦定理，利用基本不等式可得 ， ，由三角形面积公式可得 ，从而可得结果.
6．(1)3(2)
【解析】分析：（1）根据题中的条件，结合余弦定理，可求得 ，设 , 由余弦定理可得： ，应用余弦定理，写出 的值，根据两角互补，得到 ，得到 所满足的等量关系式，求得结果；
（2）利用同角三角函数关系式的平方关系求得 ，根据余弦定理以及重要不等式得到 ，利用三角形面积公式求得结果.
详解：（Ⅰ）∵
详解：（1） 中，
由正弦定理得：
∴
∴
∵ ，∴
∵ ，∴
（2）由 ，得
∴ ，∴
（3）由（1）知
由余弦定理得： ，
∴
∴ （当且仅当 时取“=”号）
即 面积的最大值为
点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
4．（1） （2）
【解析】分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出关系式，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到关于 的二次函数，由 的范围求出 的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时 的范围，利用二次函数的性质即可求出 取得最大值时 的度数；
（2）由 及 的值，利用正弦定理表示出 ，再利用三角形的内角和定理用 表示出 ，将表示出的 代入 中，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出 的取值范围．
Leabharlann Baidu详解：
（1）
，令 ， ，
原式 ，当 ，即 ， 时， 取得最大值.
（2）当 时， ， .由正弦定理得： （ 为 的外接圆半径）
于是
.
由 ，得 ，于是
， ，
所以 的范围是 .
点睛：本题考查正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与性质，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5．(1)△ABC为 的直角三角形．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ，求 面积的最大值.
3．在平面四边形 中， ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 .
4．已知向量 ， ，角 ， ， 为 的内角，其所对的边分别为 ， ， .
（1）当 取得最大值时，求角 的大小；
（2）在（1）成立的条件下，当 时，求 的取值范围.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
在 中,设 , 由余弦定理可得： ①
在 和 中，由余弦定理可得：
又因为
∴ 得 ②
由①②得 ∴ .
（2）
由
∴ （当且仅当 取等号）
由 ，可得
∴ 的面积最大值为 .
正余弦定理综合应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．已知 的内切圆面积为 ，角 所对的边分别为 ，若 .
（1）求角 ；
（2）当 的值最小时，求 的面积.
2．设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围。
9．设函数 .
（1）求 的最大值，并写出使 取最大值时 的集合；
（2）已知 中,角 的边分别为 ，若 ，求 的最小值.
10．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）若 依次成等差数列，且公差为 ，求 的值；
（2）若 ，试用 表示 的周长，并求周长的最大值.
(2) .
【解析】分析：（1）由已知条件结合正弦定理对已知化简可求得角 的值，进而可判断三角形的形状；
（2）由辅助角公式对已知函数 先化简，然后代入可求得 ，结合（1）中的角 求得角 的范围，然后结合正弦函数的性质，即可求解．
详解：（Ⅰ）因为 ，
由正弦定理可得 ．
即 ，所以 ．
因为在△ABC中， ，所以 又 ，
所以 ， ．所以△ABC为 的直角三角形．
（Ⅱ）因为 = ．
所以 ．因为△ABC是 的直角三角形，
所以 ，且 ，所以当 时， 有最小值是 ．
所以 的取值范围是 ．
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
【解析】分析：（1）由正弦定理即可；
（2）由已知可得 ，从而可得 ，再利用余弦定理即可.
详解：（1）在 中，∵ ，∴ ，
∴ .
由正弦定理得 ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ .
（2）∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
在 中
∵
，
∴ .
点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.
（1）判断△ABC的形状；
（2）若 ，求 的取值范围．
6．如图：在 中， ，点 在线段 上，且 .
（Ⅰ）若 ， ．求 的长；
（Ⅱ）若 ，求△DBC的面积最大值．
7．在 中，角 的对边分别为 ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 的外接圆直径为2，求 的取值范围.
8．在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
参考答案
1．(1) ;(2) .
【解析】分析：（1）由正弦定理将边化角得 ，进而得 ；
（2）由内切圆的性质得 ，由余弦定理得 ，进而得 ，化简得 ， 或 ，又 ，所以 ，从而得当 时， 的最小值为6，进而得面积.
详解：（1）由正弦定理得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ .
（2）
由余弦定理得 ，
由题意可知 的内切圆半径为1，
如图，设圆 为三角形 的内切圆， 为切点，
可得 ，
则 ，
于是 ，
化简得 ，
所以 或 ，
又 ，所以 ，即 ，
当且仅当 时， 的最小值为6，
此时三角形 的面积 .
点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.
2．（1） （2） （3）
【解析】分析：（1）由 利用正弦定理得： ， ，利用两角和的正弦公式化简可得 ，从而可得结果；（2）直接利用正弦定理可得结果；（3）由余弦定理，利用基本不等式可得 ， ，由三角形面积公式可得 ，从而可得结果.
6．(1)3(2)
【解析】分析：（1）根据题中的条件，结合余弦定理，可求得 ，设 , 由余弦定理可得： ，应用余弦定理，写出 的值，根据两角互补，得到 ，得到 所满足的等量关系式，求得结果；
（2）利用同角三角函数关系式的平方关系求得 ，根据余弦定理以及重要不等式得到 ，利用三角形面积公式求得结果.
详解：（Ⅰ）∵
详解：（1） 中，
由正弦定理得：
∴
∴
∵ ，∴
∵ ，∴
（2）由 ，得
∴ ，∴
（3）由（1）知
由余弦定理得： ，
∴
∴ （当且仅当 时取“=”号）
即 面积的最大值为
点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
4．（1） （2）
【解析】分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出关系式，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到关于 的二次函数，由 的范围求出 的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时 的范围，利用二次函数的性质即可求出 取得最大值时 的度数；
（2）由 及 的值，利用正弦定理表示出 ，再利用三角形的内角和定理用 表示出 ，将表示出的 代入 中，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出 的取值范围．
Leabharlann Baidu详解：
（1）
，令 ， ，
原式 ，当 ，即 ， 时， 取得最大值.
（2）当 时， ， .由正弦定理得： （ 为 的外接圆半径）
于是
.
由 ，得 ，于是
， ，
所以 的范围是 .
点睛：本题考查正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与性质，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5．(1)△ABC为 的直角三角形．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ，求 面积的最大值.
3．在平面四边形 中， ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 .
4．已知向量 ， ，角 ， ， 为 的内角，其所对的边分别为 ， ， .
（1）当 取得最大值时，求角 的大小；
（2）在（1）成立的条件下，当 时，求 的取值范围.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
在 中,设 , 由余弦定理可得： ①
在 和 中，由余弦定理可得：
又因为
∴ 得 ②
由①②得 ∴ .
（2）
由
∴ （当且仅当 取等号）
由 ，可得
∴ 的面积最大值为 .
正余弦定理综合应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．已知 的内切圆面积为 ，角 所对的边分别为 ，若 .
（1）求角 ；
（2）当 的值最小时，求 的面积.
2．设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围。
9．设函数 .
（1）求 的最大值，并写出使 取最大值时 的集合；
（2）已知 中,角 的边分别为 ，若 ，求 的最小值.
10．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）若 依次成等差数列，且公差为 ，求 的值；
（2）若 ，试用 表示 的周长，并求周长的最大值.
(2) .
【解析】分析：（1）由已知条件结合正弦定理对已知化简可求得角 的值，进而可判断三角形的形状；
（2）由辅助角公式对已知函数 先化简，然后代入可求得 ，结合（1）中的角 求得角 的范围，然后结合正弦函数的性质，即可求解．
详解：（Ⅰ）因为 ，
由正弦定理可得 ．
即 ，所以 ．
因为在△ABC中， ，所以 又 ，
所以 ， ．所以△ABC为 的直角三角形．
（Ⅱ）因为 = ．
所以 ．因为△ABC是 的直角三角形，
所以 ，且 ，所以当 时， 有最小值是 ．
所以 的取值范围是 ．
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.